Mathematik: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
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Lineare Algebra

\(\begingroup\) Skalarprodukt und Kreuzprodukt im R³ Der folgende Inhalt entstand in einem Faden, in dem über Einführungsmöglichkeiten der Begriffe Skalar- und Kreuzprodukt im Schulunterricht diskutiert wurde, und wurde hier noch etwas ergänzt und zusammengefaßt. Es handelt sich um eine Grundeinführung für Schüler der Oberstufe oder Studenten des 1. Semesters bzw. Interessenten beliebiger Natur. Voraussetzung ist Grundsätzliches über Vektoren (Addition / Subtraktion, Betrag eines Vektors), Lösen (unterbestimmter) Linearer Gleichungssysteme (Gaußverfahren) sowie einige elementare Trigonometrische Beziehungen ([trigonometrischer] Satz des Pythagoras, Winkelfunktionen).

\tikzstyle{background rectangle}= [very thick,draw=blue, fill=blue!5, rounded corners] \begin{tikzpicture}[show background rectangle] %Ursprung anzeigen %\draw[fill=cyan] (0,0) circle (10pt); %Inhalt der Box \\ \node[yshift=-2cm]() at (0,0){ \begin{minipage}{\linewidth} \vskip 1cm {% \footnotesize{ \textbf{ \underline{Inhalt}: \\ I. Motivation \\ II. Definition \\ III. Geometrische Interpretation \\ IV. Zusammenfassung \\ \\ }} \\ }% \hline \vskip 1cm \textbf{I. Motivation:} \\ geg.: $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, ~ \vec{b} = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$; \\ ges.: Welche Beziehung gilt zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Falle $\vec{a} \perp \vec{b}$ ? \\ Betrachte: \\ $ %\usetikzlibrary{calc,intersections} is needed! \newcommand\markangle[6][red]{% [color] {X} {origin} {Y} {mark} {radius} % filled circle: red by default \begin{scope} \path[clip] (#2) -- (#3) -- (#4); \fill[color=#1,fill = white,draw=#1,name path=circle] %opacity=0.5 (#3) circle (#6mm); \end{scope} % middle calculation \path[name path=line one] (#3) -- (#2); \path[name path=line two] (#3) -- (#4); \path[% name intersections={of=line one and circle, by={inter one}}, name intersections={of=line two and circle, by={inter two}} ] (inter one) -- (inter two) coordinate[pos=.5] (middle); % bissectrice definition \path[% name path=bissectrice ] (#3) -- (barycentric cs:#3=-1,middle=1.2); % put mark \path[ name intersections={of=bissectrice and circle, by={middleArc}} ] (#3) -- (middleArc) node[pos=0.6] {#5}; % node[pos=1.3] } \begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=latex] \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (A) at (5,0); \coordinate (B) at (0,3); \coordinate (C) at (5,3); \coordinate (A1) at (-0.75,0); %Winkel \markangle[black]{B}{O}{A1}{$\textcolor{black}{\cdot}$}{5}; %\markangle[color, default=red]{X}{origin}{Y}{mark-text}{radius} %Strecken / Vektoren \draw[->, thick] (O) -- (A) node[midway, below]{$\vec{a}$}; \draw[->, thick] (O) -- (B) node[midway, left]{$\vec{b}$}; \draw[->, thick] (O) -- (C) node[near start, above, sloped]{$\vec{a} + \vec{b}$}; \draw[->, thick] (A) -- (B) node[near start, above, sloped]{$\vec{b} - \vec{a}$}; \draw[densely dashed] (A) -- (C) node[midway, right]{$$}; \draw[densely dashed] (C) -- (B) node[midway, right]{$$}; \draw[thin] (O) -- (A1) node[midway, right]{$$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(A)} node[]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(B)} node[]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(C)} node[]{$$}; \end{tikzpicture} $ \\ $\Rightarrow$ \underline{Zwischenergebnis}: \\ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{a}| ~~\Leftrightarrow~~ \vec{a} \perp \vec{b}$ \\ $\Leftrightarrow \sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + (a_3 + b_3)^2} = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$ \\ Quadrieren, Ausrechnen der Binome, Vereinfachen liefert schließlich \\ $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0 ~~~~\Leftrightarrow~~ \vec{a} \perp \vec{b}$ \\ \\ Nun ist aber im allgm. $\vec{a} \not\perp \vec{b}$, d.h. $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \neq 0$. \\ Zur genaueren Untersuchung \\ \textbf{II. Definition: } \\ $\boxed{% \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } $ ("Skalarprodukt") \\ \\ \\ \textbf{III. Geometrische Interpretation: } \\ Durch direkte Rechnung zeigt man leicht die Gültigkeit folgender Rechenregeln: \\ $\vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{p} \cdot \vec{a} + \vec{p} \cdot \vec{b}$, \\ $\Rightarrow (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{p} \cdot \vec{a} + \vec{p} \cdot \vec{b} + \vec{q} \cdot \vec{a} + \vec{q} \cdot \vec{b}$ \\ $ \Rightarrow \underline{(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2 \, \vec{a} \, \vec{b} + \vec{b}^2$}. \\ Wobei beim Letzten die (übliche) Kurzschreibweise $\vec{x}^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$ verwendet wurde. \\ Betrachte: \\ $ \begin{tikzpicture}[>=latex] \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (3,1); \coordinate (C) at (2,3); \coordinate (A1) at (1,1/3); %Pfeile \draw[->] (A) -- (B) node[midway, below]{$\vec{a}$}; \draw[->] (A) -- (C) node[midway, left=2pt]{$\vec{b}$}; \draw[->] (B) -- (C) node[midway, right=2pt]{$\vec{b} - \vec{a}$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(A) (B) (C)} node[]{$$}; %Winkel \draw[] (A1) arc (0:56.3:0.75cm) node[right, below=4pt] {$\varphi$}; \end{tikzpicture} $ Dann ist nach dem Kosinussatz: $|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \, |\vec{a}| \, |\vec{b}| \, \cos(\varphi) $ $ \begin{align*} \Leftrightarrow 2 \, |\vec{a}| \, |\vec{b}| \, \cos(\varphi) &= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{b} - \vec{a}|^2 \\ &= \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - (\vec{b} - \vec{a})^2\\ &= \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - (\vec{b}^2 - 2\, \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a}^2) \\ &= 2\, \vec{a} \cdot \vec{b} \end{align} $ \\ \underline{Ergebnis}: $\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \, \cos(\varphi)} $ \vskip 1cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------- Zusammenfassung -------------- \begin{tikzpicture}[] \node[fill=yellow!25](Titel) at (0,0) {% \begin{minipage}{1.0\linewidth} \textbf{IV. Zusammenfassung:} \begin{tikzpicture}[scale=1, >=latex] %-----WINKEL------------------------ \newcommand\markangle[6][red]{% [color] {X} {origin} {Y} {mark} {radius} % filled circle: red by default \begin{scope} \path[clip] (#2) -- (#3) -- (#4); \fill[color=#1,fill = lightgray,draw=#1,name path=circle] %opacity=0.5 (#3) circle (#6mm); \end{scope} % middle calculation \path[name path=line one] (#3) -- (#2); \path[name path=line two] (#3) -- (#4); \path[% name intersections={of=line one and circle, by={inter one}}, name intersections={of=line two and circle, by={inter two}} ] (inter one) -- (inter two) coordinate[pos=.5] (middle); % bissectrice definition \path[% name path=bissectrice ] (#3) -- (barycentric cs:#3=-1,middle=1.2); % put mark \path[ name intersections={of=bissectrice and circle, by={middleArc}} ] (#3) -- (middleArc) node[pos=1.3] {#5}; % node[pos=0.6] } %----------------------------- \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (3,1); \coordinate (C) at (2,3); \coordinate (A1) at (1,1/3); %Pfeile \draw[->, very thick] (A) -- (B) node[midway, below]{$\vec{a}$}; \draw[->, very thick] (A) -- (C) node[midway, left=2pt]{$\vec{b}$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, only marks, mark size=1.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(A)} node[]{$$}; %Winkel \draw[] (A1) arc (0:56.3:0.75cm) node[right, below=4pt] {$\varphi$}; %------------------------------ %Infobox \tikzstyle{information text}=[rounded corners,fill=yellow!25,inner sep=1ex] \draw[xshift=5.5cm, yshift=1.5cm] node [right, text width=7.5cm, style=information text] { \textbf{Skalarprodukt:} \\ \vskip 0.5cm $\boxed{% \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } $ \\ \\ \vskip 0.5cm \boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \, \cos(\varphi)} $ \\ }; %------------------------------ \end{tikzpicture} \end{minipage} };% \end{tikzpicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{minipage} }; %______________________________________________ %Überschrift \node [xshift=2ex,yshift=-0.5ex,overlay,very thick, draw=blue, fill=blue!25,rounded corners,above right] at (current bounding box.north west){ \textbf{Das Skalarprodukt} \qquad \qquad \qquad }; \end{tikzpicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tikzstyle{background rectangle}= [very thick,draw=red, fill=red!10, rounded corners] \begin{tikzpicture}[show background rectangle] %Ursprung anzeigen %\draw[fill=cyan] (0,0) circle (10pt); %Inhalt der Box \\ \node[yshift=-2cm]() at (0,0){ \begin{minipage}{\linewidth} \vskip 1cm {% \footnotesize{ \textbf{ \underline{Inhalt}: \\ I. Motivation \\ II. Definition \\ III. Betrag des Kreuzproduktes \\ IV. Zusammenfassung \\ \\ A. Merkhilfe }} \\ }% \hline \vskip 1cm \textbf{I. Motivation:} \\ \\ geg.: $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, ~ \vec{b} = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$; \\ ges.: $~\vec{n} = \begin{pmatrix}n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ so, daß $\vec{n} \perp \vec{a}$ und $\vec{n} \perp \vec{b}$.\\\\ \underline{Ansatz}: $\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{b} = 0$ \\ $\begin{cases} a_1 n_1 + a_2 n_2 + a_3 n_3 = 0 \\ b_1 n_1 + b_2 n_2 + b_3 n_3 = 0 \end{cases} $ \\ \\ \underline{Lösungen in Abhängigkeit von $n_3$}:\\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{1}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 n_1 + a_2 n_2 &= -a_3 n_3 ~ \Big| \cdot b_2 \\ b_1 n_1 + b_2 n_2 &= -b_3 n_3 ~ \Big| \cdot (-a_2) \end{cases} $ \\ \\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{2}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 b_2 n_1 + a_2 b_2 n_2 &= -a_3 b_2 n_3 ~ \Big| * \\ -a_2 b_1 n_1 - a_2 b_2 n_2 &= a_2 b_3 n_3 ~\,\Big| +* \end{cases} $ \\ \\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{3}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 b_2 n_1 + a_2 b_2 n_2 &= -a_3 b_2 n_3 \\ (a_1 b_2 -a_2 b_1) n_1 &= (a_2 b_3 - a_3 b_2) n_3 \end{cases} $ \\ \\ $\Rightarrow \underline{n_1 = \dfrac{(a_2 b_3 - a_3 b_2) n_3}{a_1 b_2 -a_2 b_1}}$ \\ \\ Zurück zu $\textcircled{\footnotesize{1}}$:\\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{1}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 n_1 + a_2 n_2 &= -a_3 n_3 ~ \Big| \cdot b_1 \\ b_1 n_1 + b_2 n_2 &= -b_3 n_3 ~ \Big| \cdot (-a_1) \end{cases} $ \\ \\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{2'}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 b_1 n_1 + a_2 b_1 n_2 &= -a_3 b_1 n_3 ~ \Big| * \\ -a_1 b_1 n_1 - a_1 b_2 n_2 &= a_1 b_3 n_3 ~\,\Big| +* \end{cases} $ \\ \\ $\overset{\textcircled{\footnotesize{3'}}}{\vphantom{a}}\begin{cases} a_1 b_1 n_1 + a_2 b_1 n_2 &= -a_3 b_1 n_3 \\ (a_2 b_1 -a_1 b_2) n_2 &= (a_1 b_3 - a_3 b_1) n_3 \end{cases} $ \\ \\ $\Rightarrow \underline{n_2 = \dfrac{-(a_1 b_3 - a_3 b_1) n_3}{a_1 b_2 -a_2 b_1}}$ \\ \\ Für möglichst einfaches Ergebnis: \\ \\ $\underline{n_3 := a_1 b_2 -a_2 b_1}$, \\ \\ also \\ $\vec{n} = \begin{pmatrix}n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ -(a_1 b_3 - a_3 b_1) \\ a_1 b_2 -a_2 b_1 \end{pmatrix} $ \\ \\ \textbf{II. Definition:} \\ $\boxed{% \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ -(a_1 b_3 - a_3 b_1) \\ a_1 b_2 -a_2 b_1 \end{pmatrix} }$ \quad ("Kreuzprodukt") \\ \\ \textbf{III. Betrag des Kreuzproduktes:} \\ \\ Formal: \\ $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + (a_1 b_2 -a_2 b_1)^2}$ \\ bzw. mit der Abkürzung $a_j b_k = x_{jk}$, \\ d.h. $x_{jk} x_{pq} = x_{pk} x_{jq} = x_{jq} x_{pk}$ \\ $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(x_{12} - x_{21})^2 + (x_{13} - x_{31})^2 + (x_{23} - x_{32})^2 }$ \\ Betrachte: \\ \begin{tikzpicture}[scale=0.75, >=latex] %\usetikzlibrary{calc,intersections} is needed! \newcommand\markangle[6][red]{% [color] {X} {origin} {Y} {mark} {radius} % filled circle: red by default \begin{scope} \path[clip] (#2) -- (#3) -- (#4); \fill[color=#1,fill = red!15,draw=#1,name path=circle] %opacity=0.5 (#3) circle (#6mm); \end{scope} % middle calculation \path[name path=line one] (#3) -- (#2); \path[name path=line two] (#3) -- (#4); \path[% name intersections={of=line one and circle, by={inter one}}, name intersections={of=line two and circle, by={inter two}} ] (inter one) -- (inter two) coordinate[pos=.5] (middle); % bissectrice definition \path[% name path=bissectrice ] (#3) -- (barycentric cs:#3=-1,middle=1.2); % put mark \path[ name intersections={of=bissectrice and circle, by={middleArc}} ] (#3) -- (middleArc) node[pos=0.6] {#5}; % node[pos=1.3] } \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,0); \coordinate (C) at (8,3); \coordinate (D) at (3,3); \coordinate (L) at (3,0); \coordinate (A1) at (0,0-4ex); \coordinate (L1) at (3,0-4ex); \coordinate (A2) at (0,0-7ex); \coordinate (L2) at (3,0-7ex); %Winkel \markangle[black]{L}{A}{D}{$\textcolor{black}{\footnotesize{\varphi}}$}{12}; \markangle[black]{D}{L}{A}{$\textcolor{black}{\cdot}$}{7}; %\markangle[color, default=red]{X}{origin}{Y}{mark-text}{radius} %Strecken / Vektoren \draw[->, very thick] (A) -- (B) node[below]{$\vec{a}$}; \draw[thin] (B) -- (C) node[midway, left]{$$}; \draw[thin] (C) -- (D) node[midway, right]{$$}; \draw[->, very thick] (A) -- (D) node[left=4pt]{$\vec{b}$}; \draw[densely dashed] (L) -- (D) node[midway, right]{$h$}; \draw[thin] (A) -- (A2) node[]{$$}; \draw[thin] (L) -- (L2) node[]{$$}; \draw[thin, <->] (A1) -- (L1) node[midway, below]{\footnotesize{$|\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)$}}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=2.5pt, mark options={fill=white}] coordinates{(A)} node[]{$$}; \end{tikzpicture} \\ Dann ist für die Parallelogrammfläche $A_P = g \cdot h$ \\ mit $ g = |\vec{a}|$ und $h^2 = |\vec{b}|^2 - \left( |\vec{b}| \cos(\varphi) \right)^2$ $ $ \begin{align*} \Rightarrow A_P^2 &= g^2 h^2 = |\vec{a}|^2 \cdot \left( |\vec{b}|^2 - \left( |\vec{b}| \cos(\varphi) \right)^2 \right)\\ &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - \left( |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\varphi) \right)^2 ...................... ~ \otimes\\ &= \vec{a}^2 ~ \vec{b}^2 - ( \vec{a} \cdot \vec{b} )^2 \end{align}$ \\ Also \\ %hier klappts $A_P^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2$ \\ Mit $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$ \\ und o.g. Abkürzung \\ $ \begin{align*} A_P^2 &= x_{11}^2 + x_{12}^2 + x_{13}^2 \\ &+ x_{21}^2 + x_{22}^2 + x_{23}^2 \\ &+ x_{31}^2 + x_{31}^2 + x_{33}^2 \\ &- (x_{11}^2 + x_{22}^2 + x_{33}^2 + 2 x_{11} x_{22} + 2 x_{11} x_{33} + 2 x_{22} x_{33}) \\ \\ &= (x_{12}^2 - 2 x_{12} x_{21} + x_{21}^2) \\ &+ (x_{13}^2 - 2 x_{13} x_{31} + x_{31}^2) \\ &+ (x_{23}^2 - 2 x_{23} x_{32} + x_{32}^2) \\ \\ &= (x_{12} - x_{21})^2 + (x_{13} - x_{31})^2 + (x_{23} - x_{32})^2 \\&= |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = A_P^2 \end{align}$ \\ Andererseits ist nach $\otimes$: \\ $A_P^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - \left( |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\varphi) \right)^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \left( 1 - \cos^2(\varphi) \right) = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2(\varphi)$ \\ $\Rightarrow$ \underline{Ergebnis}: \\ \\ $\boxed{|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| ~ |\vec{b}| ~ \sin(\varphi)}$ \quad (Betrag des Kreuzproduktes) \\ %------------- Zusammenfassung -------------- \begin{tikzpicture}[] \node[fill=yellow!25](Titel) at (0,0) {% \begin{minipage}{1.0\linewidth} \textbf{IV. Zusammenfassung:} \begin{tikzpicture}[scale=0.85, x={({-0.5*cos(45)},{-0.5*sin(45)})}, y={(1cm,0cm)}, z={(0cm,1cm)}, >=latex] %-----WINKEL------------------------ \newcommand\markangle[6][red]{% [color] {X} {origin} {Y} {mark} {radius} % filled circle: red by default \begin{scope} \path[clip] (#2) -- (#3) -- (#4); \fill[color=#1,fill = lightgray,draw=#1,name path=circle] %opacity=0.5 (#3) circle (#6mm); \end{scope} % middle calculation \path[name path=line one] (#3) -- (#2); \path[name path=line two] (#3) -- (#4); \path[% name intersections={of=line one and circle, by={inter one}}, name intersections={of=line two and circle, by={inter two}} ] (inter one) -- (inter two) coordinate[pos=.5] (middle); % bissectrice definition \path[% name path=bissectrice ] (#3) -- (barycentric cs:#3=-1,middle=1.2); % put mark \path[ name intersections={of=bissectrice and circle, by={middleArc}} ] (#3) -- (middleArc) node[pos=1.3] {#5}; % node[pos=0.6] } %----------------------------- %Ebene: \filldraw[fill=lightgray] (-4,-2,0) -- (-4,4,0) -- (3,4,0) -- (3,-2,0) --cycle; %Winkel \markangle[black]{-2,0,0}{0,0,0}{1,2,0}{$\textcolor{black}{\varphi}$}{5}; %\markangle[color, default=red]{X}{origin}{Y}{mark-text}{radius} \draw[] (0,0,0.25) -- (0.125,0.25,0.25) -- (0.125,0.25,0); \draw[] (0,0,0.25) -- (-3/8,0,0.25) -- (-3/8,0,0); %Vektoren: \draw[->, thick] (0,0,0) -- (1,2,0) node[left, below]{$\vec{a}$}; \draw[->, thick] (0,0,0) -- (-3,0,0) node[left=4pt]{$\vec{b}$}; \draw[->, very thick] (0,0,0) -- (0,0,2) node[midway, left]{$\vec{a} \times \vec{b}$}; %3D-Koordinatensystem: \draw[->] (0,-2,2) -- (1,-2,2) node[left]{\footnotesize$x$}; \draw[->] (0,-2,2) -- (0,-1,2) node[below]{\footnotesize$y$}; \draw[->] (0,-2,2) -- (0,-2,3) node[left]{\footnotesize$z$}; %Punkte \filldraw plot [only marks, mark=*, mark size=1.25pt, mark options={fill=lightgray}] coordinates{(0,0,0)}; %Hilfslinien %\draw[densely dashed] plot[] coordinates{(0,0,0)(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)}; %------------------------------ %Infobox \tikzstyle{information text}=[rounded corners,fill=yellow!25,inner sep=1ex] \draw[xshift=5.5cm] node [right, text width=7.5cm, style=information text] { \textbf{Kreuzprodukt:} \\ \vskip 0.5cm Eigenschaft: \\ $\boxed{ (\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{a}$ \; und \; $(\vec{a} \times \vec{b}) \perp \vec{b} }$ \\ \vskip 0.5cm Berechnung: \\ $\boxed{% \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ -(a_1 b_3 - a_3 b_1) \\ a_1 b_2 -a_2 b_1 \end{pmatrix} }$ \\ \\ \vskip 0.5cm Betrag: \\ $\boxed{|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| ~ |\vec{b}| ~ \sin(\varphi)}$ \\ }; %------------------------------ \end{tikzpicture} \end{minipage} };% \end{tikzpicture} \end{minipage} }; %______________________________________________ %Überschrift \node [xshift=2ex,yshift=-0.5ex,overlay,very thick, draw=red, fill=red!25,rounded corners,above right] at (current bounding box.north west){ \textbf{Das Kreuzprodukt} \qquad \qquad \qquad }; \end{tikzpicture} \usetikzlibrary{matrix, positioning} \begin{tikzpicture} \node[fill=yellow!25] at (0,0) {% \begin{minipage}{\linewidth} \textbf{A. Merkhilfe:} \\ % 1. Zeile \begin{tikzpicture}[ mymathmatrix/.style={ matrix of math nodes, inner sep=0.1em, column sep=0.2em, nodes={text width=1.5em,align=center,font=\mathstrut}, left delimiter=(,right delimiter=) } ] \matrix (A) [mymathmatrix]{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\}; \node[right=1em of A](+){$\times$}; \matrix (B) [right=1em of +, mymathmatrix]{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\}; \node[right=1em of B](=){% = \begin{pmatrix}a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ ... \\ ... \end{pmatrix} }; % Durchstreichen \draw[red, shorten >=-1em, shorten <=-1em](A-1-1.west)--(B-1-1.east); %Überkreuzmultiplikation \draw[red, thick, ->](A-2-1)--(B-3-1); \draw[red, thick, densely dashed, ->](A-3-1)--(B-2-1); \end{tikzpicture} \\ % ------------------------------ % ------------------------------ % 2. Zeile \begin{tikzpicture}[ mymathmatrix/.style={ matrix of math nodes, inner sep=0.1em, column sep=0.2em, nodes={text width=1.5em,align=center,font=\mathstrut}, left delimiter=(,right delimiter=) } ] \matrix (A) [mymathmatrix]{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\}; \node[right=1em of A](+){$\times$}; \matrix (B) [right=1em of +, mymathmatrix]{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\}; \node[right=1em of B](=){% = \begin{pmatrix}... \\ \textcolor{red}{-}(a_1 b_3 - a_3 b_1) \\ ... \end{pmatrix} }; % Durchstreichen \draw[red, shorten >=-1em, shorten <=-1em](A-2-1.west)--(B-2-1.east); %Überkreuzmultiplikation \draw[red, thick, ->](A-1-1)--(B-3-1); \draw[red, thick, densely dashed, ->](A-3-1)--(B-1-1); % Kreuz neu zeichnen \node[right=1em of A](+){$\times$}; \end{tikzpicture} \\ % ------------------------------ % ------------------------------ % 3. Zeile \begin{tikzpicture}[ mymathmatrix/.style={ matrix of math nodes, inner sep=0.1em, column sep=0.2em, nodes={text width=1.5em,align=center,font=\mathstrut}, left delimiter=(,right delimiter=) } ] \matrix (A) [mymathmatrix]{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\}; \node[right=1em of A](+){$\times$}; \matrix (B) [right=1em of +, mymathmatrix]{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\}; \node[right=1em of B](=){% = \begin{pmatrix}... \\ ... \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} }; % Durchstreichen \draw[red, shorten >=-1em, shorten <=-1em](A-3-1.west)--(B-3-1.east); %Überkreuzmultiplikation \draw[red, thick, ->](A-1-1)--(B-2-1); \draw[red, thick, densely dashed, ->](A-2-1)--(B-1-1); \end{tikzpicture} \\ % ------------------------------ \footnotesize{Hinweis: Natürlich könnte man das Minus in der 2. Zeile auch mit den Klammern ausmultiplizieren, \\ die Merkregel ändert sich dann geringfügig.} \\ \end{minipage} }; \end{tikzpicture}
\(\endgroup\)
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: Lineare Algebra :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³ [von cis]  
Skalarprodukt und Kreuzprodukt im R³ Der folgende Inhalt entstand in einem Faden, in dem über Einführungsmöglichkeiten der Begriffe Skalar- und Kreuzprodukt im Schulunterricht diskutiert wurde, und wurde hier noch etwas ergänzt und zusammengefaßt. Es handelt sich um eine Grundeinführung fü
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"Mathematik: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³" | 26 Comments
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Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 24. März 2014 20:32:21
