Mathematik: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
Released by matroid on Do. 17. April 2008 22:58:02 [Statistics]
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Analysis

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Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß
und Montel


Ein leider sehr verbreitetes (und durch ungeschickte Definitionen in manchen Büchern/Einführungsvorlesungen gefördertes) Missverständnis ist das Gleichsetzen von "kompakt" mit "beschränkt und abgeschlossen".

Es ist zwar in vielen sinnvollen Räumen richtig, dass jede kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen ist, jedoch ist die Umkehrung i.A. falsch.

Eine typische Reaktion eines Fortgeschrittenen auf dieses Missverständnis ist dann die Aussage, dass "kompakt=beschränkt und abgeschlossen" nur im fed-Code einblenden korrekt wäre.
Dieser Artikel hat das Ziel, ein genaueres Licht auf diese Aussage zu werfen. Es stellt sich nämlich heraus, dass es für normierte Räume in der Tat richtig so ist. Jedoch möchte ich auch ein Beispiel eines unendlichdimensionalen, nicht-normierten (und dann auch nicht normierbaren) Vektorraums vorstellen, in welchem der Satz von Heine-Borel trotzdem gilt.


Inhalt




Präliminarien



Die Beweise, die wir gleich führen werden, drehen sich eigentlich um den Begriff der Folgenkompaktheit. Wir werden jedoch hier immer in metrischen Räumen hantieren und es sei nochmal festgehalten, dass in metrischen Räumen Folgenkompaktheit und Kompaktheit äquivalent sind:


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Ich sprach zwar in der Einleitung vom Satz von Heine-Borel, aber ich möchte nicht verschweigen, dass es ebenso gut der Satz von Bolzano-Weierstraß sein könnte, da die beiden in metrischen Räumen äquivalent sind:

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Wann immer wir von der Heine-Borel-Eigenschaft sprechen, könnten wir sie also auch durch die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft ersetzen, solange wir in metrischen Räumen sind (was aber den ganzen Artikel über der Fall sein wird).


So, genug der Vorrede. Fangen wir an:


Kompaktheit in normierten Räumen



Wir wollen zeigen, dass die Sätze von Heine-Borel und Bolzano-Weierstraß in normierten Räumen genau dann gelten, wenn der Raum endlich-dimensional ist.

Alles, was wir dazu brauchen, ist das folgende Lemma von Riesz:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Daraus wird nun alles Weitere folgen:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Der Satz von Montel



Wir werden jetzt einen topologischen (sogar metrisierbaren) Vektorraum kennenlernen, der unendlichdimensional ist, aber trotzdem die Heine-Borel-Eigenschaft hat. Ein solcher Raum kann natürlich nicht normierbar sein, wie uns der eben bewiesene Satz 3 zeigt.

Wir können so einen Raum aber als lokalkonvexen Raum erhalten. Lokalkonvexe Räume und ihre grundlegenden Eigenschaften habe ich in diesem Artikel schonmal besprochen. Ich werde auf einige der dortigen Definitionen und Sätze zurückgreifen.


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Das ist schonmal ein interessanter Fakt, denn das erlaubt es uns, Kompaktheit und Folgenkompaktheit in H(U) gleichberechtigt zu verwenden. Wenn man sich jetzt nochmal unser Ziel vor Augen führt, den Satz von Heine-Borel für H(U) zu zeigen, dann wird noch etwas klar:
H(U) ist ein topologischer Vektorraum, der metrisierbar, aber nicht normierbar ist.


Übrigens kann man die Beweisideen bei der Konstruktion der Metrik auch allgemeiner einsetzen und folgenden Satz beweisen:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Wir werden nun den Satz von Montel beweisen, der uns zeigt, dass der Raum der holomorphen Funktionen zusammen mit der kompakten Konvergenz die Heine-Borel-Eigenschaft hat, ohne endlichdimensional zu sein:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

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Abschluss



So. Das wars bis hierher. Ich hoffe, ihr fandet es interessant. Es gibt weitere Beispiel von Räumen, die die Heine-Borel-Eigenschaft haben, aber unendlichdimensional sind, z.B. die so genannten "nuklearen" Räume. Nach dem Satz von Montel werden übrigens topologische Vektorräume mit der Heine-Borel-Eigenschaft auch "Montel-Räume" genannt.

