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Mathematik: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen Released by matroid on Sa. 19. März 2011 22:36:52 [Statistics] [Comments] Written by Hans-Juergen - 969 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen Lothar Collatz (1910-90) war ein deutscher Mathematiker1. 1937 entdeckte er folgendes: man wählt als Startzahl eine beliebige natürliche Zahl. Ist sie gerade, wird sie halbiert, andernfalls mit 3 multipliziert, und zu dem Produkt wird 1 addiert. Mit der dadurch erhaltenen, neuen Zahl wird ebenso verfahren und desgleichen mit allen weiteren, die sich auf diese Weise ergeben. Es sieht so aus, als ob man bei jedem Versuch am Ende die 1 erhält. Hierzu zwei Beispiele: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1; 75, 226, 113, 340, 170, 85, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Vermutet wird, daß das für alle natürlichen Startzahlen gilt, doch konnte diese Vermutung bisher nicht bewiesen werden. Auch die mit Computerhilfe durchgeführte Suche nach einem Gegenbeispiel blieb ohne Erfolg. (Einem Internethinweis zufolge sollen dabei Startzahlen bis in die Größenordnung 1016 gewählt worden sein.) [Edit] [To the bottom] Statt selber über einen allgemeinen Beweis der Collatz-Vermutung nachzugrübeln oder mich an der Suche nach einem Gegenbeispiel zu beteiligen (wofür im Internet geworben wird; Stichwort: verteiltes Rechnen), habe ich das ursprüngliche Collatz-Verfahren ein wenig variiert, um zu sehen, was sich dabei ergibt. Naheliegend ist es, die 3, mit der multipliziert werden soll, durch eine andere Zahl zu ersetzen und damit zu experimentieren. Wird bei ungeradem n statt 3⋅n+1 zum Beispiel 5⋅n+1 gerechnet, können am Ende auch andere Zahlen als die 1 stehen. Zunächst erhält man sie, wenn als Startzahl die 1, 2, 3 oder 4 gewählt wird: 1, 6, 3, 16, 8, 4, 2, 1; 2, 1; 3, 16, 8, 4, 2, 1; 4, 2, 1. Dann aber liefert die Startzahl 5: 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26. Als nächstes ergäbe sich wieder die 13, dann die 66 usw.; ein Weg zur 1 besteht nicht. So ist es auch bei diesem Beispiel: 17, 86, 43, 216, 108, 54, 27, 136, 68, 34, 17. Wählen wir dagegen als Startzahl die 51, kommen wir zur 1: 51, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Das gilt auch für die Startzahlen 819, 13107, d. h. solche, deren 5-faches um 1 kleiner als eine auf 6 endende Zweierpotenz ist. Aber auch die 15, obwohl sie nicht diese Eigenschaft besitzt, führt zur 1: 15, 76, 38, 19, 96, 48, 24, 12, 6, 3, 16, 8, 4, 2, 1. Ihr sieht man das nicht ohne Weiteres an. Im Gegensatz zu den vorstehenden Beispielen erweist sich die Folge mit der Startzahl 7 als "harter Brocken": es ergeben sich ziemlich schnell große Zahlen. Dies sind die ersten hundert: 7, 36, 18, 9, 46, 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, 1146, 573, 2866, 1433, 7166, 3583, 17916, 8958, 4479, 22396, 11198, 5599, 27996, 13998, 6999, 34996, 17498, 8749, 43746, 21873, 109366, 54683, 273416, 136708, 68354, 34177, 170886, 85443, 427216, 213608, 106804, 53502, 26701, 133506, 66753, 333766, 166883, 834416, 417208, 208604, 104302, 52151, 260756, 130378, 65189, 325946, 162973, 814866, 407433, 2037166, 4074332, 2037166, 1018583, 5092916, 2546458, 1273229, 6366146, 313073, 15915366, 7957683, 39788416, 19894208, 9947104, 4973552, 2486776, 1243388, 621694, 310847, 1554236, 777118, 388559, 1942796, 971398, 485699, 2428496, 1214248, 607124, 303562, 151781, 758906, 379453, 1897266, 948633, 4743166, 2371583, 11857916, 5928958. Die Zahlen wachsen bis etwas über 300 Schritte