Mathematik: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
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Mathematik

\(\begingroup\) \big\ Zusammenfassung Ausgehend von den Primzahlzwillingen werden Verwandtschaftbeziehungen (Geschwister und Cousins) unter den Primzahlen eingeführt und anhand dieser besonderen Abstands-Struktur die Problemstellung zu den Primzahlzwillingen erweitert. Interessante Vermutungen runden diese Betrachtung ab.

\big\ Begriff der Primzahl - Geschwister Betrachten wir die Primzahlzwillinge. Diese werden als Paare von Primzahlen dargestellt, deren Abstand 2 - der kleinsmöglich geradzahlige Abstand - beträgt. Die Vermutung ist nun, dass es unendlich viele solcher Primzahlenzwillinge gibt. Statt nun direkt diese Problematik anzugehen, erweitern wir die Fragestellung, in dem wir nicht mehr nach dem Abstand 2 zweier direkt benachbarter Primzahlen fragen, sondern allgemeiner nch dem Abstand \ 2^n für n \el\ \IN_0 In Anlehnung an den Begriff der Zwillinge bezeichnen wir diese Abstands-Beziehung von Primzahlen allgemeiner als Primzahl - Geschwister. Wir definieren daher: \ Definition D1: Geschwister Primzahlen Primzahl - Geschwister sind solche direkt aufeinanderfolgende Primzahlen p_(i+1); p_i für die gilt: p_(i+1) - p_i = 2^n für n \el\ \IN_0 \ Bemerkungen: (i) Offensichtlich gibt es unendlich viele Primzahlgeschwister, wenn es unendlich viele Primzahlzahlzwillinge gibt. Jedoch folgt nicht automatisch aus der endlichen Anzahl von Primzahlzwillingen auch, dass es nur endlich viele Primzahl-Geschwister gibt. (ii) Gleiches gilt für Primzahlvierlinge {p; p + 2; p + 6; p + 8}. (iii) Im Gegensatz zu den Primzahlzwillingen gibt es nicht nur Paare von Primzahl-Geschwister, sondern größere Tupel.
\big\ Tupel von Primzahl-Geschwistern Betrachten wir nun die ersten Primzahlen, so sehen wir, dass diese mit einem 9-Tupel von Primzahlgeschwistern beginnen: G_1 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23} Mit G_1 bezeichnen wir das erste Geschwister-Tupel. Das Tupel endet mit der Zahl 23, da die nächste Primzahl 29 mit dem Abstand 29 - 23 = 6 = 2*3 nicht mehr der Definition D1 entspricht. Mit der 29 beginnt ein neuer Tupel G_2 = {29; 31} Diesmal wirklich ein Zwillingspaar, wegen 37 - 31 = 6 = 2*3 als Abstand zum Prim-Nachfolger 37 von der 31 aus. Zur besseren Einordnung sei noch der folgende Geschwister - Tupel G_3 = {37; 41; 43; 47} angegeben. Betrachten wir G_1 genauer: G_1 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23} Es fällt auf, dass G_1 mit 9 Elementen schon recht groß ist, wenn wir beispielsweise die ersten 50 Geschwister - Tupel betrachten, werden wir keinen Geschwister - Tupel finden, der eine solche Größe besitzt. Tatsächlich weist G_1 zwei Besonderheiten auf, die kein weiterer Geschwister - Tupel besitzt: a) Aufgrund von Definition D1 ist der einmalige Primzahlabstand 3 - 2 = 1 = 2^0 enthalten. Genau wegen dieses Abstandes wurde für 2^n das n aus \IN_0 zugelassen. b) G_1 enthält den einmaligen Primzahldrilling {3; 5; 7}, der ja den gleichen Abstand zwischen den drei Primzahlen 7 - 5 = 5 - 3 = 2 = 2^1 besitzt. Allgemein können wir für alle weiteren Geschwister - Tupel hingegen offensichtlich festhalten, dass gilt Sätzchen 1: Gegeben seien mindestens