Mathematik: Funktionaltransformationen
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Analysis

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Teil 1: Motivation zur Fouriertransformation

Bild Gegen das mathematische Ende des Elektrotechnik-Studiums wird man zu den Funktionaltransformationen gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung diese Transformationen anwenden zu können. Sie sind sozusagen das Schweizer Sackmesser des Elektroingenieurs. Diese Artikel zielen in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Die Transformationen wurden in Artikeln anderer Autoren bereits behandelt. Für die Anwendung genügt es etwas über komplexe Zahlen zu wissen und algebraische Gleichungen lösen zu können. Das ist natürlich sehr praktisch, denn es ist gut möglich solchermaßen ausgerüstet manche Prüfungen zu bestehen und auch praktische Probleme zu lösen. Wer es aber genauer wissen will, kommt nicht darum herum sich mit Funktionentheorie zu beschäftigen. Auch von linearen Differentialgleichungen sollte man etwas verstehen. In diesem ersten Teil geht es vor allem um die Motivation: Wieso und Wozu ist das gut? Und die Antwort kann ich zusammengefasst gleich vorwegnehmen: Für nahezu jede Form der Signalverarbeitung, seien es optische, akustische oder andere Signale. Inhalt
  • Zeit- und Frequenzbereich
  • Der Weg zur Fouriertransformation
  • Beispiele
  • Faltung
  • Systeme
  • Fourier und was es sonst noch gibt
  • Literatur


  • Zeit- und Frequenzbereich

    Die meisten Menschen sind es gewohnt in zeitlichen Abläufen zu denken, das ist unsere alltägliche Erfahrung. Nahezu jeder wissenschaftlich interessierte Mensch kennt die Signaldarstellungen auf dem Oszillographen. Was wir als Ton hören, wird zu einer Linie der Intensität über die Zeit. Aber wie hören wir diesen Ton? Unser Ohr zerlegt das Signal keineswegs in kleinste Zeiteinheiten, wie es dies der Oszillograph tut, sondern es filtert die einzelnen Frequenzen heraus: Bild Im Schallverlauf U(t) sieht man die einzelnen Frequenzen nur schlecht. Im Ohr muss also eine Transformation in den Frequenzbereich stattfinden. Umgekehrt geht es auch. Spielt man Töne auf einer Orgel, so addieren sich die Schwingungen und können mit dem Oszillographen betrachtet werden. Aus Signalen verschiedener Frequenz setzt sich also wieder ein Zeitsignal zusammen. Bild Man sieht sofort: Die zeitliche Darstellung lässt kaum erkennen, welche Tasten gedrückt wurden. Das Frequenzgemisch sieht ziemlich chaotisch aus. Wie kann der Mensch aus diesem Tongemisch wieder etwas sinnvolles heraushören? Einerseits zerlegt unser Gehör das Signal wieder in seine Frequenzen. Aber das Gehör und seine Nervenzellen tun noch viel mehr. Störgeräusche (zB. das Blutrauschen) müssen herausgefiltert werden. Tonfolgen müssen erkannt werden usw.. In den 70er Jahren hat man versucht diesen Geheimnissen durch Tierversuche auf die Spur zu kommen. Wichtige Durchbrüche hat man jedoch erst erzielt, als man neue mathematische Methoden auch mit schnellen logischen, programmierbaren Bausteinen ausprobieren konnte (FPGA, DSP). Die Folgerung: "Mathematik rettet Katzenleben!" Heute sind die Funktionaltransformationen und abgeleitete Berechnungen daraus zu einem wichtigen Wirtschaftfaktor geworden. Das Handy ist nur das naheliegendste Beispiel für moderne Signalverarbeitung. Der Röntgentomograph macht die Bildgebung auch nicht mehr mit Fotoplatten.