weiter an. Was danach kommt, ob und wann sie wieder kleiner werden und mit welcher Zahl die Folge (vermutlich) endet, ließ sich mit meinem einfachen Programm, das keine Langzahlarithmetik verwendet, und bei der "natürlichen", 15-stelligen Computeranzeige nicht feststellen. Vielleicht hat jemand ein besseres Programm, um die angefangene Folge weiter zu untersuchen. – Anstatt nun als nächstes in der (5⋅n+1)-Folge die 5 durch die 7 zu ersetzen, was noch schneller zu sehr großen Zahlen führen kann, betrachtete ich die collatzähnlichen Folge (3⋅n-1). Wiederum liefern bei ihr die Startzahlen 1, 3 und 4 am Ende die 1. Dagegen erhält man mit s=5 (s soll "Startzahl" bedeuten): 5, 14, 7, 20, 10, 5 und mit s=9: 9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14. Die in der letzten Folge enthaltene Teilfolge 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14 erscheint in vielen anderen collatzähnlichen Folgen der Form (3⋅n-1), die nicht mit 1 enden, wie z. B. in dieser: 1000, 500, 250, 125, 374, 187, 560, 280, 140, 70, 35, 104, 52, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14. – Zusammenfassung: Die vorstehenden Beispiele zeigen, daß collatzähnliche Folgen der Form (k⋅n±1), wobei k eine natürliche, ungerade Zahl bedeutet, periodisch sind. Dies trifft auch auf die Collatz-Folge (3⋅n+1) selbst zu, was leicht übersehen wird, wenn man bei Versuchen mit ihr nur gespannt darauf achtet, ob am Ende die 1 erscheint. Bei den collatzähnlichen Folgen treten außer der Periode 4,2,1 der Collatz-Folge bei jeweils gleichem k mehrere verschiedene Perioden auf, abhängig von der gewählten Startzahl. Die Folgen sind, ähnlich wie bei der Dezimaldarstellung von Brüchen, sofortperiodisch (obiges Beispiel k=5, s=17) oder nicht-sofortperiodisch. Manche Perioden sind lang und enthalten sehr hohe Zahlen wie in dem Beispiel (5⋅n+1) mit s=7, welches ich nicht abschließend klären konnte. Hans-Jürgen 1 Buri kannte ihn persönlich und schätzte ihn sehr, vgl. hier, Beitrag No. 5 [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist nicht im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen. [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen von: Bernhard am: So. 20. März 2011 00:58:52

\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen! Interessanter Artikel! Ich habe auch schon mal öfters so ähnlich mit Zahlenfolgen gespielt, ohne davon zu kennen. Für die "klassische" Collatzregel oder hätte ich eine Idee: Sei c_1 := n/2 und c_2 := n*3+1 und ein Pfeil zeigt, in welche Richtung sie angewendet wird (Umkehrung). Man kann schnell erkennen, daß jede Folge, wenn sie mit 1 enden soll, als letzte 3 Glieder 4,2,1 hat. Jetzt könnte man rückwärts gehen und weitersehen, woraus sich die entwickelt haben könnten. Also: 1.) 1,2,4, (c_1)^< -> 8; (c_1)^< -> 16; (c_1)^< -> 32; ... Man sieht, das jede Startzahl s=2^m zu einer 1 führt. 2.) 1,2,4, (c_2)^< -> 1; 3.) 1,2,4, (c_1)^< -> 1; (c_1)^< -> 16; (c_2)^< -> 5; 4.) ... Weiter führt also je Zahl s=2^(2m+1)-1 zur 1. 5.) Noch ein Gedanke: Da bei immer eine gerade Zahl herauskommt, kann dieser Schritt nie wiederholt werden. Es kommt aber auch immer eine Zahl mit mod 3 == 1 oder mod 3 == 2 heraus. Jede aus (c_2)^> entstandene Zahl k läßt sich also zerlegen als: k = p_1 * p_2 *...* p_n * 2^q wobei p_n eine Primzahl größer 3 ist. Die gleiche Schreibweise gilt für alle weiteren Glieder der Folge nach Anwendung von (c_1)^> . Es lassen sich also alle Glieder einer Collatzfolge - bis auf das erste - immer so darstellen. Ob das weiterhilft? Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)