Mathematik: Der Satz von Carnot (Teil 4)
Released by matroid on Fr. 13. Oktober 2006 19:12:20 [Statistics]
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Mathematik

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Vergessene Sätze am Dreieck
(Teil 4): Der Satz von Carnot


Hallo Geometrie – Freunde,
dieser Artikel soll euch einen kleinen, aber sehr interessanten, und ich denke nicht allzu bekannten Satz am Dreieck etwas näher bringen.

Die Grundidee lautet wie folgt:
Welche Beziehungen müssen gelten, wenn sich drei senkrechte Geraden auf den Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden?
Einen Sonderfall kennt jeder: Die Höhen, die sich im Höhenschnittpunkt schneiden. Aber wie kann man das verallgemeinern?

Mit dieser Frage beschäftigt sich der vierte Teil meiner kleinen Serie "Vergessene Sätze am Dreieck"


Inhalt
1 Satz von Carnot
1.1 Der Satz an sich
1.2 Wie ist er zu beweisen?
1.3 Sein Umkehrsatz
1.4 Der Beweis seines Umkehrsatzes
2 Abschluss



1 Der Satz von Carnot


Wie im Einleitungstext beschrieben, hat sich Carnot die Frage gestellt, welche Beziehung zwischen Streckenabschnitten am Dreieck gelten muss, sich drei senkrechte Geraden auf den Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden.
Den Sonderfall haben wir im Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck betrachtet. Das sind nämlich die Höhen, die sich im Höhenschnittpunkt schneiden.

1.1 Der Satz an sich


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1.2 Wie ist er zu beweisen?


Um den Satz zu beweisen, benutzen wir Grundlagen, die ihr in der Mittelstufe gelernt haben solltet.
Abb.1 Der Satz von Carnot
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1.3 Sein Umkehrsatz


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1.4 Der Beweis des Umkehrsatzes


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Damit fallen R und R' zusammen und wir haben bewiesen, dass sich die Lote bei Gültigkeit der Gleichung in einem Punkt schneiden.
q.e.d.


Der interessierte Leser sei aufgefordert, nun die Summe der Abstände vom Umkreismittelpunkt eines Dreiecks zu berechnen. Auch hier kann der Satz von Carnot angewendet werden.

Kleiner Zusatz


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Carnot Zusatz
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Carnot Zusatz

Alle Abbildungen und Beweise habe ich dem Buch "Ein-Blick in die Mathematik" entnommen.

2 Abschluss


Dies war nun ein kurzer Artikel. Der folgende wird wieder etwas länger und mehrere Sätze beinhalten.
Im nächsten Artikel werden wir uns mit der Eulerschen Gerade und dem Neunpunktekreis beschäftigen.

Euer
Florian Modler




Trennlinie
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 1): Satz von Ceva und Menelaus und Sinussatz

-> Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues



 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch

Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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Der Satz von Carnot (Teil 4) [von FlorianM]  
Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Der Satz von Carnot Hallo Geometrie – Freunde, dieser Artikel soll euch einen kleinen, aber sehr interessanten, und ich denke nicht allzu bekannten Satz am Dreieck etwas näher bringen. Die Grundidee lautet wie folgt: Welche Beziehungen müssen gelten, wen
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"Mathematik: Der Satz von Carnot (Teil 4)" | 11 Comments
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Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: briefkasten am: Fr. 13. Oktober 2006 20:16:19
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Hi FlorianM,

ich muss dir ehrlich gestehen, dass ich garnicht gewusst habe, dass es soviele Sätze am Dreieck gibt ;-)
Der Artikel ist natürlich wieder perfekt geschrieben... Einfach unglaublich, wie du die Mathematik in Worten fasst.

Vielen Dank...
Mfg bRi3fK4sTeN\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: FlorianM am: Sa. 14. Oktober 2006 08:44:06
\(\begingroup\)
Hi briefkasten,
vielen Dank für die netten Worte. Dann habe ich ja mein Ziel erreicht, dass du erstaunt bist, wie viele Sätze es am Dreieck gibt. Es werden noch einige und jetzt dann auch mehr bekanntere Sätze folgen. :)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: Martin_Infinite am: Sa. 14. Oktober 2006 12:59:08
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@briefkasten: bibliothek? ;)\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: Eckard am: Mo. 16. Oktober 2006 20:00:25
\(\begingroup\)
Hi Florian,

deine Artikelserie ist prima, sie verhindert (zumindest für eine kurze Zeit :-)) genau das, was die Überschrift sagt: Elementargeometrie vergessen. Deswegen, lass weitere Artikel folgen.