    Der Weg zur Fouriertransformation

    Nach dem small-talk jetzt ein wenig Mathematik:
    Ich habe von Transformationen vom Zeit- in den Frequenzbereich gesprochen. Man kann nun versuchen eine solche Transformation mathematisch zu beschreiben. Eine Sinusfunktion mit der Zeit als Parameter lässt sich auch folgendermassen schreiben:
    sin(t)=(exp(\ii*t)-exp(-\ii*t))/(2*\ii)
    Anschaulich ist dies die Differenz zweier gegenläufig rotierender Zeiger auf dem Einheitskreis. Da die Summe imaginär wird, muss sie mit der Division durch 2*\ii noch um -90° auf die reelle Achse gedreht werden.
    Man könnte diese Schwingung auch alleine durch die beiden Frequenzen +omega und -omega definieren. und die Amplitude A. Somit ist bereits so etwas wie eine Transformation definiert.
    Diese einfache "Transformation" hat allerdings zwei Nachteile:
    1. Ist das Signal im Zeitbereich aus Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammengesetzt, so lässt sich diese Zusammensetzung nicht ermitteln.
    2. Wirkliche Signale sind nicht unendlich lang. Ausser der Amplitude muss auch noch ihre Zeitdauer berücksichtigt werden.
    Diese Nachteile lassen sich durch eine bessere Methode beseitigen.
    Zu 1. Durch Multiplikation mit einer Testfunktion können die einzelnen Frequenzen ermittelt werden. Die Testfunktion lautet bei der Fouriertransformation e^\iiwt. Man nennt diese Funktion den Kern der Transformation. Um zu sehen wie gut ein Signal auf den Kern passt, wird das Produkt über die Zeit integriert.
    Zu 2. Im einfachen Beispiel nahm ich eine unendliche Sinusfunktion an. Um diesem Umstand gerecht zu werden, könnte man eine weitere Zahl einführen für die Zeitdauer oder (und so wird es gemacht) man verschmilzt Amplitude und Dauer mittels Integration, was ja bereits in der Besprechung zu Punkt 1 nahegelegt wird.
    Nach diesen praktische Überlegungen mag die Fouriertransformation nicht mehr so fremd erscheinen:
    Y(\omega)=1/(2*\pi)*int(y(t)*exp(\ii*t*\omega),\omega,-\inf,\inf)
    Dazu noch einige Erklärungen:
    Hier wird die Kreisfrequenz \omega=2\pi*f verwendet. Man kann ebensogut f verwenden, muss aber die Vorfaktoren anpassen: ( 1/(2\pi) fällt dann weg). Dies handhabt jedes Buch oder Skript etwas anders.

