Mathematik: Algebra über endlichen Körpern
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Mathematik

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Algebra über endlichen Körpern

Dieser Artikel richtet sich an Studenten, die gerade eine Algebra-Vorlesung hören oder nacharbeiten. Was unterscheidet Algebra, speziell die Theorie der Polynome und Körpererweiterungen über einem endlichen Körper, von Algebra über beliebigen Körpern? Zunächst einmal nichts. Und daher sollte es eigentlich gar keinen Artikel zu diesem Thema geben. Doch vielen macht es trotzdem Probleme, wenn sie nun etwa Zerfällungskörper über endlichen Körpern anstelle von <math>\mathbb{Q}</math> bestimmen sollen. Die speziellen Eigenschaften von endlichen Körpern führen leider zu dem Vorurteil, dass man hier irgendwelche neuen Techniken erlernen muss. Mit solchen Vorurteilen möchte ich in diesem Artikel aufräumen. Er kann als Fortsetzung von Lineare Algebra über endlichen Körpern verstanden werden. Ich gehe außerdem auf die Vereinfachungen ein, die sich bei endlichen Körpern ergeben.



1. Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

Der größte gemeinsame Teiler von zwei Polynomen <math>f,g \in K[x]</math> kann mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt werden, egal was für ein Körper <math>K</math> ist (anstelle von <math>K[x]</math> kann man jeden euklidischen Ring nehmen). Als einfaches Beispiel bestimmen wir einmal den ggT von <math>x^5+x^3+x^2-1</math> und <math>x^2+1</math>. Polynomdivision liefert

<math>(x^5+x^3+x^2-1) = (x^3+1)(x^2+1) - 2</math>

Sofern <math>2=0</math> in <math>K</math> (z.B. wenn <math>K=\mathbb{F}_2</math>), so ist also <math>x^2+1</math> der ggT. Andernfalls ist der ggT aber <math>1</math>, d.h. die beiden Polynome sind teilerfremd. Als etwas komplizierteres Beispiel bestimmen wir den ggT von <math>x^5-2x+3</math> und <math>x^2+2x-1</math>. Der erste Schritt ist

<math>x^5-2x+3 = (x^3-2x^2+5x-12)(x^2+2x-1) + (27x-9)</math>

Wenn <math>3=0</math> in <math>K</math> (z.B. wenn <math>K=\mathbb{F}_3</math>), so können wir hier bereits abbrechen, weil dann <math>27x-9=0</math>. Andernfalls machen wir weiter (beachte <math>3 \neq 0 \Rightarrow 9 = 3 \cdot 3 \neq 0</math>, etc.):

<math>x^2+2x-1 = (\frac{x}{27}+ \frac{7}{81}) (27 x - 9) - \frac{2}{9} </math>

Wenn <math>2=0</math>, so ist der Rest hier <math>0</math> und der ggT ist <math>27x-9=x+1</math>. Andernfalls ist der ggT aber <math>1</math>.

Der erweiterte euklidische Algorithmus funktioniert natürlich ebenfalls unabhängig vom Grundkörper. Im letzten Beispiel erhalten wir, sofern <math>2,3 \neq 0</math>, nach Einsetzen:

<math>(\frac{x}{27} + \frac{7}{81}) \cdot (x^5 - 2x + 3) -   \left((x^3 - 2 x^2 + 5x - 12)(\frac{x}{27} + \frac{7}{81})+1\right) \cdot (x^2 + 2x - 1)  = \frac{2}{9}</math>

<math>\frac{1}{18}(3x+7) \cdot (x^5 - 2x + 3) -   \frac{1}{18} (3x^4 + x^3 + x^2 - x - 3) \cdot (x^2 + 2x - 1)  = 1</math>

Wenn nun ein konkreter Körper wie etwa <math>K=\mathbb{F}_7</math> vorliegt, so kann man, wenn man möchte, noch <math>\frac{1}{18}=2</math> vereinfachen.


2. Irreduzibilität von Polynomen

Das Reduktions- und das Eisensteinkriterium sind nützlich, um Irreduzibilität über <math>\mathbb{Q}</math> zu testen. Genauer gesagt führt man dies mittels Gauss' Lemma auf <math>\mathbb{Z}</math> zurück, und dieser Ring hat viele Primelemente. Leider ist jeder Teilring eines endlichen Körpers ebenfalls ein endlicher Körper, sodass uns hier keine Primelemente zur Verfügung stehen und andere Methoden benötigt werden.

2.1. (Kleine Grade) Generell gilt, dass jedes Polynom vom Grad <math>1</math> irreduzibel ist, und ein Polynom vom Grad <math>2</math> oder <math>3</math> ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen hat (betrachte den Grad eines Faktors). Letzteres lässt sich bei endlichen Körpern natürlich besonders einfach testen, man gehe einfach die Elemente durch. So sieht man zum Beispiel sofort, dass <math>x^2+1</math> reduzibel über <math>\mathbb{F}_2</math> ist (aber irreduzibel über <math>\mathbb{Q}</math>); tatsächlich stimmt es mit <math>(x+1)^2</math> überein. Allerdings sind <math>x^2+x+1</math> und <math>x^3+x+1</math> irreduzibel über <math>\mathbb{F}_2</math>.

Bei Polynomen vom Grad <math>4</math> kann man die Irreduzibilität oft mit einem Ansatz einer Zerlegung zeigen. Zum Beispiel ist <math>x^4-2 \in \mathbb{F}_5[x]</math> irreduzibel, denn es hat keine Nullstellen und der Ansatz <math>x^4-2 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)</math> führt zu einem Gleichungssystem, welches die beiden Gleichungen <math>2 = b(b-a^2), 0 = a(a^2-2b)</math> impliziert. Wenn <math>a=0</math>, impliziert die erste Gleichung <math>2=b^2</math>. Aber <math>0,1,4</math> sind die einzigen Quadrate in <math>\mathbb{F}_5</math>, Widerspruch. Wenn dagegen <math>a \neq 0</math>, folgt leicht <math>-2 = b^2</math>, Widerspruch.