Trotzdem habe ich zwei kleine, rein sprachliche Anmerkungen: du schreibst "Wenn sich drei Lote in einem Punkt schneiden ...". Drei Lote, wovon? Ich verbinde "Lot fällen" immer mit "Fälle das Lot von einem Punkt auf eine Gerade". Dann ist aber diese Formulierung trivial. Was du meinst, würde ich so nennen: "Wenn sich drei senkrechte Geraden auf den Dreieckseiten in einem Punkt schneiden ...". Hier erscheint der Sachverhalt nicht trivial, sondern spannend. Ok, das mag nur sprachlicher Zauber sein (der ohnehin regional verschieden ist).

Das zweite ist: "..., besteht zwischen den Geraden BP, CQ, ...". Das sind zweifellos Strecken(längen). Eine Gerade hat aber keine Länge. Ich denke, hier solltest du etwas umformulieren.

Wie gesagt, deine Serie ist toll, mach weiter so.

Gruß Eckard

PS: Achso, und Punkt 3 ist: du schreibst "Welche Beziehungen müssen willkürlich gefällte Lote ...". Die Carnotsche Gleichung enthält aber gerade nicht die Längen der Lote, sondern nur die Längen der Abschnitte auf den Dreieckseiten. Ceva lässt grüßen! 😉\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: FlorianM am: Di. 17. Oktober 2006 07:42:38
\(\begingroup\)
Hi Eckard,
danke für deine konstruktive "Kritik".
Einige Dinge habe ich schon übernommen. Der Rest folgt heute Nachmittag. :) (Auch Tetris hatte mich schon auf den Punkkt mit den Streckenlängen aufmerksam gemacht, danke euch beiden.)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: Tetris am: Di. 17. Oktober 2006 13:55:34
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Hallo Florian!
Ein paar kleine Anmerkungen, die mir beim Lesen eingefallen sind:

Im Artikel heisst es: "Einen Sonderfall kennt jeder: Die Höhen, die sich im Höhenschnittpunkt schneiden." Es gibt noch einen weiteren bekannten Sonderfall, die Mittelsenkrechten! (vgl. Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck, 1.4 :-)

Analog zum Höhenfußpunktdreieck kann man auch das Seitenmittendreieck oder eben allgemeiner die Lotfußpunktdreiecke betrachten. Weiß man irgendetwas über diese Dreiecke und ihre Beziehungen zum Ausgangsdreieck?

Gilt der Satz von Carnot auch noch, wenn der Lotausgangspunkt X nicht im Inneren des Dreiecks liegt, sondern auf dem Rand, außerhalb des Dreiecks oder gar außerhalb der Dreiecksebene? Und wenn ja, was kann man damit anfangen?

Lg, T.
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Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: FlorianM am: Di. 17. Oktober 2006 14:55:36
\(\begingroup\)
Hi Tetris,
danke für deine Anmerkungen.
Habe nochmal folgendes hinzugefügt:

Kleiner Zusatz


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Carnot Zusatz
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Carnot Zusatz

Alle Abbildungen und Beweise habe ich dem Buch "Ein-Blick in die Mathematik" entnommen.

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: Bernhard am: Mi. 18. Oktober 2006 20:09:16
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Hallo Florian!

Ich bin ja kein Serien-Fan, jedenfalls nicht was das Fernsehen betrifft...
Aber die hier auf diesem Bildschirm find ich klasse, mal eine Mischung aus Auffrischung, Wiederentdeckung und Neuigkeiten. Und trotzdem nicht langweilig!

Bei Deinem "Kleinen Zusatz" bin ich allerdings etwas hängengeblieben:
Was ist hier mit "Sehnenviereck" gemeint? Bei AMOL z.B. ist keine der Seiten AM, MO, OL oder LA eine Sehne. Das sind nur die Seiten Dreiecks ABC. Oder meintest Du etwas anderes damit.

Aber trotzdem bin ich gespannt auf die nächste Folge.

Bernhard\(\endgroup\)
 

mathematik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 13. März 2008 18:14:58
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i hade mathematik for ever kapisch\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: FlorianM am: Do. 13. März 2008 18:19:14
\(\begingroup\)
Hi,
das ist aber auch kein gutes Englisch. :P :-D

Schade, die Mathematik ist so schön. :)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Carnot (Teil 4)
von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 03. Oktober 2014 20:16:10
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Schöne Reihe\(\endgroup\)
 

 
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