Mathematik: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
Released by matroid on So. 28. Dezember 2008 00:53:17 [Statistics]
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Mathematik

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Ich verfasste während des letzten Dreivierteljahres (Frühling '08 - Winter '08) eine Maturaarbeit (im Deutschen als Facharbeit bekannt). Diese Arbeit beschäftigt sich mit der fraktalen Geometrie und ist als eine Einführung zu verstehen. Das Ziel meiner Arbeit ist, in die fraktale Geometrie soweit einzuführen, dass es dem Leser möglich sein wird, die Definition der fraktalen Menge nach Mandelbrot aus dem Buch "Die fraktale Geometrie der Natur" zu verstehen. Ich habe die Arbeit im PDF-Zustand belassen, weil es aufgrund des Umfanges unglaublich mühsam wäre, sie in HTML und FED umzuwandeln, und dies schlussendlich sowieso nicht mit meinem Latex-Design mithalten könnte. Ich hoffe, dass meine Arbeit gelesen wird und dazu motiviert, eine Maturaarbeit/Facharbeit über ein mathematisches Thema zu schreiben. (Ich empfehle die Ansicht "2 Seiten, fortlaufend")




Kurze Inhaltsübersicht


Mein Weg zum Verständnis der Definition der fraktalen Menge nach Mandelbrot führt über die exakt selbstähnlichen Fraktale. Sie unterstützen mich, die grundlegenden Begriffe einzuführen, und geben eine erste Vorstellung davon, was für Objekte unter Mandelbrots Definition fallen. Das erste Kapitel ist dazu da, eine Vorstellung davon zu geben, was Fraktale sind, und die für den späteren Verlauf unumgänglichen Definitionen zu liefern. Im zweiten Kapitel werden mit dem Cantor-Staub und dem Sierpinski-Teppich zwei mathematische Fraktale, sogenannte IFS-Fraktale, eingehend behandelt. Da ich es nicht unterlassen wollte, auch Fraktale aus der Natur zu thematisieren, wird im Kapitel 3 als Beispiel für natürliche Kurven unendlicher Länge die Küstenlinie behandelt. Im vierten Kapitel schlussendlich wird die Hausdorff-Besicovitch-Dimension vorgestellt. Nach dem Erklären der Begriffe zeige ich die Gleichwertigkeit der Hausdorff-Besicovitch-Dimension und der Selbstähnlichkeitsdimension bei exakt selbstähnlichen Punktmengen. Diesen Zusammenhang würde ich unterdessen anders beweisen.



Um meine Arbeit anzuschauen, müssen Sie die angehängte PDF Datei öffnen.



(oder diesem Link folgen.)


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: Mathematik :: Fraktale :
Maturaarbeit zum Thema Fraktale [von giuli]  
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der fraktalen Geometrie und ist als eine Einführung zu verstehen.
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"Mathematik: Maturaarbeit zum Thema Fraktale" | 19 Comments
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Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: Ueli am: So. 28. Dezember 2008 11:18:01
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Hallo Giuli,

ich habe die Arbeit noch nicht gelesen, beim Durchsehen war ich aber begeistert. Die Entschuldigungen kannst du wieder wegstreichen, es kommt ja nicht darauf an auf welcher Schulstufe und für welche Zielgruppe ein Artikel geschrieben ist, sondern dass man etwas lernen kann oder einfach Spass hat daran.

Gruss Ueli, weiter so!\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: gaussmath am: So. 28. Dezember 2008 11:52:45
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Hi,

so etwas macht man schon in der Schule?  😮 Ich bin auf jeden Fall begeistert! Danke

gaussmath\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: moggi am: So. 28. Dezember 2008 16:48:10
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Hallo Giuli,

auch ich finde das diese Arbeit sehr gelungen ist und du dich bei dieser Arbeit für nichts entschuldigen musst.

Vor allem sind deine Erklärungen sehr gut gelungen, sodass man dies trotz der inhaltlichen Tiefe auch Einsteigern als Lektüre empfehlen kann.

moggi\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: krischi am: So. 28. Dezember 2008 22:22:29
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Hallo giuli,

ich finde deine Arbeit auch sehr gut. Ich habe zwar noch nicht alles gelesen, aber Auszüge davon, und ich muss sagen, du hast das Thema gut und verständlich erklärt und passende Beispiele verwendet.