    Von den Fourierreihen zur Transformation

    Ein anderer Einstieg bilden die Fouriereihen. Damit kann man das erste Problem lösen und ein Signal in seine Frequenzbestandteile zerlegen. Die Einschränkung aus Punkt 2 (Fouriereihen beschreiben unendliche, periodische Signale) muss aber noch beseitigt werden.
    Ein 2*T periodisches Signal sei auf [-T,T] absolut integrierbar (f: \IR->\IC). Die Fourierkoeffizienten lauten: c_k (f)=:1/(2*T)*int(f(t)*exp(-\ii*k\pi/T*t),t,-T,T) Die Fourierreihe lautet dann:
    sum(c_k(f)*exp(\ii*k\pi/T*t),k=-\inf,\inf)
    Der Grenzwert dieser Reihe (falls sie konvergiert) ist wieder die ursprüngliche Funktion f. Dann gibt es eine Bijektion zwischen f und der Folge c_k(f) der Fourierkoeffizienten. Um auch nicht periodische Funktionen zu behandeln, kann man die Periode in einem Grenzübergang unendlich wachsen lassen.
    Wir haben also eine auf \IR absolut integrierbare Funktion f: \IR->\IC. Jetzt schneiden wir das Signal bei den Zeitpunkten -T und T einfach ab und widerholen es periodisch. Dieses periodische Signal heiße f_T. Es gelte also für -T Die Fourierkoeffizienten für f_T lauten nun:
    c_(k,T) (f)=1/(2*T)*int(f_T(t)*exp(-\ii*k\pi/T*t),t,-T,T), für jedes k\el\IZ.
    Wenn f stetig differenzierbar ist gilt:
    Sei t\el]-T,T[, f_T(t)=1/(2*\pi)*sum((int(f(\tau)*exp(-\ii*k\pi/T*\tau),\tau,-T,T)),k=-\inf,\inf)*exp(\ii*k\pi/T*t)*\pi/T
    Wenn man jetzt T unendlich groß werden lässt, konvergiert f_T gegen f. Bei diesem Grenzübergang wird aus der Summe ein Integral. Der Ausdruck k*\pi/T werde durch den Grenzübergang zur Kreisfrequenz \omega und \pi/T wird zu d\omega. Wir gelangen somit zur folgenden Integraldarstellung: f(t)=1/(2*\pi)*int((int(f(\tau)*exp(-\ii*\omega*\tau),\tau,-\inf,\inf))*exp(\ii*t*\omega),\omega,-\inf,\inf)
    Bleibt noch anzumerken, dass diese Integraldarstellung nicht für alle Zeitfunktionen f möglich ist.
    Diese Herleitung enthielt nicht nur die Transformation in den Frequenzbereich, sondern auch gleich wieder die Rücktransformation in den Zeitbereich, es sollte ja die ursprüngliche Zeitfunktion wieder hergestellt werden.
    Darum wird hier noch einmal Transformation und Rücktransformation separat in einer Tabelle gezeigt. Dabei habe ich mich auf zeitliche Signale beschränkt. Man kann auch Helligkeitswerte in einem zweidimensionalen Bild transformieren usw.. Dies wird hier aber (noch) nicht besprochen.

    Tabelle zur Fouriertransformation von Zeitsignalen

    Zeitbereich Frequenzbereich
    Begriffe
    .
    Zeitsignal Spektrum
    Parameter
    .
    Zeit: t oder Ort: x Frequenz: \omega oder f
    Funktionswert
    .
    reell: y(t) komplex: Y(\omega)
    Transformation
    in den
    .
    .
    y(t)=1/(2\pi)*int(Y(\omega)*exp(\ii*\omega*t),\omega,-\inf,\inf) Y(\omega)=int(y(t)*exp(-\ii*\omega*t),\t,-\inf,\inf)

    Nun sind wir in der Lage Beispiele zu rechnen. An dieser Stelle wird einfach davon ausgegangen, dass das Integral konvergiert und etwas sinnvolles herauskommt, was natürlich nicht selbstverständlich ist.

    Beispiele

    Die Transformation soll nun mit Leben gefüllt werden. Dazu transformieren wir einige Signale vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Die Transformationen habe ich mit Hilfe eines Oszillographen gemacht. Dadurch ist die Genauigkeit nicht allzu hoch. Im weiteren ist zu beachten, dass nur der Betrag angezeigt wird, also die Signalstärke über die Frequenz. Die Phase erscheint nicht auf dem Bild.

    Welche Signale lassen sich transformieren?

    Der Oszillograph kann für jedes technisch erzeugbares Signal eine Transformation in den Frequenzbereich anzeigen. Wo liegen aber mathematisch die Grenzen? Die kleinste Menge der transformierbaren und rück-transformierbaren Funktionen wird Schwarz-Raum genannt, oder die Menge der schnell abfallenden Funktionen. Der Schwarz-Raum ist eine zu starke Eingrenzung und für den Elektrotechniker kaum anwendbar. Erweitern wir ihn deshalb zunächst zu der Menge der Energiesignale:. Ein beschränktes, stückweise stetiges Signal y(t) nennt man Energiesignal, wenn gilt: int(y(t)*y^\*(t),t,-\inf,\inf)=int(abs(y(t))^2,t,-\inf,\inf)<\inf Divergiert obiges Integral, existiert aber der folgende Grenzwert: lim(T->\inf,1/2T) int(y(t)*y^\*(t),t,-T,T)=lim(T->\inf,1/2T) int(abs(y(t))^2,t,T,T)<\inf , so spricht man von einem Leistungssignal, da man den Grenzwert als mittlere Leistung interpretieren kann. Diese Signale lassen sich transformieren. Die Transformation kann aber nicht nur zu klassischen Funktionen, sondern auch zu Distributionen führen.

