Mathematik: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
Released by matroid on Sa. 16. September 2006 10:38:40 [Statistics]
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Mathematik

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hugoles und FlorianM schreiben:

Punkte, Pfeile und Vektoren:
eine Einführung in die analytische Geometrie


Liebe Freunde der Analytischen Geometrie,
der erste Teil unserer Serie zur Analytischen Geometrie war sehr rechenlastig, deshalb kommen wir zur Entspannung nun zu einem Thema, das sehr anschaulich ist. Es stellt aber dennoch wieder Begriffe und Rechentechniken bereit, mit denen wir ab dem nächsten Kapitel arbeiten werden. Beispielsweise wird hier die Addition und Subtraktion von Vektoren, die S-Multiplikation und der Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit erläutert.

Wir wünschen euch viel Spaß beim Durcharbeiten dieses 2. Kapitels, das dankenswerter Weise George gegengelesen hat.


1. Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem
1.1 Ausrichtung der Achsen
1.2 Punkte im Koordinatensystem

2. Punkt + Punkt = Pfeil
2.1 Verschiebungen
2.2 Aus zwei Punkten wird eine Verschiebung

3. Vektoren
3.1 Was ist überhaupt Analytische Geometrie?
3.2 Wie aus Pfeilen Vektoren werden
3.2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
3.2.2 Betrag eines Vektors
3.2.3 Winkel zwischen Vektoren
3.3 Rechnen mit Vektoren
3.3.1 Addieren/Subtrahieren
3.3.2 Vervielfachen

4. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

5. Schlussbemerkungen


1. Das dreidimensionale Koordinatensystem

Wir beschreiben unsere (Alltags-)Welt durch drei räumliche Dimensionen, von denen zwei für die Ebene benötigt werden und die dritte Dimension, damit wir nicht in "flatland" leben müssen.
Möchten wir nun beispielsweise die Position eines Flugzeugs in diesem dreidimensionalen Raum auf eindeutige Weise beschreiben, so brauchen wir drei Bestimmungsangaben (z.B. {Längengrad, Breitengrad, Höhe über der Erdoberfläche}, {Rektaszension, Deklination, Abstand zum Erdmittelpunkt}, ...)

1.1 Ausrichtung der Koordinatenachsen

Für unsere Zwecke eignet sich am besten ein dreidimensionales kartesisches rechtshändiges Koordinatensystem.

"Puh, drei Eigenschaften für ein Koordinatensystem, ist das nicht ein bißchen viel?"
Nein, ist es nicht, denn so ist das Koordinatensystem eindeutig beschrieben und wenn wir uns auf diese Darstellungsart einigen können, müssen wir nie wieder beschreiben, wie das Koordinatensystem genau aufgebaut ist. Wir sagen einfach lässig: "dreidimensional, kartesisch, rechtshändig"


Nun, was bedeuten diese drei Eigenschaften:
  • dreidimensional: klar, das sind die drei benötigten Angaben, von denen wir gesprochen haben.
  • kartesisch: erscheint so mit Descartes verwandt. Diese Angabe, die eigentlich nichts anderes bedeutet, als dass alle drei Koordinatenachsen orthogonal aufeinander stehen, wird zu Ehren des großen Mathematikers Rene Descartes so bezeichnet.
  • Aber was heißt rechtshändig?
  • Mit Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger kann (fast) jeder Mensch sich so ein kartesisches Koordinatensystem basteln. Einzige Eigenschaft, die unter Umständen Schwierigkeiten bereiten könnte, ist das "kartesisch" ;-) Das wollen wir tun.

    "Ja, welche Hand soll ich denn benutzen?"
    Die Antwort darauf gibt Dir das Wort "rechtshändig".
  • Nun haben wir also geklärt, was ein dreidimensionales kartesisches rechtshändiges Koordinatensystem ist, jetzt müssen wir nur noch die Finger/Achsen nummerieren:
    Bild 1.1: rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem

    Die Orientierung im Raum ist dadurch allerdings nicht festgelegt, das benötigen wir aber auch nicht. Je nach Gelenkigkeit kann also jeder sein Koordinatensystem im Raum ausrichten, wie er es möchte.

