Mathematik: Polynome
Released by matroid on So. 02. November 2008 18:33:30 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Ich möchte in diesem Artikel Polynome als verallgemeinerte Zahlen betrachten. Eine natürliche Zahl n stellen wir p-adisch wie folgt dar: n = akpk + ak-1pk-1 + ... + a1p + a0 = ak ak-1 ... a1 a0 |p dabei nehmen die Koeffizienten ai Werte zwischen 0 und p-1 an. Da solche Zahlen meist im Positionssystem dargestellt sind, also nur als Folge dieser Koeffizienten, ist die Ähnlichkeit mit den Polynomen nicht unbedingt offensichtlich. Bspw. bedeutet 5.376 im dekadischen Zahlensystem: 5.37610 = 5 * 103 + 3 * 102 + 7 * 10 + 6 oder 43 im dualen System: 4310 = 1010112 = 25 + 23 + 2 + 1

Der Grad eines Polynoms ist der höchste vorkommende Exponent von x, der im Polynom vorkommt. Vergleichbar ist dies mit der Stellenanzahl einer natürlichen Zahl. Allerdings muss man dabei beachten, dass bei der Zählung der "Stellen" eines Polynoms mit Null begonnen wird. Ein Polynom k-ten Grades hat folgende Summendarstellung: p(x) = akxk + ak-1xk-1 + ... + a1x + ao bzw. p(x)=sum(a_i\.x^i,i=0,k) wobei die Koeffizienten ai und die Werte der Variablen x natürlich aus einem beliebigen kommutativen Ring R sein können; hier sei aber zunächst angenommen, dass sie reell, also aus dem Zahlkörper IR sind. Man könnte nun ein Polynom analog zur Positionsdarstellung der natürlichen Zahlen auch darstellen als folgende Reihe von Zahlen (sozusagen x-adisch): p(x) = akak-1...a1ao|x Bsp.: p(x) = 2x2 + 7x + 4 = 274x Ergänzung: Einige der Summanden der Summendarstellung von Polynomen haben Namen, u.z. ist a0 der konstante Term, a1x der lineare, a2x2 der quadratische, a3x3 der kubische Term. Ist ein solcher Term derjenige mit dem höchsten Exponenten, also der Führungsterm, dann erhält auch das ganze Polynom den entsprechenden Namen, bspw. als quadratisches Polynom oder quadratische Funktion. Wie bei den natürlichen Zahlen auch lässt sich mit Polynomen rechnen, wenn man einige kleine Besonderheiten berücksichtigt. Addition / Subtraktion: Aufgrund der Unbestimmtheit von x gibt es keinen Übertrag - es werden immer nur die Summen bzw. Differenzen an den jeweiligen Positionen gebildet. Man sagt auch, es wird komponentenweise addiert bzw. subtrahiert. Seien p1(x) und p2(x) zwei Polynome mit den jeweiligen Graden k1 und k2, wobei oBdA k1 ≥ k2 sein soll. p1(x) + p2(x) = ak1xk1 + ak1-1xk1-1 + ... + ak2xk2 + ... + a1x + ao + bk2xk2 + bk2-1xk2-1 + ... + b1x + bo = ak1xk1 + ak1-1xk1-1 + ... + (ak2 + bk2)xk2 + ... + (a1 + b1)x + ao + bo p_1(x)+p_2(x)=sum(a_i\.x^i,i=0,k_1)+sum(b_i\.x^i,i=0,k_2)=sum((a_i+b_i)\.x^i,i=0,k_1) Das sieht unübersichtlich aus, oder? Mit Hilfe der Positionierung analog den natürlichen Zahlen, ist das Ganze halb so schlimm:

p1(x) + p2(x) =

  ak1xk1 + ... + ak2xk2 + ... + a1x + ao
  + bk2xk2 + ... + b1x + bo

=   ak1xk1 + ... + (ak2 + bk2)xk2 + ... + (a1 + b1)x + (ao + bo)

oder
  ak1 ... ak2 ... a1 ao
  + bk2 ... b1 bo

=   ak1 ... (ak2 + bk2) ... (a1 + b1) (ao + bo)

Wie man sieht, kann der Grad des Summenpolynoms höchstens genauso groß wie der höchste Grad unter den Summanden werden. Wegen der Möglichkeit, dass die Koeffizienten auch negativ sein können, kann der Grad des Summenpolynoms auch kleiner werden. Natürlich können auf diese Weise auch mehrere Polynome addiert werden.

