Mathematik: Brauchen wir die vollständige Induktion?
Released by matroid on Do. 12. Juli 2007 12:20:22 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Wozu denn vollständige Induktion? Kann man nicht wenigstens im Schulunterricht auf dieses Axiom verzichten? Manche Lehrer würden das ganz gerne tun. Die Antwort auf diese Frage folgt aus der Überlegung: Außer den geraden und den ungeraden gibt es möglicherweise auch noch Ulkuszahlen, die weder gerade noch ungerade sind. Es ist aber bekannt, dass der Bereich zwischen 1 und 2553554 hoch 56674439886 ulkuszahlenfrei ist. Sind die Ulkuszahlen nun ein Krebsgeschwür in den natürlichen Zahlen oder ein Ulk? Man finde ein Argument ohne Benutzung des Axioms von der vollständigen Induktion.

\(\endgroup\)
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"Mathematik: Brauchen wir die vollständige Induktion?" | 14 Comments
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Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: valentin am: Do. 12. Juli 2007 12:51:14
\(\begingroup\)Ich sehe nicht, wie man die Nichtexistenz von Ulkuszahlen mit Induktion einfacher beweisen kann als ohne... -- Valentin \(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: Supertramp am: Do. 12. Juli 2007 14:18:53
\(\begingroup\)Mir war auch nicht klar, dass die vollständige Induktion ein Axiom ist. Ist sie nicht ein Spezialfall der noetherschen Induktion, welche man auch korrekt formal beweisen kann?\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: egndgf am: Do. 12. Juli 2007 14:35:40
\(\begingroup\)@Supertramp: Was setzt du denn bei deinem Beweis voraus? Normalerweise setzt man das Axiom von der vollständigen Induktion oder eine dazu äquivalente Aussage voraus (z. B. dass N mit der gewöhnlichen Ordnung eine Wohlordnung ist oder dass es eine induktive Menge gibt). MfG, egndgf\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: trunx am: Do. 12. Juli 2007 14:38:51
\(\begingroup\)Hi, was ist denn das für ein merkwürdiger Artikel!? 😮 Informationen gleich Null - was sollen denn Ulkuszahlen sein oder hab ich wieder den 1. April verpasst? Oder haben wir hier den neuen (u)buh? bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: teilnehmer am: Do. 12. Juli 2007 14:50:43
\(\begingroup\)Hallo, das ist alles eine reine Definitionssache 😁 : Gerade = durch 2 teilbar Ungerade = nicht gerade (wie schon das Präfix "un" besagt) Was wir also brauchen, ist nicht die vollständige Induktion, sondern den Satz vom ausgeschlossenen Dritten! 😄 (tertium non datur) Ach ja, die vollständige Induktion brauchen wir für viele andere Dinge in der Mathematik und ist dort im Grunde genommen um vieles wichtiger als andere Dinge, die wir sonst noch in der Schule lernen. Das muss angesichts dieses Artikels auch noch gesagt werden. Viele Grüße, Mirko\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: cow_gone_mad am: Do. 12. Juli 2007 14:50:50
\(\begingroup\)Angenommen es existiert eine Ulkuszahl... *hat ein neues Teilgebiet der Mathematik eröffnet* 😉 Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: Cerebus am: Do. 12. Juli 2007 22:44:20
\(\begingroup\) Was sind natürliche Zahlen? Die üblichen Definitionen laufen darauf hinaus dass die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste menge ist die 0 enthält und mit jedem n auch n+1, Induktion ist also in den natürlichen Zahlen mehr oder weniger eingebaut. lg. Michi \(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: SAMdlx am: Fr. 13. Juli 2007 19:15:02
\(\begingroup\)gehen wir mal von der definition k gerade: k=2n, k ungerade: k=2n+1 aus. (anderenfalls macht die aufgabe keinen sinn, wobei das unterfangen etwas über die natürlichen zahlen ohne induktion zeigen zu wollen grundsätzlich problematisch ist, da diese ja gerade über die induktion definiert werden..) dann kann man die existenz von ulkuszahln indirekt widerlegen: wenn u die kleinste ulkuszahl ist, ist u-1 (un)gerade - daraus folgt aber, dass u ungerade (gerade) ist.\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: Cerebus am: Fr. 13. Juli 2007 20:53:05
