Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium
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Mathematik

\(\begingroup\) Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen:
injektiv, surjektiv, bijektiv
Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart grundlegend, dass sie manchem zu Beginn Schwierigkeiten bereiten. Wir werden aber an Hand von einigen Beispielen erkennen, dass ihr Grundprinzip denkbar einfach ist. Wir werden nach den Definitionen mit den einfachsten Beispielen in der Mengentheorie beginnen und uns dann mit verschiedenen anderen Bereichen beschäftigen und sehen, dass die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv von herausragender Bedeutung sind, wenn man über Abbildungen und Funktionen spricht.

1. Die Definitionen

Wir werden die Definitionen im allgemeinen Zusammenhang der Funktionen f: M -> N zwischen Mengen M und N geben. An den Definitionen wird sich im Weiteren nichts ändern. Wir können aber je nach Zusammenhang die unterschiedlichsten Werkzeuge anwenden um zu überprüfen, ob eine Abbildung die gesuchte Eigenschaft hat. Wir werden vermutlich nicht immer konsequent zwischen Abbildungen und Funktionen unterscheiden, was für unsere Zwecke auch nicht wichtig sein wird. Tendenziell werden wir den Begriff Abbildung dann verwenden, wenn gewisse Eigenschaften schon vorausgesetzt werden. \stress\Definition 1 Eine Funktion f: M -> N heißt injektiv, falls für je zwei Elemente x, y \in\ M die folgende Implikation gilt: f(x)=f(y)=>x=y. \lr(inj) Anschaulich bedeutet dies, dass die Bildpunkte zweier unterschiedlicher Punkte x und y auch immer voneinander verschieden sind. Wir wollen uns dies auch an Hand der - vielen bekannten - "Kartoffelbildchen" ansehen. Darstellung einer injektive Abbildung \stress\Definition 2 Eine Funktion f: M -> N heißt surjektiv, falls es für jeden Punkt n \in\ N einen Punkt m \in\ M gibt so dass f(m) = n gilt. Anschaulich bedeutet dies, dass jeder Punkt in N von einem Punkt in M mit der Funktion f getroffen wird. Das zugehörige Bild sieht so aus: Darstellung einer surjektiven Abbildung \stress\Definition 3 Eine Funktion f: M -> N heißt bijektiv, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Anschaulich bedeutet dies, dass jeder Punkt in N von einem Punkt in M mit der Funktion f getroffen wird und zwar nur von einem. Das zugehörige Bild sieht so aus: Darstellung einer bijektiven Funktion