    1.2 Punkte im Koordinatensystem

    Die erste Hürde haben wir schon, jetzt müssen wir die Achsen nur noch beschriften, das heißt mit einem Maßstab versehen. Am Kreuzungspunkt der drei Achsen liegt der Ursprung O. Per Definition soll er an der Position (0|0|0) sitzen. Diese drei Zahlen nennt man die Koordinaten des Ursprungs.

    Für unsere weiteren Betrachtungen drehen wir das Koordinatensystem so, dass die x1-Achse aus der Zeichenebene herausschaut.

    "Haha, wie witzig. Wie soll ich aus der Zeichenebene rauszeichnen?
    Natürlich ist ein dreidimensionales Zeichnen auf einer Ebene nicht möglich, aber dabei nutzen wir die Vorstellungskraft unseres Gehirns aus und zeichnen alle Linien, die in die Zeichenebene hinein- oder herausweisen, schräg, das heißt unter einem Winkel von 45° gegenüber der Waagrechten. Zeichnet man die Längen aber in Originalgröße ein, sieht das Ganze "komisch" aus. Wir müssen also die Längen verkürzen. Der Verkürzungsfaktor beträgt üblicherweise fed-Code einblenden . Das heißt, 1cm in Natura wird auf dem Blatt dann eine Kästchendiagonale groß.

    Lange Rede kurzer Sinn, so sieht dann das fertige Koordinatensystem aus, in dem wir arbeiten wollen:
    Bild


    Bild 1.2: Koordinatensystem mit Punkt P

    "Da ist ja noch ein Punkt P drin"
    Genau, der Punkt P(2|2.5|3). Um ihn einzuzeichnen sind wir vom Ursprung aus 2 Einheiten in x1-Richtung gegangen. Von dort aus dann 2.5 Einheiten in x2-Richtung und schließlich von da aus noch 3 Einheiten nach oben in x3-Richtung.

    "Hmm, wenn ich mir das Ganze so anschaue, dann könnte der Punkt, so wie er eingezeichnet ist, doch auch bei (-2|0.5|1) liegen?"
    Ja, könnte er. Das liegt daran, dass wir eben drei Dimensionen zweidimensional darstellen müssen. Ohne weitere Einschränkungen, gibt es zig mögliche Koordinatentripel für den eingezeichneten Punkt P. Umgekehrt, wenn man die Koordinaten fest vorgegeben hat, kommt man immer an die selbe Stelle.
    by FlorianM
    [Edit]

    2. Punkt + Punkt = Pfeil


    2.1 Verschiebungen


    Jetzt wollen wir etwas mit den Punkten im Koordinatensystem arbeiten, z.B. verschieben.
    Der Punkt P soll um eine Einheit nach hinten, um zwei Einheiten nach rechts und anderthalb Einheiten nach unten verschoben werden. Wo landet er dann?

    "Zeichnerisch ist das ja kein Problem, man zeichnet von P aus einfach den Weg nach, der gerade beschrieben wurde und landet dann bei Q."





    Bild 2.1.1: Verschiebung des Punktes P



    "Wie aber kann ich die Koordinaten von Q angeben, wo wir doch gehört haben, dass wir diese aus der Zeichnung nicht eindeutig bestimmen können?"

    Nun, schauen wir uns doch genau an, was passiert:
    die x1-Koordinate wird um 1 verringert: x'1 = x1 - 1 = 1
    die x2-Koordinate wird um 2 vergrößert: x'2 = x2 + 2 = 4.5 und
    die x3-Koordinate wird um 1.5 verringert: x'3 = x3 - 1.5 = 1.5

    Also sind die Koordinaten des Bildpunktes Q(1|4.5|1.5)

    Die ausgeführte Verschiebung können wir durch einen Verschiebungspfeil darstellen,wie man es in der Unter- und Mittelstufe auch schon gemacht hat. Diesen Verschiebungspfeil wollen wir fed-Code einblenden nennen.
    Neu ist jetzt, dass wir diese Verschiebung im dreidimensionalen Raum charakterisieren können durch ihre drei Komponenten: 1 nach hinten, 2 nach rechts und 1.5 nach unten.
    fed-Code einblenden





    Bild 2.1.2: Verschiebungspfeil



    2.2 Aus zwei Punkten wird eine Verschiebung


    "Aaahhhh, OK, also kriegt man rückwärts betrachtet die Komponenten des Verschiebungspfeiles, wenn man die Koordinaten der beiden Punkte P und Q kennt. Dazu muss man einfach die Urbildkoordinaten (diejenigen von P) von den Bildkoordinaten (von Q) abziehen."