drei aufeinanderfolgende Primzahlen 3 < p_i; p_(i+1); p_(i+2) deren Abstände a(p_i, p_(i+1)) = p_(i+1) - p_i der Form gemäß Definition D1 genügen a(p_i, p_(i+1)) = 2^n, dann ist für beide aufeinanderfolgende Abstände p_(i+1) - p_i = 2^n p_(i+2) - p_(i+1) = 2^m die Summe der Exponenten n und m stets ein ungerade Zahl. Bemerkung: (iv) Diese Aussage ist allgemeiner, als nur zu erkennen, dass die Abstände zwischen drei aufeinanderfolgender Primzahlen nicht gleich groß sein können. Nun könnte man vermuten, dass aufgrund dieser beiden Besonderheiten alle weitere Geschwister - Tupel höchstens 7 Primzahlen besitzen. Wenn wir in unserem beispielhaften Bereich der ersten 50 Geschwister - Tupel (also bis zur Zahl 1033) anschauen, finden wir in der Tat nur einen weiteren Geschwister - Tupel mit sieben Primzahlen: G_7 = {89; 97; 101; 103; 107; 109; 113} alle weiteren Geschwister - Tupel bis zu G_50 haben weniger Primzahlen. So besitzen beispielsweise G_26 und G_27 nur 5 Primzahlen. Doch eine Computersuche findet schnell einen größeren Geschwister - Tupel als G_1. Mit zehn Primzahlen ist der Tupel G_x = {2213; 2221; 2237; 2239; 2243; 2251; 2267; 2269; 2273; 2281} gar nicht mal so weit entfernt. Wir können also fragen, um eine Rekordjagd zu eröffnen, wie groß denn ein solches Geschwister - Tupel werden kann. Wächst die Größe eines solchen Tupels mit der größe der Primzahlen? Oder gibt es eine Obergrenze für die Anzahl der Primzahlen in einem Geschwister - Tupel? Diese Frage würde in dem Moment beantwortbar sein, wenn man sicher wüsste, dass es nur endlich viele Geschwister-Tupel aus Primzahlen gibt. Eine weitere Frage ist daher die nach der Anzahl der Geschwister - Tupel. Hier ist die Vermutung berechtigt, dass es unendlich viele gibt. Betrachten wir ferner noch einmal die drei auffälligen Geschwister Tupel G_1 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23} G_7 = {89; 97; 101; 103; 107; 109; 113} G_x = {2213; 2221; 2237; 2239; 2243; 2251; 2267; 2269; 2273; 2281} und zwar der maximale Abstand zweier ihrer benachbarten Primzahlen. Für G_1 haben wir den maximalen Abstand durch 11 - 7 = 17 - 13 = 23 - 19 = 4 = 2^2. Für G_7 beträgt der maximale Abstand 97 - 89 = 8 = 2^3. Wobei G_x mit dem maximalen Abstand von 2237 - 2221 = 2267 - 2251 = 16 = 2^4 aufwartet. Wir können also noch nach dem Geschwister - Tupel mit dem maximalen Abstand zwei benachbarter Primzahlen fragen. Hier reicht schon ein kleines Geschwister - Tupel, um bei dieser weiteren Rekordjagd erfolgreich zu sein. Zum Beispiel besitzen G_y = {5591; 5623; 5639; 5641} mit 5623 - 5591 = 32 = 2^5 und G_z = {89681; 89689; 89753} mit 89753 - 89689 = 64 = 2^6 größere Abstände als G_x. Gibt es hier für die Abstände in den Geschwister - Tupel auch eine Obergrenze oder nicht?
\big\ Vermutungen über Geschwister - Tupel von Primzahlen Aus den bisherigen Betrachtungen heraus sollen einige Vermutungen abgeleitet werden. \stress\V1: Unendliche Anzahl Es gibt unendlich viele Geschwister - Tupel von Primzahlen \stress\V2: Keine Obergrenze in der Breite Es gibt keine maximale Anzahl von Primzahlen in einem Geschwister - Tupel. \stress\V3: Keine Obergrenze in der Tiefe Es gibt keinen maximalen Abstand von zwei benachbarten Primzahlen in einem Geschwister - Tupel.