\(\begingroup\)@ Zaos: Diesmal tikz'okay?\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_4018 am: Mo. 24. März 2014 20:42:58
\(\begingroup\)Ich bin entzückt!\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: gaussmath am: Mo. 24. März 2014 22:35:43
\(\begingroup\)Geniales Layout cis!\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: mire2 am: Mo. 24. März 2014 22:52:44
\(\begingroup\)Sieht ganz hübsch aus, aber eine Anmerkung zur Merkhilfe: Erfahrungsgemäß bereitet Schülern ja gerade der Vorzeichenwechsel in der zweiten Komponenten Probleme. Ein "konsequentes streichen-kreuzen" ist einfacher zu merken und das erreichst Du, indem Du die ersten beiden Komponenten der gegebenen Vektoren einfach unten dranhängst. Vielleicht magst Du das ja entsprechend ändern. Gruß mire2\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Martin_Infinite am: Mo. 24. März 2014 23:28:19
\(\begingroup\)Ja, das Layout ist gut. Fast schon fertig für ein Lehrbuch für die Schule. Was ist mit dem Inhalt? 1. Bei der Motivation zum Skalarprodukt (gute Idee übrigens) wurde nur die eine Richtung "gezeigt". Für die andere Richtung müsste man noch ein Parallelogramm mit unterschiedlichen Diagonalenlängen, also $|b-a| \neq |a+b|$ sehen. Erst dann wäre ich als Schüler überzeugt. 2. Beim Ansatz für das Kreuzprodukt sollte noch stehen, dass $n$ möglichst "allgemein" sein soll (also zumindest $n \neq 0$, eigentlich sogar $n \notin \langle a,b \rangle$). 3. Bei der Motivation zum Kreuzprodukt fehlt noch die Formel für $n_1$ (in Abh. von $n_3$), die man nach den ersten drei Gleichungen hat. Die braucht man am Ende. 4. Beim Betrag des Kreuzproduktes gibt es die Abkürzung $x_{jk} := a_j b_k$. Dann ist aber die behauptete Gleichung $x_{jk} = x_{kj}$ falsch. Ebenso ist $x_{jk} x_{pq} = x_{pj} x_{qk}$ falsch. Es gilt hingegen $x_{jk} x_{pq} = x_{pk} x_{jq} = x_{jq} x_{pk}$. (Diese Relationen kennt man übrigens aus der Segre-Einbettung.) Beachte, dass auch genau diese Relationen dann später angewendet werden.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 24. März 2014 23:30:28
\(\begingroup\)@ Layout: Ach Gott, ja - also zunächst, ich bräuchte das selber nicht in der Form, ein stumpfer Schwarzweißaufschrieb würde es mir tun. Aber man darf natürlich nicht ignorieren: Das Auge ißt mit! Zudem: Was Du hier siehst, sind im Grunde zwei Artikel in einem, beim anderen wollte ich einfach ein bißchen zeigen, was man mit TikZ zum Beispiel so machen kann. Vieles ist dabei, wenn man sich den Code anschaut, nicht als exemplarisch zu nehmen, ich war teils froh, wenn es tat bzw., wenn hier tat. Nichtsdestoweniger kann der Interessierte Leser ggf. das ein oder andere für sich rausziehen, beispielsweise die Graphen, darunter befindet sich auch ein 3D-Plot. @ Merkhilfe: Ja, die Regel die Du ansprichst, kenne ich. Das müßte ich aber wenn dann, nochmal, auch graphisch, aufbereiten*). Zum anderen gefällt mir diese weniger gut. Das hier vorliegende spielt im Grunde schon ein bißchen auf den Umgang mit der allgemeineren Größe "Determinante" an. Das, was Du meinst, entspricht diesem 'Sarrus-Dingens', geht schön bei 3x3 Determinten, sonst aber auch nicht. Aber irgendwo ist es auch Geschmacksache. Danke für eure Meinungen! _____ €dit *) Kleine Bemerkung dazu. Das, also das Bild welches Du meinst (2 Vektoren, darunter nochmal zwei ihrer Zeilen), ist hier übrigens leichter gesagt, als getan. Ich hab eine ungefähre Idee, wie es geht, aber das ist bei TikZ alles gar nicht so ohne. Dafür sind die Lösungen aber sowas wie absolut.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 24. März 2014 23:49:05
\(\begingroup\)@M_I: ·Beweis der Rückrichtung hat natürlich seine Berechtigung, ja seine Notwendigkeit - mir ging es hier, in erster Linie darum, die Definition zu plausibilisieren; und damit voranzuschreiten. ·Au ja, vielen Dank: Die Lösung $n_1$ hat es irgendwie verschluckt - ich habe schon ein Änderungsgesuch eingereicht, " $ \underline{n_1 = \dfrac{(a_2 b_3 - a_3 b_2) n_3}{a_1 b_2 -a_2 b_1}} $ " kommt hoffentlich bald. Auch eine Ergänzung für $\vec{n}$ wurde vorgenommen. ·Bei Deinem letzten Punkt schießt Du aber übers Ziel hinaus: Beachte alles, was kein Pfeilchen auf sich trägt, ist bei mir Skalar. Zu der $x$-Substitution bemerke ich im Grunde also nur, daß "2·5" so gut wie "5·2" ist. €dit: Aber auch hier Vorschlag angenommen, Substitution genauer ausgeführt. Danke für Deinen Beitrag. ============================= €dit2: Allgemeine Frage zu Änderungen, weil ich egtl. kein Artikelschreiber bin. Muß ich bei einer 2. Änderung die 1. Änderung auch dazunehmen? Mir ist aufgefallen, daß bei Änderung 2, die Änderung 1 noch nicht berücksichtigt war. Falls ja: Oje, das klappt nie... \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Martin_Infinite am: Di. 25. März 2014 01:01:07
\(\begingroup\)4. Die genannten Gleichungen sind falsch (und ich habe geschrieben, wie sie zu korrigieren sind). Ich verstehe deine Anmerkung dazu nicht. Gerade jemand, der meint, (Schul)mathematik erklären zu können, sollte sich seiner Sache sicher sein. Wenn du $x_{jk} = a_j b_k$ definierst, dann gilt $x_{jk} = x_{kj}$ nicht (und das wäre in Anbetracht der darauf folgenden Formel für den Betrag des Kreuzproduktes auch recht merkwürdig). Du willst wohl auf $x_{jk}(a,b) = x_{kj}(b,a)$ hinaus, aber $a,b$ sind fixiert und werden im Text nicht getauscht. Und wie gesagt, die andere Gleichung mit den vier Indizes ist ebenfalls falsch (aber dieses mal vermutlich nur ein Tippfehler).\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 01:06:04