    Die Sinusfunktion

    Zunächst einmal das einfachste Signal; die Sinusfunktion. Damit verletzen wir aber bereits eine Regel: Unendliche, periodische Signale soll man in Fourier-Reihen entwickeln und nicht transformieren. Genau genommen kann man diese Signale ja auch nicht transformieren (technisch), da sie unendlich lang dauern. Da es sich aber um ein Leistungssignal handelt (wie oben definiert), ist die Transformation zumindest theoretisch definiert. Nun aber zur Messung: Bis auf die Mess- und Auflösungsfehler kommt dabei etwa das heraus, was wir erwarten würden: Bild Bild Bei der Frequenz von 1kHz sieht man den (durch die Messung leicht zerdrückten) Diracstoss. In den Bildern fällt auch auf, dass nur die positiven Frequenzen vorkommen. Die Fouriertransformation erstreckt sich aber auch auf die negativen Frequenzen und das sollte man nie vergessen. In der Technik scheinen diese auf den ersten Blick keine Rolle zu spielen. Beim Beispiel mit der Amplitudenmodulation werden wir aber sehen, dass negative Frequenzen auch in den positiven Bereich gespiegelt werden und deshalb nicht vernachlässigt werden dürfen. Etwas weiteres wird bei dieser Darstellung vernachlässigt: die Phase. Nach der Fouriertransformation haben wir für jede Frequenz einen komplexen Wert. Der Oszillograph stellt nur den Betrag dar. Man könnte mit einem zweiten Diagramm die Phase über die Frequenz einzeichnen. Diese beiden Darstellungen nennt man auch Bode-Diagramme (Beispiel folgt).

    Die gefensterte Sinusfunktion

    Nun soll ein geeigneteres Signal verwendet werden. Um die Energie endlich zu halten, wird das Signal einfach nur in einem gewissen Zeitfenster eingeschaltet. Vorher und nachher sei es Null. Also fensterln wir: Bild Bild Wie sieht dass denn aus? Aus dem reinen Dirac-Impuls ist ein ziemlich übel verschmierter Frequenzgang geworden und das nur, weil wir etwas abgeschnitten haben. Zugegeben, wir haben ja auch unendlich viel Signal abgeschnitten. Der "Gipfel" des Signals ist immer noch etwa bei 1kHz (Achtung: die Skala ist gegenüber dem ersten Beispiel etwas anders gewählt). Das Frequenzspektrum hat aber noch viele kleinere lokale Maxima, welche bei dieser Messung nach und nach im Rauschen untergehen.

    Die Rechteckfunktion

    Eine Funktion ist die Rechteckfunktion im strengen Sinne ja nicht, aber zum transformieren ist sie gut geeignet und hat auch wichtige praktische Bedeutung; sie dient dazu Funktionen durch ein Zeit- oder Frequenzfenster zu betrachten. Diese Distribution soll nun zuerst mathematisch transformiert werden: r_T(t)=cases(1,abs(t)<=(T/2);0,sonst) Nun setzen wir die Distribution in das Fourier-Integral ein und erhalten eine Funktion der Frequenz f (hier nicht omega): Y(f)=int(exp(-\ii*2*\pi*f*t),t,-T/2,T/2)=gauss(1/(-\ii*2*\pi*f)*exp(-\ii*2*\pi*f*t))_(-T/2)^(T/2) =(exp(\ii*\pi*f*T)-exp(-\ii*\pi*f*T))/(\ii*2*\pi*f)=T*sin(\pi*f*T)/(T*\pi*f)=T*sinc(\pi*f*T) Die Bezeichnung sinc(x) (oder si(x)) ist eine Abkürzung für sin(x)/x Die Messung zeigt folgendes Bild: Bild Bild Die Funktion im Bild rechts ist eine Funktion der Form abs(sinc(a*f))

