Mathematik: Ein paar Rechenregeln...
Released by matroid on Sa. 26. April 2014 08:43:21 [Statistics]
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Mathematik

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Ein paar grundlegende Rechenregeln und Begriffe...



Immer wieder fällt mir bei der Nachhilfe auf (selbst bei der Abitur-Vorbereitung), dass grundlegende Rechenregeln nicht beherrscht werden und deshalb alle Verstehensversuche der höheren Mathematik in der Analysis oder der Algebra scheitern. Ich fange daher oft mit den hier jetzt vorgestellten Erklärungen (und entsprechenden Übungen) an.

Wichtig ist vor allem die Unterscheidung, dass Zahlen und/oder Variablen z.B. durch die Grundrechenarten miteinander verknüpft aber auch wieder voneinander gelöst werden können. Bildlich kann man sich das gern als das Knüpfen bzw. Lösen eines Knotens vorstellen. Beim Knüpfen werden in der Regel Zahlen ausgerechnet (d.h. hier gibt es einen durch miteinander verknüpfte Zahlen gebildeten Ausdruck, der insgesamt eine Zahl ist), beim Lösen wird dagegen in der Regel nach Variablen in Relationen durch Umstellen aufgelöst (d.h. hier werden neue Gleichungen/Ungleichungen gebildet).

Was auch immer wieder schwer fällt, sind die Begriffe "Ausdruck" oder "Term". Meist findet man, dass alle mathematisch wohlformulierten Konstruktionen Ausdrücke bzw. Terme sind. Ich denke, dass dies nicht unbedingt hilfreich für Lernende ist und biete deshalb einen weiteren Begriff an, den des Monoms.


1. Verknüpfung durch die Grundrechenarten



Additive Verknüpfung: Hierzu zählen Addition und Subtraktion, die untereinander je ihre Umkehroperationen sind. Zwei Zahlen oder eine Zahl und eine Variable oder zwei Variablen werden additiv miteinander verknüpft, so dass eine neue Zahl oder eine neue Variable entsteht. Der Vorgang des Verknüpfens im Fall der Addition ist einfaches Hinzufügen einer Anzahl b zu einer gegebenen Anzahl a, in Zeichen a+b, die neue Anzahl ist c, also a+b = c; der Vorgang des Verknüpfens im Falle der Subtraktion ist einfaches Entfernen einer Anzahl b von einer gegebenen Anzahl a, in Zeichen a-b, auch hier sei die neue Anzahl c, zusammen also a-b = c.

Multiplikative Verknüpfung: Hierzu zählen Multiplikation und Division, die wiederum untereinander je ihre Umkehroperationen sind. Auch hier entstehen aus zwei Zahlen durch die Verknüpfung eine neue. Die Multiplikation entsteht aus der Addition durch mehrfache (a-fache) Summation einer bestimmten Zahl b mit sich selbst: a*b = b+b+...+b (a-mal) = c; umgekehrt ist die Division eine besondere Art des Entfernens, nämlich das Teilen einer bestimmten Anzahl a in b gleiche Teile a/b = c.

Mehrere Verknüpfungen hintereinander bilden einen Ausdruck oder eine Konstruktion. Aufgrund der Entstehung der Multiplikation aus der Addition ist die Multiplikation eine engere Verknüpfung. Treten also Addition und Multiplikation in einer Rechnung auf, hat die Multiplikation Vorrang.
Bsp.: 3*4+5 = 12+5 = 17

Es gilt die bekannte Verknüpfungsregel 1': Punktrechnung geht vor Strichrechnung!

Potenzielle Verknüpfung: Potenzrechnung zählt zwar nicht zu den Grundrechenarten, läßt man sie jedoch weg, wird das Rechnen deutlich komplizierter. Potenzieren entsteht aus der Multiplikation auf gleiche Weise wie die Multiplikation aus der Addition, nämlich durch mehrfache (a-fache) Multiplikation einer bestimmten Zahl b mit sich selbst ba = b*b*...*b (a-mal) = c; dabei heisst b die Basis, a der Exponent und c Potenz. Während die Addition und Multiplikation kommutativ ist (d.h. es gilt a+b = b+a bzw. a*b = b*a), gilt dies nicht für das Potenzieren. Aus diesem Grunde gibt es auch zwei Umkehroperationen, einmal die Frage nach der Basis - die entsprechende Umkehroperation heisst Wurzelziehen (Basis=Wurzel) a√c = b; die Frage nach dem Exponenten führt zum Logarithmus logbc = a. Übungen zu den Potenzgesetzen sollte man bei Bedarf extra durch führen.

Die potenzielle Verknüpfung ist noch enger als die multiplikative, daher muss die Verknüpfungsregel 1' abgeändert werden in die
Verknüpfungsregel 1: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung!