Für höhere Grade geht es nicht mehr so einfach. Um zu testen, ob ein normiertes Polynom <math>f \in \mathbb{F}_p[x]</math> vom Grad <math>n>1</math> irreduzibel ist, gibt es verschiedene Tricks:

2.2. (Auflistung) Per Induktion kann man annehmen, dass man das Problem bereits für alle Grade <math><n</math> gelöst hat. Man liste nun alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad <math><n</math> auf (das sind nur endlich viele!). Falls eines davon <math>f</math> teilt, ist <math>f</math> reduzibel. Ansonsten ist <math>f</math> irreduzibel.

Beispiel: Es gibt nur ein irreduzibles Polynom vom Grad <math>2</math> über <math>\mathbb{F}_2</math>, nämlich <math>x^2+x+1</math>, denn die anderen <math>x^2+1, x^2+x, x^2</math> haben eine Nullstelle. Das Polynom <math>x^4+x+1</math> ist dann irreduzibel, denn die Polynomdivison <math>x^4+x+1 = (x^2+x)(x^2+x+1) + 1</math> zeigt <math>x^2+x+1 \nmid x^4+x+1</math>.

2.3. (Rabins Algorithmus) Das Produkt aller irreduziblen normierten Polynome über <math>\mathbb{F}_p</math> von einem Grad, der <math>n</math> teilt, ist <math>x^{p^n}-x</math> (das folgt aus einer Überlegung mit den Minimalpolynomen von Elementen aus <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>). Wenn man nun mittels einer Polynomdivision feststellt, dass <math>f \nmid x^{p^n}-x</math>, so ist also <math>f</math> reduzibel.

Beispiel: Wir nehmen <math>p=2, f = x^4+x^3+x+1</math>. Dann liefert Polynomdivison

<math>x^{16}-x = f \cdot (x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + 1)</math>
<math>  + (x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^9 + x^8 + x^7 + x^3 + 1)</math>

Also ist <math>f</math> reduzibel. Offensichtlich ist dieses Verfahren in der Praxis viel zu aufwändig. Allerdings haben wir die Reduzibilität rein mechanisch zeigen können, ohne einen Faktor explizit angeben zu müssen. Übrigens ist <math>f = (x^2+1) \cdot (x^2+x+1)</math>.

Wenn sich <math>f \mid x^{p^n}-x</math> ergibt, aber <math>\mathrm{gcd}(f,x^{p^m}-x)=1</math> für jeden echten Teiler <math>m | n</math>, so ist <math>f</math> irreduzibel. Das ist Rabins Algorithmus; mehr dazu bei Wikipedia.

2.4. (Liftung) Wir können das Polynom zu einem normierten Polynom <math>f \in \mathbb{Z}[x]</math> liften. Dann kann man es auch über <math>\mathbb{C}</math> betrachten und dort faktorisieren. Manchmal kann man das zu einer Faktorisierung über <math>\mathbb{F}_p</math> liften.

Beispiel: Das Polynom <math>f = x^4+1</math> ist reduzibel über <math>\mathbb{F}_p</math>, für jede Primzahl <math>p</math>. Beweis: Für <math>p=2</math> ist das klar, sei also <math>p \neq 2</math>. Über <math>\mathbb{C}</math> rechnen wir

<math>f = x^4-i^2 = (x^2+i)(x^2-i)</math>
<math>= (x-\frac{1}{\sqrt{2}} (1-i)) \cdot (x+\frac{1}{\sqrt{2}} (1-i)) \cdot (x-\frac{1}{\sqrt{2}} (1+i)) \cdot (x+\frac{1}{\sqrt{2}} (1+i)) </math>

Fasst man den ersten mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten Faktor zusammen, so erhält man die Faktorisierung

<math>=(x^2-\sqrt{2}x+1) \cdot (x^2+\sqrt{2} x + 1).</math>

Fasst man dagegen den zweiten mit dem dritten und den ersten mit dem vierten Faktor zusammen, so ergibt sich

<math>=(x^2-\sqrt{-2} x-1) \cdot (x^2+\sqrt{-2} x - 1).</math>

Dieselbe Rechnung zeigt nun aber: Wenn in einem Körper eines der Elemente <math>-1,2,-2</math> ein Quadrat ist, so ist <math>x^4+1</math> über diesem Körper reduzibel. Für <math>K=\mathbb{F}_p</math> ist dies immer der Fall, das ist eine Folge aus dem quadratischen Reziprozitätsgesetz. Wie die Faktoren in Abhängigkeit von <math>p</math> aussehen, findet ihr hier. Dort hat owk außerdem einen galoistheoretischen Beweis skizziert. Alternativ kann man gruppentheoretisch argumentieren: Der Homomorphiesatz angewandt auf <math>\mathbb{F}_p^* \to \mathbb{F}_p^*, x \mapsto x^2</math> zeigt, dass die Quadrate eine Untergruppe vom Index <math>2</math> in <math>\mathbb{F}_p^*</math> bilden. Das Produkt von zwei Nichtquadraten ist daher ein Quadrat. Sind also <math>-1,2</math> keine Quadrate, so muss ihr Produkt <math>-2</math> ein Quadrat sein. Diese Argumentation funktioniert sogar über jedem endlichen Körper.