\(\begingroup\)Aso, jetzt verstehe ich Dich. Mein Fehler. Korrektur eingeleitet, wovon ich mich immer noch Frage, ob das mit den Korrekturen klappt. Danke für den Hinweis!\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 08:13:22
\(\begingroup\)Hallo wenn ich Dich richtig verstehe möchtest Du mit dem Artiel zeigen, wie man TikZ hier auf dem MP verwenden kann. Mir fallen zwei negative Sachen auf: 1) Farbe. Du schriebst, das Auge ißt mit. Aber das ist ja eine Frage der pers. Vorliebe, wenn man für andere schreibt würde ich mich da etwas neutraler halten. Ein zweiter Grund für weniger Farbe: Wir haben eine Art Wahrnehmungshierachie. Ganz oben stehen Bewegungen, dann Geräusche, dann Farben und dann Text. Das heißt, wenn wir konzentriert etwas lesen wollen aber nebenher das Radio läuft ist unser Gehirn nur so halb bei der Sache. Mit Farbe ist es genauso, es lenkt ab. Natürlich kann man genau das nutzen und Farbe gezielt einsetzen. Aber wenn Farbe keinen weiteren Nutzen hat, würde ich drauf verzichten. 2) Der Großteil Deines Artikels ist nicht durchsuchbar. Du veröffentlichst im Internet einen "Text", der den größten Vorteil von Internet und Text nicht bietet: (Durch)Suchbarkeit. Man kann hier auf dem MP gezielt in Artikeln nach Stichworten suchen. Wenn Du jetzt vorschlägst das in Zukunft aufzugeben, um bessere(?) Gesatltungsmöglichkeiten zu bekommen, dann bin ich dagegen :-P. Also ich finde es ein bisschen schade, dass Du ein Beispiel für die Nutzung von TikZ bringen wolltest und eigentlich damit zeigst wie man es gerade nicht verwenden sollte. Noch Anmerkungen zum Inhalt: -Hast Du auch inhaltlich etwas anders gemacht als die Übliche Einführung des Skalarproduktes? Dann könntest Du, ähnlich wie Martin in seinen Gruppentheorie-Artikeln, zusammenfassen was Du warum anders gemacht hast. -Ich habe die Kreuzprodukt-Merkregel wie mire2 in der Schule gelernt, genau wie die Sarrus-Regel für Determinanten. Den Entwicklungssatz (auf den willst Du mit deiner etwas komplizierteren Merkregel hinaus?) lernt man erst an der Uni kennen. Du machst die (sowieso schon komplexe) Merkregel für Schüler komplizierter, weil man sich später den Entwicklungssatz leichter merken kann? Das halte ich für etwas zu viel. Kreuzprodukt allein ist schon kompliziert genug für die Schüler. Ich finde man sollte da auch die Merkregel einfach halten. Der größte Teil der Schüler wird den Entwicklungssatz nicht kennenlernen.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 09:21:29
\(\begingroup\)Ich fand diese Sarrus-Regel für das Kreuzprodukt in der Schule immer viel zu kompliziert. Für mich war das zu kompliziert um die Merkregel im Kopf zu behalten, ich musste mir das (bis ich das schließlich auswendig konnte) immer in eine Ecke aufs Blatt schreiben. Das fand ich nervig. Für mich funktionieren strukturell einfachere Merkregeln besser. Vielleicht wäre das eine Alternative: Man ordnet die Indizes kreisförmig an (den Code hab ich aus Martins Artikel geklaut) $ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/^1pc/[dr] & \\ 3 \ar@/^1pc/[ur] \ar@{}@<2ex>[rr]^{+} && 2 \ar@/^1pc/[ll]} ~~~~~~~ \xymatrix@R=30pt@C=20pt{ & 1 \ar@/_1pc/[dl] & \\ 3 \ar@/_1pc/[rr] \ar@{}@<2ex>[rr]^{-} && 2 \ar@/_1pc/[ul]} $ Wenn man das Kreuzproduk mal mit $c_1, c_2, c_3 $ bezeichnet, dann hält man für die erste Komponente die 1 fest und geht einmal im Uhrzeigersinn und einmal gegen den Uhrzeigersinn, wobei gegen den Uhrzeigersinn negativ genommen wird: $ c_1=a_2b_3-a_3b_2 $ bei den anderen Komponenten genauso: Für die zweite Komponente startet man von der 2 und geht im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn... $ c_2=a_3b_1-a_1b_3 $ und $ c_3=a_1b_2-a_2b_1 $ man muss sich nur dieses dreier-Multiplikationsschema merken, das kann man (also ich...) sich im Kopf leichter vorstellen als die Sarrus-Regel. Ist natürlich abstrakter. Ob das didaktisch gut ist weiß ich nicht, weil es abstrakter ist. Ich würde als Lehrer wohl beide Möglichkeiten vorstellen (es gibt ja oft mehr als eine Merkregel :-)) Edit: und eigentlich braucht man auch nicht beide Schemata, eins reicht ja wenn man weiß, dass man ein Minus schreiben muss wenn man gegen die Pfeilrichtung läuft. Das kennen die Schüler da aber schon, da sie gelernt haben, dass sich bei Multiplikation mit -1 der Vektorpfeil umdreht 😄\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Martin_Infinite am: Di. 25. März 2014 12:31:57
\(\begingroup\)Ich habe als Schüler einfach die Folge $1,2,3,1,2,3,\dotsc$ im Kopf gehabt (also quasi modulo $3$ gerechnet). Dann ist $c_i = a_j b_k - a_k b_j$ wobei $i,j,k$ in der Folge stehen. Also $1,2,3$ für $i=1$ und $2,3,1$ für $i=2$ und $3,1,2$ für $i=3$. Hierbei muss man insb. keine Vorzeichenregel extra beachten. Ist eigentlich dasselbe wie jannnas Merkregel.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 13:42:00