Viele Grüße,

Krischi\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: huepfer am: Mo. 29. Dezember 2008 17:34:59
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Hallo Giuli,

ich habe Deine Arbeit noch nicht gelesen, bin aber shcon sehr gespannt darauf. Die ersten beiden Bilder kommen mir schon mal sehr bekannt vor ;-)
Einen Tipp hätte ich aber aus eigener Erfahrung. Du solltest besser Deinen echten Namen aus dem Dokument entfernen. Bei mir hatte das dazu geführt, dass ich mehrere Anrufe und weiteres von Leuten bekommen, die die Arbeit einfach so übernehmen wollten und mich dazu bringen wollten, sie aus dem Internet zu nehmen. Und das ging bis zu Drohungen.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: giuli am: Mo. 29. Dezember 2008 18:52:25
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Hallo matheplanet user,

Erstmals vielen Dank für die positive Resonanz xD
Ich hoffe das die Arbeit auch bei genauerem Durchlesen gefällt.

@ Ueli  Die "Entschuldigungen" sind weggestrichen. (mit ihnen wollte ich mich absichern falls weniger positive comments gekommen wären ... ;D)

@ Felix. Was du da schilderst klingt für mich doch ziemlich heftig ... Ich habe bis jetzt im Zusammenhang mit Facharbeiten o. ä. nichts von solchen Drohungen  gehört und auch (noch ? ) nicht erlebt.  Vielen Dank für deinen Rat, es würde meine Person sicherlich schützen wenn ich meinen Namen aus dem Dokument entferne, aber allerdings würde ich mich vor möglichen Belästigungen/Drohungen verstecken und auch nicht zu meiner Arbeit stehen ...  
Und das will ich nicht und aus diesem Grund denke ich werde ich es überleben, wenn ich meinen Namen in der Arbeit belasse. (Vielleicht ist schon der in der Arbeit erwähnte Autorenname nicht mein richtiger ... :P)

@ moggi. Es war während dem Verfassen der Arbeit mein Ziel möglichst verständlich zu bleiben. Ich habe beim Durchlesen anderer Arbeiten, die Erfahrung gemacht, das der Autor schnell Dinge voraussetzt, die vorher nicht definiert wurden oder generell zu schnell "vorwärtsschreitet".


Gruss,
giuli

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Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: tox am: Mo. 29. Dezember 2008 23:24:45
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Hallo giuli,

ich denke für eine Maturaarbeit ist das eine sehr gute Leistung. Das ganze ist wirklich sehr schön geschrieben und motiviert...
Ich hoffe die folgenden mathematischen Einwände seien mir erlaubt:

Ich sehe da ein paar Probleme mit den Formeln (4.6) und (4.9).
Zum einen ist nicht ganz klar wie epsilon und k in Relation stehen. Das ist aber nur eine Kleinigkeit. Anderseits glaube ich, dass man auf diese Art höchstens "kleiner gleich" zeigen kann. Falls zum Beispiel d=2 ist, dann ist die linke Seite von (4.6) immer gleich null aber die rechte nicht. Als Heuristik reichen diese Berechnungen jedoch allemal...

Satz 4.2 mit zusätzlichen Voraussetzungen an die Ähnlikeitsabbildugen hab ich schon in "Falconer: The geometry of fractal sets" gesehen. Der Beweis dort ist allerdings alles andere als trivial. Ich wusste gar nicht, dass der Satz so wie er bei dir steht richtig ist. Kannst du mir eine Referenz für einen Beweis geben (du schreibst ja das in dem Buch aus dem du den Satz hast kein Beweis steht)?

