Mathematik: Mathematisch für Anfänger - Teil II
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Fortsetzung des Sprachkurses mit Teil II.
[Den Teil I finden Sie hier.]
Lektion 3. Ein Übungsbeispiel
Lektion 4. Das Prädikat


Lektion 3. Ein Übungsbeispiel

Die mathematische Sprache mag als kurz und knapp empfunden werden. Allerdings ist das ein Trugschluß. Es erfordert am Anfang deutlich mehr Worte, um überhaupt das Einfachste sagen zu dürfen. Später - auf der Grundlage von Axiomen und Definitionen und unter Verwendung bereits bewiesener Tatsachen wird dann jede weitere Aussage kurz, präzise - also unmißverständlich - sein. Wir geben ein an den Haaren herbeigezogenes Beispiel für den Entstehungsprozeß einer mathematischen Theorie. Wir nennen sie:

Axiomatische Menschenlehre

Gegenübergestellt sind Formulierungen in deutscher Sprache und der Versuch einer direkten Übersetzung auf Mathematisch.

Die Situation ist diese: Sie treffen einen Mathematiker und möchten sich vorstellen und zur Aufrechterhaltung des Gesprächs etwas belangloses reden.

Sie wollen sagen (Deutsch)Sie müssen sagen (Mathematisch)
Axiom 1: a kann sterben. (Sterbeaxiom)
Axiom 2: a kann seinen Aufenthaltsort ändern. (Bewegungsaxiom)
Axiom 3: a kann weinen und lachen. (Weinlachaxiom)
Wir nennen ein Objekt, das Axiom 1 bis 3 erfüllt, einen Menschen.
Auf keines der Axiome kann verzichtet werden. So erfüllt ein Elefant zwar Axiome 1 und 2 aber nicht 3. Ein Baum erfüllt nur Axiom 1. Ein Stein erfüllt keines der drei Axiome. Es gibt Puppen, die können weinen und lachen, aber sie können nicht sterben. usw.
Ein Wesen, das Axiome 1, 2 und 3 erfüllt werden wir im folgenden Mensch nennen.
Ich heiße Martin.Wir sagen "Martin", wenn wir nach dem Namen des Menschens gefragt werden, der wir selbst sind. Oder: Wir bezeichnen den Menschen, der wir selbst sind, mit Martin.
Ich wohne in einem Haus.Wir sagen, daß ein Mensch an einem Platz "wohnt", wenn er dort überwiegend des Nachts schläft und sich auch am Tag an diesem Platz häufig aufhält, z.B. um dort alle oder einen Teil seiner Mahlzeiten einzunehmen.
Der Mensch Martin hat ein Haus, um darin zu wohnen.
Manche Menschen haben kein Haus.Menschen haben im allgemeinen nicht ein Haus.
Ich bin im Haus.Satz: Ein Mensch kann nicht zugleich innerhalb und außerhalb eines Hauses sein.
Sei o.B.d.A. Martin innerhalb eines Hauses.
Bemerkung: Das Haus, in dem ein Mensch ist, ist nicht eindeutig bestimmt.
Das Haus hat viele Zimmer.Definition: Ein Zimmer ist eine Teilmenge des Hauses, sodaß gilt:
  • Jeder Ort im Haus kann einem Zimmer zugeordnet werden und ein Zimmer enthält nur Orte eines Hauses.
  • Die Schnittmenge zweier verschiedener Zimmer ist leer.
  • Für Punkte A und B eines Zimmers gilt, daß es einen Weg von A nach B gilt, der ganz in dem Zimmer liegt.

Hinweis: Fortgeschrittene Mathematiker sagen das auch so:
Die Elemente einer disjunkten Zerlegung eines Hauses in konvexe Teilmengen heißen Zimmer.

Für jedes Haus ist die Zimmerzerlegung eindeutig bestimmt.

Das Haus, in dem Martin ist, hat mindestens 2 Zimmer.

Bemerkung: Ein Haus kann unendlich viele Zimmer haben. Ein bekanntes Beispiel dafür ist Hilberts Hotel.

usw.

Fast 400 Worte gegen 22. Und es ist stark anzunehmen, daß bei fortgesetzter Beschäftigung mit diesem Themenkreis, sich die gegebenen Axiome und Definitionen als unzureichend - weil nicht präzise genug - erweisen werden, und noch um das 2 bis 8-fache (an Worten) erweitert werden müssen. Jeder mögliche Einwand überflutet die Mailbox, eine wahre Flut von begründeten Einwänden durch Fachkollegen erschlägt den Autor. Der einfache Mathematiker enthält sich darum möglichst lange jeder nachweisbaren Äußerung. Er muß erst ganz, ganz, ganz sicher sein, bevor er eine Zeile veröffentlicht. Das einzig gute daran ist m.E., daß eine Aussage, die mehr als 10 Minuten ohne Einwand seitens der Fachkollegen geblieben ist, wirklich und unbestreitbar richtig sein muß. Es gibt darum in der Mathematik keine falsche Überlieferung.
Unsere Gedichte sind in einer recht speziellen Sprache geschrieben, der mathematischen Sprache, ...und leider sind diese Gedichte nur in der originalen Sprache zu verstehen.
Armand Borel

