Mathematik: Integrale vektorwertiger Funktionen
Released by matroid on Mo. 23. Juli 2007 14:15:49 [Statistics]
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Analysis

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ntegration vektorwertiger Funktionen I: Das Bochner-Integral


Die Integrationstheorie, die man im Grundstudium kennenlernt, beschränkt sich meist auf das Lebesgue-Integral.

Dieses hat sich in der Vergangenheit als äußerst zufriedenstellender Integralbegriff für reellwertige Funktionen herausgestellt, der etwa gegenüber dem Riemann-Integral klar im Vorteil ist, z.B. durch die Vollständigkeit der fed-Code einblenden -Räume und die Einbeziehung von Funktionen mit einem beliebigen Maßraum als Definitionsbereich.

Jedoch ist es in einigen Anwendungen z.B. aus der Physik, der Stochastik oder der Funktionalanalysis wünschenswert, noch allgemeinere Begriffe zur Verfügung zu haben, um auch Funktionen integrieren zu können, die ein umfangreicheres Spektrum von Wertebereichen abdecken.

Ich möchte in diesem Artikel das so genannte Bochner-Integral vorstellen, welches den Begriff des Lebesgue-Integrals auf gewisse Banachraum-wertige Funktionen verallgemeinert.



Inhalt


Ich möchte unbedingt voran stellen, dass man eine gewisse Übersicht über das Lebesgue-Integral, seine Konstruktion und seine Eigenschaften haben sollte, um die Beweise und Ideen des Bochner-Integrals zu verstehen.


Warum Banachräume?



Wir haben uns also als Ziel gesetzt, das Lebesgue-Integral für Funktionen mit weiter gefasstem Wertebereich zu verallgemeinern. Es stellt sich die Frage, wie weit gefasst denn diese Wertebereiche überhaupt sein dürfen, damit wir einen "vernünftigen" Integralbegriff bekommen können.

Ein sinnvoller Integralbegriff muss auf jeden Fall Linearitätseigenschaften haben, d.h. mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sein. Wir brauchen also einen Vektorraum, das ist unserer erste Einschränkung. Um vernünftig Analysis betreiben zu können, brauchen wir aber mehr als das. Wir brauchen einen Stetigkeitsbegriff, also eine Topologie, die natürlich mit der Vektorraumstruktur verträglich sein sollte.

Es gibt nun verschiedene Ansätze, die von hier aus weiter gehen. Unser Ansatz wird die bekannte Vorgehensweise zum Lebesgue-Integral imitieren und das Integral einer Funktion als Limes von Integralen einfacherer Funktionen zu beschreiben. Daher brauchen wir einen Raum, indem wir vernünftig mit Folgen umgehen können.
Es sollte also ein topologischer Vektorraum sein, der mindestens erst-abzählbar und Hausdorff ist, damit wir topologische Eigenschaften durch Folgen beschreiben können und deren Grenzwerte auch eindeutig bestimmt sind.

Das alleine reicht schon aus, damit der betrachtet Vektorraum metrisierbar ist (Für einen Beweis verweise ich wieder einmal auf mein Notizbuch). Man kann die Metrik sogar so wählen, dass sie unter Addition invariant ist, d.h. es gilt:
fed-Code einblenden
Ein Vektorraum, auf dem eine solche Metrik definiert ist und bezüglich derer die Skalarmultiplikation stetig ist, wird auch metrischer Vektorraum genannt. (Die Addition ist automatisch stetig in solchen Räumen)

Damit sind wir schon gar nicht mehr weit entfernt von einem normierten Raum. Und genau solche Räume wollen wir betrachten. Richtig Spaß macht das natürlich erst bei vollständigen, also Banachräumen.


Zusammenfassend fordern wir also von den Vektorräumen, die wir hier betrachten, dass sie Banachräume sind.



Messbare und separable Abbildungen



In diesem Abschnitt wollen wir ein paar grundlegende Sachen über Messbarkeit von Funktionen und ihre topologischen Eigenschaften herausfinden. Dazu brauchen wir vorerst nicht, dass X normiert ist. Wir werden meist mit der Topologie alleine oder dem metrischen Raum auskommen.

fed-Code einblenden


Wir werden uns nun ein wenig genauer mit der Verbindung von Messbarkeit und Separabilität widmen.