Beispiele dazu:

zuerst ein sehr einfaches

p1(x) = x + 5 = 1,5
p2(x) = 2x + 1 = 2,1

p1(x) + p2(x) = 1,5 + 2,1 = 3,6
also = 3x + 6

aber es sind nicht nur natürliche Zahlen als Koeffizienten erlaubt

p1(x) = 2x3 - x2 + 3x - 5 = 2,-1,3,-5
p2(x) = 4x2 - 1 = 4,0,-1

In p2(x) fehlt der lineare Term, also steht in der Positionsschreibweise eine Null!

p1(x) + p2(x) = (2,-1,3,-5) + (4,0,-1) = 2,3,3,-6
also = 2x3 + 3x2 + 3x - 6

Analog zur Addition wird die Subtraktion vorgenommen. Zu beachten ist hier allerdings, dass keine allgemeine Aussage über den Grad des Differenzpolynoms getroffen werden kann, da ja die Führungsterme der beteiligten Polynome gleich sein können. Hierzu ebenfalls ein Beispiel:

p1(x) = 5x3 - 2x2 - 1 = 5,-2,0,-1
p2(x) = 5x3 - 3x2 + 4x + 2 = 5,-3,4,2

p1(x) - p2(x) = (5,-2,0,-1) - (5,-3,4,2) = 1,-4,-3
also = x2 - 4x - 3
Multiplikation

Allgemein sieht die Polynommultiplikation wieder sehr unübersichtlich aus, letzten Endes ist sie aber ebenfalls nicht komplizierter als die Multiplikation natürlicher Zahlen. Nur gibt es auch hier wieder keinen Übertrag. Die Art, wie die neuen Koeffizienten aus den alten gebildet werden, heißt Faltung.

p1(x) * p2(x) = (ak1xk1 + ak1-1xk1-1 + ... + a1x + ao) * (bk2xk2 + bk2-1xk2-1 + ... + b1x + bo)
= ak1bk2x(k1 + k2) + (ak1bk2-1 + ak1-1bk2)x(k1 + k2 - 1) + ... + (a1bo + aob1)x + aobo
p_1(x)*p_2(x)=sum(a_i\.x^i,i=0,k_1)*sum(b_i\.x^i,i=0,k_2)=sum(c_i\.x^i,i=0,k_1 +k_2)
mit
c_i=sum(a_j_1 *b_j_2,j_1 +j_2=i)

Auch das machen wir jetzt analog zur Multiplikation der natürlichen Zahlen:

(ak1xk1 + ak1-1xk1-1 + ... + a1x + ao) * (bk2xk2 + bk2-1xk2-1 + ... + b1x + bo)

ak1bk2 ak1-1bk2 ... a1bk2 aobk2  
  ak1bk2-1 ak1-1bk2-1 ... a1bk2-1 aobk2-1  
...
  ak1b1 ak1-1b1 ... a1b1 aob1  
  ak1bo ak1-1bo ... a1bo aobo

ak1bk2 (ak1bk2-1 + ak1-1bk2) (Summe) (Summe) (...) (Summe) (Summe) (a1bo + aob1) aobo


Die Summe der einzelnen Spalten sind die Koeffizienten des neuen Polynoms. Von hinten nach vorn müssen die entsprechenden Potenzen von x ergänzt werden, um das Produktpolynom zu erhalten. Der Grad dieses Polynoms ist die Summe aus den Graden der einzelnen Faktorpolynome.