    So ist es.
    Genau genommen kann man den Punkt P schon als Ergebnis einer Verschiebung betrachten, in dem man nämlich den Ursprung um 2 Einheiten in x1-Richtung, um 2.5 Einheiten in x2-Richtung und um 3 Einheiten in x3-Richtung verschiebt.
    fed-Code einblenden

    Das zeigt, dass man jeden Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem als Verschiebung des Ursprungs um entsprechende Komponenten deuten kann.
    fed-Code einblenden


    Nun ist es auch ganz einfach, die Koordinaten von Q zu berechnen, wenn man diejenigen von P kennt und die Komponenten der Verschiebung.
    fed-Code einblenden



    Daraus kann man eine allgemeine Merkregel ableiten, wie man die Komponenten solcher Verschiebungspfeile berechnet: "Spitze minus Fuß". Das heißt, man nimmt die Komponenten des Ortsvektors, der an der Spitze des Verschiebungspfeiles endet und zieht jeweils die Komponenten des Ortsvektors ab, der am Fuß des Verschiebungspfeiles endet.

    "OK, genehmigt. Das passt sogar zu den Ortsvektoren der einzelnen Punkte, wenn man langweiligerweise die Verschiebung des Ursprungs in den Ursprung mit
    fed-Code einblenden bezeichnet: fed-Code einblenden "



    Ja, dieser Ortsvektor heißt Nullvektor. Man muss aber dennoch die Ortsvektoren sorgfältig von den anderen Verschiebungspfeilen trennen.
    fed-Code einblenden

    "Und woher weiß man, welcher Pfeil gemeint ist?"
    fed-Code einblenden

    Jetzt haben wir ganz anschaulich mit Punkten gearbeitet, aus Punkten Verschiebungen gebastelt und Punkte gar selber als Verschiebungen gedeutet, um es mal flapsig zu sagen.
    Hinter diesen angerissenen Dingen stecken mathematische Strukturen, die in der Linearen Algebra eine Rolle spielen, es handelt sich dabei um Vektoren. Ein Beispiel für einen Vektor sind die eben kennengelernten Verschiebungspfeile.

    Im nächsten Abschnitt wird das Arbeiten und die Rechnerei mit Vektoren auf solide Beine gestellt.

    by FlorianM
    [Edit]

    3. Vektoren


    Kommen wir nun endlich zu den Vektoren, von denen die analytische Geometrie vor allem handelt. Im folgenden Abschnitt werden wir euch zuerst zeigen, was man unter der analytischen Geometrie versteht und was diese mit der Geometrie zu tun hat. Danach werden wir den Begriff des Vektors definieren und mit diesen schon anfangen zu rechnen, kurz: Ihr werdet die Eigenschaften und Vorteile der Vektoren kennenlernen.

    3.1 Was ist überhaupt Analytische Geometrie?


    Wie der Name schon verrät, hat "analytische Geometrie" etwas mit Geometrie zu tun. Es werden also arithmetische Objekte mit geometrischen Objekten verknüpft und umgekehrt.

    Oder anders ausgedrückt: Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt.
    Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen.

    3.2 Wie aus Pfeilen Vektoren werden


    In der analytischen Geometrie ist der Begriff des "Vektors" von entscheidender Bedeutung.

    "Aber was versteht man unter einem Vektor?"
    Wir wollen dies nicht allzu kompliziert gestalten und uns auf die Definition, die man eigentlich in fast jeder Schule lernt, beschränken.
    Nur so viel: alle Eigenschaften, die wir jetzt für die Pfeile finden, gelten auch für Vektoren, also reichte es vorerst, sich einen Vektor vereinfacht als einen Pfeil vorzustellen.