Soll dennoch, z.B. aufgrund der Aufgabenstellung ausnahmsweise zuerst die additive Verknüpfung durchgeführt werden, müssen Klammern gesetzt werden. Der Ausdruck in der Klammer muss dann zuerst berechnet werden.
Bsp.: 3*(4+5) = 3*9 = 27

Der Ausdruck in der Klammer ist 4+5, hat man ihn ermittelt (hier 9), können Klammern und Ausdruck durch den Wert der Klammer ersetzt werden. Dadurch verschwindet die Klammer. Ist der Ausdruck bereits eine einfache Zahl, kann man gleich die Klammern weglassen.

Enthält der Ausdruck in einer Klammer wiederum eine Klammer, dann muss auch diese zuerst berechnet werden.

Daher gilt die folgende Verknüpfungsregel 2: Beim Rechnen mit Klammern beginnt man immer von innen nach aussen, man berechnet also zuerst den Wert der innersten Klammer und arbeitet sich nach aussen.

Der Ausdruck der jeweils innersten Klammer enthält logischerweise keine Klammer mehr, d.h. für die dortige Konstruktion gilt uneingeschränkt die Verknüpfungregel 1.

2. Lösung der Verknüpfungen



Variablen in Gleichungen sind in der Regel mit Zahlen oder anderen Variablen verknüpft und müssen gelöst werden. Das Lösen dieser Verknüpfungen erfolgt entgegen gesetzt zur jeweiligen Verknüpfung. Das betrifft nicht nur den Einsatz der jeweiligen Umkehroperation, sondern auch die Umkehrung der Verknüpfungsregeln.

Grundsätzlich müssen zunächst die einfachsten (wenn vorhanden z.B. die additiven) Verknüpfungen gelöst werden, die engsten zu Schluss. Es gilt also folgende Lösungsregel 1: Strichrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Potenzrechnung!

Sind ausserdem Klammern dabei, dann gilt die Lösungsregel 2: Beim Lösen von Klammern geht man von aussen nach innen vor.

Man beachte, dass das Lösen von Verknüpfungen (anders als beim Knoten) nicht im leeren Raum erfolgt, sondern durch die vorhandene Relation (Gleichung oder Ungleichung) als Verknüpfung auf die andere Seite übertragen wird. Dort wird dann also etwas ausgerechnet, d.h. es gelten dort wiederum die Verknüpfungsregeln unter 1.!

3. Monome als Basisausdrücke



Ein Monom als Basisausdruck ist folgende Konstruktion:

±k*xn

dabei ist ± das Vorzeichen, ±k der Koeffizient, x die Variable und n der Exponent.

Bsp.: -5*x2

Hier ist also -5 der Koeffizient.

(Allgemein können Monome mehrere Variablen also gleichzeitig z.B. x, y, z enthalten, aber als Basisausdruck eben nur eine. Es ist dabei egal, wie diese Variable bezeichnet wird, ob als x oder z oder t.)

Je nach Exponent haben diese Monome Namen:
n=0: Konstante
n=1: lineares Monom
n=2: quadratisches Monom
n=3: kubisches Monom

Monome mit gleichem Exponenten werden dadurch additiv verknüpft, indem ihre Koeffizienten entsprechend verknüpft werden. Bsp.: -3x2+5x2=(-3+5)x2=2x2. Monome mit unterschiedlichen Exponenten bilden bei additiver Verknüpfung Polynome, die nicht weiter zusammen gefasst werden können! Beim Lösen von Gleichungen ist es daher wichtig, zunächst alle auftretenden Monome mit je gleichem Exponenten zusammen zu fassen und aus den dadurch entstandenen (End)Monomen auf einer Seite ein Polynom zu bilden (die andere Seite ist dann Null).

Polynome werden so entsprechend der Größe ihrer Exponenten geordnet (mit dem größten beginnend). Ist das größte Monom im Polynom n=0,1,2,3 so heissen die Polynome entsprechend (ansonsten Polynom n. Grades), ebenso die Gleichung.

Besteht das so gebildete Polynom lediglich aus 2 Monomen, ist die Gleichung, wenn es denn überhaupt Lösungen gibt, elementar lösbar (bspw. lineare Gleichungen). Besteht es aus mehr als 2 Monomen gibt es nur in Spezialfällen Lösungen (bspw. quadratische oder kubische Gleichungen).

Übrigens gibt es einige interessante Parallelen zwischen Zahlen und Polynomen, weshalb man diese auch als verallgemeinerte Zahlen betrachten kann. Hier mehr dazu.

Ich hoffe, dass diese Ausführungen helfen.

viel Freude trunx (Jens Koch)
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"Mathematik: Ein paar Rechenregeln..." | 6 Comments
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Re: Ein paar Rechenregeln...
von: Cube_Max am: Sa. 26. April 2014 14:57:30
\(\begingroup\)
"Strichrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Potenzrechnung! "
Da dürftest du dich vermurmelt haben.
Ich habe die Regel anders herum im Kopf. ^^


Vielen Dank, tetris. Ich lese beim nächstem Mal genauer.
Verwirrt hat es allerdings.