Beispiele dazu:
wiederum zunächst ein Einfaches

p1(x) = x + 1 = 1,1
p2(x) = x + 3 = 1,3
p1(x) * p2(x) = 1,1 * 1,3 = 1,4,3
d.h. = x2 + 4x + 3

p1(x) = 2x3 -3x2 + x - 5 = 2,-3,1,-5
p2(x) = 4x2 - 3 = 4,0,-3

(2,-3,1,-5) * (4,0,-3)

8,-12,4,-20, 
 0, 
 -6,9,-3,15  

8,-12,-2,-11,-3,15


p1(x) * p2(x) = 2,-3,1,-5 * 4,0,-3 = 8,-12,-2,-11,-3,15
d.h. = 8x5 - 12x4 - 2x3 - 11x2 - 3x + 15

Im übrigen sei in diesem Zusammenhang auf das wesentlich schnellere Ferrolsche Multiplikationsverfahren verwiesen, das wegen der Übertragsfreiheit für Polynome auch noch einfacher ist als für natürliche Zahlen. Dazu schreibt man die zu multiplizierenden Zahlen wie bei der Addition untereinander:

 2-31-5
 |
  * 40-3

=  15
 2-31 -5
 X 
  * 40 -3

=  -3 15
 2-31-5
 |X 
  * 40-3

=  -11-315
usw.


Entlang der Linien wird dabei multipliziert, die jeweiligen Ergebnisse addiert, also:

(-5)*(-3) = 15

1*(-3) + (-5)*0 = -3

(-3)*(-3) + 1*0 + (-5)*4 = -11

usw.

Division

Die Polynomdivision erfolgt wiederum analog zur Division der natürlichen Zahlen. Da wir oben ja angegeben hatten, dass die Koeffizienten ai und die Werte x aus IR sein sollen, ist hier nichts weiter zu beachten. Mit anderen Worten, Polynomdivision ist einfacher als normale Division. Im einzelnen sieht das dann so aus:
p1(x) : p2(x) = (ak1xk1 + ak1-1xk1-1 + ... + a1x + ao) : (bk2xk2 + bk2-1xk2-1 + ... + b1x + bo)
= ak1/bk2x(k1 - k2) + ... + r(x)
p_1(x):\.p_2(x)=sum(a_i\.x^i,i=0,k_1)/sum(b_i\.x^i,i=0,k_2)=sum(c_i\.x^i,i=0,k_1-k_2)+r(x)
wobei r(x) der Divisionsrest ist. Gerechnet wird nach folgendem "Rezept":
1. man dividiert den Führungsterm von p1 durch den von p2
2. das Ergebnis wird hinter das Gleichheitszeichen geschrieben
3. jetzt wird dieses Ergebnis der Reihe nach mit allen Gliedern von p2
   multipliziert und unter den jeweiligen Term von p1 gesetzt
4. das Ganze wird nun von der drüber liegenden Reihe abgezogen
   (am besten klammert man alles ein und setzt ein Minuszeichen davor)
5. dann holt man den nächsten Term von p1 fügt ihn mit seinem
   Vorzeichen ans Ende des Subtraktionsergebnisses
6. jetzt steht unter dem Strich ein neues Polynom, das durch p2
   dividiert wird, sprich man beginnt mit diesem "Rezept" nun wieder bei 1.
   (man dividiert also den neuen Führungsterm durch den von p2 usw.)
Ausgeschrieben ergibt das:
(ak1xk1+ ak1-1xk1-1 +...+ ak1-k2xk1-k2 +...+a1x+ao): (bk2xk2+ bk2-1xk2-1+...+ bo)= a_k_1/b_k_2\.x^(k_1-k_2) + ...
-(ak1xk1+ (a_k_1*b_(k_2 -1))/b_k_2\.x^(k_1-1) +...+ (a_k_1*b_o)/b_k_2\.x^(k_1-k_2)\.)
 

 
(a_(k_1 -1) -(a_k_1*b_(k_2 -1))/b_k_2\.)\.x^(k_1-1) +...+ (a_(k_1 -k_2) -(a_k_1*b_o)/b_k_2\.)\.x^(k_1-k_2) +ak1-k2-1xk1-k2-1  
...