Sobald ich wiedermal etwas Spannendes finde, kommt sicher ein nächster Artikel. Seid also gespannt.

fed-Code einblenden



 
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: Analysis :: Kompaktheit :: Funktionalanalysis :: Funktionentheorie :: Reine Mathematik :: Gängige Irrtümer :
Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel [von Gockel]  
Beweis, dass "Beschränkt+abgeschlossen=kompakt" in normierten Räumen genau für die endlichdimensionalen richtig ist. Außerdem wird ein Beispiel für einen nicht-normierbaren Raum gegeben, in dem die Aussage trotzdem gilt: Der Raum der holomorphen Funktionen H(U).
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"Mathematik: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel" | 6 Comments
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Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: cow_gone_mad am: So. 20. April 2008 05:17:58
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Hallo Gockel :-)

Ein paar Sachen:
1. Der Beweis von Lemma 5 nimmt die Beschraenktheit von U an, sie wird aber nicht gefordert.
2. Vor Lemma 5 erklaerst du, dass H(U) vollstaendig ist. Ich wuerde dies nach Lemma 5 verschieben, da man normalerweise Cauchyfolgen (also eine Metrik) verwendet, um Vollstaendigkeit zu definieren.
3. Ein anderes nettes Beispiel ist die schwache Konvergenz auf Banachraeume, fuer die Gueltigkeit beschraenkt + abgeschlossen => kompakt.
4. Noch eins: Wahrscheinlichkeitsmasse mit schwach* Topologie bilden sogar einen kompakten Raum.

LG,
cow_
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Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: Gockel am: So. 20. April 2008 13:45:36
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Hi cow.

1. Im Beweis von Lemma 5 sage ich aber, dass wir oBdA annehmen können, U sei beschränkt. Wenn U das nicht ist, bilden wir fed-Code einblenden durch einen Homöomorphismus auf (0,1)x(0,1) ab und zeigen die Aussage dann für das Bild. Wegen der Homöomorphie existiert dann so eine Folge kompakter Mengen auch für das ursprüngliche U.

Für die Beweise von (b), (c) und (d) brauche ich dann nur noch diese Folge, nicht mehr die Beschränktheit.


2. Vollständigkeit kann man für alle uniformen Räume, also insbesondere für alle topologischen Vektorräume definieren, ohne Folgen oder Metriken zu benutzen. Im Artikel über lokalkonvexe Räume habe ich auch eine entsprechende Definition angegeben. Man fordert einfach, dass jedes Cauchy-Netz bzw. jeder Cauchy-Filter konvergiert.

3. Das wusste ich nicht.

4. Okay, aber sie bilden keinen Vektorraum. Gilt im Raum der endlichen (signierten/komplexen) Maße mit der schwach*-Topologie die Heine-Borel-Eigenschaft?

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: Euler74 am: So. 20. April 2008 19:29:43
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Hallo Gockel,

ich habe mal eine Frage zu Lemma 1)

gilt das wirklich in der schärfe? also das kompakt= abgeschlossen+beschränkt im IR^n gilt ist klar. Aber ich habe mir seiner Zeit damals mal als gegenbeispiel den diskreten metrischen Raum mit unendlich vielen Elementen notiert.

Ich sehe allerdings auch kein Fehler in deinem Beweis...

Fragende Grüße

Euler 74\(\endgroup\)
 

Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: Gockel am: So. 20. April 2008 19:38:59
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Hi.

Ja, das Lemma ist schon so korrekt. Vielleicht hast du da etwas missverstanden. Ich habe nicht behauptet, dass alle metrischen Räume diese Eigenschaften haben (denn das ist falsch und dein Beispiel zeigt es auch). Das Lemma sagt nur, dass die Eigenschaften zueinander äquivalent sind: Wenn eine von beiden gilt, gilt auch die andere.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: Monkfish am: So. 20. April 2008 22:08:08
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@Gockel: Die endlichen (signierten) Radonmasse auf IR haben (so glaube ich mich zu erinnern) die Heine-Borel-Eigenschaft hinsichtlich der vagen Topologie, und Cow wird wohl mit schwach* Topologie die vage Topologie gemeint haben (und nicht die schwache Topologie aus der W'keitstheorie aka Konvergenz in Verteilung: für diese Topologie stimmts nämlich nicht, da müsste man noch Straffheit fordern). Jedenfalls folgt das Ganze aus dem "Helly Selection Theorem": Zu jeder gleichmässig beschränkten Folge monoton wachsender Funktionen existiert eine monoton wachsende Funktion F, so dass eine Teilfolge punktweise gegen F konvergiert in allen Stetigkeitspunkten von F.

Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
von: cow_gone_mad am: Mo. 21. April 2008 05:09:37
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@Monkfish: Helly reicht nur auf R aus. M^1(X) ist aber fuer X kompakt metrisch, ein kompakter Raum.

@Gockel: Ich hatte diese Annahme ueberlesen....

Ich habe nochmal ueber das Ganze nachgedacht, und eigentlich sollte man sich bei diesen Kompaktheitseigenschaften folgendes vorstellen. In dem man die Topologie abschwaecht erreicht man, dass man auch unendlichdimensionale Raeume aus Beschraenktheit und Abgeschlossenheit die Kompaktheit folgern kann. Allerdings nimmt man damit halt in Kauf, dass viel gegen 0 konvergiert.
Zum Beispiel konvergiert z^n in der Einheitsscheibe normal gegen 0, aber in keinem der H^p(D).

Aber auf jeden Fall ist das hier ein netter Artikel zu einem interessanten Thema, also ein Lob dafuer (habe ich im ersten Kommentar vergessen *schaem*).

Liebe Gruesse,
cow_
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