Gruss tox\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: Ueli am: Di. 30. Dezember 2008 12:50:30
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Hallo Giuli,

noch eine allgemeine Anmerkung:
Was ich über die Reaktionen auf deine Maturarbeit lese setzt sich nach meiner Erfahrung im Studium fort. Um genügend Studenten zu haben, werden die Studiengänge zunehmend von der schwierigen und abschreckenden Mathmatik befreit, um es etwas überspitzt zu formulieren.
Zu den ursprünglichen Studiengängen wie zB. Softwar-Engineering gesellen sich immer mehr Studiengänge im Business-Bereich. Dort wird grosszügig auf Code schreiben verzichtet.
Das Resultat sind überforderte Chefs, die nicht wissen, wovon sie sprechen und worüber sie gebieten.
Daher finde ich es überaus positiv, dass du dich in ein mathematisches Thema vertieft hast.\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: giuli am: Di. 30. Dezember 2008 17:53:15
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@ tox. Der Satz 4.2 wurde der Seite 165 des Buches „Fraktale Geometrie: Eine Einführung“. von H. Zeitler und D. Pagon entommen. Genau steht dort unter 4 Einige Sätze - ohne Beweis:

"4. 1 Für Punktmengen E die selbstähnlich im strengen bzw. im weiteren Sinn sind, gilt:

fed-Code einblenden

d_s(E)=d_f(E)=d_hb(E) bzw. d^-_s(E)=d_f(E)=d_hb(E)
 fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen

fed-Code einblenden

[...]

Versuchen Sie, Beweise zu geben, studieren Sie enschlägige Literatur [EDG]"  [ Mit EDG ist das Buch Edgar G. E., Measure, Topology and Fractal Geometry, New York (1990) gemeint.]


Es wird in „Fraktale Geometrie: Eine Einführung“, (von wo ich den Satz herhabe) also einzig auf [EDG] verwiesen. Und in diesem steht tatsächlich kein vergleichbarer Satz wie der Satz 4.1 in „Fraktale Geometrie: Eine Einführung“. Im Gegenteil es steht auf Seite S. 159:

fed-Code einblenden

Dies ist ziemlich deutlich und spricht gegen die Korrektheit meines Satzes. Es gibt allerdings durchaus eine Bedingung, bei deren Erfüllung immer dim K = s gilt. Auf Seite 156 in [EDG] steht:

"We will consider Moran's open set condition, wich is a general condition that insures dim K = s"

Ich habe allerding keine Ahnung um was es sich bei dieser Bedingung handelt...

Also, zusammenfassend kan man sagen:
Mein Satz 4.2 (Also auch der in „Fraktale Geometrie: Eine Einführung“) ist höchstwahrscheinlich so nicht richtig, obwohl er mir logisch erscheint.

Als Anmerkung: Auf Seite 160 steht in [EDG]:
fed-Code einblenden

Bei Fraktalen die sich mit einem Stringmodell beschreiben lassen, was ja bei vielen exakt Selbstähnlichen Fraktalen der Fall ist (Cantor-Staub. Sierpinski-Dreieck etc.) stimmt die Hausdorff-Besicovitch-Dimension also schon mit dessen Selbstähnlichkeitsdimension überein.


Von wo habe ich die Idee zu meinem "Beweis":
Mein "Beweis" so wie er in meiner Arbeit steht, findet sich nirgends.
Ich erfand ihn selbst. Im Nachhinein entdeckte ich noch folgenden Zusammenhang auf Seite 12 des Dokumentes  mathematik.uni-ulm. In ihm sah ich eine Bestätigung meines Vorgehens.

Gruss giuli


EDIT: Auf den ersten Punkt bin ich gar nicht eigegengen ...
Bei Gleichung 4.6 lässt sich zu jedem gegebenen epsilon mit einem k, einen Durchmesser ausrechnen, der kleiner als epsilon ist und somit als e-Überdeckung nach (4.2) in Frage kommt.(aus  (4.5) folgt dann, dass es  die minimalste Überdeckung ist)

Meiner Meinung nach ist das Gleichheitszeichen bei 4.6 durchaus angebracht, da   fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
die minimale verallgemeinerte Überdeckungsfläche verkörpert, weil ja (4.5) gilt. Es wird dann das d gesucht für das das d-dimensionale Hausdorff-Mass positiv (also nicht Null oder "unendlich") ist. Wenn d=2, ist die linke Seite Null und die andere nicht, aber es wird ja der Fall gesucht, bei dem beide Seiten gleich sind. Also das d welche die Gleichung erfüllt. Das d ist meine Unbekannte. Keine Ahnung ob das so stimmt, oder es nicht doch zu einfach ist, das waren auf jeden Fall im groben und ganzen meine Überlegungen. Vielleicht habe ich mir auch noch mehr dabei gedacht, momentan fällt mir aber nicht mehr dazu ein. Einen ähnlichen Lösungsweg findet sich auf S. 164 von "Fraktale Geometrie: Eine Einführung"


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Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: tox am: Mi. 31. Dezember 2008 00:17:16
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Ja genau die "open set condition" ist die zusätzliche Annahme die ich oben gemeint habe. Ohne diese kenne ich den Satz nicht...

