Mathematik: Symmetriegruppen - §1 Einführung
Released by matroid on Mo. 05. Mai 2008 09:28:06 [Statistics]
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Lineare Algebra

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Symmetriegruppen

§1 Einführung

Symmetrie In diesem Artikel möchte ich eine kleine Einführung in die Symmetriegruppen der Ebene geben. Da das Thema für ein Artikel zu umfangreich wäre, plane ich insgesamt drei. Voraussetzung für die gesamte Serie ist der Umgang mit Gruppen und auch Kenntnisse aus der Linearen Algebra I über orthogonale Matrizen sind nicht schlecht, aber nicht unbedingt nötig. Ich habe in einem Exkurs über Gruppen nochmal das Wichtigste über Gruppen zusammengefasst. Wer weitere und vor allem tiefgründigere Informationen über Gruppen wünscht, dem sei der Gruppenzwang von Gockel ans Herz gelegt. Um was soll es gehen? Die wohl schönste (für die Augen) Anwendung der Gruppentheorie ist die Beschreibung von Symmetrie. wikipedia.de schreibt: "In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation." Und genau das wollen wir in dieser Artikelserie mit Leben und vor allem mit Bildern und Inhalt füllen!

Diesen ersten Artikel will ich vor allem dazu erstmal nutzen, um euch einen Überblick über die Serie zu geben und der Frage nachzugehen, was wir denn alles vorhaben. Wir werden uns auf ebene Figuren beschränken. Zunächst werden wir also mögliche Symmetrien betrachten. Im zweiten Teil folgt dann, wie wir diese Symmetrien denn nun mit Gruppen beschreiben können. Und wie uns die Gruppentheorie dabei helfen wird.
1.1 Verschiedene Symmetrien ebener Figuren Man unterscheidet eigentlich zwischen vier verschiedenen Arten von Symmetrie einer ebenen Figur. Da hätten wir zum einen die Spiegelung an einer Symmetrie. Dazu betrachten wir das folgende Bild, das von wikipedia.de stammt. Spiegelsymmetrie Diese Spiegelung an einer Spiegelachse sollte euch vertraut sein. Weiter geht es mit Drehungen. Drehung Dieses Bild stammt von der Uni Giessen. Das grüne Dreieck wurde um einen bestimmten Winkel gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) gedreht. Weiter gibt es noch die Verschiebungen (Translationen). Translation Das Bild stammt von Herrn Briegel. Man verschiebt also einfach nur ein bestimmtes Objekt um einen bestimmten Vektor. Eine vierte, und vielleicht etwas weniger vertraute Symmetrie, ist die Gleitspiegelung. Dies ist eine Kombination einer Spiegelung mit einer Translation. Folgendes Bild soll dies verdeutlichen: Gleitspiegelung Das Bild stammt wieder mal von wikipedia.de. Nun können natürlich auch noch andere Kombinationen von Symmetrien auftreten. Zum Beispiel sind Kombinationen von Spiegelungs -und Drehsymmetrie möglich. Aber auch eine Translation mit einer Spiegelung ist denkbar. Überlegt euch doch mal schöne Symmetrien, die dies verdeutlichen und veranschaulichen. :) Soweit erstmal zum Anschaulichen. Beginnen wir mathematisch präzise zu definieren.
1.2 Symmetrieoperation \big\ \green\ Definition einer Symmetrieoperation: Eine Symmetrieoperation auf dem euklidischen Raum E ist eine Abbildung f: E->E mit den beiden folgenden Eigenschaften: (i) f ist linear__, d.h. f bildet Geraden auf Geraden ab. (ii) f ist eine Isometrie__, d.h. f erhält Längen und Winkel. Mit Sym(E) wollen wir die Menge aller Symmetrieoperationen bezeichnen. Es gilt folgender Satz__, den wir aber nicht beweisen werden, da wir dafür gar nicht genug definiert haben. \big\ \green\ Satz: Sei f: E->E eine Symmetrie von E. Identifizieren wir E mit dem euklidischen Standardraum \IR^n mit einem euklidischen Koordinatensystem, so gibt es eine orthogonale Matrix A\el\ O_n(\IR) und einen Vektor b\el\ \IR^n mit f(x)=A*x+b für alle x\el\ E=\IR^n. Dieser Satz wird grundlegend sein, wie wir gleich schon sehen werden. Der Satz besagt also, dass wir eine Symmetrie, also eine Translation, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Gleitspiegelung durch f(x)=A*x+b darstellen können, wobei A eine orthogonale Matrix und b ein Vektor ist. Man könnte sich jetzt erstmal fragen, ob die Menge aller Symmetrieoperationen Sym(E) eine Gruppe bildet? Dies sieht man vielleicht nicht auf den ersten Blick. Dass dies aber wirklich so ist, wollen wir im Einzelnen nun nachweisen. Was ist dafür zu tun? Klar, wir müssen die Gruppenaxiome nachweisen. Frage: Ist (Sym(E), \circ\ ) eine Gruppe? Dabei ist \circ\ die Komposition von Abbildungen von Sym(E). (i) Man kann allgemein zeigen, dass die Kompisition von Abbildungen assoziativ ist. Die Assoziativität liegt also vor. (ii) Auch das neutrale Element, die Identität, ist in Sym(E) enthalten, dann dazu wähle für A die Einheitsmatrix und für b den Nullvektor. (iii) Da A\el\ O_n(\IR) und diese orthogonalen Matrizen entweder die Determinante 1, bei Drehungen, oder die Determinante -1, bei Spiegelungen, besitzen, ist A invertierbar und wir können das Inverse zu f(x)=A*x+b direkt angeben, es ist f^(-1)(x)=A^(-1)*x-A^(-1)*b. Nun sagt uns aber keiner, dass Sym(E) abgeschlossen ist. D.h.: Wenn wir zwei Symmetrieoperationen verknüpfen, erhalten wir dann wieder eine Symmetrieoperation? Dazu sei f_1(x)=A_1*x+b_1 und f_2(x)=A_2*x+b_2 zwei Elemente aus Sym(E), die wir nun verknüpfen wollen: (f_1\circ\ f_2)(x)=f_1(f_2((x)))=f_1(A_2*x+b_2)=A_1*(A_2*x+b_2)+b_1 =A_1*A_2*x+A_1*b_2+b_1=(A_1*A_2)*x+(A_1*b_2+b_1) (f_1\circ\ f_2)(x) hat also wieder dieselbe Form mit A:=A_1*A_2 und b:=A_1*b_2+b_1. Damit ist auch die Abgeschlossenheit gezeigt. Also bildet (Sym(E), \circ\ ) eine Gruppe!
1.3 Mathematische Beschreibung der Symmetrien Nun stellt sich ja die Frage, wie man z.B. die Translation darstellt und zwar mathematisch. Wir beschränken uns nun auf den Fall einer Ebene E, d.h. wir nehmen n=2 an und identifizieren E mit dem \IR^2. Nun können wir anhand der expliziten Darstellung von Symmetrien durch Matrizen und Vektoren eine kleine Auswahl gewisser "Grundtypen" von Symmetrien aufstellen: \squaredot Die Translation__ ist eine Symmetrie der Form f(x)=x+b. Also ist A=E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Wenn b der Nullvektor ist, erhalten wir die Identität. \squaredot Die Drehung__ von E ist eine Symmetrie der Form f(x)=A*x+b, wobei A nicht die Einheitsmatrix ist und die Determinante det(A)=1 besitzt. Mit den Kenntnissen der Linearen Algebra I ergibt sich, dass A eine Drehmatrix der Form A=(cos(\alpha),-sin(\alpha);sin(\alpha),cos(\alpha)) für ein \alpha\el\ (0, 2*\pi) ist. Ist b=0, so drehen wir um den Ursprung um den Winkel \alpha. \squaredot Zwei weiter Typen sind die Spiegelung__ und die Gleitspiegelung__, wobei man die Spiegelung als "besondere" Gleitspiegelung mit der Translation um den Nullvektor auffassen könnte.
1.4 Abschluss und Literatur Da dieser Artikel nur als Einführung und als kleine Werbung für die folgenden Artikel gedacht war, mache ich an dieser Stelle Schluss und verrate nur noch so viel, dass wir sehen werden, dass jedes Element der Symmetriegruppe konjugiert ist zu genau einem der folgenden Typen: Identität, Translation, Spiegelung, Drehung, Gleitspiegelung. Was man unter "konjugiert" versteht und wie man dies beweist und was das denn nun alles mit Gruppen zu tun hat, werden wir im nächsten Artikel sehen. Ich hoffe, ich habe euch neugierig gemacht und ihr werdet euch auch den nächsten Artikel durchlesen. Bis dahin viel Erfolg und Spaß! Literaturempfehlungen sind: - Algebrabuch von Michael Artin - Skript über Symmetriegruppen
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: Lineare Algebra :: Algebra :: Mathematik :: Gruppentheorie :
Symmetriegruppen - §1 Einführung [von FlorianM]  
Einführung zu Symmetriegruppen. Was sind Symmetrien und wie beschreibt man diese mit Hilfe der Gruppentheorie?
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"Mathematik: Symmetriegruppen - §1 Einführung" | 5 Comments
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Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von: Martin_Infinite am: Mo. 05. Mai 2008 14:37:20
\(\begingroup\)in der definition von "symmetrie" sollte es affin-linear und nicht linear heißen.\(\endgroup\)
 