    Bild 3.2.1: Der Vektor
    Bild 3.2.1: Einen Vektor kann man sich als einen Pfeil vorstellen

    Betrachten wir nun zwei Pfeile:
    Vektorgleiche Pfeile
    Bild 3.2.2: Das Bild zeigt zwei vektorgleiche Pfeile

    fed-Code einblenden

    3.2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen


    fed-Code einblenden

    Erfassen von Vektoren durch Zahlen

    Bild 3.2.1.1: Erfassen von Vektoren durch Koordinatenschreibweise


    fed-Code einblenden
    "Das kennen wir ja schon von den Verschiebungen her!"
    Genau, unsere Verschiebungen beschreiben also auch Vektoren.

    fed-Code einblenden
    "Aber da die Koordinatenschreibweise übereinstimmt, sollten die Vektoren die gleiche Länge besitzen."
    Ja, genau!

    fed-Code einblenden

    3.2.2 Betrag eines Vektors


    fed-Code einblenden
    Der Betrags eines Vektors

    Bild 3.2.2.1: Die Länge oder der Betrag eines Vektors


    fed-Code einblenden


    3.3 Rechnen mit Vektoren


    Ja! Mit Vektoren kann man auch rechnen! Glaubt ihr nicht? Dann passt mal auf und lest diesen Abschnitt sehr aufmerksam.

    "Wir rechnen doch schon die ganze Zeit."
    Schon, aber bisher haben wir mit Koordinaten von Punkten gerechnet und mehr anschaulich argumentiert. Jetzt wollen wir Operationen zwischen Vektoren im "Raum der Vektoren" (sprich im Vektorraum V) durchführen.
    Lange Rede, kurzer Sinn:

    3.3.1 Addieren und Subtrahieren


    Aus der Physik kennen wir schon ein so genanntes Kräfteparallelogramm. Dabei greifen zwei Kräfte an einem gemeinsamen (Körper)Punkt an. Durch das Zeichnen eines Kräfteparallelogramms konnte man die resultierende Kraft bestimmen. Es war die Diagonale des Parallelogramms.

    Dies können wir auf die Vektoren übertragen, denn auch Kräfte kann man als gerichtete Pfeile darstellen, genauso wie die Vektoren.

    Die geometrische Addition von Vektoren


    Bild 3.3.1.1: Die Physik hilft uns weiter... oder die geometrische Addition von Vektoren

    Dieses Bild zeigt uns, wie man Vektoren geometrisch addiert.
    "Um in der Physiksprache zu bleiben: Die resultierende Kraft stellt also die Summe der beiden angreifenden Kräfte dar."

    fed-Code einblenden

    Was bedeutet dies aber für die Koordinatenschreibweise des Summenvektors? Anschaulich wird klar:
    fed-Code einblenden

    Das war das Addieren, kommen wir also nun zur Subtraktion von Vektoren:

    fed-Code einblenden

    Die Subtraktion von Vektoren
    Bild 3.3.1.2: Die Subtraktion von Vektoren

    fed-Code einblenden
    "Das ist mir nicht ganz klar."
    fed-Code einblenden
    Zurück zur Subtraktion von Vektoren:

    fed-Code einblenden

    Ein weiteres Beispiel für die Subtraktion von Vektoren

    Bild 3.3.1.3: Ein weiteres Beispiel...

    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden

    "Puh, das wäre geschafft. Wir können jetzt also Vektoren addieren und subtrahieren."

    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden


    fed-Code einblenden

    "V, das war doch der Vektorraum, quasi der 'Sack', in dem alle möglichen Pfeile drin sind."

    So ist es. Lass uns jetzt diesen Satz beweisen:
    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    Das wäre geschafft... Jetzt haben wir alle wichtigen Rechengesetze von Vektoren kennengelernt und können sie nun ohne Bedenken anwenden, da wir ihre Gültigkeit bewiesen haben.

    3.3.2 Vervielfachen


    Nun können wir also Vektoren addieren und subtrahieren. Fehlt nur noch die Multiplikation. Wir führen jetzt die S-Multiplikation ein. Darunter versteht man das Produkt aus einer Zahl (einem Skalar) und einem Vektor.