Das Problem deiner Argumentation ist was du "minimale Überdeckung" nennst. Eine solche gibt es im Allgemeinen nicht wie das Beispiel mit d=2 zeigt, da dort das Minimum in 4.2 nicht angenommen wird (es sollte deshalb auch ein inf anstatt ein min in 4.2 stehen). Deine Überdeckungen mögen zwar anschaulich in einem gewissen Sinne minimal sein da sie die Konstruktion des Fraktals nachvollziehen, aber sie müssen nicht minimal im Sinne von Definition 4.2 sein, denn dazu müsste man alle anderen möglichen epsilon-Überdeckungen ausschliessen oder zumindest abschätzen. Deshalb sind auch Abschätzungen des Hausdorffmasses von unten im Allgemeinen schwerer als von oben. Und du hast mit deinen Überdeckungen eine Abschätzung von oben gezeigt...

Die Vereinigung in 4.5 ist nicht disjunkt und die paarweisen Schnitte verschiedener U_i können immer noch relativ gross sein bezüglich dem Hausdorff Mass zur Dimension d (vor allem wenn d klein ist). In der pdf Datei auf Seite 12 die du angegeben hast, ist genau dies mit "fast disjunkt" gemeint, d.h. paarweise Schnitte haben Hausdorffmass 0 zur Dimension s. Abgesehen davon sollte dort 0 < H^s(F) < unendlich stehen und nicht nur jeweils "kleiner gleich" um die Schlussfolgerung zu ziehen die gemacht wird.

In dem Beweis den ich kenne kommt man von der anderen Richtung. Sei s die Ähnlichkeits-Dimension, dann folgt H^s(F) < unendlich relativ leicht. 0 < H^s(F) aber nicht, dort kommt die open set condition ins Spiel. Zusammenfassend hat man dann 0 < H^s(F) < unendlich und s ist somit gleich der Hausdorff-Dimension.

Gruss tox\(\endgroup\)
 

Kleiner Rechtschreibfehler
von: krischi am: Do. 01. Januar 2009 15:59:39
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Hallo,

du hast geschrieben:

giuli schreibt:
Um meine Arbeit anzuschauen müssen Sie die angehänkte PDF Datei öffnen.

Es heißt nicht "angehänkte" sondern "angehängte". ;-)

Ansonsten - wie schon gesagt - finde ich deine Arbeit grandios!!!

Viele Grüße,

Krischi
\(\endgroup\)
 

Antwort Rechtschreibfehler und tox
von: giuli am: Sa. 03. Januar 2009 18:04:48
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Hallo krischi und tox,

krischi schreibt:
Es heißt nicht "angehänkte" sondern "angehängte". ;-)

Ja "angehänkt" wurde durch "angehängt" ersetzt. Ich war mir zuerst nicht sicher welches Wort richtig ist, habe dann beide bei google eingegeben und die Anzahl Treffer sprach für sich ... ("angehänkt" ist tatsächlich Dialekt, und eine schweizerische Besonderheit xD)



tox schreibt:
[...] denn dazu müsste man alle anderen möglichen epsilon-Überdeckungen ausschliessen oder zumindest abschätzen. Deshalb sind auch Abschätzungen des Hausdorffmasses von unten im Allgemeinen schwerer als von oben. Und du hast mit deinen Überdeckungen eine Abschätzung von oben gezeigt...


Ist meine Abschätzung nicht eine Abschätzung von unten ?
Ich kann mich eigentlich fast allem geschriebenen anschliessen.