2.5. (Kreisteilungspolynome) Sei <math>p \nmid n</math>. Das <math>n</math>-te Kreisteilungspolynom <math>\Phi_n</math> ist genau dann irreduzibel, wenn <math>\overline{p}</math> ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe <math>(\mathbb{Z}/n)^*</math> ist (siehe Bosch, Algebra, Satz 4.5/12).

Beispiel: Über <math>\mathbb{F}_2</math> ist <math>x^4+x^3+x^2+x+1</math> irreduzibel. Denn das ist <math>\Phi_5</math> und <math>\overline{2}</math> erzeugt <math>(\mathbb{Z}/5)^*</math> (denn <math>\overline{2}^2=\overline{-1}</math> zeigt, dass die Ordnung <math>4</math> ist).

Beispiel: Über <math>\mathbb{F}_3</math> ist <math>x^4+2x^3+x^2+2x+1</math> irreduzibel, denn das stimmt mit <math>\Phi_{10}</math> überein und <math>\overline{3}</math> erzeugt <math>(\mathbb{Z}/10)^*</math> (wieder wegen <math>\overline{3}^2 = \overline{-1}</math>).

Natürlich erfasst man damit nur relativ wenig Polynome, andererseits gibt es ja auch noch die Möglichkeit von Substitutionen. Zum Beispiel ist auch <math>x^4+x^2+2x+1</math> über <math>\mathbb{F}_3</math> irreduzibel, weil dieses durch Substitution <math>x \mapsto x+1</math> aus dem vorigen hervorgeht.

2.6 (Algorithmen) Effiziente Algorithmen zur Faktorisierung von Polynomen und damit auch Tests zur Irreduzibilität findet ihr bei Wikipedia. Prominente Beispiele sind die Algorithmen von Berlekamp und von Cantor-Zassenhaus.


3. Grundlagen

Für die nächsten Abschnitte wiederholen wir hier ein paar Grundlagen aus der Körpertheorie (vgl. Bosch, Algebra, Kapitel 3) und wenden sie auf endliche Körper an. Ich möchte dabei vor allem mit dem Vorurteil aufräumen, dass Wurzelausdrücke nur in Zahlkörpern Sinn ergeben. Die allgemeine Konstruktion von endlichen Körpern skizziere ich nur, dafür behandle ich aber viele Beispiele.

3.1. (Charakteristik) Sei <math>K</math> ein Körper. Der Kern des eindeutigen Homomorphismus <math>\mathbb{Z} \to K</math> ist ein Primideal, also von der Form <math>p \mathbb{Z}</math> für eine Primzahl <math>p</math> oder <math>p=0</math>. Man nennt <math>\mathrm{char}(K) := p</math> die Charakteristik von <math>K</math>. Zum Beispiel hat <math>\mathbb{F}_p</math> für eine Primzahl <math>p</math> nach Definition die Charakteristik <math>p</math>. Ein weiteres Beispiel ist der (unendliche) Körper der rationalen Funktionen <math>\mathbb{F}_p(T)</math>. Die Charakteristik ist gerade so definiert, dass man damit feststellen kann, wann eine ganze Zahl <math>z \in \mathbb{Z}</math> in dem Körper verschwindet: Es gilt <math>z = 0</math> in <math>K</math> genau dann, wenn <math>p | z</math>.

3.2. (Wurzeln) Sei <math>K</math> ein Körper. Falls <math>a,b \in K</math> mit <math>a^2=b</math>, so nennen wir <math>b</math> ein Quadrat und <math>a</math> eine Wurzel von <math>b</math>. Dann ist auch <math>-a</math> eine Wurzel, und tatsächlich sind <math>a,-a</math> sämtliche Wurzeln von <math>b</math>. Diese fallen zusammen genau dann, wenn <math>b = 0</math> oder <math>\mathrm{char}(K)=2</math>. Mit <math>\sqrt{b}</math> meint man eine Wurzel von <math>b</math>. Sofern diese in <math>K</math> nicht existiert, arbeitet man in einer geeigneten algebraischen Erweiterung von <math>K</math>. Es ist also <math>\sqrt{b}</math> kein wohldefiniertes Element, allerdings ist die Adjunktion einer Wurzel <math>K(\sqrt{b})</math> wohldefiniert. Falls <math>\sqrt{b} \in K</math>, handelt es sich um <math>K</math>, und andernfalls um die Körpererweiterung <math>K[x]/(x^2-b)</math>. Hierbei ist <math>\overline{x}=\sqrt{b}</math>. Eine <math>K</math>-Basis ist durch <math>1,\sqrt{b}</math> gegeben. Für <math>\sqrt{-1}</math> schreibt man auch <math>i</math>. Zum Beispiel gilt <math>i=\pm 2</math> falls <math>\mathrm{char}(K)=5</math>.

Sofern <math>\mathrm{char}(K) \neq 2</math>, kann man quadratische Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel lösen: Es gilt <math>a^2+pa + q = 0</math> genau dann, wenn

<math>\displaystyle a = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}.</math>

Hierbei sind natürlich beide Wurzeln möglich.

Beispiel. Über <math>\mathbb{F}_5</math> gilt <math>a^2+a+1=0 \Leftrightarrow a = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2} = 2+3 \sqrt{2}</math>. Es folgt <math>\mathbb{F}_5(a) = \mathbb{F}_5(\sqrt{2})</math>.

Für höhere Wurzeln entsprechend: Falls <math>n \geq 1</math>, so ist <math>\sqrt[n]{a}</math> als ein Element <math>b</math> mit <math>b^n=a</math> definiert. Dieses Element erzeugt eine wohldefinierte Körpererweiterung <math>K(\sqrt[n]{a})</math>, sofern <math>K</math> eine primitive <math>n</math>-te Einheitswurzel enthält. Wenn <math>K</math> endlich ist, so ist dies genau dann der Fall, wenn <math>n</math> die Ordnung der Gruppe <math>K^*</math> teilt, weil diese zyklisch ist.