Wie schon gesagt, werden wir uns vor allem über Folgen den Problemen der Integration nähern. Daher beweisen wir jetzt:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



Das sind eigentlich nur topologische Grundlagen bisher... kümmern wir uns nun ein bisschen um die Vektorraumstruktur und ihr Zusammenspiel mit Messbarkeit und Separabilität:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Im Zusammenspiel mit dem Lemma davor wissen wir also auch, dass Reihen von separablen Funktionen separabel sind.

Aber warum beschäftigen wir uns überhaupt mit separablen Funktionen? Die Messbarkeit ist ja noch einsichtig, aber wieso ist die anscheinend willkürlich ausgewählte Eigenschaft der Separabilität so wichtig? Dies werden wir nun sehen:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Wir hatten uns ja vorgenommen, das Integral einer Funktion durch einen Grenzwert einer Folge von Integralen einfacherer Funktionen zu definieren. Diese "einfachen" Funktionen sind natürlich die Elementarfunktionen.
Das Lemma hier sagt uns nun, welche Funktionen überhaupt in Frage kommen können für diesen Ansatz, nämlich genau die messbaren, separablen Funktionen.


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Die Integraldefinition



Ab jetzt arbeiten wir wieder nur mit Banachräumen.

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Eigenschaften des Integrals



Mit dieser Definition verhält sich das Bochner-Integral sehr ähnlich wie das Lebesgue-Integral:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



Schon bedeutender ist die nächste Eigenschaft, die zunächst erstmal unspektakulär daher kommt:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Neben vielen anderen Dingen, die man jetzt in völliger Analogie zum eindimensionalen Lebesgue-Integral zeigen könnte, möchte ich einige wenige der wichtigsten Hilfsmittel auf das Bochner-Integral übertragen. Als erstes den Konvergenzsatz von Lebesgue:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Nun beweisen wir noch den Satz von Fubini für Bochner-Integrale:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Ausblick



Für das Bochner-Integral gelten in der Tat die allermeisten Eigenschaften, die auch für das Lebesgue-Integral gelten und nicht von der speziellen Struktur der reellen Zahlen (etwa ihrer Anordnung) abhängen.
Da der Satz von Lebesgue zur Verfügung steht, kann man sogar die meisten Beweise direkt oder mit leichten Änderungen übernehmen.

So lassen sich noch viele schöne Eigenschaften des Bochner-Integrals zeigen, etwa die schon erwähnte Vollständigkeit der fed-Code einblenden -Räume.

Trotzdem ist das Bochner-Integral nicht das Ende der Fahnenstange. Praktisch jeder andere Integralbegriff für reellwertige Funktionen hat eine eigene Verallgemeinerung ins Mehrdimensionale. So kann man die Definition des Riemann-Integrals über Riemann'sche Summen eigentlich direkt auf normierte Räume übertragen.
Leider zeigen sich bereits hier schon Schwächen des Bochner-Integrals: Es gibt Riemann-integrierbare Funktionen auf [0,1], die nicht Bochner-integrierbar sind. Das liegt im Wesentlich daran, dass solche Funktionen keinen separablen Wertebereich haben.
fed-Code einblenden

Auch die Einschränkung auf Banachräume, wie wir sie hier vorgenommen haben, ist in einigen Anwendungen noch zu restriktiv. So betrachtet man etwa in der Funktionalanalysis die allgemeineren lokalkonvexen topologischen Vektorräume und definiert auf ihnen das so genannte Pettis-Integral:

fed-Code einblenden

Wie sehen an dieser Definition bereits, dass dies eine direkte Verallgemeinerung des Bochner-Integrals ist, denn Satz 6 sagt uns, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auch Pettis-integrierbar mit gleichem Integral ist.

