Mathematik: Eine interessante Formel
Released by matroid on Di. 08. Januar 2008 22:41:20 [Statistics]
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Analysis

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Eine interessante Formel

Step Funktion
In diesem Artikel soll an einem Beispiel gezeigt werden, wozu der Residuensatz fähig ist. Einleitend wird eine Darstellungsmöglichkeit der Theta-Funktion (oben im Bild) gezeigt. Die dadurch gewonnene Erkenntnis wird eingesetzt, um ein komplizierteres Integral zu berechnen. Dabei gelangt man unter anderem zu der Formel: sum((\lambda_i-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_i-\lambda_j),i!=j=1,n),i=1,n)=1
(für 0<\lambda_i<\inf , \lambda_i != 1 und \lambda_i != \lambda_j)
Wer mag, kann sich ja einmal an einem alternativen Beweis versuchen ;-)


1. Die Thetafunktion

Gesucht ist eine Funktion, mit der Vorschrift: \darkblue\ \frame\ \Theta(u)=cases(1,u>0;0,u<0 Behauptung:Folgende Integraldarstellung erfüllt die obige Bedingung:
\darkblue\ \frame\ \Theta(u)=1/(2\pi i) * \int(exp(z*u)/(z+\epsilon),z,-i\inf,+i\inf), wobei \epsilon->0 Beweis: \frame 1. Fall: u>0 Wählen wir jetzt einen Integrationsweg, welcher in der linken Halbebene der komplexen Ebene verläuft und dehnen ihn dann ins Unendliche aus, so ergibt sich mit dem Residuensatz: 1/(2\pi i) * \int(exp(z*u)/(z+\epsilon),z,-i\inf,+i\inf)=res_(-\epsilon)(exp(z*u)/(z+\epsilon))=exp(-\epsilon*u)->1 2. Fall: u<0 Dieses Mal schließen wir den Weg über die rechte Halbebene. Dort verschwindet beim Ausdehnen ins Unendliche der entsprechende Summand und es bleibt das gesuchte Integral. Da aber der Integrand auf diesem Gebiet holomorph ist, so ist 1/(2\pi i) * \int(exp(z*u)/(z+\epsilon),z,-i\inf,+i\inf) = 0. Damit haben wir eine Integraldarstellung der Theta-Funktion gefunden, welche es uns ermöglicht, das Integral in Kapitel 2 zu lösen.