3.3. (Endliche Körper) Ist <math>p</math> eine Primzahl und <math>n \in \mathbb{N}^+</math>, so gibt es ein irreduzibles Polynom <math>g</math> vom Grad <math>n</math> über <math>\mathbb{F}_p</math>. Dann ist also <math>\mathbb{F}_p[x]/(g)</math> ein Körper mit <math>\mathbb{F}_p</math>-Dimension <math>n</math>, also ein endlicher Körper mit <math>p^n</math> Elementen. Zu jeder Primzahlpotenz <math>q</math> gibt es also einen endlichen Körper mit genau <math>q</math> Elementen. Wendet man Lagrange auf seine multiplikative Gruppe an, so ergibt sich die Gleichung <math>a^q=a</math> für alle Elemente <math>a</math>. Es folgt weiter, dass es sich um den Zerfällungskörper (4.1) von <math>x^q - x \in \mathbb{F}_p[x]</math> handelt. Es gibt also bis auf Isomorphie nur einen Körper mit <math>q</math> Elementen. Obwohl es keinen eindeutigen Isomorphismus gibt, nennt man jeden solchen Körper mit <math>q</math> Elementen <math>\mathbb{F}_q</math>. Man kann zeigen, dass jeder endliche Körper als Ordnung eine Primzahlpotenz <math>q</math> hat, indem man ihn als Vektorraum über seinem Primkörper auffasst, und folglich zu einem <math>\mathbb{F}_q</math> isomorph ist. Damit sind also alle endlichen Körper abgedeckt.

Beispiel. Das Polynom <math>x^2+x+1 \in \mathbb{F}_2[x]</math> ist irreduzibel. Also ist <math>\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1)</math>. Weil das Polynom ebenfalls über <math>\mathbb{F}_5</math> irreduzibel ist, gilt <math>\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)</math>. Wir haben bereits in 3.2. festgestellt, dass dies gleich <math>\mathbb{F}_5(\sqrt{2})</math> ist. Allgemeiner ist <math>x^2+x+1 \in \mathbb{F}_p[x]</math> genau dann irreduzibel, wenn <math>p \equiv 2 \pmod 3</math> (siehe 2.5). In diesem Fall gilt, unter der Annahme <math>p \neq 2</math>, dass <math>\mathbb{F}_{p^2} = \mathbb{F}_p(\sqrt{-3})</math>.

Beispiel. Das Polynom <math>x^2+1 \in \mathbb{F}_3[x]</math> ist irreduzibel. Also ist <math>\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3[x]/(x^2+1) = \mathbb{F}_3(\sqrt{-1})=\mathbb{F}_3(i)</math>. Alternativ kann man <math>\mathbb{F}_9</math> mittels <math>x^2-x-1=(x+1)^2+1 \in \mathbb{F}_3[x]</math> oder <math>x^2+x-1=(x-1)^2+1</math> konstruieren. Allgemeiner ist <math>x^2+1 \in \mathbb{F}_p[x]</math> genau dann irreduzibel, wenn <math>p \equiv 3 \pmod 4</math>; in diesem Fall ist dann <math>\mathbb{F}_{p^2}=\mathbb{F}_p(i)</math>.

Beispiel. Das Polynom <math>x^3-5 \in \mathbb{F}_7[x]</math> ist irreduzibel. Wegen <math>3 | 7 - 1</math> enthält <math>\mathbb{F}_7</math> eine primitive dritte Einheitswurzel, nämlich <math>2</math>. Es folgt <math>\mathbb{F}_{7^3} = \mathbb{F}_7[x]/(x^3-5) = \mathbb{F}_7(\sqrt[3]{5})</math>.

Beispiel. Das Polynom <math>x^3+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]</math> ist irreduzibel. Also ist <math>\mathbb{F}_{125} = \mathbb{F}_5[x]/(x^3+x+1)</math>. Die Formeln zur Auflösung kubischer Polynome sind in jedem Körper mit Charakteristik <math>\neq 2,3</math> gültig (Bosch, Algebra, Satz 6.2/1) und liefern die Darstellung <math>\mathbb{F}_{125} = \mathbb{F}_5(\sqrt[3]{\sqrt{2} - 3} - \sqrt[3]{\sqrt{2} + 3})</math>.

3.4. (Kompositum) Seien <math>E,F</math> algebraische Erweiterungen eines Körpers <math>K</math>. Ihr Kompositium <math>E \cdot F</math> in einer gemeinsamen Erweiterung <math>L</math> ist der kleinste Teilkörper von <math>L</math>, welcher <math>E</math> und <math>F</math> enthält. Er besteht explizit aus allen Summen von Elementen der Form <math>e \cdot f</math> mit <math>e \in E, f \in F</math>. Wenn zum Beispiel <math>E=K(a), F = K(b)</math> mit <math>a,b \in L</math>, dann gilt <math>E \cdot F = K(a,b)</math>. Zu beachten ist, dass das Kompositum von den Einbettungen <math>E \to L, F \to L</math> abhängt. Es ergibt keinen Sinn, das Kompositum von zwei abstrakten Erweiterungen von <math>K</math> zu bilden. Für jedes maximale Ideal <math>\mathfrak{m} \subseteq E \otimes_K F</math> gibt es ein potentiell anderes Kompositum <math>(E \otimes_K F) / \mathfrak{m}</math>.