    "Und die Multiplikation zweier Vektoren?"
    Der Fall 'Vektor mal Vektor' kommt erst im vierten Teil. Also noch etwas Geduld.

    fed-Code einblenden

    Die S-Multiplikation

    Bild 3.3.2.1: Die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor


    fed-Code einblenden

    Vervielfachen von Vektoren

    Bild 3.3.2.2: Graphische Darstellung des Beispiels oder Vervielfachen von Vektoren


    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    Jetzt hätten wir auch die S-Multiplikation geschafft. Fassen wir nochmal zusammen, was wir bis jetzt gelernt haben: Wir können nun geometrisch wie rechnerisch Vektoren addieren und subtrahieren. Darüber hinaus haben wir kennen gelernt, was passiert, wenn man einen Vektor mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert.
    by FlorianM
    [Edit]

    4. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren



    In diesem letzten Abschnitt unseres zweiten Teils können wir jetzt das anwenden, was wir im Abschnitt 3 gelernt haben und bereits anwenden, was im ersten Teil der Serie vorbereitet wurde.

    Wenn man viele Vektoren addiert, kommt es vor, dass man dann den Nullvektor erhält. Das war jetzt aber dann nicht für die Katz', sondern man kennt damit eine Eigenschaft dieser vielen Vektoren: sie sind linear abhängig.

    fed-Code einblenden

    "Gut, das ist klar. Aber jetzt ist doch
    fed-Code einblenden
    OK, dann sagen wir, Vektoren sollen auch linear abhängig sein, wenn man Vielfache von ihnen zum Nullvektor addieren kann.

    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    "Wie untersucht man jetzt auf lineare (Un-)Abhängigkeit?"
    fed-Code einblenden
    "...Lineares Gleichungssystem. Und da wissen wir ja schon, wie man dieses löst."

    fed-Code einblenden

    "Wenn es doch schon unendlich viele Lösungen für das LGS gibt, dann wähle ich mir die einfachste aus, nämlich diejenige, bei der alle ri Null sind...dann wären die Vektoren doch linear unabhängig?"

    fed-Code einblenden

    "Das ist jetzt auch klar. Können wir noch ein Beispiel zur Linearen Unabhängigkeit von Vektoren machen?"

    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden


    5. Schlussbemerkungen


    Zum Abschluss dieses Kapitels möchten wir wiederum einen kleinen Ausblick geben, wozu man das alles braucht, was wir euch in diesem Kapitel zur Verfügung gestellt haben:

    Im nächsten Abschnitt soll es um Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum gehen.
    "Das könnte auch schön anschaulich werden"
    Wir wollen es hoffen.

    Mit Hilfe der Rechengesetze für Vektoren können wir Darstellungsformen dieser beiden geometrischen Gebilde angeben, dabei werden die S-Multiplikation und die Addition von Vektoren benötigt.
    Möchte man die Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade, Ebene zu Gerade oder Ebene zu Ebene untersuchen bzw. in diesem Bereich Schnittprobleme lösen, so müssen wiederum LGS gelöst werden. Auch die Untersuchung von geeigneten Vektoren auf lineare (Un-)Abhängigkeit kann bei diesem Themenkomplex nützlich werden.

    Bleibt der Wunsch, dass ihr auch beim nächsten Teil so eifrig mit dabei seid. "Bis demnächst."

    Trennlinie
  • Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & Co
  • Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
  • Kapitel 3: Geraden und Ebenen
  • Kapitel 4: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 5: Das Vektorprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 6: Das Spatprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 7: Exkurs: Die Plückerform
  • Kapitel 8: Abstandsberechnungen
  • Kapitel 9: Lageuntersuchungen
  • Kapitel 10: Kreise und Kugeln
  • Kapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur


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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Mathematik :: Schule :: Analytische Geometrie :: Schüler aufwärts :
    Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren [von hugoles]  
    Zweiter Teil der Serie "Lineare Algebra und analytische Geometrie". Hier gibt es eine verständliche und sehr ausführliche Einführung in die analytische Geometrie, also in das weite Gebiet der Vektoren. Addition, Subtraktion und S-Multiplikation von Vektoren ist nur ein kleiner Ausschnit des Artikels.
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
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    201201-01 (405x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=vector aus zwei punkte
    201303-03 (382x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CB4QFjAC
    201402-02 (382x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie zeichnet man vektoren
    201208-08 (369x)http://google.dk/imgres?q=subtraktion af vektorer
    2013-2018 (367x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
    201403-03 (350x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vervielfachung von vektoren beweis
    201304-04 (339x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CBUQFjAB
    201305-05 (309x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeichnerisch beweis von assoziativgesetz ve...
    201401-01 (306x)http://google.li/url?sa=i&rct=j&q=
    201309-09 (295x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie zeichnet man vektoren in ein koordinate...
    201212-12 (290x)http://google.lu/imgres?sa=X&tbo=d&biw=1680&bih=965&tbm=isch&tbnid=NqCXJKxUmr...
    201306-06 (286x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CA0QFjAA
    201207-07 (250x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeichnerische darstellung von vektoren
    201311-11 (249x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=
    201310-10 (247x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=punkte und vektoren im koordinatensystem
    2014-2015 (232x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=
    201308-08 (223x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CC0QFjAB
    201409-09 (152x)http://google.ru/url?sa=i&rct=j&q=punkte vektoren koordinatensystem
    201503-03 (147x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&ved=0CC0QFjAG
    201501-01 (143x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCMQFjAD
    201405-05 (138x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&ved=0CDoQFjAF
    201504-04 (129x)http://google.it/
    201505-05 (127x)http://google.se/url?sa=t&rct=j&q=
    201410-10 (123x)http://google.kz/url?sa=t&rct=j&q=
    201506-06 (122x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&ved=0CDMQFjAI
    201307-07 (113x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeichnerisch vektorrechnung im raum
    201404-04 (108x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDEQFjAC
    201411-11 (107x)http://google.pt/search?q=vektoren im koordinatensystem
    2012-2015 (98x)http://www.onlinemathe.de/forum/kartesisches-Koordinatensystem-7
    201406-06 (92x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CDIQFjAH
    2015-2017 (90x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
    202103-03 (86x)https://google.es
    202101-01 (68x)https://google.lt
    201509-09 (56x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=welche der auf dem quader e...
    201408-08 (49x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=11&ved=0CDkQFjAK
    202010-10 (42x)https://google.ro
    201407-07 (41x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=punkte dreidimensionalen koordinatensystem
    201510-10 (37x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
    201507-07 (33x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAAahUKEwiy59DW9uzGAhWE73...
    201508-08 (33x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
    2012-2014 (27x)http://www.xnamag.de/article.php?aid=29
    201511-11 (24x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=Pfeile vektor unterschied f...
    201601-01 (23x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&rct=j&q=vektoren im koordinatensyst...
    201602-02 (21x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=19&rct=j&q=vektor pfeil
    201604-04 (19x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=verkürzungsfaktor mathe
    201603-03 (19x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=zeichnen sie drei pfeile de...
    201705-05 (18x)http://google.dk/url?sa=i&rct=j&q=
    201512-12 (17x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=unterschied zwischen pfeil ...
    201701-01 (14x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
    201804-04 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=einführung dreidimensionales koordianten...
    2012-2018 (12x)http://www.virtual-maxim.de/mathematik-fur-spieleprogammierer-vektoren/
    201608-08 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=aus zwei punkten einen vektor bilden
    2012-2014 (11x)http://int.search-results.com/web?l=dis&locale=en_EN&o=100000049&q=einführ...
    201605-05 (10x)http://google.dk/search?q=vektor subtraktion
    201609-09 (10x)http://google.sk/url?sa=t&rct=j&q=
    201803-03 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=punkt als vektor schreiben
    201708-08 (9x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
    2012-2013 (9x)http://search.conduit.com/Results.aspx?q=dreidimensionales koordinatensystem&...
    202102-02 (7x)https://www.schulbistum.de
    2020-2021 (7x)https://www.bing.com/
    202102-02 (7x)https://www.schulbistum.de/
    201712-12 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=analytische geometrie vektorrechnung
    201806-06 (6x)http://google.com/search
    2018-2019 (5x)http://google.com/
    201412-12 (4x)http://de.images.search.yahoo.com/search/images;_ylt=A9mSs3BAo4VUrksAB.cxLCM5...
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    "Mathematik: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren" | 26 Comments
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    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Martin_Infinite am: Sa. 16. September 2006 15:33:55
    \(\begingroup\)
    Hi Florian + Hugoles,

