Physik: Der Operationsverstärker
Released by matroid on Do. 14. Februar 2008 14:20:07 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Hier will ich eine Einführung in die Physik des Operationsverstärkers geben. Zu Anfang werden einige für die Behandlung des Operationsverstärkers notwendige Grundlagen gelegt, wie z.B. die Laplace-Transformation. Der Artikel ist aber noch nicht abgeschlossen.

Die Kirchhoffschen Regeln: Ausdruck der sogenannten Energieerhaltung ist die Kirchhoffsche Maschenregel, die besagt, dass die Summe aller in einer Masche M des Netzwerks abfallenden Spannungen gleich Null ist: sum(U_i,i) = 0 Die Ladungserhaltung wird durch die Kirchhoffsche Knotenregel Sie besagt, dass die Summe aller in einen Knoten K hineinieÿenden Ströme gleich der Summe aller hinausießenden Ströme ist: sum(I_i,i) = 0
Die Laplace-Transformation: Sie ist durch folgende Beziehung definiert: F(s) = L(f(t)) = int(f(t)e^(-st),t,0,\inf) Für t<=0 kann f(t) = 0 gesetzt werden. Beweisen kann man die folgenden Beziehungen, die sich aus der Denition ableiten: L(const) = const/s L(f´(t)) = s L(f(t)) - f(0) L(e^(-ct)) = 1/(s+c) L(c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)) = c_1 F_1(s) + c_2 F_2(s) Aus der letzten Gleichung folgt, dass die Kirchhoffschen Regeln und das Ohmsche Gesetz invariant unter der Laplace-Transformation sind. Für die komplexen Wechselstromwiderstände erhält man im Laplaceraum: U(t) = R I(t) -> U(s) = I(s) R -> X_R = R I(t) = C U^*(t) -> I(s) = sC U(s) -> X_C = 1/sC U(t) = L I^*(t) -> U(s) = Ls I(s) -> X_L = sL Unter Berücksichtigung dieser Zusammenhänge kann man beliebige Schaltungen zunächst im Laplaceraum behandeln, die Übertragungsfunktion aufstellen, die formal der Quotient aus Eingangs- und Ausgangsspannung ist und die Übertragungsfunktion dann in den Zeitraum zurücktransformieren.
Merkmale des Operationsverstärkers: Ein OV besitzt zunächst einen sogenannten invertierenden (-) und einen nichtinvertierenden (+) Eingang einen Ausgang und zwei Versorgungsanschlüsse. Folgende Grundgleichung ist für alle nachfolgenden Betrachtungen von Belang: U_a = V(U_(+) - U_(-)) Bild Die Offsetspannung ist die Ausgangsspannung für den Fall, dass die Differenzspannung an beiden Eingänge 0V ist. Bei einem realen OV muss eine kleine Spannung von einigen mV anliegen, um eine Ausgangsspannung von 0V zu erzeugen. Insbesondere ist die Verstärkung frequenzabhängig. Dieses Verhalten induziert die Einführung eines sogenannten Verstärkungs-Bandbreitenproduktes, welches eine spezische Größe für einen OV ist. Ein OV zeigt ein tiefpassähnliches Verhalten bzgl. der Frequenz, welches aus seinem internen Aufbau resultiert. Der reale OV hat eine obere Grenzfrequenz \omega_(0) , von der an die Verstärkung V um jeweils 20dB pro Dekade abfällt, was ein typisches Tiefpassverhalten darstellt. Der Abfall oberhalb dieser Frequenz ist von der Zeitkonstanten \tau_(0) des OVs abhängig. Für eine Zeitkonstante, wie beim Tiefpass erster Ordnung, erhält man damit für die Verstärkung einen Zusammenhang, der später noch bestätigt wird: V(s) = V_0 /(1+s\tau_0) Es gilt außerdem: \abs(V(s)) = V_0/(\sqrt(1+\omega^2/\omega_0^2)) Die sogenannte -3dB-Frequenz ist folgendermaßen bestimmbar: Bild Der Schnittpunkt der beiden Asymptoten bestimmt die sogenannte -3 dB - Frequenz. Die Bandbreite wird reicht bis zur -3dB-Frequenz.
Theoretische Betrachtung der Schaltungen: Spannungsfolger (Impedanzwandler): Hier wird der Ausgang einfach auf den invertierenden Eingang zurückgekoppelt: Mit der Grundgleichung für den Operationsverstärker erhält man so: U_(+) = U_e U_(-) = U_a Bild U_a = V/(V+1) U_e = 1/(1+1/V) U_e \approx U_e Eingesetzt wird diese Schaltung nach einer spannungsempndlichen Quelle, d.h. einer Quelle, die einen hohen Eingangswiderstand sehen muss. Dies ist bei einem realen OV mit einigen MOhm der Fall. Nichtinvertierender Verstärker: Hier gilt: U_(+) = U_e U_(-) = R_1/(R_1+R_2) U_a Das folgt aus der normalen Spannungsteilerregel "Gesuchte Spannung durch Gesamtspannung ist gleich Abgreifwiderstand durch Gesamtwiderstand". Bild U_a/U_e = (1+R_2/R_1) 1/(1+1/(KV)) \approx R_2/R_1 für K = R_1/(R_1+R_2) und KV >> 1 Hier soll noch theoretisch betrachtet werden, inwiefern das Tiefpassverhalten des OV auf das Verhalten des nichtinvertierenden Verstärkers durchschlägt: Mit V(\omega) = V_0/(1+i(\omega/\omega_0)) kann man die Übertragsungsfunktion folgendermaßen schreiben: Bild Dieses Ergebniss hat dieselbe Form wie das Tiefpassverhalten für den reinen OV. Das sogenannte Verstärkungsbandbreitenprodukt \omega_0 V_0 ist eine charakteristische Größe für einen OV. Invertierender Verstärker: Bild Hier ist U_(+) = 0 und (U_e - U_(-))/R_1 = (U_(-) - U_a)/R_2 was ausdrückt dass am Widerstand R_1 die Spannung U_e und am Widerstand R_2 die Spannung U_a abfällt. Bild Dabei wurde KV >> 1 angenommen. Die Ausgangsspannung ist also negativ. D.h. es muss einen Punkt geben an dem sie 0 ist, vermutungsweise zwischen den Widerständen R_1 und R_2. Um das zu zeigen, kann man eine Übertragungsfunktion am virtuellen Nullpunkt errechnen. Mit der vorherigen Gleichung und mit U_a/U_(-) = -V erhält man Bild Wie man sieht, trägt der Faktor 1/V dazu bei, den Ausdruch klein zu machen. Wenn man die Gleichung V(s) = V_0/(1+s\tau_0) nun einsetzt und einen Spannungssprung U_e(s) = U_0/s an den Eingang legt, erhält man folgende Umformung: Bild Weiterhin kann man nun eine Rücktransformation in den Zeitraum durchführen, wobei man folgenden Zusammenhang erhält: Bild Aktiver Hochpass erster Ordnung: Bild Die Übertragungsfunktion für den aktiven Hochpass erster Ordnung im Laplaceraum kann man einfach erhalten, indem der Widerstand R_1 durch einen Ersatzwiderstand der Form R_1 + 1/sC aufgrund der Reihenschaltung ersetzt. Damit ergibt sich hier diese Übertragungsfunktion: Bild
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Der Operationsverstärker [von mehrdennje]  
Hier will ich eine Einführung in die Physik des Operationsverstärkers geben. Zu Anfang werden einige für die Behandlung des Operationsverstärkers notwendige Grundlagen gelegt, wie z.B. die Laplace-Transformation.
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"Physik: Der Operationsverstärker" | 4 Comments
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Re: Der Operationsverstärker
von: rlk am: Do. 14. Februar 2008 21:26:05
\(\begingroup\)Hallo Mehrdennje, ein interessantes Thema. Vielleicht schreibst Du noch eine kleine Einleitung, in der beschreibst, welche Voraussetzungen Du an die Leser stellst? Du erwähnst die Kirchhoffschen Regeln, wendest sie aber nicht konkret an. Einige Bilder (Invertierender Verstärker, Aktiver Hochpass erster Ordnung) sind unscharf und das Wort "Definition" bei der Laplace-Transformation enthält ein nicht darstellbares Zeichen. Die als Bilder eingefügten Formeln passen nicht zu denen im fed geschriebenen. Kennst Du die Wikipedia-Seite zu diesem Thema? Ich hoffe, das kommt als die konstruktive Kritik an, als die es gedacht war. Viel Erfolg, Roland \(\endgroup\)
 