Bei endlichen Körpern treten diese Probleme nicht auf. Ein Körper mit <math>q</math> Elementen in einer beliebigen Erweiterung lokalisiert sich stets als <math>\{x : x^q = x\}</math>. Es gilt genau dann <math>\mathbb{F}_{p^n} \subseteq \mathbb{F}_{p^d}</math>, wenn <math>n|d</math>. Das Kompositum von <math>\mathbb{F}_{p^n}</math> und <math>\mathbb{F}_{p^m}</math> ist daher <math>\mathbb{F}_{p^d}</math>, wobei <math>d := \mathrm{kgV}(n,m)</math>. Wenn <math>n,m</math> teilerfremd sind, dann ist aus Dimensionsgründen der surjektive Homomorphismus <math>\mathbb{F}_{p^n} {\otimes}_{\mathbb{F}_p} \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_{p^{nm}}</math> bereits ein Isomorphismus.


4. Zerfällungskörper

4.1. (Zerfällungskörper) Ist <math>f \in K[x]</math> ein Polynom, so ist ein Zerfällungskörper von <math>f</math> ein minimaler Erweiterungskörper <math>E/K</math>, über dem <math>f</math> in Linearfaktoren zerfällt. Er existiert stets und ist bis auf (nicht eindeutige) <math>K</math>-Isomorphie eindeutig bestimmt. Es ist wichtig zu wissen, dass es nicht den Zerfällungskörper gibt, ebenso wenig wie eine Standardform zur Bestimmung dessen. Eine von vielen Möglichkeiten sieht so aus: Sofern man alle Nullstellen <math>\alpha_1,\dotsc,\alpha_n</math> von <math>f</math> in einem algebraischen Abschluss kennt, so gilt <math>E=K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)</math>. Es gilt genau dann <math>E=K</math>, wenn <math>f</math> bereits über <math>K</math> zerfällt.

Weil der Zerfällungskörper eines Produktes <math>f \cdot g</math> das Kompositum der Zerfällungskörper von <math>f</math> und <math>g</math> ist, kann man sich in der Theorie auf irreduzible Polynome einschränken. Ist <math>f \in K[x]</math> irreduzibel, so ist <math>L:=K[x]/(f)</math> eine Körpererweiterung von <math>K</math> vom Grad <math>\deg(f)</math>. Die Restklasse <math>a:=\overline{x}</math> ist eine Nullstelle von <math>f</math> in <math>L</math> mit <math>L=K(a)</math>. Wenn <math>L/K</math> normal ist, zerfällt <math>f</math> bereits über <math>L</math> und <math>L</math> ist ein Zerfällungskörper von <math>f</math>. Wenn <math>L/K</math> nicht normal ist, muss man sich auf diese Weise einen Körperturm bauen, der mit einem Zerfällungskörper endet.

Nun ist es aber so, dass jede Erweiterung endlicher Körper normal ist! Das geht leicht aus deren Klassifikation hervor. Eine für uns sehr wichtige Konsequenz lautet: Ist <math>K</math> ein endlicher Körper und <math>f \in K[x]</math> irreduzibel, so ist <math>K[x]/(f)</math> ein Zerfällungskörper von <math>f</math>. Die Adjunktion einer Nullstelle reicht also bereits völlig aus; die anderen sind in der erzeugten Körpererweiterung bereits enthalten.

4.2. (Was heißt hier Bestimmung?) In Algebra-Vorlesungen und -Büchern gibt es oftmals Aufgaben des Typs "Bestimmen Sie den Zerfällungskörper von ... über a) <math>\mathbb{Q}</math>, b) <math>\mathbb{F}_2</math>". Diese sind hier auch schon sehr oft auf dem Matheplaneten aufgetaucht. Meistens entsteht dann eine Asymmetrie zwischen a) und b). Bei a) werden Wurzelausdrücke in <math>\mathbb{C}</math> hingeschrieben und zu <math>\mathbb{Q}</math> adjungiert, aber bei b) scheint dieses Vorgehen gar nicht zu existieren. Das stimmt aber nicht. Genauso wie <math>\mathbb{Q}</math> und jeder andere Körper auch hat <math>\mathbb{F}_2</math> einen algebraischen Abschluss. Und wie bereits in Abschnitt 3 besprochen, ergeben Wurzeln auch dann Sinn. Wie schon mehrmals betont, ist die allgemeine Theorie der Körpererweiterungen über jedem Körper gleich. Davon abgesehen gibt es ab Grad <math>5</math> auch Polynome, die sich nicht durch Wurzelausdrücke auflösen lassen. Spätestens dann stellt sich die Frage Was heißt hier eigentlich "Bestimmen"?. Der Aufgabensteller sollte in jedem Falle klarmachen, was er darunter versteht. Leider passiert das sehr selten.

Es gibt verschiedene Formen, einen Zerfällungskörper <math>E</math> eines Polynoms <math>f \in K[x]</math> zu "bestimmen", d.h. eine zur Definition alternative Darstellung zu geben.

(1) Man konstruiert <math>E</math> abstrakt aus <math>K</math>, zum Beispiel durch Quotienten von Polynomringen über <math>K</math>, d.h. Erzeuger und Relationen. Wir haben bereits erwähnt, dass manchmal bereits <math>E=K[x]/(f)</math> gilt, z.B. wenn <math>K</math> endlich und <math>f</math> irreduzibel ist.

(2) Man schreibt <math>E=K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)</math> mit Wurzelausdrücken <math>\alpha_i</math>, sofern es möglich ist. Wie gesagt spielt die Mächtigkeit von <math>K</math> hierbei keine Rolle.

(3) Falls <math>K</math> endlich ist, so kann man nach der Mächtigkeit <math>q</math> von <math>E</math> fragen, denn dann ist <math>E \cong \mathbb{F}_q</math>. Sofern <math>f</math> irreduzibel ist, lautet die Antwort einfach <math>q = |K|^{\deg(f)}</math>.