    schön geschrieben, v.a. die Dialogform ist eine nette Idee. Habe noch eine Frage: Aus welcher Quelle bezieht ihr die Begriffe Neutralitätsgesetz und Inversitätsgesetz?
     
     Gruß
    Martin\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Spock am: Sa. 16. September 2006 15:46:10
    \(\begingroup\)
    Hallo Sven, hallo Florian,

    was soll ich nach dem dritten Durchlesen sagen? Ich bin sprachlos. Das ist ein pfiffig geschriebenes, didaktisch und fachlich absolut schönes Kapitel "Eures MP-Buches". Ich erwarte gar keine Steigerung mehr bei den nächsten Kapiteln, :-)

    Liebe Grüße
    Juergen\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: hugoles am: Sa. 16. September 2006 16:08:53
    \(\begingroup\)
    Hallo Martin, hallo Juergen.
    Danke für eure Kommentare und Komplimente.

    Es freut mich überaus, dass die Art, wie der Artikel geschrieben ist, bei euch beiden so gut ankommt, ich war ehrlich gesagt etwas skeptisch.

    @Juergen: "Ich erwarte gar keine Steigerung mehr bei den nächsten Kapiteln" Das soll uns anspornen, doch noch eine Steigerung zustande zu bringen. 😉 Wir werden sehen.

    Gruß!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Sa. 16. September 2006 16:17:11
    \(\begingroup\)
    Hi Martin, hi Juergen,
    auch ich möchte mich für die netten Kommentare bedanken.

    @Martin
    Die Quelle für die Begriffe "Neutralitätsgesetz" und "Inversitätsgesetz" war mein Matheheft aus der 12. Klasse. Habe gerade noch einmal nach geschaut: Diese Begriff stammen aus diesem schönen Schulbuch.

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: da_bounce am: Sa. 16. September 2006 22:54:35
    \(\begingroup\)
    Moin Leute, ja auch von mir wie ich ja schon gesagt habe super geschrieben und siehste hugoles die Dialogform kommt gut an ^^


    mfg bounce\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Nodorsk am: So. 17. September 2006 15:43:47
    \(\begingroup\)
    Hallo,

    also ich muss schon sagen, das ist eine der besten
    Einführungen in das Thema was man im Internet dazu finden kann.
    Auch ist es alles sehr hübsch dargestellt,
    ich würde es Schülern empfehlen ;)
    Wie auch bei eurem letzten Artikel, man kann gespannt
    auf die Fortsetzung sein.

    Gruß
    Marc\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: KingGeorge am: Mo. 18. September 2006 22:20:40
    \(\begingroup\)
    Hallo Sven und Florian,

    wenn ich so Artikel schreiben könnte, würde ich sie ohne Unterlaß produzieren.

    Respekt.

    lg
    Georg\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: hugoles am: Di. 19. September 2006 06:47:37
    \(\begingroup\)
    Marc und Georg,
    das ist mir jetzt schon fast peinlich, wie wir hier mit Lob überschüttet werden.... Danke euch!
    Ihr gebt uns die große Last mit auf den weiteren "Artikelweg"

    @Georg, ich würde auch gerne mehr Artikel schreiben, habe zwei weitere auf Halde, aber die Zeit ist sehr knapp....\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: So. 24. September 2006 19:28:17
    \(\begingroup\)
    Auch von mir nochmal: Danke für die netten Worte. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: NotInterested am: Sa. 30. September 2006 10:27:30
    \(\begingroup\)
    Hallo ihr beiden,

    sehr schön geschrieben!