\big\ Primzahl - Cousins Bei der Betrachtung der Primzahlen in G ergibt sich auch eine weitere Menge von Primzahlen, die kein Geschwisterpaar haben. Wir bezeichnen solche Primzahlen als Cousins wenn gilt, dass sie zumindest einen weiteren Partner im Abstand von d besitzen. Somit folgt Definition D2: Cousin Primzahl Primzahl - Cousins sind solche Primzahlen, die zwar selbst keine Geschwister haben, die aber mit irgend einer beliebigen Primzahl den Abstand d = 2^n besitzen. Die Menge der Primzahl Cousins bezeichnen wir mit C. Es gilt somit p_i \element\ C <=> p_i - p_(i-1) = 2^r * k \and\ p_(i+1) - p_i = 2^s * l \and\ p_i - q_x = 2^n oder q_z - p_i = 2^m, wobei q_x, q_z \element\ P mit r,s >= 1 und k,l > 1. Bemerkungen: (v) Während Cousins also keine Geschwister haben, können Geschwister mindestens einen weiteren Partner in C besitzen. Geschwister selbst gehören aufgrund D2 nicht C an. (vi) Man verdeutliche sich D2 am Beispiel der Primzahl 53. Ihr direkter Vorgänger ist die 47 und ihr direkter Nachfolger die 59. In diesem konkreten Fall ist der Abstand jeweils d = 6 = 2*3. Hingegen ist der Abstand 53 - 37 = 16 = 2^4 oder auch 61 - 53 = 8 = 2^3. Daher ist 53 ein Element von C. Die Primzahlen 37 und 61 selbst sind ausschließlich Elemente in G. (vii) Auch C besitzt neben den Einzelelementen ganze n-Tupel mit n > 1. Zum Beipsiel C_5 = {251; 257; 263} C_7 = {331; 337} Daher schließen wir diesen Artikel mit folgender Vermutung ab: \stress\V4: Verwandtschaftsvermutung von Primzahlen Jede Primzahl besitzt mindestens eine Verwandtschaftsbeziehung, entweder zumindest eine enge nach D1 oder zumindest eine weitläufigere nach D2.
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: Mathematik :: Primzahlen :
Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen [von KlausLange]  
Ausgehend von den Primzahlzwillingen werden Verwandtschaftbeziehungen (Geschwister und Cousins) unter den Primzahlen eingeführt und anhand dieser besonderen Abstands-Struktur die Problemstellung zu den Primzahlzwillingen erweitert. Interessante Vermutungen runden diese ab.
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"Mathematik: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen" | 14 Comments
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Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: krischi am: Sa. 05. April 2008 10:36:44
\(\begingroup\)Netter Artikel! 😉 Hat mir Spaß gemacht, den durchzulesen. 😄 Krischi\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Ex_Mitglied_5557 am: Sa. 05. April 2008 13:36:15
\(\begingroup\)Hallo! Netter Artikel! zu V1-V3: Nach Standard-Vermutungen kannst du dir eine beliebige, endliche, streng monoton steigende Sequenz nicht-negativer ganzer Zahlen (a_0=0, a_1, a_2, ... , a_n) vorgeben, mit der Zusatzeigenschaft, dass es für jede Primzahl p mindestens eine Restklasse r gibt, sodass keines der a_i == r (mod p) ist, sodass folgendes gilt: Es gibt unendlich viele Primzahlen P, sodass zusätzlich auch P+a_0, P+a_1, P+a_2, ... , P+a_n Primzahlen sind. (Für n=1 und a_1=2 ist dies die Primzahlzwillings-Vermutung.) Mit ein bisschen Rumprobieren sollte man dann auch dazu kommen, dass es dann auch unendlich viele solche Primzahlen P gibt, sodass keine weiteren Primzahlen zwischen P und P+a_n liegen. Damit gäbe es keine wie in V2 und V3 vermuteten Obergrenzen... Für Vermutung V4 spricht eine Heuristik, die man aus dem Primzahlsatz gewinnt (die "Wahrscheinlichkeit" für eine Zahl n Primzahl zu sein "ist" etwa 1/ln(n)): Sei p eine Primzahl, von der wir wissen wollen, ob es eine weitere Primzahl P mit P-p=2^n für ein geeignetes n gibt. Wir mustern nun alle Kandidaten p+2^n für P durch, und suchen nach Primzahlen unter diesen. Ab genügend großem n ist dann P=2^n+p<2^(n+1). Die Wahrscheinlichkeit für die Zahl P Primzahl zu sein ist damit >1/([n+1]*ln(2)). Addiert man dies für alle möglichen n auf, so erhält man i.W. die harmonische Reihe, d.h. es gibt wohl sogar unendlich viele Primzahlen P mit denen p in solcher verwandschaftlicher Beziehung steht. :) Grüße, Cyrix\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: KlausLange am: Mo. 07. April 2008 07:52:21