(4) Allgemeiner: Man ordnet (den Isomorphietyp von) <math>E</math> einer Liste von bereits bekannten Körpererweiterungen von <math>K</math> zu. Zum Beispiel kann man für <math>\deg(f)=2</math>, sofern <math>\mathrm{char}(K) \neq 2</math>, das <math>d \in K</math> bestimmen mit <math>E \cong K(\sqrt{d})</math>.

Wahrscheinlich gibt es noch mehr. Es gibt kein allgemeines Kriterium, mit dem man bewerten könnte, welche dieser Bestimmungsformen die Beste ist. Vielmehr geht es darum, was man anschließend mit dem Zerfällungskörper anstellen möchte. Für gewisse Anwendungen könnte (1) hilfreich sind, für andere wiederum total unbrauchbar.

4.3. (Beispiel) Bestimmen wir den Zerfällungskörper von <math>f=x^4-2 \in \mathbb{F}_5[x]</math>, und zwar in allen der in 4.2 genannten Formen. Wir haben in 2.1 festgestellt, dass <math>f</math> irreduzibel ist. Also ist <math>E=\mathbb{F}_5[x]/(f)</math> ein Zerfällungskörper. Weil er <math>5^4=625</math> Elemente hat, ist er isomorph zu <math>\mathbb{F}_{625}</math>. Es enthält <math>\mathbb{F}_5</math> eine primitive <math>4</math>. Einheitswurzel, nämlich <math>i=2</math>. Also ist <math>E=\mathbb{F}_5(\sqrt[4]{2})</math>. Die Nullstellen von <math>f</math> in <math>E</math> lauten <math>2^k \sqrt[4]{2}</math> mit <math>k=0,1,2,3</math>.

4.4. (Beispiel) Wir betrachten <math>f = x^5+x+1 \in \mathbb{F}_2[x]</math>. Wir kennen bereits das irreduzible Polynom vom Grad <math>2</math>, nämlich <math>x^2+x+1</math>, und führen damit eine Polynomdivison durch, die <math>f = (x^2+x+1)(x^3+x^2+1)</math> ergibt. Beide Faktoren sind irreduzibel mit Zerfällungskörper <math>\mathbb{F}_{2^2}</math> und <math>\mathbb{F}_{2^3}</math>. Der Zerfällungskörper <math>E</math> von <math>f</math> ist also (siehe 3.4) isomorph zum Kompositum <math>\mathbb{F}_{2^2} \cdot \mathbb{F}_{2^3} = \mathbb{F}_{2^{\mathrm{kgV}(2,3)}} = \mathbb{F}_{2^6}=\mathbb{F}_{64}</math>. Eine Darstellung durch Erzeuger und Relationen lautet <math>E \cong \mathbb{F}_{2^2} \otimes_{\mathbb{F}_2} \mathbb{F}_{2^3} \cong \mathbb{F}_2[x,y]/(x^2+x+1,y^3+y^2+1)</math>. Aber eine Variable reicht auch aus: Weil das Polynom <math>x^6+x+1 \in \mathbb{F}_2[x]</math> irreduziel ist und Grad <math>6</math> hat, gilt <math>E \cong \mathbb{F}_2[x]/(x^6+x+1)</math>.

4.5. (Beispiel) Sei <math>f = x^6 - 7x^4 + 3x^2 + 3 \in K[x]</math>, wobei zunächst <math>K</math> mit <math>\mathrm{char}(K) \neq 2</math> beliebig. Es sind <math>\pm 1</math> Nullstellen von <math>f</math>. Das Horner-Schema (oder Polynomdivison) liefert die Faktorisierung <math>f = (x-1)(x+1)(x^4-6x^2-3)</math>. Der Zerfällungskörper <math>E</math> von <math>f</math> stimmt also mit dem von <math>g=x^4-6x^2-3</math> überein. Weil <math>g</math> biquadratisch ist, lassen sich die Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel ausrechnen. Sie lauten <math>\pm \sqrt{3 \pm 2 \sqrt{3}}</math>, wobei jeweils eine feste Wurzel gemeint ist. Es folgt <math>E=K(\sqrt{3 +2 \sqrt{3}},\sqrt{3 -2 \sqrt{3}})</math>. Wegen <math>\sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{3}} = i \cdot \sqrt{3}</math> und <math>\frac{1}{2} \left((\sqrt{3 + 2 \sqrt{3}})^2-3\right)=\sqrt{3}</math> vereinfacht sich dies zu <math>E=K(i,\sqrt{3 +2 \sqrt{3}})</math>.

Für <math>K=\mathbb{Q}</math> lässt sich das nicht weiter vereinfachen und es gilt <math>[E:K]=8</math>. Für <math>K=\mathbb{F}_{13}</math> schon: Mögliche Wurzeln sind <math>i=5</math>, <math>\sqrt{3} = 4</math>, also <math>\sqrt{3+2 \sqrt{3}} = \sqrt{11} \notin \mathbb{F}_{13}</math>, sodass <math>E=\mathbb{F}_{13}(\sqrt{11})=\mathbb{F}_{13^2}</math> mit <math>[E:K]=2</math>. Als Übung kann der Leser ein paar andere endliche Körper einsetzen.