Lektion 3. Das Prädikat

Auf Mathematisch gibt es vorherrschend für das Prädikat im Satz nur 1 Tempus, den Präsens.
Beispiele: "3 teilt 9". Es macht keinen Sinn zu sagen "3 hatte 9 geteilt". [Da stellte sich doch gleich die Frage: "Seit wann teilt 3 denn die 9 nicht mehr?".]

Modernere Autoren, mit dem Anspruch Texte zu schreiben, die auch eine didaktische Qualität haben, verwenden in Überleitungen zwischen rein mathematischen Aussagen auch schon das Futur I. Beispiel: "Wie wir gleich sehen werden".
Aber solches Entgegenkommen an die Erwartungshaltung eines Lesers liegt schon stark im Übergangsbereich von Mathematisch zu Deutsch und kann m.E. ohne Informationsverlust zu erleiden auch ausgelassen werden.
Eine ebenfalls anzutreffende Formulierung ist: "Es ist zu zeigen, daß alle durch 6 teilbaren Zahlen auch durch 2 teilbar sind." Das ist erlaubt, handelt es sich doch um eine klassische Gerundiv-Konstruktion, durch die eine Möglichkeit oder Notwendigkeit ausgedrückt wird.

Neben dem Indikativ findet der Konjunktiv häufige Verwendung, nämlich in Widerspruchsbeweisen (" ... dann wären aber p und q nicht teilerfremd.") und bei der Formulierung von Voraussetzungen.
Der Konjunktiv wird also verwendet, wenn von Unmöglichem die Rede ist, und vor allem, um einen Wunsch oder Befehl auszudrücken ("Sei x eine natürliche Zahl").

Die Verwendung des Aktivs als Handlungsrichtung überwiegt, aber passive Formen sind nicht generell verboten, dabei muß man aber behutsam sein. Wenn "9 wird von 3 geteilt" noch eine akzeptable sprachliche Variation von "3 teilt 9" ist, dann wird "Die Funktion wird abgeleitet." schon verdächtig. Von wem wird die Funktion abgeleitet? Man sollte besser sagen: "Wir leiten die Funktion ab" oder unpersönlich: "Man leite die Funktion ab".

Das bringt uns zur vorletzten Regel. Verwende nur 3. Person Singular oder Plural oder 1. Person Plural. Sage: "Wir bilden die symmetrische Differenz" oder "Man bildet die symmetrische Differenz", anstatt "Ich bilde ...".

Gibt es den Imperativ auf Mathematisch? Es scheint so, denn man kann solches finden: "Betrachte die Ableitung der Funktion". Das ist doch ein Imperativ, gerichtet an den mitdenkenden Leser.

Die letzte Regel lautet:
Vermeide Vollverben
Durch Vermeidung von Vollverben erhält die mathematische Sprache ihre typische, trockene Diktion.
Wie hört sich das denn an: "Wenn man zwei Zahlen addiert, dann ergibt sich wieder eine Zahl."
Zum Vergleich: "Die Summe zweier Zahlen ist eine Zahl."
Ein weiteres Beispiel aus der Geometrie: "Der Schnittpunkt zweier nicht identischer Geraden ist eindeutig bestimmt". ist doch bei weitem griffiger, als: "Zwei verschiedene Geraden, die sich schneiden, haben genau einen Schnittpunkt".

Die Verben der mathematischen Sprache, absteigend sortiert nach Präferenz:

  1. sein, werden, haben (Hilfsverben)
  2. dürfen, können, mögen, müssen, sollen, wollen (Modalverben)
  3. machen, kommen, lassen, gelten, brauchen (universelle, abstrakte Vollverben)
  4. definieren, beweisen, folgern, rechnen, behaupten, formulieren, lösen, herleiten (mathematische Fachverben)
  5. gehen, geben, sehen, vermitteln, dienen, sprechen, bedeuten, meinen, überlegen, notieren, vermerken, verschaffen, heißen, zeigen, schreiben, stellen, benötigen, verwenden, handeln, einführen, wählen, liefern, betrachten, festlegen, raten
Die Liste ist sicher nicht ganz vollständig. In Kategorien 4 und 5 dürften noch weitere Worte erlaubt sein. Die hier aufgezählten Worte sollten aber genügen, mit sicherem Geschmack zu wählen.

Zur Fortsetzung.