\(\begingroup\) \ Hi Cyrix, Danke für Deine Anmerkungen. Zu V1 bis V3 zielst Du glaube ich auf den Satz von Green-Tao (2004) ab, doch der gilt eben nicht für Abstände 2^n; da es um konstante Abstände dort geht. Ferner hätten wir es dort, und so auch mit Deiner Herleitung, nicht unbedingt mit aufeinanderfolgenden Primzahlen zu tun, die ja in den Gechwister - Tupeln anzutreffen sind. Ferner sollte es stets drei aufeinanderfolgende Primzahlen geben, deren Abstand gleich ist (also nicht 2^n), und das sollte auch innerhalb bestimmter Abschnitte passieren, so dass die Obergrenzen zwangsläufig folgen, eben dann für 2^n Abstände. Im Gegensatz zu den Abständen 2^r * m mit m > 1, die ja keine Obergrenze kennen, aber eben nicht aufeinanderfolgende Primsequenzen darstellen müssen. Es sei denn die Sequenz k ist klein, sagen wir k=3 dann ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß, dass es aufeinanderfolgende Primzahlen sind, siehe oben. Damit unterbrechen sie jedes Geschwister-Tupel nach einer maximal möglichen Anzahl. Zu V4: Ja, klar. Aber das heißt noch nicht, dass unbedingt alle Primzahlen mindestens einen Cousin haben. \\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Hyp am: Di. 08. April 2008 19:32:40
\(\begingroup\)Hi, cyrix meint wohl die sog. "k-Tupel-Vermutung" von Hardy und Littlewood. Gruß, Hyp\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: KlausLange am: Mi. 09. April 2008 10:47:20
\(\begingroup\)@Hyp: Ja, und dieser allgemeine Fall - ohne die besondere Abschätzung aber mit der generellen Aussage - für k - Tupel meine ich auch, wenn ich mich auf den "Beweis" von Green und Tao beziehe. \(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Hyp am: Mi. 09. April 2008 14:40:52
\(\begingroup\)Moment! Du verwechselst etwas. Die Aussage des Satzes von Green-Tao hat nichts mit der k-Tupel-Vermutung zu tun! Das sind zwei verschiedene Dinge. Die Gültigkeit der k-Tupel-Vermutung impliziert z.B. die Existenz von unendlich vielen Primzahlzwillingen. Da bringt es nichts, wenn es beliebig lange, arithmetische Progressionen innerhalb der Primzahlfolge gibt. Gruß, Hyp\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: KlausLange am: Fr. 11. April 2008 10:12:50
\(\begingroup\)Lies Dir noch mal in Ruhe die Introduction des von mir verlinkten Papers durch, dann wirst Du den Zusammenhang zu Hardy und Littlewood sehen. Selbstverständlich gibt es da einen Zusammenhang. Schließlich nahmen Green und Tao auch Ergebnisse von Goldston und Yildirim zur Hilfe, um ihren Beweis durchführen zu können. Solche Sätze stellen sicher, dass es immer auch kleinere Abstände zwischen Primzahlen gibt. Von den arithmetischen Progressionen kann man in der Tat weiter runterrechnen, um auch Abstände von aufeinanderfolgende Primzahlen abschätzen zu können. Wir können also u.U. Obergrenzen für bestimmte Formen aufeinanderfolgenden Primzahlen vermuten, darum ging es bei den Kommentaren von Cyrix und meiner Erwiderung. Ich habe nicht gesagt, dass Green und Tao nun Hardy und Littlewood bewiesen hätten. Aber sie sind auf dem besten Weg mit ihrem Ergebnis. Ja, einen Zusammenhang gibt es offensichtlich.\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Hyp am: Fr. 11. April 2008 12:11:06
\(\begingroup\)"Ja, einen Zusammenhang gibt es offensichtlich." Naja, es geht um Primzahlen ... wenn das der Zusammenhang ist, ok. Aber ich finde es immer noch falsch über den "k-Tupel-Beweis" von Green und Tao zu reden. Whatever, ich werde keine weiteren Kommentare dazu machen. Gruß, Hyp\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: KlausLange am: Mo. 14. April 2008 09:42:53