\(\begingroup\)Das eine kleinste Ulkuszahl existiert setzt implizit vorau dass die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, was äquivalent zum Prinzip mathematischer Induktion ist.\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: trunx am: Fr. 13. Juli 2007 22:14:46
\(\begingroup\)Hi, nun hab ich's auch verstanden. Ulkuszahlen in den natürlichen Zahlen zu finden, ist aber so nicht der richtige Weg, genauso wenig wie er es wäre, innerhalb der natürlichen Zahlen eine echte rationale Zahl zu finden. Der Weg läuft üblicherweise über die Hinzufügung eines neuen Axioms, etwa "Es gibt eine (verallgemeinerte) natürliche Zahl, die weder gerade noch ungerade ist." Der Charakter der natürlichen ändert sich durch dieses Hinzufügen automatisch hin zu den (verallg.) nat. Zahlen. Über diese Zahlen, die dann Ulkuszahlen genannt werden können, können wir folgendes sicher wissen: 0 ist keine Ulkuszahl. 1 ist keine Ulkuszahl. 2 ist keine Ulkuszahl. ... D.h. es ist klar, dass in jeder endlichen Teilmenge von IN keine Ulkuszahl enthalten ist; die im Artikel angegebene Grenze zeugt irgendwie weiter von Unverständnis gegenüber dem axiomatischen Aufbau der Zahlenmengen. Im sehr interessanten Buch "Gödel, Escher, Bach" von Hofstadter werden auf ganz ähnliche Weise die übernatürlichen Zahlen eingeführt, leider nur am Rande. Im Prinzip wird auf diese Weise eine neue Zahlenmenge erzeugt, analog wie man aus den natürlichen Zahlen durch axiomatische Erweiterung die rationalen, reelen oder komplexen Zahlen erzeugt - die Ulkuszahlen existieren dann praktisch zwischen oder parallel oder senkrecht oder ... zu den natürlichen Zahlen. Mit ihnen kann man dann auch rechnen Ulkuszahl + 1 ist wieder eine Ulkuszahl, auch Ulkuszahl / 2 ist eine usw. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: SAMdlx am: Fr. 13. Juli 2007 22:38:30
\(\begingroup\)@ Ceberus ganau das meinte ich mit "das unterfangen etwas über die natürlichen zahlen ohne induktion zeigen zu wollen ist grundsätzlich problematisch, da diese ja gerade über die induktion definiert werden.." irgendwie beißt sich die problemstellung in den schwanz\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 30. August 2007 16:31:31
\(\begingroup\)Ein verwandtes Thema ist die Frage, ob man beim Zählen nicht gewisse natürliche Zahlen "übersehen" kann, weil man sie nicht "trifft". Diese sind ebenfalls natürlich, liegen aber auf einem Zahlenstrahl, der sozusagen prallel zum bekannten Zahlenstrahl verläuft. Auch sie haben allen einen Nachfolger, beginnen aber bei einer Zahl, die Nachfolger keiner anderen ist und alle haben verschiedne Nachfolger. Die Ulkuszahlen sind übrigens in den letzten 30 Jahren durch bessere Medikamente gesunken. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: BlakkCube am: Mi. 23. Januar 2013 05:47:51
\(\begingroup\)Geht das Folgende (oder übersehe ich hier was?): Sei n eine Ulkuszahl. Dann gibt es eine (endliche) Menge der Mächtigkeit n (z.B. {1,...,n}. Sei k die größte gerade Zahl < n. Betrachte dann M:={1,...,n}\{1,...,k}. Falls #M>=2, dann ist auch k+2 in M eine gerade Zahl. Widerspruch. Also ist #M=0 oder #M=1. Sei #M=1. Dann ist M={n} und aber n=k+1. Da k gerade ist, existiert eine Zahl l mit 2l=k und somit n=k+1=2l+1. Also ist n ungerade und kann keine Ulkuszahl sein. Im Übrigen ist M leer im Falle #M=0, was auch die Existenz einer Ulkuszahl widerlegen würde. Ist in diesem Beweis jetzt ein logischer Fehler? Gruß vom Würfel.\(\endgroup\)
 

Re: Brauchen wir die vollständige Induktion?
von: Cluso am: Mi. 06. März 2013 18:32:29
\(\begingroup\)Brauchen wir vollständige Induktion? Ja, oder kann man auch ohne die Induktion die Beweise die sie benutzen "aufschreiben"? Falls ja: Was wäre das bei Fermats letztem Satz! 😄 Gruß Cluso\(\endgroup\)
 

 
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