\(\begingroup\)@ "wenn ich Dich richtig verstehe möchtest Du mit dem Artiel zeigen, wie man TikZ hier auf dem MP verwenden kann." --> Nicht nur, sonst hätte ich das im Vorwort ausdrücklich erwähnt oder den Artikel "Einfache Graphen mit TikZ" genannt; der Inhalt soll schon auch ein wenig relevant sein. @ Suchfunktion ---> Ja und nein, soll heißen: Zugegeben, mit der *Strg + F*-Suche bist Du hier aufgeschmissen, aber die Artikel- bzw. Forumssuche, und damit vermutlich auch google, sucht m.W. auch in sämtlichen fed- oder LateX-Codes. @ Merkhilfe: So wie es M_I schreibt, haben es die meisten, die ich kenne sich gemerkt; und wenn man das anders zu sehen bekommt, als man es selber kennengelernt hat, wird man sich damit schwer tun. Nicht verwechseln, ich bin ja kein Sarrus-Fan; ich verstehe auch nicht, wieso die Sarrus-Regel in 90% aller Bücher zum Thema immer so angepriesen wird. Diese 'Regel von Sarrus' geht bei 3x3-Determinanten, versagt aber bereits bei 4x4-Determinanten; wozu sich also sowas überhaupt merken (außer rein interessehalber, i.S.v. es gibt auch weitere Arbeitsschemata). Der *Laplacesche Entwicklungssatz* geht universell, und das ist im Grunde das, was ich hier machte (siehe Formel ganz unten). Auch speziell hier, unter der Annahme ich weiß gar nichts über Determinanten, spricht das Schema mit den Pfeilen für sich - das einzige, was ich mir merken muß, ist das Minus in der 2. Zeile. Insofern bleibt die Merkregel auch so wie sie ist (zumindest bei mir). Wichtiger wären jetzt mal die 2 Korrekturen, auf die mich M_I dankbarerweise hinwies. Irgendwie weiß nicht recht, wie das mit dem editieren eines Artikel funktioniert. \ a^> \times b^> := (det(a_2,b_2;a_3,b_3); -det(a_1,b_1;a_3,b_3); det(a_1,b_1;a_2,b_2)) \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 14:03:04
\(\begingroup\)@ "Hast Du auch inhaltlich etwas anders gemacht als die Übliche Einführung des Skalarproduktes?" Dann müßtest Du mir sagen, was die 'übliche Einführung' ist. Ich selbst habe es über Determinaten kennengelernt, das ist m.W. nicht (mehr) üblich. €dit: Hier frage ich mich insb., was 'übliche Einführung' bedeutet. Gibt es eine 'übliche Einführung' nach gängigem Kanon oder geht es um eine Einführung, die Deiner Meinung nach üblich ist oder für Dich üblich ist oder üblich sein sollte? ·Meinst Du mit 'üblicher Einführung' die Kosinusversion? ---> Diese Einführung halte ich für Schmarn, weil dafür gibt es ohne Weiteres überhaupt keinen Grund eine Gleichung " ... = a b cos()" aufzustellen. (So habe ich es auch einmal eingeführt bekommen, mit der Begründung "Weil es sinnvoll ist" - wahnsinnig tolle Begründung). ·Meinst Du mit 'üblicher Einführung' die Koordinatenmalnehmensummenversion? ----> Dann halte ich sie auch für Schmarn, weil auch hierfür gibt es ohne Weiteres gar keinen Grund sowas zu rechnen. Aber gerade diese Version des SP versuche ich ja eingangs zu plausibilisieren. \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 17:17:17
\(\begingroup\)ich meine: für Dich in der Schule übliche Einführung. Du möchtest mit dem Artikel doch etwas anders machen. Da fände ich es gut das auch konkreter zu machen. Also wie ist es üblich (Es muss ja etwas für Dich üblches geben auf den sich das Anderssein Deiner Einführung bezieht) und was schlägst Du als Änderung vor, was machst Du anders und welchen Vorteil hat das. Das hast Du in Deinem Kommentar jetzt schon ein wenig gemacht, wobei die Formulierung mit "Schmarrn" nicht sehr überzeugend ist. Ich fände der Artikel wäre besser, wenn Du diese Unterschiede noch mit betrachtest. Das würde dann auch die Überzeugungsfähigkeit Deines Artikels steigern (würde also deutlicher machen, dass der Ansatz den Du vorstellst wirklich besser/sinnvoller ist). Ich würde gern aus Deinem Artikel kopieren entsprechende Stellen im Komentarfeld zu zitieren. Das geht so nicht, das ist ärgerlich. In Deinem Kommentar oben kritisierst Du andere Ansätze mit: "weil dafür gibt es ohne Weiteres überhaupt keinen Grund" Dein Ansatz ist die Frage welche Beziehung zwischen den Vektoren gilt wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Gibt es denn für diese Frage einen Grund? Ich kann mir richtig vorstellen wie Schüler jetzt zurückfragen: Und warum wollen wir das wissen? Und dann wird eine Beziehung gefunden und diese wird genutzt um das Skalarprodukt zu definieren. Warum? Warum nimmt man so eine Beziehung und nennt das Produkt? Was hat das mit einer Multiplikation zu tun? Schüler werden sich bei der Notation ganz sicher eine Multiplikation vorstellen. Zur Merkregel: Meine Merkregel war nicht als Kritik gedacht sondern zur Ergänzung. Meine Kritik an Deiner Entwicklungssatz-Merkregel bezieht sich auf den Mathematikunterrricht. Für den passt sie nicht. Für Studienanfänger finde ich die gut (wenn auch eigentlich immernoch zu kompliziert, aber das liegt daran, dass ich einfache Schemata bevorzuge die dann eben abstrakter sind). In einem Vorkurs zum Beispiel würde ich die von Dir vorgeschlagene und meine bringen aber nicht mehr die Sarrus-Regel. In der Schule würde ich die Sarrus-Regel nutzen (und evtl das was ich mir überlegt habe, aber ich habe noch nicht darüber nachgedacht ob das in der Schule didaktisch sinnvoll ist). \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: gaussmath am: Di. 25. März 2014 17:23:04
\(\begingroup\)Leute, diskutiert das Thema doch bitte nicht kaputt.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 18:20:00
\(\begingroup\)@Jannna: Ja... da könnte (müßte) man sehr weit ausholen: "Warum sind senkrechte Vektoren für vielerlei Anwendungen wichtig, brauchbar?"; "Warum braucht man das Skalarprodukt?" etc. Zu der 'für mich üblichen Einführung', kurz und knapp: interessiert doch niemand, was ich da für eine Meinung habe. Mir ging es lediglich darum diese Formeln (anschaulich) herzuleiten (im Unterschied zu: Anschreiben, paar Zahlen einsetzen, irgendwas ausrechnen) und hinreichend zu plausibilisieren. @gaussmath: ^^ Ja, ich hätte mich gefreut, wenn sich z.B. ein Schüler ("Klasse 12") oder auch ein Student ("Semester 1", nicht notwendigerweise Mathestudium) zu Wort meldet; denn für uns ist es irgendwo auch leicht, sich über solche Sachen sprichwörtlich das Maul zu zerreißen. \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 18:54:19