    Nun machen wir das Gegenteil von vorhin. Die Fouriertransformation und die Rücktransformation sehen sehr ähnlich aus. Was passiert also, wenn man die sinc(t) Funktion in den Frequenzbereich transformiert? Die Antwort soll folgende Messung geben: Bild Bild Bis auf die erwarteten Fehler ergibt sich wieder ein Rechteck. Die starken, roten Linien in der Darstellung sind Überlagerungen und haben keine Bedeutung.

    Die Dreieckfunktion

    Bild Bild In den Abbildungen sieht man in etwa die Koeffizienten der Fourierreihe, da ja nur ein endliches Signal transformiert wurde. Die Frequenzen liegen bei der Grundfrequenz, dem 3, 5, 7-fachen usw.. Bild Bild Bei diesem gefensterten Dreieck taucht wieder dieser "Verschmiereffekt" auf. Ich weiss zwar nicht nicht wie man auf die Bezeichnung kommt, aber das Phänomen wird "Leckeffekt" genannt. Zum Schluss noch eine Funktion die ihre Form behält (wenigstens theoretisch). Es ist die Normalverteilung, oft einfach mit Gauss bezeichnet. Bild Bild

    Die Faltung

    In der Praxis stellt sich oft die Aufgabe gewisse Frequenzen auszufiltern. Nehmen wir an, auf der Tonbandaufnahme stört ein hochfrequentes Rauschen. Es sollen nun die Töne über 10kHz gefiltert werden, um das Stück einigermassen wieder herzustellen. Mathematisch bietet sich an, das Signal im Frequenzbereich mit einer Fensterfunktion zu multiplizieren: Faltung graphisch Frequenzen ab einer gewissen Höhe werden einfach abgeschnitten. Das Spektrum im Bild ist übrigens nur ein Beispiel. Man kann selbstverständlich jedes Spektrum dem Filter unterwerfen. Im Frequenzbereich ist das Signal nun einfach zu beschreiben: Die Anteile, welche eine eine Frequenz unter 10kHz haben werden nicht beeinflusst, alles darüber wird Null. Was passiert aber mit dem Zeitsignal, wenn man im Spektrum zwei Signale multipliziert? Die mathematische Herleitung ist nicht allzu schwierig und wird als Faltung oder Faltungsprodukt bezeichnet. Der Ausdruck Produkt rührt daher, dass die Faltung im Frequenzbereich der Multiplikation im Zeitbereich entspricht. Es gilt übrigens auch umgekehrt. Nun aber zur Herleitung der Faltung: Zwei Signale (f und g) werden im Zeitbereich gefaltet: (f\*g)(x)=int(f(x-t)*g(t),t,-\inf,\inf) Dieses Signal wird nun in den Frequenzbereich transformiert: int(int(f(x-t)*g(t)*e^(-\ii\omega*x),t,-\inf,\inf),x,-\inf,\inf)=int(int(f(x-t)*g(t)*e^(-\ii\omega*(x-t))*e^(-\ii*\omega*t),t,-\inf,\inf),x,-\inf,\inf) Nun können wir das Faltungsintegral in ein Transformationsintegral wandeln durch folgende Substitution: z=x-t, dz=dx int(f(z)*e^(-\ii*\omega*z),z,-\inf,\inf)*int(g(t)*e^(-\ii\omega*t),t,-\inf,\inf) Dies ist aber das Produkt der Signale im Frequenzbereich. Damit sind wir fertig. Multipliziert man zwei Signale in einem Mischer, so entstehen neue Frequenzen. Dies wird beispielsweise genutzt, um hochfrequente Signale in einen tieferen Frequenzbereich zu transformieren, wo sie elektronisch besser verarbeitet werden können. Bild Bild Im Bild links wurde ein Sinussignal von 1kHz mit einem Sinus von 100Hz moduliert. Neben den ursprünglichen Frequenzen zeigt die Transformation noch Signale bei 900Hz und bei 1100Hz. Wie diese entstehen sieht man am besten, wenn man die Faltung graphisch aufzeichnet: Bild Die Grundfrequenz in dieser Grafik im Frequenzbereich heisst h (Bei der Messung oben 1kHz). Diese wird moduliert von g. Bei jeder Frequenz bildet man nun einen Faltungsterm. Bei den meisten Termen ergibt sich Null, da sich die Diracpulse von g und h genau treffen müssen, damit etwas herauskommt. Ein Zusammentreffen findet unter anderem für die Frequenzen h+g (rote Pfeile) und h-g (blaue Pfeile) statt. Ein Signal mit aufmodulierter Information benötigt deshalb immer eine gewisse Bandbreite. Ist g die höchste aufmodulierte Frequenz, so wird das amplidudenmodulierte Signal Frequenzen im Bereich h+-g enthalten. Diese Frequenzbänder sind inzwischen knapp und deshalb dementsprechend teuer. Dank Digitaltechnik sind die Bänder beispielsweise fürs Fernsehen etwa 8mal schmaler geworden, bei gleichbleibender oder besserer (gefühlter) Qualität.

