Mathematik: Das Pettis-Integral
Released by matroid on So. 29. März 2009 00:13:24 [Statistics]
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Mathematik

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ntegration vektorwertiger Funktionen II: Das Pettis-Integral


Hallo Freunde der Funktionalanalysis.

Ich habe in einem früheren Artikel schon einmal über Möglichkeiten geschrieben, vektorwertige Funktionen zu integrieren. Speziell habe ich das Bochner-Integral für Banachraum-wertige Funktionen vorgestellt, welches sich viele interessante Eigenschaften mit dem Lebesgue-Integral reellwertiger Funktionen teilt.

Damals habe ich einen Ausblick auf das Pettis-Integral gegeben. Dieses möchte ich in diesem Artikel näher beleuchten.



Inhalt



Definition und elementare Eigenschaften



Die Idee des Pettis-Integrals ist schnell beschrieben: Mittels der stetigen Linearformen auf einem allgemeinen Raum spielt man alles auf den eindimensionalen Fall zurück. Konkret ist es wie folgt definiert:


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Das Pettis-Integral ist i.A. nicht eindeutig bestimmt, denn es kann passieren, dass das einzige Funktional in X' das Nullfunktional ist. Dann ist natürlich jede Funktion integrierbar und jeder Vektor x ein Integral. Das ist selbstverständlich denkbar ungeeignet, um eine sinnvolle Theorie zu entwickeln.

Eine sehr große Klasse von topologischen Vektorräumen, für die so etwas allerdings nicht passieren kann, sind die hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräume (siehe auch hier), denn für sie gilt der Satz von Hahn-Banach, der uns die Existenz genügend vieler stetiger Funktionale sichert:

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Den Beweis werde ich nicht vorführen. Wer Interesse hat, dem sei Dirk Werner - Funktionalanalysis empfohlen. Dort findet man den Beweis in einer allgemeinen Fassung.

Für uns bedeutsam ist eine Folgerung daraus:

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Da nicht-lokalkonvexe Räume sich da wesentlich bösartiger verhalten können und mit lokalkonvexen eigentlich fast alles abgedeckt ist, was einem so unterkommt, vereinbaren wir:

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Aus der Eindeutigkeit ergeben sich dann auch sofort diverse Eigenschaften des Integrals, die wir sowieso haben wollen:

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Beispiele



Im Zuge der Untersuchung des Bochner-Integrals haben wir schon einmal festgestellt, dass das Pettis-Integral eine Erweiterung des Bochner-Integrals ist:

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Das bringt uns schon eine sehr reichhaltige Klasse von Beispielfunktionen. Aber wir haben im Artikel über das Bochner-Integral ebenfalls eine Funktion kennengelernt, die nicht Bochner-integrierbar ist, obwohl sie Riemann-integrierbar ist. Das Pettis-Integral vereint beide Integralbegriffe wieder:


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Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger



Nur haben wir mit unseren Beispielen bisher gar nichts gewonnen, wenn wir einen Raum ohne Norm untersuchen wollen.
Gerade da gibt es aber auch spannende Anwendungen, also können wir den Fall auch nicht einfach beiseite lassen. (Naja, wir könnten schon, aber dann gäb's eben auch keine spannenden Anwendungen für uns...)


Eine einfache, aber sehr beliebte Klasse integrierbarer Funktionen im eindimensionalen Fall sind die stetigen Funktion mit kompaktem Träger oder deutlich allgemeiner: Funktionen, die wesentlich beschränkt sind und außerhalb einer Menge endlichen Maßes verschwinden.

Wir werden zeigen in diesem Abschnitt für das Pettis-Integral zeigen, dass solche Funktionen in vielen Fällen auch Pettis-integrierbar sind.