Auch hierfür ein Beispiel:
 (x5+ x4+ 0+ x2+ x+ 2) :(x2+ x+ 1) =x3+ 0- x+ 2
-(x5+ x4+ x3)
 

 
 0- x3+ x2 // liefert 0
 
 
  - x3+ x2+ x  // liefert -x
 -(- x3- x2- x)  
 
 
  2x2+ 2x+2  // liefert 2
 -( 2x2+ 2x+2)  
 
 
  0 


Kurz kann man das auch schreiben als:
 110112 :111 =1 0- 1 2
-(11 1)
 

 
 0- 11 // liefert 0
 
 
  -111  // liefert -1
 -(-1-1-1)  
 
 
  222  // liefert 2
 -( 222)  
 
 
  0 


In diesem Beispiel ging die Division ohne Rest auf, das ist natürlich nicht immer der Fall. Vielmehr ist es oft so, dass ein Rest bleibt - man muss dann trotzdem solange die Division durchführen, bis vom Ergebnispolynom der konstante Term da steht - bei der letzten Subtraktion steht dann allerdings keine 0 unterm Strich, sondern wiederum ein Polynom, dessen Grad kleiner als der Grad von p2 ist. Auch dazu ein Beispiel:
 2853010 :2-21 =1 5 7 6
-(2-2 1)
 

 
 10 43 // liefert 5
-(10 -105) 
 
 
  14-20  // liefert 7
 -(14-147)  
 
 
  12-710  // liefert 6
 -( 12-126)  
 
 
Rest 5-4 


Das bedeutet ausgeschrieben:
(2x^5 +x^4 -x^3 -3x^2 +2)/(2x^2 -2x+1)=x^3 +5x^2 +7x+6 +(5x-4)/(2x^2 -2x+1)

Schluss Wegen der genannten Eigenschaften der Polynome werden diese in der Algebra als eine Art neuer Zahlkörper, dem sog. Polynomring betrachtet. Ähnlich wie bei den natürlichen Zahlen kann man dort "Primzahlen" und prime Faktoren ermitteln und vieles mehr. Aber dies ist nicht mehr Gegenstand dieses Artikels, siehe dazu vielmehr z.B. folgende Artikel Polynomringe von Martin_Infinite Gruppen-Zwang-Serie von Gockel Symmetrische Polynome von Martin_Infinite bye trunx (Jens Koch)
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"Mathematik: Polynome" | 6 Comments
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Re: Polynome
von: Diophant am: Mo. 03. November 2008 11:12:27
\(\begingroup\)Ein sehr schöner Artikel, der vermutlich im Forum unzählige Male verlinkt werden wird, schon allein wegen dem anschaulichen Beispiel für die Polynomdivision. Vielen Dank dafür! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Polynome
von: Hans-Juergen am: Mo. 03. November 2008 14:06:54
\(\begingroup\)Hallo trunx, danke für den interessanten und gut geschriebenen Artikel. Habe wieder etwas hinzugelernt! Gruß, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Polynome
von: trunx am: Mo. 03. November 2008 18:19:08
\(\begingroup\)Hallo, danke an euch 😄 bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Polynome
von: krischi am: Do. 06. November 2008 08:27:16
\(\begingroup\)Ich finde diesen Artikel wirklich gut gelungen, besonders, weil Polynome mit Zahlen in x-adischen Zahlensystemen gleichgesetzt werden können. Auch die Formeln zur Polynommultiplikation und -division finde ichsehr nützlich. EIn toller Artikel! Viele Grüße, Krischi\(\endgroup\)
 

Re: Polynome
von: helmetzer am: So. 14. Juli 2019 14:22:46
\(\begingroup\)Zum Grad des "Summenpolynoms". Genau wie bei der Differenz können sich die höchsten Koeffizienten auslöschen, der Grad dann kleiner werden. \(\endgroup\)
 

Re: Polynome
von: trunx am: So. 14. Juli 2019 16:19:55
\(\begingroup\)@helmetzer: danke, habe ich oben ausgebessert.\(\endgroup\)
 

 
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