    P.S. Ich würde mir keine Gedanken wegen der Last machen @hugoles, schreibt einfach so weiter.\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Mi. 04. Oktober 2006 21:14:57
    \(\begingroup\)
    @NotInterested
    Auch dir möchten wir für das nette Lob danken. :-)

    Wir sprechen uns beim nächsten Teil der Serie. :-D

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 19. Oktober 2006 12:30:01
    \(\begingroup\)
    einfach nur GUT !!!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Mo. 23. Oktober 2006 21:03:49
    \(\begingroup\)
    Hi Anonymous,
    auch dir danke für die netten Worte. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Hans-im-Pech am: Di. 24. Oktober 2006 12:09:50
    \(\begingroup\)
    Glückwunsch Euch beiden für diesen Klasse-Artikel.

    Es gibt ja einiges vom selben Inhalt, aber ich persönlich kenne nichts, was didaktisch besser gemacht ist, als Euer Artikel!

    Viele Grüße,
    HiP
    \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 03. November 2006 23:28:18
    \(\begingroup\)
    Hey Ihr da draußen!
    Wirklich, wirklich klasse Arbeit. So mancher Lehrer und Schulbuchautor könnte sich hiervon eine Scheibe abschneiden.\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Mo. 06. November 2006 21:01:29
    \(\begingroup\)
    Hallo Hans-im-Pech und Anonymus,
    danke für das nette Lob. Das stärkt uns in unserer Arbeit und bald wird auch der dritte Teil erscheinen. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. Dezember 2006 13:14:36
    \(\begingroup\)
    Eine sehr gut strukturierte, nachvollziehbare, verständliche und ausführliche Einführung in die analytische Geometrie. 1A!! Ich als jemand der das Thema noch nie hatte, hab die ganze Logik nachvollziehen können. Hut ab, weiter so!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Merovaeus am: So. 10. Dezember 2006 00:00:52
    \(\begingroup\)
    Wir nehmen dieses Thema gerade durch und ich kann mich meinen Vorrednern nur anschließen. Eine wirklich gut gelungene Darstellung der Sachverhalte. Weiter so!

    MfG
    Merovaeus\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Mi. 20. Dezember 2006 16:15:29
    \(\begingroup\)
    Euch beiden vielen Dank für die netten Worte. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 27. Februar 2007 22:25:30
    \(\begingroup\)
    In 3.3.2 (Vervielfachen der Vektoren) taucht das Wort a propri auf, Herr Immanuel Kant wäre sehr beleidigt, es heißt a priori!!!! 😐\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 27. Februar 2007 22:32:34
    \(\begingroup\)
    😄 Hallo ich bins, Clara.

    Du hast suuuuper, geschrieben, besonders das 8. Kochrezept war toll (die gefüllten Apfeltaschen)! Schmatzer. 😁  😁  😁  😁  😁\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: matroid am: Di. 27. Februar 2007 22:41:17
    \(\begingroup\)
    Hi Clara,

    bitte Privatunterhaltungen nicht hier, es versteht ja keiner.
    Mit welchen von den beiden Autoren sprichst Du?

    Gruß
    Matroid
    \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: morri am: Do. 26. April 2007 12:14:36
    \(\begingroup\)
    Super Beschreibung , viel besser als im buch und wahrscheinlich auch vuiel ausführlicher :D\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: FlorianM am: Do. 26. April 2007 12:21:28
    \(\begingroup\)
    Danke morri.  😉 Ein sehr netter Kommentar. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: occhio am: Sa. 05. April 2008 18:55:04
    \(\begingroup\)
    Danke Euch Beiden für den übersichtlich und chronologisch aufgebauten Artikel, der sehr gut zum Selbststudium geeignet ist. Eine Frage möchte ich noch anfügen:
    in der Inhaltsangabe findet sich Punkt 3.2.3 Winkel zwischen Vektoren; habt Ihr die Möglichkeit, diesen noch einzufügen ?

    lG occhio 😎\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. Juni 2013 12:20:19
    \(\begingroup\)
    Hi Florian und Hugoles, ich bin euch echt dankbar für diesen Artikel, so gut habe ich dieses Thema noch nirgendwo im Internet gefunden, bin froh, dass ich einiges jetzt dank euch verstanden habe  :-)













    \(\endgroup\)
     

     
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