Noch wegen inf und min. Es stimmt das vielfach (4.2) mit einem inf anstatt mit einem min steht. Im Buch "Fraktale Geometrie: Eine Einführung" steht aber min und nicht inf. Es leuchtet mir irgendwie auch ein min anstatt inf zu schreiben, da das Infimum ja in der Menge enthalten ist, und somit einfach das kleinste Element (also das Minimum) der Menge ist. Für das Infimum gilt ja:

fed-Code einblenden

Gut, an und für sich spricht nichts dagegen inf zu schreiben, da es ja vielleicht Fälle gibt wo dies nicht der Fall ist.( Ich kenne Fälle wo dies nicht der Fall ist, aber dies sind keine Fraktale.)
Aus Gründen der Verständlichkeit entschied ich mich in meiner Maturaabeit für das Minimum.

Nun meine Frage: "Spielt es bei der Berechnung d_hb's des Sierpinski-Teppichs eine Rolle ob bei (4.2) das Minumim oder das Infimum berechnet wird?"

Grüsse giuli

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Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: tox am: So. 04. Januar 2009 14:51:20
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Eben da liegt das Problem. Das Infimum wird bei der Berechnung des d-dimensionalen epsilon-Hausdorff-Masses in der Regel nicht angenommen. Auch in deinem Beispiel mit dem Sierpinski-Teppich nicht. Wie bereits erwähnt falls d=2 und epsilon beliebig ist, dann wird in 4.2 das Infimum der Menge {x : x > 0} genommen, das ist 0, aber 0 liegt selber nicht in dieser Menge, ist also nicht das Minimum sonder nur das Infimum. Somit kann es auch keine minimalen Überdeckungen geben. Aber gerade mit solchen argumentierst du und als Folge ist deine Identität 4.6 falsch, womit dein Beweis zusammenfällt.

Als Heuristik ist der Beweis OK. Aber vom mathematischen Standpukt weiss ich auch nicht wie man ihn retten kann.

Auf Seite 39 unten kommst du mit dieser Berechnung auch auf einen exakten Wert für das Hausdorff-Mass (zur Dimension log(8)/log(3)) des Sierpinski-Teppichs. Ich weiss nicht ob man den exakten Wert tatsächlich kennt. Es gibt dazu einige wissenschaftliche Arbeiten im Netz, allerdings vor allem aus chinesischen Journalen. In der Arbeit "Chen Fangyue - Hausdorff measure of fractal sierpinski carpet" aus dem Jahr 2000 wird eine obere Schranke angegeben die kleiner ist als deine, womit es auch in der richtigen Dimension d = log(8)/log(3) Überdeckungen gibt die besser sind als diejenigen die du angibst. Es ist aber auch geometrisch naheliegend, dass es solche Überdeckungen gibt, denn Quadrate verschenken durch ihre Form viel an überdeckbarer Fläche...

Gruss tox\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: giuli am: So. 04. Januar 2009 15:34:58
\(\begingroup\)
hi tox,

Für eine ausgereifte Antwort reicht die Zeit momentan leider gerade nicht ...

Falls es dich interessiert von wo genau ich meine vorgehensweise adaptiert habe, schau doch schnell mal S. 164-165 in folgenden Dokument an: Fraktale Geometrie: Eine Einführung. Es handelt sich dabei um die google book version des Buches. (Es ist also nicht ganz vollständig, aber glücklicherweise sind die relevanten Seiten online gestellt worden.

Bei 4 eine Sätze ohne Beweis, steht in leicht abgewandelter Form mein Satz 4.2.


Gruss giuli\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: tox am: So. 04. Januar 2009 18:40:29
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Nun gut, dann lag der Fehler wohl schon in der Quelle. Abgesehen davon, dass in diesem Buch die Berechnung zum Sierpinski-Dreieck durchgeführt gelten die genau gleichen Einwände wie bei deinem Beispiel (es sei denn es handelt sich im Buch um irgend ein anderes Sierpinski-Dreieck oder ein anderes Hausdorff-Mass als das mir bekannte). Und auch 4.1 im Buch dürfte falsch sein.

Der korrekte Wert des Hausdorff-Masses (zur Dimension log(3)/log(2)) des Sierpinski-Dreiecks scheint noch nicht bekannt zu sein. Nach "Ruan Huojun, Su Weiyi - An approximation method to estimate the Hausdorff measure of the Sierpinski gasket" aus 2004 liegt der Wert im Intervall [0.5631,0.8179]. In diesem Buch bekommt man mit Seitenlänge a=1 (ich denke mal, dass dies die die Seitenlänge ist) das Mass 1, was nicht im Intervall liegt. Ebenso erhält man Probleme falls man wie oben zum Beispiel die Dimension d=2 einsetzt.