    Systeme

    Bisher wurden nur Funktionen transformiert. Ein Signal wurde zum Beispiel aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert, bearbeitet und wieder zurückgeschickt. Eine große Stärke der Fouriertransformation liegt aber darin, dass man lineare Differentialgleichungen transformieren kann. Technisch ausgedrückt kann man dies etwa so verstehen: Unser Signal sei weiterhin als Eingangssignal einer Schaltung vorhanden. Das Signal werde nun mit Spulen, Kondensatoren und anderen linearen Bauteilen behandelt. Wir wollen wissen, welches Signal am Ausgang der Schaltung anliegt. Was wir wollen ist also eine Funktion (genauer ein Operator), die aus einem Eingangssignal das Ausgangssignal berechnet. Manchmal wollen wir die Übertragungsfunktion im Zeitbereich kennen, oft können wir aber auch im Frequenzbereich bleiben.
    Bild
    Um das Ausgangssignal zu erhalten können wir die ganze Gleichung in den Frequenzbereich transformieren, dort lösen und wieder zurück in den Zeitbereich transformieren. Zuerst müssen wir unter anderem wissen, was aus einer n-ten Ableitung im Zeitbereich im Frequenzbereich wird.
    Ohne Beweis seien nun einige nützliche Korrespondenzen zur Behandlung von Differentialgleichungen aufgeführt.
    Im Zeitbereich lauten die Funktionen f(t) und g(t) und im Frequenzbereich F(\omega) und G(\omega)
    Tabelle zur Fouriertransformation von Zeitsignalen
    Nummer / Name Zeitbereich Frequenzbereich
    1
    (Linearität)
    \alpha*f(t)+\beta*g(t) \alpha*F(\omega)+\beta*G(\omega)
    2
    (Ähnlichkeitssatz)
    f(a*t) (1/a)*F(\omega/a
    3
    (Faltung)
    (f\*g)(t) F(\omega)*G(\omega)
    4
    (Verschiebung)
    f(t-T) exp(-\ii*\omega*T)*F(\omega)
    5
    (Multiplikation mit t)
    t^k*f(t) \ii^k*F^(k)(\omega)
    6
    (Ableitung)
    f^(k)(t) \ii^k*\omega^k*F(\omega)