Die Formel

Es ist immer wieder erstaunlich, wenn man sieht, welche Integrale sich mit Hilfe des Residuensatzes lösen lassen, z.B. dieses hier: \darkblue\frame \darkblue\label(1) Q(\lambda_i)=produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n) min[exp(-\sum(u_i,i=1,n)) ,exp(-\sum(\lambda_i*u_i,i=1,n))] \darkblue\ Dabei ist 0<\lambda_i<\inf , \lambda_i != 1 , i=1,...,n und \lambda_i!=\lambda_j. Zunächst wollen wir (1) ein wenig umformen: \frame Q(\lambda_i) =produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)min{exp(-sum(u_i,i=1,n)),exp(-sum(\lambda_i*u_i,i=1,n))} =produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)exp(-\sum(u_i,i=1,n)) min{1,exp(-\sum((1-\lambda_i)*u_i,i=1,n))} =produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)(\Theta(\sum((1-\lambda_i)u_i,i=1,n))*exp(-\sum(u_i,i=1,n))+\Theta(-\sum((1-\lambda_i)*u_i))*exp(-\sum(\lambda_i*u_i,i=1,n)) =produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)(\Theta(\sum((1-\lambda_i)u_i,i=1,n))*exp(-\sum(u_i,i=1,n))+produkt((int(produkt(1/\lambda_k,k=1,n),v_i,0,\inf)),i=1,n)(\Theta(\sum((1-1/\lambda_i)v_i,i=1,n))*exp(-\sum(v_i,i=1,n)) Im letzten Schritt wurde im zweiten Summanden v_i=\lambda_i * u_i gesetzt. Setzen wir nun den gesamten ersten Summanden als f(\lambda_i) , so ergibt sich: \label(2) Q(\lambda_i)=f(\lambda_i)+produkt(1/\lambda_k,k=1,n)*f(1/\lambda_i) Nun widmen wir uns der Auswertung der Funktion f. Dazu können wir die obige Definition der Thetafunktion verwenden und erhalten somit: \frame f(\lambda_i)=produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)(\Theta(\sum((1-\lambda_i)u_i,i=1,n))*exp(-\sum(u_i,i=1,n)) =1/(2\pi i) *produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n)*\int(1/(z+\epsilon)*exp(z*(sum((1-\lambda_i)*u_i-u_i,i=1,n))),z,-i\inf,+i\inf) =\int(1/(z+\epsilon)*1/(2\pi i)*produkt(-1/((1-\lambda_i)z-1),i=1,n),z,-i\inf,+i\inf) =1/(2\pi i)*\int(1/(z+\epsilon)*produkt(\rho_i/(z+\rho_i),i=1,n),z,-i\inf,+i\inf) Dabei wurde \rho_i=1/(\lambda_i-1) gesetzt. Dieses Integral lösen wir analog wie in Abschnitt 1. Der Unterschied ist jetzt lediglich, dass in der linken und rechten Ebene insgesamt n+1 einfache Pole auftauchen, da die Lambdas paarweise verschieden sind. Damit ergibt sich für den linken und rechten Weg: \frame \stress\1. Weg: Wir schließen links herum. Dann tragen \lambda_i > 1 bei (siehe Definition von \rho_i): f(\lambda_i)=sum(res(1/(z+\epsilon)*produkt(\rho_i/(z+\rho_i))) =1+sum(\rho_j/(-\rho_j+\epsilon)*produkt(\rho_i/(\rho_i-\rho_j),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j>1),n) ->1-sum(produkt((\lambda_j-1)/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j>1),n) =1-sum((\lambda_j-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j>1),n) \stress\2. Weg: Jetzt geht es rechts herum Nun tragen \lambda_i < 1 bei und zusätzlich gibt es durch den negativen Umlaufsinn ein zusätzliches Vorzeichen. f(\lambda_i)=sum(res(1/(z+\epsilon)*produkt(\rho_i/(z+\rho_i))) =-sum(-\rho_j/(\rho_j+\epsilon)*produkt(\rho_i/(\rho_i-\rho_j),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j<1),n) ->sum((\lambda_j-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j<1),n) Nun setzen wir die gewonnenen Ausdrücke für f gleich und erhalten so nebenbei die zu Beginn erwähnte Formel: \frame 1-sum((\lambda_j-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j>1),n)=sum((\lambda_j-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1 (\lambda_j<1),n) <=> 1 = sum((\lambda_j-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1,n) Zudem lässt sich das Integral in (1) so auswerten und man erhält: \darkblue\frame \darkblue\Q(\lambda_i)=produkt((int(,u_i,0,\inf)),i=1,n) min[exp(-\sum(u_i,i=1,n)) ,exp(-\sum(\lambda_i*u_i,i=1,n))] \darkblue = \sum(min(i,(1, 1/\lambda_j))*produkt((\lambda_j-1)/(\lambda_j-\lambda_i),i!=j=1,n),j=1,n) Ich fand es erstaunlich, dass einem beim Berechnen des Integrals diese Formel "in den Schoß fällt". Daher habe ich kurzerhand diesen Artikel verfasst. Man möge daher an manchen Stellen die flappsigen Formulierungen entschuldigen und über die Mächtigkeit des Residuensatzes staunen. Dennoch wäre ich natürlich sehr interessiert an alternativen Beweisen zu der gewonnen Formel. Euer Simon
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Eine interessante Formel [von Simon-schlesi]  
In diesem Artikel soll an einem Beispiel gezeigt werden, wozu der Residuensatz fähig ist. Einleitend wird eine Darstellungsmöglichkeit der Theta-Funktion (oben im Bild) gezeigt. Die dadurch gewonnene Erkenntnis wird eingesetzt, um ein komplizierteres Integral zu berechnen
