Stern Mathematik: Gelfand-Dualität ohne 1
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Mathematik

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Gelfand-Dualität ohne 1

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Eine Bemerkung vorweg: Es wird hier nicht um die Grundlagen und die Anwendungen der Gelfand-Dualität gehen (diese findet man etwa in "C*-Algebras and Operator Theory" von Gerard J. Murphy). Es ist nichts weiter als eine Ausarbeitung der genannten Aspekte, die in meiner Vorlesung und in der mir zur Verfügung stehenden Literatur zu kurz kamen.

Kompakte Räume sind per Definition hausdorffsch; insbesondere sind lokalkompakte Räume hausdorffsch.

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Wie man das elementar sieht, steht hier.

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Die Gelfand-Dualität liefert noch viele weitere Dualitäten, hier eine Zusammenfassung:

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: Mathematik :: Algebra :: Kategorientheorie :: Topologie :: C*-Algebren :: Reine Mathematik :
Gelfand-Dualität ohne 1 [von Martin_Infinite]  
Verallgemeinerung des Dualitätssatzes von Gelfand-Naimark auf kommutative C*-Algebren ohne 1. Diese sind zu lokalkompaktem Räumen dual. Ein Beweis dieser Dualität und einiger seiner Konsequenzen finet sich hier.
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2014-2016 (5x)http://math.stackexchange.com/questions/170984/are-commutative-c-algebras-rea...
201211-11 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=unitaler ringhomomorphismus

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"Stern Mathematik: Gelfand-Dualität ohne 1" | 10 Comments
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Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: gilgamash am: Do. 16. August 2007 17:07:29
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Hi Martin,

es ist toll, hier den Kategorien-Aspekt erläutert zu bekommen, der wahrhaftig in den FA-Vorlesungen (meist) unberücksichtigt bleibt. Besonders interessant fand ich das Beispiel zur Bestimmung der Ideale!

Gilgamash
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Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Martin_Infinite am: Fr. 17. August 2007 17:41:06
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Oh das freut mich, dass dir der Artikel etwas gebracht hat :).

Martin\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 22. September 2010 00:07:34
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hallo,
kannst du ein buch empfehlen in dem mehr darüber steht z.b. wie man auf die "Zusammenfassung" kommt?\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Martin_Infinite am: Mi. 22. September 2010 00:37:06
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Eine Standardreferenz ist wohl Murphys "C*-Algebras and Operator Theory". Manche Korrespondenzen ergeben sich direkt aus der kategoriell formulierten Gelfand-Dualität. Für eine kompakt-offene Teilmenge E von X ist die Funktion, die 1 auf E ist und 0 auf dem Komplement, eine Projektion. Kompaktifizierungen (Einpunkt, Stone-Cech) haben universelle Eigenschaften, die sich mittels der Dualität übersetzen (Unitalisierung, Multiplier Algebra). Das mit Injektion/Surjektion steht im Artikel. Die Korrespondenz zwischen Borelmaßen und positiven Funktionalen ist der Darstellungssatz von Riesz. Sind X,Y lokalkompakte Räume, so kann man sich mit Stone-Weierstraß überlegen, dass die offensichtliche Abbildung auf dem komplettierten Tensorprodukt C(X) (x) C(Y) -> C(X x Y) surjektiv und dann ein Isomorphismus ist. Kommutative C*-Algebren sind nuklear, daher ist es hier egal, welche der prominenten Tensorproduktnormen man verwendet.\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 22. September 2010 23:59:34
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Vielen Dank!\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. Oktober 2010 23:09:16
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Es gibt noch mehr Zusammenhänge ,z.b. ist X genau dann parakompakt wenn das ideal der funktionen mit kompaktem träger projektiv ist.
Seltsam das man dazu fast nichts in büchern etc. findet,zumindest in dieser Allgemeinheit.
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Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Martin_Infinite am: Do. 07. Oktober 2010 15:01:37
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@Anon: Vielleicht kannst du ja eine Quelle angeben?\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 07. Oktober 2010 21:06:56
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projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.mmj/1029000524

vllt ist das "deep result" ja dasselbe wie dein artikel,ich komm an das von bkouche nicht ran.\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: Martin_Infinite am: Fr. 15. Mai 2015 10:26:15
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Die Gelfand-Dualität ist übrigens falsch, wenn man alle *-Homomorphismen betrachtet:

math.SE/170984

Mein Artikel wird mittlerweile schon mehrmals bei mathoverflow, math.stackexchange und auch beim nlab zitiert; vielleicht sollte ich ihn mal ins Englische übersetzen ...

Nachtrag: Die englische Version ist mittlerweile im Artikel verlinkt.\(\endgroup\)
 

Re: Gelfand-Dualität ohne 1
von: epsilonkugel am: Mo. 17. April 2017 16:44:41
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Hallo,

ist zwar schon etwas her als ich mir diesen Artikel zum ersten Mal im Detail angeschaut habe, aber lande trotzdem immer mal wieder hier . Mir gefällt besonders die deutliche Betonung auf das kategorische und dass hier der nichtunitale Fall so ausführlich behandelt wird (insbesondere dass man im nichtunitalen Fall v.a. eigentliche Abbildungen betrachten muss), denn diese Aspekte scheinen häufig in der C*Algebren-Literatur unterzugehen oder garnicht erst richtig behandelt zu werden. Insgesamt habe ich das zur Gelfand-Dualität bisher nirgendwo besser als hier aufgeschrieben gesehen. Also, großes Lob von mir an diesen Artikel, der ist sehr gelungen!

Liebe Grüße

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