    Mit diesen Korrespondenzen sind wir nun in der Lage Systeme zu transformieren. Als einfaches Beispiel diene ein Tiefpass mit Widerstand und Spule:
    Bild
    Diese Schaltung lässt sich durch eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung beschreiben:
    L*diff(i,t)(t)+R*i(t)=u_in(t)
    Wir geben also ein Signal u(t) in die Schaltung und wollen den Strom i(t) wissen.
    Die Differentialgleichung wird nun in den Frequenzbereich transformiert:
    L*\ii*\omega*I(\omega)+R*I(\omega)=U(\omega)
    Das schöne daran ist: Das ist keine Differentialgleichung mehr, sondern nur eine algebraische. Stellt man diese um, so erhält man die Übertragungsfunktion G:
    I(\omega)=1/(\ii*\omega*L+R)*U(\omega)=G(\omega)*U(\omega)
    Die Übertragungsfunktion könnte man in den Zeitbereich zurück transformieren. Dies ist aber nicht das, was wir wirklich wollen. Die Schaltung stellt einen Filter dar. Das heisst, wir wollen wissen, wie die Schaltung auf Signale verschiedener Frequenz reagiert. Das wissen wir aber bereits. Trotzdem ist es noch nützlich G(\omega) in Bodediagramme aufzutragen. Zuerst wird der Betrag von G in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt:
    Bild
    Wird die Frequenz und die Verstärkung (bzw. Abschwächung) linear in ein Diagramm aufgetragen, so sieht die Übertragungskurve kompliziert aus und ist schlecht zu handhaben. Daher verwendet man ein doppelt logarithmisches Diagramm:
    Bild
    Dank dieser Art der Darstellung kann man nun vereinfachend mit geraden Strecken arbeiten. Bei Spannungs- oder Stromverhältnissen entspricht 20dB dem Faktor 10. Bei der 10fachen Eckfrequenz ist das Ausgangssignal bei diesem Tiefpass noch 10% vom Eingang. Berauschend ist das nicht gerade, daher werden oft elektronische Filter mit größerer Steilheit (höherer Ordnung) verwendet.
    Bild
    Was ich den ganzen Artikel hindurch vernachlässigt habe, soll doch noch zu Ehren kommen; der Phasengang. Bei der Fouriertransformation erhält man ja schließlich einen komplexen Funktionswert und der hat eine Phase. Bei einem Tiefpass erster Ordnung dreht sich die Phase zu -90° zu den hohen Frequenzen hin.

    Fourier und was es sonst noch gibt

    In diesem Teil wurde von der Fouriertransformation gesprochen. Es gibt aber eine eine Vielzahl von Funktionaltransformationen für verschiedene Anwendungen.
    Eine Auswahl ohne Anspruch auf Vollständigkeit sei in der folgenden Tabelle gegeben:
    Name Beschreibung Anwendung
    Fouriertransformation Signale werden in ihr Spektrum "zerlegt" Signalverarbeitung, Filter, Bildbearbeitung
    DFT (diskrete Fouriertransformation) Fourier für digitale Systeme fft: fast Fourier transformation: verbreitete und schnelle Methode zur DFT
    Wavelets Weiterentwicklung der Fouriertransformation, optimierte Fensterung Signalanalyse
    Laplacetransformation Einseitige Transformation mit Dämpfung im Kern Lösen von Diff-gl., Regeltechnik
    Z-Transformation Ähnlich wie DFT, Spektrum "aufgewickelt" Digitale Signalverarbeitung
    Hilbert Transformation Signale positiver Frequenz werden um -90° gedreht, bei neg. Frequenzen um +90° Hüllkurven, Einseitenband-Demodulation
    Radon-Transformation Absorbtion aus verschiedenen Winkeln in 3d Bild umrechnen Tomographie
    Mellin Transformation Stellt Beziehungen zwischen wichtigen Funktionen her Analytische Zahlentheorie

    Für die Bildverarbeitung und auch die Kompression von Bildern wird oft eine zweidimensionale Fouriertransformation verwendet.
    Wavelets wird manchmal auch als Überbegriff verwendet und dann fallen auch Fourier- und Laplacetransformation darunter.
    Die Laplacetransformation wird in der Regeltechnik und Filtertheorie verwendet. Bei ihr ist auch das Argument (im Frequenzbereich) komplex, nicht nur der Funktionswert, wie bei der Fouriertransformation.
    Die Mellin Transformation zeigt, dass Integraltransformationen nicht nur in der Signalverarbeitung Verwendung finden.