Die Definition des Pettis-Integrals hat ihre Vorteile: Zum einen ist sie als axiomatische Definition oft einfacher in Beweisen zu verwenden. Außerdem ist jetzt auch jede Riemann-integrierbare Funktion auf kompakten Intervallen Pettis-integrierbar.

Andererseits sind die Existenzbeweise für das Pettis-Integral oftmals etwas tricky.
Ein weiterer Nachteil ist, dass die Pettis-integrierbaren Funktionen keinen vollständigen Raum mehr bilden. Er ist dafür "quasi-vollständig", d.h. jedes beschränkte Cauchy-Netz ist konvergent.
Während die Quasi-Vollständigkeit noch ein recht guter Ersatz für die Vollständigkeit ist, so ist das Fehlen von starken Konvergenzsätzen wie etwa dem Lebesgue'schen ein großes Manko des Pettis-Integrals, das die Arbeit damit sehr erschwert.

Ersetzt man im Punkt (a) der Definition des Pettis-Integrals "Lebesgue-integrierbar" durch einen anderen Integrierbarkeitsbegriff reellwertiger Funktionen, etwa den von Henstock, Kurzweil, Denjoy und Perron, so ergeben sich verschiedene Spielarten des Pettis-Integrals, die dann wieder diverse Verträglichkeitsschwierigkeiten untereinander haben.


Abschluss



Soviel zum Bochner-Integral. Es ist nur einer von vielen Ansätzen, die Integrationstheorie für reellwertige Funktionen auf vektorwertige Funktionen zu verallgemeinern. Das Interessante an diesem Ansatz ist aber seine ähnlich starke Aussagekraft wie sie das Lebesgue-Integral hat.

fed-Code einblenden


Zur Fortsetzung Integration vektorwertiger Funktionen II: Das Pettis-Integral
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: Analysis :: Integration :: Vektoranalysis :: Topologie :: Reine Mathematik :: Funktionalanalysis :: Mathematik :
Integration vektorwertiger Funktionen I: Das Bochner-Integral [von Gockel]  
Vorstellung des Bochner-Integrals, einer Verallgemeinerung des Lebesgue'schen Integralbegriffs auf bestimmte vektorwertige Funktionen. Beweis einiger grundlegender Sätze dazu.
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"Mathematik: Integrale vektorwertiger Funktionen" | 11 Comments
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Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: freeclimb am: Mo. 23. Juli 2007 21:34:59
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Schön. Sehr schön.

Der lockere, flüssige Stil, lässt in keiner Zeile Langeweile aufkommen. Gratuliere!
lg, freeclimb

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Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Cerebus am: Mo. 23. Juli 2007 21:48:56
\(\begingroup\)
Wow! Ich hätte nie erwartet, dass ich hier einen Artikel über Integration vektorwertiger Funktionen finden würde. Ich bin umso mehr erfreut. Ich war schon lange nicht mehr von einem Artikel derart begeistert.

Hier noch drei Anmerkungen:

1. Pettis-Integrale spielen auch in Banachräumen eine Rolle. Wegen der Rolle der Separabilität gibt die Menge der Bochner-integrierbaren Funktionen kein so genaues Bild wie die Menge der Pettis-integrierbaren Funktionen. Hier ist ein Beispiel aus der mathematischen Ökonomie, in dem der Unterschied eine Rolle spielt.

2. Die Banachraum-Version des verallgemeinerten Riemann-Integrals, das McShane-Integral, liegt, was Integrierbarkeit betrifft, strikt zwischen dem Bochner-Integral und dem Pettis-Integral, in reflexiven Banachräumen ist es sogar zu letzterem äquivalent. Es ist also durchaus möglich mit einem Riemann-artigen Integral zu arbeiten.

3. Die Originalarbeit von Salomon Bochner gibt es hier als PDF (auf Deutsch!).

lg. Michi\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Di. 24. Juli 2007 14:07:05
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Ein sehr leserlicher Artikel.

Eine kleine Anmerkung/Frage:

"Es gibt Riemann-integrierbare Funktionen auf [0,1], die nicht Bochner-integrierbar sind. Das liegt im Wesentlich daran, dass solche Funktionen keinen separablen Wertebereich haben."