\(\begingroup\)@Hyp: Stimmt schon, der Begriff "k-Tupel-Beweis" war in der Tat ein Schnellschuss. Dennoch gibt es einen größeren Zusammenhang zwischen Hardy-Littlewood und Green-Tao außer dem, dass es sich jeweils um Primzahlen handelt. Das sieht man schon daran, dass Green und Tao die Ergebnisse von Goldston u. Yildirim verwenden, die wiederum als ein wichtiger Schritt zur Primzwillingsvermutung gesehen werden. Erst recht zu den Prim-Geschwistern. In der Tat habe ich nochmal durchgerechnet (ohne es beweisen zu können), dass wir vorankommen, wenn wir den Satz von Green - Tao mehrmals auf ein hinreichend großes Intervall anwenden. \ Idee: Nach Green Tao können wir garantiert ein k angeben, so dass wir ein k-Tupel von Primzahlen in arithmetischer Progression erhalten. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass von diesen k Primzahlen jeweils das Paar p_(i+1) und p_i nicht direkt aufeinanderfolgende Primzahlen sind. Der Abstand ist ja a_k = p_(i+1) - p_i . Die Menge der Primzahlen des k - Tupels bezeichnen wir als K. Sei k nun hinreichend groß, so dass wir ein weiteres entsprechendes l - Tupel in den Grenzen vom Intervall des k - Tupels angeben können, mit 2 < l < k und 6 <= a_l < a_k. Hierbei soll l aber möglichst, im Rahmen dieser Voraussetzungen, maximal sein. Und L ist die Menge der Primzahlen des l-Tupels. Ferner auch ein entsprechend weiteres m - Tupel mit 2 < m < l und 6 <= a_m < a_l mit m maximal usw. für ein n-, o- usw. Tupel bishin dass das kleinste Tupel z = 3 sei. Dann haben wir eine Menge V = K \union\ L \union\ M \union\ ... \union\ Z, so dass es in V mindestens ein Tripel von aufeinanderfolgenden Primzahlen gibt. Bsp: K = {7; 37; 67; 97; 127; 157} L = {17; 29; 41; 53} M = {31; 37; 43} Ergebnis: V = {7; 17; 29; 31; 37; 41; 43; 53; 67; 127; 157} Tupel aufeinanderfolgender Primzahlen: {29; 31; 37; 41; 43} \\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: robertoprophet am: Mi. 09. Juli 2008 22:07:45
\(\begingroup\)Mal sehen, wann aus Vermutungen Tatsachen werden bzw. Beweise entstanden sind.\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: KlausLange am: Do. 18. September 2008 10:48:18
\(\begingroup\)@Cyrix: V2 und V3 habe ich entsprechend Deiner Anmerkungen abgeändert und behaupte nun das Gegenteil als zuvor... 😉\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Bernhard am: Di. 30. September 2008 13:00:12
\(\begingroup\)Hallo Klaus! Ich hatte Dein erstes Problem, ohne von deinem Artikel zu wissen - den habe ich erst heute entdeckt - im August in einem Thread angesprochen: "Primzahldrillinge" Ich bekam dann u.a. von Philipp (philippw) folgenden Hinweis: \quoteon(2008-08-23 01:58 - philippw in Beitrag No. 1) Hi Bernhard, \ [...] Es wurde bereits bewiesen, dass es beliebig lange (endliche) arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen bestehen, der Rekord liegt soweit ich weiß bei 23 Primzahlen. Was passiert, wenn die Folge der Länge p auch mit p beginnen soll, weiß ich nicht. Gruß, Philipp PS: Siehe z.B. Arithmetische Progression von Primzahlen (pdf) \quoteoff Viele Grüße von Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Ex_Mitglied_40986 am: Sa. 11. Oktober 2014 19:28:03
\(\begingroup\)Hallo Klaus, bin erst seit gestern Planetarier und jetzt über Deinen Artikel gestolpert. Endlich mal etwas, was eine gewisse Ordnung in die Primzahlen bringt. Besonders gefällt mir Dein Sätzchen 1. Aber ich habe im Moment keine Idee, wie ich beweisen könnte, dass die Summe der Exponenten m+n immer ungerade ist. Werde noch etwas darüber brüten. Beste Grüße somi \(\endgroup\)
 

Re: Verwandtschaftsbeziehungen unter Primzahlen
von: Ex_Mitglied_40986 am: So. 12. Oktober 2014 15:35:39
\(\begingroup\)Hallo Klaus, Dein Sätzchen 1 war ja wirklich so einfach zu beweisen, dass man gleich drauf hätte kommen müssen. Hast Du in den Jahren Fortschritte bei den 4 Vermutungen erreicht? Es sollten als Abstände zwischen benachbarten Primzahlen ja alle geraden Zahlen möglich sein, von denen die Zweierpotenzen eine verschwindend geringe Menge darstellen. Die Häufigkeit geringer Abstände sollte größer sein als die der größeren, unabhängig ob Zweierpotenz oder nicht. Auf jeden Fall scheinen die Vermutungen aus dieser Sicht plausibel. Aber irgendwie scheinen sie nahe beim Zwillingsproblem zu liegen, mit dem ich mir laienhaft den Berliner "Nahverkehrgenuss" in letzter Zeit erträglich gemacht habe. Viele Grüße somi \(\endgroup\)
 

 
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