Folgendes Zitat aus dem Buch sollte man sich merken falls man einen Beweis auf Anschauung aufbauen will:

"Man sieht sofort, dass diese Überdeckung minimal ist."

Gruss tox\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: giuli am: Mo. 05. Januar 2009 19:14:27
\(\begingroup\)

Hi tox,

Zuerst:


tox schreibt:
Folgendes Zitat aus dem Buch sollte man sich merken falls man
 einen Beweis auf Anschauung aufbauen will:


"Man sieht sofort, dass diese Überdeckung minimal ist."


Eigentlich: Ich empfinde den Satz auch als ungeschickt gewählt. Wenn es tatsächlich so klar ist, kann man den Platz besser nutzen und sich den Satz sparen, und das Offensichtliche einfach schnell zeigen und/oder begründen.

Allerdings: Gegen Anschauungen an sich habe ich nicht das geringste. Einen Beweis auf Anschauungen aufbauen ist sicherlich nicht gut, aber man muss sich vor Augen halten, dass die Ideen, welche man hat auch von Anschauungen her kommen und der menschliche Verstand nunmal so funktioniert. Wenn man sieht, dass muss doch so sein und dann in diese Richtung gehend den Beweis führt, wird einem das Beweisen sicher leichter fallen. Natürlich reicht es dann nicht aus einfach zu schreiben, dass sieht man sofort ...


Weiter:


tox schreibt:
 In der Arbeit "Chen Fangyue - Hausdorff measure of fractal
sierpinski carpet" aus dem Jahr 2000 wird eine obere Schranke
angegeben die kleiner ist als deine, [...].

Könnest du mir diese obere Schranke genau angeben? Bis jetzt fand ich nur heraus, dass sie nahe bei 1 liegt.


Zu guter Letzt: Könntest du auch den Link für "Ruan Huojun, Su Weiyi - An approximation method to estimate the Hausdorff measure of the Sierpinski gasket" posten.  Ich konnte das Dokument im Internet nur auf Seiten finden, auf denen ich für den Download bezahlen müsste oder ein Benutzerkonto anlegen. (bin mir nicht sicher ob ich den Kontext richtig verstanden habe, da ich Chinesisch nicht verstehe, und nich alle Seiten die ich besuchte besonders seriös aussahen...)


Gruss,
 giuli



\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: tox am: Di. 06. Januar 2009 01:27:31
\(\begingroup\)
Der Satz ist nicht nur ungeschickt gewählt sondern falsch. Ich habe nicht gesagt, dass Anschauungen in der Mathematik (besonders in der Geometrie) nicht wichtig sind. Deiner Ausführung dazu stimme ich zu...

Hier die links:

Chen Fangyue, Xie Tingfan - Hausdorff measure of fractal Sierpinski carpet:
www.springerlink.com/content/f272x406236p236t/

Ruan Huojun, Su Weiyi - An approximation method to estimate the Hausdorff measure of the Sierpinski gasket:
www.springerlink.com/content/jq6083145386477l/

Ich glaube jedoch nicht, dass du Zugriff auf die Arbeiten hast. Aber da lässt sich schon etwas machen (ich hab dir dazu eine PM geschickt). Die obere Schranke aus der ersten Arbeit ist 1.091. Dein Wert (mit Seitenlänge a=1) ist sqrt(2)^(log(8)/log(3)) und dieser ist grösser als 1.091.

Gruss tox\(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: Gerhardus am: Do. 17. November 2011 21:53:01
\(\begingroup\)
Die PDF-Datei ist offenbar gelöscht worden. Ohne sie ist der Artikel sinnlos. Ist der damalige Autor giuli identisch mit dem Benutzer giuli, der sich 2011 angemeldet hat?  \(\endgroup\)
 

Re: Maturaarbeit zum Thema Fraktale
von: matroid am: Do. 17. November 2011 22:02:32
\(\begingroup\)

Ich habe die Datei wieder zugänglich gemacht.
Danke für den Hinweis.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

 
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