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"Mathematik: Eine interessante Formel" | 9 Comments
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Re: Eine interessante Formel
von: owk am: Mi. 09. Januar 2008 00:41:53
\(\begingroup\) \ Alternativer Beweis der Formel: Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner N=prod((\lambda_\mu-\lambda_\nu),\mu<\nu), es entsteht die Gleichung sum((\lambda_i-1)^(n-1)*(-1)^(i-1)*prod((\lambda_\mu-\lambda_\nu),\mu<\nu und \mu!=i\,\nu!=i),i=1,n)=N, die man als Gleichung zwischen zwei Polynomen in den \lambda_i interpretiert. Setzt man dann zwei Unbestimmte \lambda_s und \lambda_t für st und (\lambda_\mu-\lambda) für \mu\(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: kostja am: Mi. 09. Januar 2008 12:49:36
\(\begingroup\) 😮 owk, Du bist mein Held! 😁 Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: katalaveno am: Do. 10. Januar 2008 00:27:43
\(\begingroup\) \ Kompliment an Simon-schlesi und an owk. Soviel ich sehe, gilt die Formel auch ohne die Einschränkung auf positve Lambda-Werte. Wenn man die Substitution x_i = \lambda_i - 1 macht, kann man die Formel noch etwas eingängiger schreiben (obwohl das natürlich Geschmacksache ist) sum(produkt(x_i/(x_i-x_j),j!=i=1,n),i=1,n)=1 katalaveno \(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: katalaveno am: Do. 10. Januar 2008 09:19:01
\(\begingroup\) \ Hallo Die "interessante Formel" von simon-schlesi hat es mir gerade angetan. Deswegen noch ein paar Varianten, die sich beim "Spielen" ergeben haben: sum(x_i^m*produkt(1/(x_i-x_j),j!=i=1,n),i=1,n)=e_m mit e_0=... =e_(n-2) = 0 e_(n-1) = 1 (das ist d i e Formel) e_n = sum(x_i,i=1,n) e_(-1) = (-1)^(n-1)/produkt(x_i,i=1,n) katalaveno \(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: Simon-schlesi am: Do. 10. Januar 2008 12:34:53
\(\begingroup\)katalaveno: Schön, dass es Dich interessiert! Deinem Nickname zu Folge gilt dann wohl "Nomen es omen" 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: gaussmath am: Fr. 11. Januar 2008 09:31:56
\(\begingroup\)Erstaunlich ist dieser wichtige Satz aus der Funktionentheorie in der Tat. Es wäre schön gewesen, wenn Du erwähnt hättest, dass dies in der komplexen Analysis behandelt wird (nicht jeder weiss das). Es ist überdies ein allgemeines wundersames Prinzip, wie viele Probleme im Reellen mit dem "Umweg" über die komplexen Zahlen gelöst werden können. Als Metapher fällt mir da die Ameise und der Vogel ein. Was eine höhere Dimension nicht alles bewirken kann... Viele Erkenntnisse erschliessen sich scheinbar erst mit diesem Prinzip, was auch irgendwie intuitiv einsichtig ist, wenn man sich vorstellt, dass man "mehr/anders sieht/denkt"! Hamilton wird sich das wohl auch so gedacht haben, als er seine Quaternionen erschuff und damit noch einen Schritt weitergehen wollte. Leider ja nicht so erfolgreich wie gehofft. gaussmath\(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: owk am: Sa. 12. Januar 2008 12:36:51
\(\begingroup\) \ Noch ein einfacherer Beweis: Das LGS sum(a_\mu \lambda_i^(\mu-1),\mu=0,n-1)=(1-\lambda_i)^(n-1) hat offensichtlich die Lösung a_\mu=(-1)^\mu*(n-1;\mu). Wenn man a_(n-1) nach der Cramerschen Regel berechnet und den Zähler nach der "eingefügten" Spalte entwickelt, erhält man unter Verwendung der Vandermonde\-Determinanten (-1)^(n-1)=sum((1-\lambda_i)^(n-1)*(-1)^(n+i)*prod((\lambda_\mu-\lambda_\nu),\mu<\nu und \mu\,\nu!=i),i=1,n)/prod((\lambda_\mu-\lambda_\nu),\mu<\nu), und das ist gerade die gewünschte Formel. Funktioniert leider nicht für katalavenos Verallgemeinerungen, zumindest sehe ich nicht, wie. owk \(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: rlk am: Sa. 12. Januar 2008 18:15:00
\(\begingroup\)Sehr schön (auch die Beweise von owk)! Die Bezeichnung "Theta-Funktion" für die Sprungfunktion ist etwas irreführend, weil der Name Theta für verschiedene etwas kompliziertere Funktionen wie z.B. Jacobi's Thetafunktion üblich ist. Roland\(\endgroup\)
 

Re: Eine interessante Formel
von: Simon-schlesi am: Sa. 12. Januar 2008 18:39:26
\(\begingroup\)Nungut, der Name ist ja auch Kosmetik 😉 Ich kannte die Bezeichnung im Grunde aus der Physik als THETA-Funktion. Unter Mathematica wird sie auch HeavisideTheta-Funktion genannt. Man kann natürlich auch STEP-Funktion sagen. Ich bin erfreut über die alternativen Beweise! MfG Simon\(\endgroup\)
 

 
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