Mathematik: Primzahlen-Muster
Released by matroid on Mi. 06. November 2013 12:34:57 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Primzahlen als Muster aus Differenzen Im Tagesspiegel erschien am 1. Juni 2013 ein Artikel von Andreas Loos, in dem die grafische Darstellung der Primzahlen in einer Spirale von Stanislaw Ulam zu sehen war.
Bild 1 Ausschnitt aus der Primzahlen-Anordnung von Ulam

Die Spirale der Primzahlen von Ulam weist eine irgendwie geordnete Unordnung auf. Das hat mich dazu inspiriert, die Verteilung der Primzahlen mit einer anderen Methode darzustellen. Ich ging von den Differenzen zwischen den einzelnen Primzahlen aus, bildete die Differenzen dieser Differenzen usw. Nachdem ich die Felder der aufgeschriebenen Zahlen mit einer bestimmten Farbe gekennzeichnet hatte, ergab sich wiederum ein interessantes Bild einer irgendwie geordneten Unordnung: In der ersten Spalte links stehen die Primzahlen. In der zweiten Spalte stehen die Differenzen der benachbarten Primzahlen. In der dritten Spalte stehen die Differenzen der Differenzen. Führt man das immer weiter durch, erscheinen nur noch Nullen und Zweien. Am schrägen Rand dagegen gibt es auch Einsen. Die Zahlen wurden wegen der Übersichtlichkeit mit Farben gekennzeichnet.
Bild 2 Primzahlen-Differenzen bis 173 Setzt man diese Methode fort, verändert sich das Muster in auffälliger Weise. Nun entstand auch ein großes Feld nur noch aus Nullen und Einsen.
Bild 3 Primzahlen-Differenzen bis 433 Nun veränderte ich die Reihe der Primzahlen, indem ich sie modifizierte. In der ersten Spalte steht die Reihe der normalen Zahlen. In der zweiten Spalte stehen die Primzahlen. In der dritten Spalte stehen die Differenzen zwischen beiden Spalten. In den weiteren Spalten stehen die weiteren Differenzen. Das Ergebnis sieht so aus:
Bild 4 Primzahlen-Differenzen bis 173 modifiziert
Vergleicht man die einfachen Differenzen mit den modifizierten, so gibt es Ähnlichkeiten und auch ganz unähnliche Stellen. Das Muster, das den Primzahlen zugrunde liegt, ist damit leider noch nicht entschlüsselt.
by IngridKamratowski
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Primzahlen-Muster [von Inguritto]  
Primzahlen als Muster aus Differenzen Im Tagesspiegel erschien am 1. Juni 2013 ein Artikel von Andreas Loos, in dem die grafische Darstellung der Primzahlen in einer Spirale von Stanislaw Ulam zu sehen war. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/36433_1-Ulam.jpg Bild 1 Au
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"Mathematik: Primzahlen-Muster" | 5 Comments
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Re: Primzahlen-Muster
von: ZetaX am: Mi. 06. November 2013 19:46:09
\(\begingroup\)"Setzt man diese Methode fort, verändert sich das Muster in auffälliger Weise. Nun entstand auch ein großes Feld nur noch aus Nullen und Einsen." würde heißen, dass es eine zweite gerade Primzahl gäbe, was offensichtlich falsch ist. Nachdem das Bild viel zu unaufgelöst ist, kann man den Fehler nicht genauer ausmachen.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlen-Muster
von: Bernhard am: Mi. 06. November 2013 20:10:03
\(\begingroup\)Hallo Ingrid! Das ist keine besondere Eigenschaft der Primzahlen. Solch ein Muster, das übrigens sehr an das Sierpinski-Dreieck erinnert, läßt sich auch mit anderen Zahlenreihen erstellen. Ich habe das mal ausprobiert, in dem ich in die erste Spalte links eine Zufallsfunktion gesetzt habe. Die Zahl in der Zeile n+1 darunter wird ermittelt aus dem Wert von Zeile n addiert mit einer zufällig gewählten Zahl von 1 bis 6. Das interessante dabei ist, daß bei jeder Eingabe, Erweiterung oder Veränderung der Tabelle die Zahlen neu berechnet werden, das Muster aber vom Charakter her gleich bleibt. Um das nachvollziehen zu können, setze eine 1 in Zelle A1 und kopiere folgenden Code in die Spalte A ab Zeile 2: \sourceonExcel-Formel =$A1+WAHL(KÜRZEN(ZUFALLSZAHL()*5;0)+1;1;2;3;4;5;6) \sourceoff Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlen-Muster
von: Bernhard am: Mi. 06. November 2013 23:49:58
\(\begingroup\)Hallo Ingrid! Noch ein Nachtrag: Langweilig ist die Sache zuerst bei den Fibonacci-Zahlen. Da bei dieser Reihe die jeweils nächste Zahl aus der Addition der zwei vorangehenden hervorgeht, erscheinen diese Zahlen in der Differenzentabelle, Die Du erstellt hast, regelmäßig wieder - allerdings jede nächste Spalte um zwei Zeilen nach unten verrückt. Danach ergibt sich ein schönes Muster aus Nullen und Einsen. Formel: In die Zellen A1 und A2 eine 1 setzen, ab Zelle 3 in die Spalte A kopieren: \sourceonExcel-Formel =A1+A2 \sourceoff Aber auch hier kann es spannend werden. Wenn Du nämlich die ersten Zellen von A, z.B. A!:A25 mit Einsen ausfüllst, dann hast Du über den Fibonacci-Zahlen, bei denen sich ab Zeile 26 nichts geändert hat, einen Bereich, der wieder so aussieht, wie Du bei Deinen Primzahlen entdeckt hast. Es macht Spaß, damit noch weiter herumzuspielen. Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlen-Muster
von: KlausLange am: Fr. 20. Dezember 2013 13:13:16
\(\begingroup\)Ja, das ist ein fraktales Muster: Ein verzerrte Serpinski-Dreiecke. Statt alle Primzahlen zu wählen, kannst Du ja auch nur Primzahlenzwillinge ab 3 probieren: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, ... und vergleichen.\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlen-Muster
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 15. April 2015 17:08:44
\(\begingroup\)Interesante Muster bekommt man auch über den Algorithmus zu Gilbreaths Vermutung. Weitere interessante Muster findet man auf der folgenden Internetseite: Primzahlen Muster \(\endgroup\)
 

 
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