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von: Diophant am: Di. 06. Mai 2008 08:42:28
\(\begingroup\)Hallo FlorianM, das ist sehr anschaulich geschrieben und ich bin sehr gespannt auf die Fortsetzung! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von: Hartmut am: Do. 08. Mai 2008 20:43:36
\(\begingroup\)Hallo Florian, ich bin gespannt auf die Fortsetzung. Symmetriegruppen fehlen bisher in meinem Repertoire. Gruss Hartmut [Anmerkung wegen Fehlers gestrichen, weil zwischenzeitlich behoben]\(\endgroup\)
 

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von: PeterTheMaster am: Sa. 14. Juni 2008 20:41:32
\(\begingroup\)ist die gleitspiegelung nicht einfach eine komposition aus translation und spiegelung? warum wird sie exta erwaeht? sollte man nicht mit gleichem recht von gleitdrehung, drehspiegelung... reden koennen?\(\endgroup\)
 

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von: kolporteur am: Di. 16. Mai 2017 18:09:02
\(\begingroup\)Eine "Gleitdrehung" ist das Hintereinanderausführen (also das Produkt) aus Translation und Rotation, aber im Ergebnis wieder nur eine simple Rotation, also deshalb nicht extra ausgewiesen. Eine "Drehspiegelung" ist das Hintereinanderausführen eine Rotation (also zweier Spiegelungen an Achsen, die sich in einem Punkt schneiden - dem Rotationspunkt) und einer weiteren Spiegelung, also im Ergebnis nur eine Hintereinanderausführung dreier Spiegelungen und deshalb auch nicht extra zu erwähnen.\(\endgroup\)
 

 
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