Re: Der Operationsverstärker
von: mehrdennje am: Do. 14. Februar 2008 22:06:39
\(\begingroup\)Hallo, ich bin auch noch nicht ganz fertig. Eine Einleitung werde ich noch schreiben. Die Kirchhoffschen Regeln sind schon wichtig, um einige Formeln zu verstehen, die ich verwendet habe. Aber du hast recht, vielleicht lasse ich die auch weg, ich dachte halt, es wäre ein gute Grundlage. Ich dachte, ich schreibe die wichtigen Formeln mit tex, soll ich die auch mit dem fed schreiben, was meinst du? Sieht das besser aus? Was die Bilder angeht, ich meine die wesentlichen Sachen sind erkennbar... Ich glaube, dass der Artikel aber in mancherlei Hinsicht über die Wiki-Seite hinausgeht. Wie gesagt, ich bin auch noch nicht ganz fertig. Gruss, mehrdennje\(\endgroup\)
 

Re: Der Operationsverstärker
von: rlk am: Fr. 15. Februar 2008 15:10:24
\(\begingroup\)Hallo Mehrdennje, am besten Du schreibst am Anfang dazu, dass Du noch vor hast, den Artikel zu erweitern. Wenn Du später die Kirchhoffschen Regeln verwenden willst, macht es Sinn, sie zu behalten. Formeln sehen in TeX zwar besser aus als im fed, aber sie haben den Nachteil, dass man sie nicht bearbeiten (kommentieren, ausbessern) kann und die beiden Schriftbilder (fed und TeX) passen schlecht zusammen. Manche Artikel hier auf dem Matheplaneten gibt es auch als PDF-Version, da macht TeX natürlich mehr Sinn. Schönes Wochenende, Roland \(\endgroup\)
 

Re: Der Operationsverstärker
von: portnoy am: Fr. 15. Februar 2008 16:42:37
\(\begingroup\)Halte es für eine zu grobe Vereinfachung, beim nichtinvertierenden Verstärker die eins aus \ (1+R_2/R_1) einfach unter den Tisch fallen zu lassen. Du könntest auch die goldenen Regeln des OPV erwähnen. Immerhin hat mich dein Artikel animiert, die Übertragunsfunktionen auch mal ohne diese Regeln auszurechnen. So kann man auch schön die Auswirkung einer endlichen Leerlaufverstärkung sehen.\(\endgroup\)
 

 
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