    Literatur

    Ich hoffe der Artikel hat einige Anregungen gegeben und zum Verständnis beigetragen. Dieses Gebiet ist sehr umfangreich und es konnten allenfalls ein paar wenige Schlaglichter gesetzt werden. Weitere Quellen habe ich hier zusammengetragen: Matheplanet: Wavelets1 Wavelets2 Internet: Faltung de.wikipedia.org/wiki/Integraltransformation target=_blank>Übersicht Integraltransformationen im Wikipedia Bücher: Signale und Systeme Funktionaltransformationen

     
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    Funktionaltransformationen [von Ueli]  
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    "Mathematik: Funktionaltransformationen" | 5 Comments
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    Re: Funktionaltransformationen
    von: Marco_D am: Fr. 31. Juli 2009 15:24:16
    \(\begingroup\)Hallo, ich finde diesen Artikel super. Ich finde, du hast dir wirklich sehr viel Mühe gegeben und hast dafür eigentlich mehr als ein Danke verdient. Ich persönlich bin auf Teil 2 gespannt. Mich persönlich würde interessieren, ob du auf lineare Übertragungsglieder wie DT1 oder PT2 eingehen wirst? Hast du evtl auch vor, Themen wie Nyquist-Diagramm zu betrachten? Wenn ja, solltest du es direkt als Skript veröffentlichen 😛 . Gruß Marco\(\endgroup\)
     

    Re: Funktionaltransformationen
    von: Ueli am: Fr. 31. Juli 2009 16:08:57
    \(\begingroup\)zuerst wollte ich einige Kommentare abwarten, bevor ich die weitere Richtung festlege. Am sinnvollsten wäre wahrscheinlich die Laplacetransformation und etwas Regeltechnik. Den Umfang eines Skripts wird es sicher nicht erreichen. Eine andere Richtung wäre die digitale Signalverarbeitung. Wenn ich so die Foren anschaue ist die Regeltechnik allerdings viel mehr gefragt. Dort muss ich mich aber selber wieder rein knien. Gruss Ueli\(\endgroup\)
     

    Re: Funktionaltransformationen
    von: semathe am: Mo. 03. August 2009 21:15:44
    \(\begingroup\)Hi Ueli, super Artikel. Ich brauche genau dieses Thema für die Computergrafik für Bildbearbeitung und Netzglättung. Fürs Verständnis wirklich gut. Danke dafür gruß semathe\(\endgroup\)
     

    Re: Funktionaltransformationen
    von: portnoy am: Do. 06. August 2009 17:46:51
    \(\begingroup\)"Um zu sehen wie gut ein Signal auf den Kern passt, wird das Produkt über die Zeit integriert. " Demnach wäre die F-Trafo eine Kreuzkorrelation, wobei die Vergleichsfunktion (der Kern) über alle Frequenzen mit der Eingangsfunktion verglichen wird. So habe ich das noch gar nicht betrachtet. Falls ich das richtig verstanden habe, gibt es irgendwo im Netz eine Darstellung in der Kreuzkorrelation und F-Trafo solchermassen in Beziehung gebracht werden? \(\endgroup\)
     

    Re: Funktionaltransformationen
    von: Ueli am: Fr. 14. August 2009 16:58:23
    \(\begingroup\)Hallo portnoy, Das war mehr ein Hinweis zum Verständniss und nicht sehr mathematisch. Zur Kreuzkorrelation: hier. Bei der Laplacetransformation gilt diese vereinfachte Aussage zum Beispiel nicht mehr. Ueli\(\endgroup\)
     

     
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