\(\begingroup\)Hmm Du bist nicht konsistent. Du schreibst zu anderen Einführungen "Dann halte ich sie auch für Schmarn, weil auch hierfür gibt es ohne Weiteres gar keinen Grund sowas zu rechnen." Und wenn ich Dir vorschlage das besser zu machen dann lehnst Du das auch ab :-/ schade. Das müsste um Deinen Einstieg zu motivieren gar nicht viel sein. Also mir gehts nicht darum das Thema kaputt zu diskutieren oder mir das Maul zu zerreißen. Mir fallen nur Dinge auf, die man an dem Artikel besser machen könnte. Ich habae auch viele Vorschläge gemacht. Die Diskussion zur Merkregel finde ich eigentlich ganz interessant. Vielleicht hat ja noch jemand eine andere Merkregel für das Kreuzprodukt? \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 19:07:47
\(\begingroup\)@Jannna: Die Motivation ist, wenn ich ein gutes Abitur, Studium o.ä. machen möchte, muß ich diese Formeln kennen und ich verstehe sie besser bzw. sie sind mir weniger befremdlich, wenn ich dazu eine anschauliche Herleitung kenne oder zumindest gesehen habe; im Unterschied zu: ich habe diese Formeln auswendig gelernt und kann, mit etwas Mühe, damit Zahlenwerte auszurechen (das meine ich im Kern mit "Schmarn"). Das jetzt auch noch irgendeiner lehr- oder lerntheoretischen Basis zuzudichten, hielt ich für unnötig. Und speziell zur Merkhilfe: Eine Merkregel halte ich für brauchbar, wenn ich sie vom Grundsätzlichen her auch anderweitig bzw. höherwertig anwenden kann; was aber nicht bedeuten muß, daß 'meine' gen. Merkhilfe die einzig wahre ist. \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 19:33:02
\(\begingroup\)"lehr- oder lerntheoretischen Basis" das mein ich ja nicht (nur, weil ich gern auch über sowas rede, möchte ich das nicht dauernd ;-P). Was ich meine ist eine Motivation in der Art: Das Skalarprodukt ist ein Instrument um den Winkel zwischen zwei Vektoren nur mit Hilfe ihrer Koordinaten zu berechnen. Wenn Deine Motivation das aus dem Kommentar oben ist, dann schreibs doch in den Artikel. "Und speziell zur Merkhilfe: Eine Merkregel halte ich für brauchbar, wenn ich sie vom Grundsätzlichen her auch anderweitig bzw. höherwertig anwenden kann;" Ja, das ist ein guter Ansatz, vor allem für Studienanfänger. (Für Schüler ist das Höherwertige ja unter Umständen gar nicht interessant) Das was ich als Merkregel vorgeschlagen habe ist das Multiplikationsschema der komplexen Einheiten bei den Quaternionen. Daraus ergeben sich auch Kreuz und Skalarprodukt (soll ich das näher aufschreiben? Oder lieber nicht. Ich denke ich mach da selbst mal nen Artikel zu, irgendwann). Diese Sarrus-Regel ist was das angeht eine Sackgasse, da hast Du recht.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 25. März 2014 20:05:11
\(\begingroup\)"(Für Schüler ist das Höherwertige ja unter Umständen gar nicht interessant)" Ja, was soll ich noch sagen. Wir machen also Unterricht bzw. Inhalte idealerweise nach Unterhaltungswert - mit der Meinung bist Du absolut auf dem richtigen Weg und stehst, bei weitem, nicht alleine da. Eine sogen. "Allgemeine Hochschulreife" muß ja keinewegs halten, was sie verspricht. \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: jannna am: Di. 25. März 2014 20:15:32
\(\begingroup\)Du verstehst mich jetzt falsch. Ich habe oben geschrieben inwieweit das nicht interessant ist. Was Du als meine Meinung hinstellst ist nicht richtig.\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: mire2 am: Di. 25. März 2014 23:49:39
\(\begingroup\)Diese Diskussion droht zu entgleiten und geht mehr und mehr in eine Richtung, die in Threads thematisiert worden ist, aus denen dieser Artikel letztlich hervorgegangen ist. (hier) Es ist aus mehreren Gründen vermutlich besser, diese Diskussion hier weiter zu führen. Gruß mire2 \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Mi. 26. März 2014 00:08:33
\(\begingroup\)Da hast Du allerdings recht. Man sollte hier ggf. den Raum bieten, genannte Zielgruppen zu Wort kommen zu lassen. Mit ein bißchen Glück geschieht das ja noch. \(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ueli am: Mi. 26. März 2014 21:11:18
\(\begingroup\)Hallo cis, um auf TikZ zurückzukommen: Der Artikel ist wirklich sehr schön. Das ist jetzt aber auch ein Problem für mich. in meinem neuen Artikel wollte ich mich mit in paar Photoshop-Zeichnungen durchschummeln. Nach deinem Artikel wäre das so, wie wenn ein Bischof 1.Klasse nach Indien fliegen würde um arme Leute zu besuchen. Also muss ich wohl noch etwas am Artikel arbeiten. Übrigens an alle die einmal einen Artikel schreiben wollen: Das soll nicht heissen, dass nun die Artikel mit TikZ und latex gemacht werden müssen. Da ich aber selbst einmal einen Artikel über TikZ geschrieben habe, ist das eher eine persönliche Verpflichtung. Gruss Ueli\(\endgroup\)
 

Re: Skalarprodukt und Vektorprodukt im R³
von: Ex_Mitglied_477 am: Mi. 26. März 2014 22:48:02
\(\begingroup\)@Ueli: Danke für Deinen Beitrag. Erst wollte ich sagen, etwa Photoshop ist ein hinreichend kompliziertes Programm, das alles andere als selbsterklärend ist und wer damit sinnvolle Matheplots zustande bekommt, hat im Grunde schon gewonnen. Auch wollte ich sagen, eine Software sollte man aus Interesse verwenden und nicht aus einem (inneren) Zwang heraus. Aber: Deinen Artikel kenne ich gut. Speziell für Dich besteht ja beinahe eine ungeschriebene Verpflichtung, gute TikZ-Beispiele zu lieferen. Andererseits hast Du vll. mit Deinem TikZ-Artikel Deine Schuldigkeit getan und kannst es machen, wie immer Du Lust hast. \(\endgroup\)
 

 
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