Es dürfte nicht schwierig sein das Bochner-Integral dahingehend anzupassen. Die Separabilität wird ja nur gebraucht um die beiden Begriffe stark messbar (=Limes von messbaren simplen Funktionen) und topologisch messbar (Urbilder offener Mengen sind messbar) zu identifizieren. Im Originalartikel von Bochner wird, soweit ich das gesehen habe beim kurzen Überflug, nur mit der starken Messbarkeit gearbeitet. Wenn man ausserdem noch fordert, dass der zugrundeliegende Massraum vollständig ist, dann kann man die starke Messbarkeit noch abschwächen zu "fast überall Limes von messbaren simplen Funktionen".

Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Gockel am: Di. 24. Juli 2007 21:43:55
\(\begingroup\)
Hallo ihr drei.

Danke für das Lob, es freut mich zu hören, dass euch der Artikel gefällt.

@Monkfish:
Ja, die Separabilität ist in der Tat dazu da, um das Folgenargument benutzen zu können. Wie würdest du denn den Ansatz anpassen wollen? Ich hatte selbst schon überlegt, was man da machen könnte, sehe aber nicht so recht, was man da ändern könnte, um zu einem Erfolg zu gelangen.
Ich habe schon ein wenig drüber nachgedacht, ob man mit Netzen etwas erreichen kann, aber ich denke das bringt nichts, da es z.B. Netze messbarer Funktionen gibt, die gegen nicht-messbare Funktionen konvergieren.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Di. 24. Juli 2007 23:00:58
\(\begingroup\)
Ich würde gar nichts ändern 😄 .
fed-Code einblenden
Ich hatte irgendwie die (falsche) Implikation messbar => stark messbar im Kopf, na ja. Das pathologische Beispiel ("R-integrable Funktion auf [0,1] mit nicht separablem Bild") bleibt also pathologisch 😉 .

Grüsse\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: cow_gone_mad am: Sa. 28. Juli 2007 13:41:55
\(\begingroup\)
Man könnte auch einfach schwach werden. 😉 :-D

Liebe Grüsse,
cow_
\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Monkfish am: Sa. 28. Juli 2007 16:08:40
\(\begingroup\)
@cow_: Landet man dann nicht automatisch beim Pettisintegral? Dort benutzt man ja schwache Messbarkeit (was im separablen Fall übrigens das Gleiche sein dürfte wie messbar wegen Banach-Alaoglu)...

Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: cow_gone_mad am: So. 29. Juli 2007 19:30:44
\(\begingroup\)
Hallo Monkfish,

ich wollte nur dadrauf hinweisen, dass man per Standardtrick auch ein Integral hinbekommt. 😉  😉 Allerdings ist das vermutlich eher etwas für faule Säcke wie mich.:-D [Als kleine Erklärung für x in X, ist l(x) für x in X^\ast skalar, und man kann Lebesgue Integrationstheorie anwenden.]

Liebe Grüsse,
cow_
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Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Gockel am: Fr. 12. März 2010 19:34:44
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Herzlichen Dank geht an tack, der mich auf einen subtilen, aber gravierenden Fehler in Lemma 3 aufmerksam gemacht hat. Nach zwei Tagen Grübeln und ein paar eMails ist jetzt eine funktionierende Version vorhanden und wird gleich auch sichtbar sein, sobald matroid meine Änderungsanfrage freigegeben hat.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 16. Januar 2014 14:42:24
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Eine Einführung in die Bochner-Integration ohne Verwendung der Lebesque-Integration findet man unter  Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Dort wird auch das Birkhoff-Integral eingeführt und mit dem Bochner-Integral und dem Riemann-Integral verglichen. Des Weiteren wird nur ein Mengenring mit Prämaß im Definitionsbereich vorausgesetzt.\(\endgroup\)
 

Re: Integrale vektorwertiger Funktionen
von: AllenscheRegel am: Sa. 02. August 2014 20:40:01
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Ein sehr schöner Artikel, vielen Dank dafür!\(\endgroup\)
 

 
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