 
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Fortsetzung des Sprachkurses mit Teil II.
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"Mathematik: Mathematisch für Anfänger - Teil II" | 9 Comments
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Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: Martin_Infinite am: Sa. 10. Mai 2003 20:01:38
\(\begingroup\)Ich bin echt begeistert. Ein Muss für jeden
Anfänger - Das ist klar!\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: huepfer am: Do. 26. Mai 2005 22:53:19
\(\begingroup\)Hallo Matro, ein wirklich anschaulicher und unterhaltsamer Beitrag zum Erlernen der mathematischen Sprache. Es hat sehr viel Spaß gemacht ihn zu lesen. Allerdings ist Dir ein inhaltlicher Fehler unterlaufen: Nehmen wir mal die geläufige Definition von konvex: Definition Wir nennen eine Menge konvex, wenn wir zu je zwei Elementen der Menge eine geradlinige Verbindung haben, die vollständig eine Teilmenge der Menge ist. Nach dieser Definition muss man nun sagen, dass Deine Aussage, Zimmer seien konvex, im Allgemeinen falsch ist. Bei Bedarf kann ich hier auch das Photo eines Gegenbeispiels anführen. Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: matroid am: Do. 26. Mai 2005 23:03:07
\(\begingroup\)Wenn Zimmer konvex sind, in was wohnst dann Du? 😉\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: huepfer am: Fr. 27. Mai 2005 00:19:44
\(\begingroup\)Hallo Matro, wir haben im Chat gerade festgestellt, dass die wenigsten konvexe Zimmer haben. Selbst mit sterförmig wird es schwer. Vielleicht bekommen wir einen Doppelstern hin, aber selbst das scheint in vielen Fällen nicht möglich. Vielleicht findet man noch eine passende Charakterisierung für Zimmer. Allerdings habe ich im Moment keine Ahnung, wie die aussehen sollte. Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: Wauzi am: Fr. 27. Mai 2005 00:46:23
\(\begingroup\)Wenn ich mal aufräumen würde, wären bei mir alle Zimmer konvex. Momentan sind sie nur konfus\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: huepfer am: Fr. 27. Mai 2005 08:34:37
\(\begingroup\)Wauzis Beitrag entnehme ich, dass die Charakterisierung, die ich mir inzwischen überlegt habe - ohnehin schon nicht hinreichend - auch nicht notwendig ist. Ich hatte mir überlegt, dass man statt sternförmig oder konvex es mal mit wegzusammenhängig versuchen könnte. Selbstverständlich ist das nicht hinreichend, da damit die Zimmer nicht eindeutig bestimmt, sondern je nach Öffnungszustand der Türen ihre Größe ändern. Was machen wir denn nun? Ich schlage vor, dass wir auf potentiell wegzusammenhängend ausweichen und die eine minimale Wegbreite festlegen (Schlüssellochproblem). Weitere Charakterisierungen müssten allerdings folgen. Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: Gonzbert am: Fr. 27. Mai 2005 14:07:32
\(\begingroup\)Hi Felix! Das mit den Türen ist ja eh so eine Sache. Eigentlich gehört eine Tür ja zu 2 Zimmern, nämlich zu den beiden, die sie verbindet. Die disjunkte Zerlegung eines Hauses in Zimmer wäre mit Türen futsch. Viele Grüße\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: huepfer am: Fr. 27. Mai 2005 23:24:00
\(\begingroup\)Hallo Frank, das scheint mir nicht das Problem, da wir uns auf das Innere beschränken können. Damit ist die Disjunktheit hier kein Problem. Problematisch wird es erst bei der Zuordnung von FUnktionalitäten, was aber auch noch nicht das Problem ist. Das größte Problem liegt eindeutig im Zusammenhang. Ich schlage deshalb vor, dass wir die maximal wegzusammenhängende Menge wählen, für die es zu jedem Punkt eine umgebende Kugel mit Durchmesser >=0,5 cm gibt, die ebenfalls in der Menge liegt plus die Randmenge, die ich allerdings noch nicht charakterisieren kann. Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Mathematisch für Anfänger - Teil II
von: huepfer am: Sa. 28. Mai 2005 09:02:29
\(\begingroup\)So, hier mein nächster Vorschlag, der - wie ich denke - schon relativ gut beschreibt, was ein Zimmer ist: Ein Teilmenge eines Hauses heißt Zimmer, wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt. Die Menge ist maximal wegzusammenhängend und zu jedem Punkt gibt es einen Kugelsektor mit mindestens einem Radius von einem Zentimeter, der mindestens eine viertel Kugel darstellt. Prämissen: Türen (und Fenster sowieso) werden als geschlossen angenommen. Die Zimmer seien o.B.d.A. leer geräumt. (Somit ist auch Wauzis Chaosbude mit inbegriffen ;-)) Das einzige Problem, das ich jetzt noch sehe, tritt auf, wenn eine Türe fehlt. Ich glaube, ich fordere einfach die Existenz von Türen 😛 Gruß Felix\(\endgroup\)
 

 
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