Außerdem werden wir eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung herleiten:

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Kommen wir nun zum angekündigten Satz über Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger:

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Ein komplexe Anwendung: Unendlichdimensionale Funktionentheorie



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Zunächst zur Wiederholung die Definition von Holomorphie und - analog zur Messbarkeit - die Definition von schwacher Holomorphie:

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Holomorphe Funktionen auf C



Es stellt sich heraus, dass diese Definition (unter relativ schwachen Voraussetzungen) gar nichts Neues liefert und schwache Holomorphie dasselbe ist wie Holomorphie.
Im Gegensatz etwa zum reellen Fall, wo das analog definierte "schwach differenzierbar" (nicht zu verwechseln mit der distributionellen Differenzierbarkeit!) längst nicht Dasselbe ist wie die übliche, totale Differenzierbarkeit ist.

Erster Schritt, um das zu zeigen, ist folgendes Lemma:

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Damit beweisen wir nun folgenden Satz:

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Cauchysche Integralformel


Daraus können wir einige der üblichen Eigenschaften holomorpher Funktionen bekommen:

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Holomorphe Funktionen zwischen Banachräumen



Wenn man das Kriterium über schwache Holomorphie erstmal hat, kann man sich weiter vorarbeiten und mit weiteren Sätzen sehr wirksame, hinreichende Bedingungen für Holomorphie besorgen. So kann man z.B. folgende Sätze beweisen, die ich hier nur angebe ohne sie zu beweisen:


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Mit Satz 7 könnten wir immerhin (c) beweisen:
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Abschluss



Ich hoffe, der Artikel hat euch gefallen. Es gäbe sicherlich noch viel mehr zu sagen über Pettis-Integrale und ihre Anwendungen. So finden sich z.B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie noch vielseitige Anwendungsmöglichkeiten.
Auch die unendlichdimensionale Funktionentheorie hat die ein oder andere Nettigkeit zu bieten, etwa in der Distributionentheorie.

Ich bedanke mich auch ganz herzlich bei meiner Testleserin AnnaKath.

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Literatur:

[1] Russell A. Gordon - The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Teilweise einsehbar bei google books.
[2] Charles Swartz - Introduction to Gauge Integrals. Teilweise einsehbar bei google books.

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: Mathematik :: Analysis :: Integration :: Funktionentheorie :: Funktionalanalysis :: Reine Mathematik :
Integration vektorwertiger Funktion II: Das Pettis-Integral [von Gockel]  
Die Fortsetzung des Artikels über Bochner-Integrale. Dieses Mal wird das Pettis-Integral vorgestellt und ein paar wesentliche Eigenschaften bewiesen. Dazu werden als Anwendung ein paar Sätze über Funktionentheorie in beliebigdimensionalen IC-Vektorräumen bewiesen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Mathematik: Das Pettis-Integral" | 4 Comments
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Re: Das Pettis-Integral
von: Monkfish am: So. 29. März 2009 03:39:39
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Hallo :-)

Hübscher Artikel. Guck doch mal kurz hier rein, speziell Buri's Post.

Vielleicht könnte man noch erwähnen, dass im Falle von separablen Banachräumen messbar und schwach messbar äquivalente Begriffe sind; insbesondere ist in dieser Situation eine Funktion genau dann Pettis-integrierbar, wenn sie Bochner-integrierbar ist.

Gruss


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Re: Das Pettis-Integral
von: PeterTheMaster am: So. 29. März 2009 03:45:59
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ich habe das noch nicht gelesen, aber integriert man vektorwertige funktionen nicht einfach komponentenweise?\(\endgroup\)
 

Re: Das Pettis-Integral
von: Martin_Infinite am: So. 29. März 2009 05:59:48
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@PeterTheMaster: man möchte nicht nur in endlich-dimensionalen vektorräumen, sondern in banachräumen oder sogar hausdorffschen lokalkonvexen vektorräumen integrieren können. beim pettis-integral ist die idee in der tat, es komponentenweise zu machen, wobei hier die stetigen linearen funktionale die rolle der komponenten übernehmen. genaueres findest du im artikel oben.\(\endgroup\)
 

Re: Das Pettis-Integral
von: AnnaKath am: So. 29. März 2009 19:52:25
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@Monkfish: Noch etwas genauer besagt die Charakterisierung der starken Messbarkeit durch dan Satz von Pettis:
Eine Abbildung ist genau dann (stark) meßbar, wenn sie schwach meßbar und fast seperabel-wertig ist.\(\endgroup\)
 

 
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