Gruß Max\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar Rechenregeln...
von: Tetris am: Sa. 26. April 2014 15:20:59
\(\begingroup\)
@Max: Im Zusammenhang ging es um die Reihenfolge beim schrittweisen Auflösen von Gleichungen...\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar Rechenregeln...
von: trunx am: So. 27. April 2014 08:46:23
\(\begingroup\)
ehrlich gesagt, halte ich beides, also die Einführung der Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" sowie die Beschränkung der Grundrechenarten auf die üblichen ersten vier als kontraproduktiv (ich denke es ist ein mittelalterliches Relikt), wodurch ab der Grundschule jeder weitere Fortschritt in der Mathematik verbaut, zumindest deutlich erschwert wird. Denn das ist leider etwa das Niveau auf dem die meisten stecken bleiben, was sie können.\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar Rechenregeln...
von: Gerhardus am: Di. 29. April 2014 21:19:49
\(\begingroup\)
Hallo trunx,
den Sinn deines Artikel verstehe ich nicht.
1. Term ist allgemeiner als Monom. Der Begriff des Monoms kann nicht den Begriff Term ersetzen. Ein einfacher Basisausdruck (oder Term) ist a+b, was aber kein Monom ist. Nach deiner Definition besteht ein Monom aus einer Multiplikation und der Potenz mit einer nichtnegativen ganzen Zahl.
2. Deine Definition von Lösen (als Umkehrung des Verknüpfens) ist mir schleierhaft. Wäre es nicht besser, den Schülern das elementare Distributivgesetz zu erklären? Warum verschweigst du das?
Gruß Gerhardus\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar Rechenregeln...
von: trunx am: Mi. 30. April 2014 09:48:32
\(\begingroup\)
Hallo Gerhardus,

in dem Artikel geht es mir darum, eine einfache didaktische Lösung für das Arbeiten mit zugegebenermassen sehr simplen Gleichungen aus der Schulmathematik anzubieten.
Ich gebe mal zwei typische, fehlerhafte Lösungsversuche an, die ich gerade erst wieder erlebt habe und die Anlass für den Artikel waren.
Für die Gleichung 5=2x-1 wurde als Lösung x=3,5 angegeben (eig. Thema analytische Geometrie). "Gerechnet" wurde mit der Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" in folgender Weise, zuerst wurde durch 2 dividiert 2,5=x-1, dann plus 1 gerechnet. Mir ist natürlich klar, dass es bei richtiger Division egal gewesen wäre, ob man zuerst die Strichrechnung macht oder nicht (eben weil es das Distributivgesetz gibt). Doch erfahrungsgemäß macht dieser Weg die Sache deutlich komplizierter, die Schüler steigen einfach aus (und kommentieren das entsprechend negativ). Die Umkehrung der Grundschulregel für das Lösen dagegen wird sehr leicht verstanden und entsprechend umgesetzt (Kommentare lauten dann eher so, warum hat uns das niemand gleich gesagt?). Solche Fehler erlebe ich ständig und ich denke andere (Nachhilfe)Lehrer auch.

Zum Monom: Der Begriff "Term" ist für praktische Zwecke zu allgemein, ich brauchte noch den des Monoms. Allerdings bezieht sich die allgemeine Definition auf mehrere Variablen und nur dies habe ich eingeschränkt auf eine Variable. Ansonsten ist die Definition nicht "meine" Definition. Dieser Begriff wird in der Schule nicht vermittelt, ist aber ebenfalls didaktisch sehr wertvoll. Auch dazu ein kürzlich erlebtes Beispiel: Es sollte die Gleichung x2+2x-3=0 gelöst werden. Als Antwort kam x=1, auf meine Nachfrage "und die zweite Lösung?" "nichts weiter, es gibt nur diese". Bei genauerem Hinsehen wurde wie folgt "gerechnet"
x2+2x-3=0
3x3=3
x3=1
x=1
Es wurden also bei x2+2x die jeweiligen Koeffizienten addiert (1+2) und die jeweiligen Exponenten (2+1). Nach meinem Hinweis, hier benutzt man die p-q-Formel wurde sofort umgeschalten, aber dieser Automatismus ist ja nicht hilfreich. Ich habe deshalb nachgehakt und folgende Erklärung bekommen "Die Terme, die x enthalten, müssen zusammen gefasst werden." Was steckt dahinter? Die Idee ist ja nicht falsch, tatsächlich müssen Terme, die x enthalten zusammengefasst werden, desweiteren die, die kein x enthalten und die die x2 enthalten usw. Um das Prinzip aber besser zu verstehen, ist hier der Monom-Begriff sinnvoll. Und die richtige Regel heisst "Monome gleichen Grades müssen zusammengefasst werden." Auch das wird leicht verstanden, ebenso, dass die daraus entstehenden Polynome bei mehr als 2 Monomen nur in Spezialfällen lösbar sind. Da kommen Schüler dann automatisch beim Zusammenfassen und Umstellen auf die quadratische Gleichung und die p-q-Formel. Der Ausdruck a+b ist hier nicht hilfreich.

viele Grüße trunx\(\endgroup\)
 

Re: Ein paar Rechenregeln...
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 10. Mai 2014 12:00:06
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Schöner Artikel, danke dafür!\(\endgroup\)
 

 
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