5. Galoistheorie

5.1. (Der Frobenius) Die Grundlagen der Galoistheorie finden sich z.B. in Bosch, Algebra, Kapitel 4. Eine besonders schöne Eigenschaft von endlichen Körpern lautet, dass jede algebraische Erweiterung eines endlichen Körpers bereits eine Galoiserweiterung ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass <math>\mathbb{F}_{q^n} / \mathbb{F}_q</math> galoisch ist; hierbei ist <math>n \geq 1</math> und <math>q</math> eine Primzahlpotenz; das liegt daran, dass <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> ein Zerfällungskörper des separablen Polynoms <math>x^{q^m}-x</math> über <math>\mathbb{F}_q</math> ist. Ein ausgezeichnetes Element in der Galoisgruppe ist der Frobenius-Automorphismus <math>\sigma : x \mapsto x^q</math>. Wegen <math>\mathrm{ord}(\sigma)=n</math> wird die Galoisgruppe bereits von <math>\sigma</math> erzeugt und ist damit zyklisch, sogar kanonisch isomorph zu <math>\mathbb{Z}/n</math>. Für <math>n|m</math> schränkt sich der Frobenius von <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> zum Frobenius auf <math>\mathbb{F}_{q^n}</math> ein, d.h. der zur Inklusion <math>\mathbb{F}_{q^n} \subseteq \mathbb{F}_{q^m}</math> gehörige Homomorphismen auf den Galoisgruppen ist die kanonische Projektion <math>\mathbb{Z}/m \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/n</math>. Die Galoisgruppe des algebraischen Abschlusses <math>\overline{\mathbb{F}_q}/\mathbb{F}_q</math> ist demnach kanonisch isomorph zur pro-zyklischen Gruppe <math>\widehat{\mathbb{Z}} := \varprojlim_{n} \mathbb{Z}/n</math>. Die Galoistheorie von endlichen Körpern ist also besonders einfach zu überblicken.

Ist <math>f \in \mathbb{F}_q[x]</math> ein irreduzibles separables Polynom, so operiert die Galoisgruppe transitiv auf den Nullstellen von <math>f</math> in einem Zerfällungskörper <math>E</math>. Ist also <math>a</math> eine Nullstelle von <math>f</math>, so lauten die anderen Nullstellen <math>a^q, a^{q^2}, \dotsc</math>. Das zeigt erneut, aber noch viel expliziter, dass <math>E=\mathbb{F}_q(a)</math>.

5.2. (Kreisteilungspolynome reloaded) Wenn <math>q,n</math> teilerfremd sind, so ist das <math>n</math>. Kreisteilungspolynom <math>\Phi_n</math> separabel über <math>\mathbb{F}_q</math> und die Galoisgruppe identifiziert sich kanonisch mit der von <math>\overline{q}</math> erzeugten zyklischen Untergruppe von <math>(\mathbb{Z}/n)^*</math>. Einem Element der Galoisgruppe <math>\alpha</math> ordnet man hierbei das <math>\overline{z} \in (\mathbb{Z}/n)^*</math> zu mit <math>\alpha(\zeta_n) = \zeta_n^z</math>. Der Frobenius korrespondiert also zu <math>\overline{q}</math>.

Wenn <math>d</math> die Ordnung von <math>\overline{q}</math> ist, so zerfällt <math>\Phi_n</math> in <math>\frac{\varphi(n)}{d}</math> irreduzible Faktoren, jeweils vom Grad <math>d</math>. Diese bestimmt man so: Ist <math>\zeta</math> eine Nullstelle (d.h. eine primitive <math>n</math>. Einheitswurzel) und <math>B=\{\zeta,\zeta^q,\zeta^{q^2},\dotsc\}</math> die Bahn von <math>\zeta</math> unter der Galoisgruppe, so ist <math>\prod_{b \in B} (x-b)</math> ein irreduzibler Faktor von <math>\Phi_n</math>.

Beispiel. Für <math>n=10</math> und <math>q=9</math> ist <math>(\mathbb{Z}/10)^* = \{\overline{\pm  1}, \overline{\pm 3}\}</math> und <math>\overline{q}=\overline{-1}</math> erzeugt die Untergruppe <math>\{\pm 1\}</math> der Ordnung <math>2</math>. Die Galoisgruppe ist daher <math>\mathbb{Z}/2</math>. Außerdem besitzt <math>\Phi_{10}=x^4-x^3+x^2-x+1 \in \mathbb{F}_9[x]</math> zwei irreduzible Faktoren vom Grad <math>2</math>.

Nun rechnen wir die einmal aus. Es gilt <math>\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3(i)</math> für eine feste Wahl von <math>i=\sqrt{-1}</math>. Sei <math>\zeta \in \overline{\mathbb{F}_9}</math> eine primitive <math>10</math>. Einheitswurzel. Die Bahn ist <math>\{\zeta,\zeta^9,\zeta^{9^2}=\zeta,\dotsc\}=\{\zeta,\zeta^{-1}\}</math>, sodass der irreduzible Faktor <math>(x-\zeta)(x-\zeta^{-1})=x^2-(\zeta+\zeta^{-1})x+1</math> lautet. Die andere Bahn lautet <math>\{\zeta^3,\zeta^{-3}\}</math> mit zugehörigem Faktor <math>x^2-(\zeta^3 + \zeta^{-3})x + 1</math>. Nun sagt uns die Galoistheorie zwar, dass <math>\zeta+\zeta^{-1},\zeta^3 + \zeta^{-3} \in \mathbb{F}_9</math>, bloß wie drücken sich diese Elemente in der <math>\mathbb{F}_3</math>-Basis <math>1,i</math> aus? Dazu kenne ich leider keinen Algorithmus, ein Brute-Force-Ansatz liefert <math>\zeta+\zeta^{-1}=2+i</math> und <math>\zeta^3 + \zeta^{-3} = 2-i</math>. Also ist

<math>\Phi_{10} = (x^2-(2+i)x+1) \cdot (x^2-(2-i)x+1)</math>

Wogegen sich diese einfache Gleichung von Polynomen über <math>\mathbb{F}_9</math> ganz einfach verifizieren lässt, haben wir für deren Herleitung die Galoistheorie benutzt. Das hätte man natürlich auch mittels Brute Force (2.2) erledigen können. Alternativ kann man, wenn man die Binomialkoffizienten verinnerlicht hat, <math>\Phi_{10} = x^4 - 4 x^3 + 7 x^2 - 4 x + 1 = (x-1)^4+x^2</math> erkennen und von hier aus mit den binomischen Formeln auf die Faktorisierung kommen.


Abschluss

Ich hoffe, ich konnte in diesem Artikel verständlich herausstellen, dass und wie die allgemeine Theorie von Polynomen und Körpererweiterungen erst Recht über endlichen Körpern funktioniert. Obwohl oftmals so getan wird, gibt es in Wahrheit keine Asymmetrie zwischen der Theorie über <math>\mathbb{Q}</math>, über <math>\mathbb{F}_q</math> oder irgendeinem anderen Körper. Natürlich kann man noch viel mehr über die Algebra von endlichen Körpern schreiben, zum Beispiel wie Norm und Spur aussehen und wie man primitive Elemente bestimmt. Es wäre sogar eine Fortsetzung "Algebraische Geometrie über endlichen Körpern" (Zeta-Funktionen, Weil-Vermutungen, <math>\mathbb{F}_1</math>) denkbar. Hier noch ein paar Artikel zu weiterführenden Themen:

J. P. Serre, How to use finite fields for problems concerning infinite fields, Preprint
Christian Serpé, Nonstandard methods in algebraic geometry, Vortrag
Gockel, Elliptic Curves Cryptography, MP-Artikel
Daniel Panario, A minicourse in finite fields and applications, Skript

Viele Übungsblätter und MP-Threads haben mich zu diesem Artikel inspiriert; einige davon sind topic=171420, topic=152607, topic=152345, topic=102961, topic=94223, topic=93850, topic=73968, topic=70733, topic=142047, topic=57173. Ich bedanke mich bei Dune für die Motivation und bei Irrlicht und Gockel fürs Korrekturlesen. Über Kommentare würde ich mich freuen.

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"Mathematik: Algebra über endlichen Körpern" | 3 Comments
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Re: Algebra über endlichen Körpern
von: thureduehrsen am: So. 07. Oktober 2012 21:48:36
\(\begingroup\)
Ich bin immer wieder erstaunt, was du alles drauf hast. Vor allem ist der Artikel aber kurz und knackig und mit Genuss zu lesen. Hut ab! :-)

mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
 

Re: Algebra über endlichen Körpern
von: Martin_Infinite am: Sa. 07. Dezember 2013 00:11:27
\(\begingroup\)
Mir ist noch eingefallen, wie man im Beispiel in 5.2 ohne Brute-Force-Ansatz die Darstellungen sieht:
 
Der Koeffizient von <math>x^3</math> ist Minus die Summe aller Nullstellen, das gibt <math>1=\zeta+\zeta^{-1}+\zeta^3+\zeta^{-3}</math>. Schreibt man <math>a=\zeta+\zeta^{-1}</math>, so folgt also <math>1=a+a^3</math>. Der Frobenius stimmt mit der komplexen Konjugation <math>z \mapsto \overline{z}</math> auf <math>\mathds{F}_9=\mathds{F}_3(i)</math> überein (weil <math>i^3=-i</math>). Daher ist <math>1=a+\overline{a}</math>, d.h. <math>\mathrm{Re}(a)=\frac{1}{2}=2</math>. Für <math>s=\mathrm{Im}(a)</math> gilt also <math>a=2+s \cdot i</math>. Und jetzt ist <math>s=1</math> nicht mehr schwer.\(\endgroup\)
 

Re: Algebra über endlichen Körpern
von: Martin_Infinite am: Mi. 15. Januar 2014 12:48:05
\(\begingroup\)
Zum Tensorprodukt in 3.4 habe ich herausgefunden, dass allgemein ein Isomorphismus

<math>\mathds{F}_{q^n} \otimes_{\mathds{F}_q} \mathds{F}_{q^m} \cong (\mathds{F}_{q^{\mathrm{kgV}(n,m)}})^{\mathrm{ggT}(n,m)}</math>

besteht. Allgemeiner: Ist <math>K</math> ein Körper mit absoluter Galoisgruppe <math>G</math> und sind <math>H,H"</math> zwei abgeschlossene Normalteiler von <math>G</math> von endlichem Index, so gilt

<math>K^H \otimes_K K^{H"} \cong (K^{H \cap H"})^{[G:H][G:H"]/[G:H \cap H"]}</math>

Diese Formeln haben eine schöne Interpretation im Rahmen von Grothendieck's Galoistheorie. Wogegen die Kategorie der endlichen separablen Körpererweiterungen von <math>K</math> keine Koprodukte hat, hat die Kategorie der endlichen étalen <math>K</math>-Algebren aber Koprodukte, nämlich Tensorprodukte über <math>K</math>. In der Anti-Äquivalenz zur Kategorie der endlichen stetigen <math>G</math>-Mengen (Hauptsatz der Galoistheorie) entspricht das folglich dem gewöhnlichen Produkt von endlichen stetigen <math>G</math>-Mengen. Folglich korrespondiert <math>K^H \otimes_K K^{H"}</math> zur <math>G</math>-Menge <math>G/H \times G/H"</math>. Wenn <math>H,H"</math> normal sind, ist hier jeder Stabilisator <math>H \cap H"</math>; die Bahnen sind also alle isomorph zu <math>G/(H \cap H")</math>, und deren Anzahl ergibt sich durch die Kardinalität. Wenn <math>H,H"</math> nicht normal sind, ist die Zerlegung viel komplizierter. [Steht das schon irgendwo?]\(\endgroup\)
 

 
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