2. Aufgaben aus der Mengentheorie

Als erstes wollen wir uns mit dem konzeptionell einfachsten Bereich an Aufgaben beschäftigen. Wir betrachten einige mengentheoretische Aufgaben. Allerdings erkaufen wir uns diese Einfachheit dadurch, dass wir alles "von Hand" machen müssen, weil die meisten Hilfsmittel erst nutzbar sind, wenn man etwas an Struktur hat, die man ausnutzen kann. \stress\Aufgabe 4 Es sei M = { a,b,c,d } , N = { 1,2,3,4 }. Geben Sie zwei verschiedene Bijektionen f: M -> N und g: M -> N an. Begründen Sie, weshalb es sich um Bijektionen handelt und weshalb sie unterschiedlich sind. Wir wollen uns nun der Lösung dieser ersten Aufgabe widmen. \stress\Lösung: gegeben:\normal Zwei Mengen M = { a,b,c,d } und N = { 1,2,3,4 }. \stress\gesucht:\normal Bijektive Abbildungen f: M -> N und g: M -> N, die verschieden sind. \stress\Behauptung:\normal Die folgenden beiden Funktionen erfüllen die geforderten Eigenschaften: f: M->N f(a):=1, f(b):=2, f(c):=3, f(d):=4 g: M->N g(a):=2, g(b):=3, g(c):=1, g(d):=4 \stress\zu zeigen:\normal \ll(a)f ist injektiv. \ll(b)f ist surjektiv. \ll(c)g ist injektiv. \ll(d)g ist surjektiv. \ll(e)f und g sind unterschiedlich. \stress\Beweis: \ll(zu a)Offensichtlich sind die Funktionswerte von f an den Punkten a, b, c und d paarweise verschieden und die Funktion ist injektiv. \ll(zu b)f^(-1)(1)={a}, f^(-1)(2)={b}, f^(-1)(3)={c}, f^(-1)(4)={d}, wobei mit f^(-1)(...) das Urbild des jeweiligen Punktes gemeint ist. Für keinen Punkt ist das Urbild leer und die Funktion ist surjektiv. \ll(zu c)Analog zu (a) sehen wir, dass auch g injektiv ist. \ll(zu d)Genauso ist wie bei (b) die Funktion g offensichtlich surjektiv. \ll(zu e)Es gilt f(a)=1!=2=g(a). Somit sind die Funktionen unterschiedlich. Da beide Funktionen injektiv und surjektiv sind, sind sie auch bijektiv und wie bei Teil (e) gesehen sind die beiden Funktionen auch unterschiedlich. Eine ganz wichtige Frage ist die Existenz von Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften. \stress\Aufgabe 5 Es seien die Mengen M={\rho,\mu,\nu,\sigma} und N={h,k,m,o,q} gegeben. \ll(a)Gibt es eine injektive Funktion f: M -> N? \ll(b)Gibt es eine surjektive Funktion f: M -> N? \stress\Lösung: gegeben:\normal Zwei Mengen M={\rho,\mu,\nu,\sigma} und N={h,k,m,o,q}. \stress\Behauptung: \ll(a)f(\rho):= h, f(\mu):=k, f(\nu):=m, f(\sigma):=o definiert eine injektive Funktion. \ll(b)Es gibt keine surjektive Funktion f: M -> N zwischen den beiden Mengen. \stress\Beweis: \ll(zu a)Da die Funktionswerte von f der einzelnen Punkte paarweise verschieden sind, ist die Abbildung injektiv. \ll(zu b)Damit es eine surjektive Funktion geben kann, muss die Startmenge mindestens so so viele Elemente haben wie die Zielmenge. Da die Startmenge jedoch 4 Elemente hat und die Zielmenge 5 Elemente hat, kann es keine surjektive Funktion f: M -> N geben. Der Ansatz den wir im zweiten Teil der vorigen Aufgabe gesehen haben, ist bei solchen Aufgaben allgemein von besonderer Bedeutung. Damit eine Funktion injektiv sein kann, muss die Zielmenge mindestens so viele Elemente haben wie die Startmenge. Analog muss die Startmenge mindestens so viele Elemente haben wie die Zielmenge, damit es eine surjektive Funktion geben kann. Bijektive Funktionen können also nur zwischen gleich großen Mengen bestehen. Dies gilt auch für unendliche Mengen. \stress\Aufgabe 6 Seien X bigop(->,Y,,\alpha) bigop(->,Z,,\beta) Funktionen. Zeigen Sie: \ll(a)Sind \alpha und \beta beide injektiv (bzw. surjektiv), so ist es auch \beta\circ\alpha. \ll(b)Ist \beta\circ\alpha injektiv, so ist es auch \alpha. \ll(c)Ist \beta\circ\alpha surjektiv, so ist es auch \beta. \stress\Lösung: gegeben:\normal Mengen X, Y, Z und Funktionen \alpha: X -> Y und \beta: Y -> Z. \stress\Behauptung: \ll(a)Sind \alpha und \beta beide injektiv (bzw. surjektiv), so ist es auch \beta\circ\alpha. \ll(b)Ist \beta\circ\alpha injektiv, so ist es auch \alpha. \ll(c)Ist \beta\circ\alpha surjektiv, so ist es auch \beta. \stress\Beweis: \ll(zu a)Zunächst zeigen wir, dass mit \alpha und \beta auch \beta\circ\alpha injektiv ist. Es seien a,b\in\ X mit \beta\circ\alpha(a)=\beta\circ\alpha(b). Da \beta injektiv ist, folgt also, dass \alpha(a)=\alpha(b) gilt. Da auch \alpha injektiv ist, gilt aber auch a=b. Also ist auch \beta\circ\alpha injektiv. \ll()Nun zeigen wir, dass mit \alpha und \beta auch \beta\circ\alpha surjektiv ist. Es sei c\in\ Z. Da \beta surjektiv ist, gibt es ein c'\in\ Y mit \beta(c')=c. Da \alpha surjektiv ist, gibt es ein c''\in\ X mit \alpha(c'')=c'. Es gilt also \beta\circ\alpha(c'')=c. Also ist \beta\circ\alpha surjektiv. \ll(zu b)Es seien a,b\in\ X mit \alpha(a)=\alpha(b). Dann gilt natürlich auch \beta\circ\alpha(a)=\beta\circ\alpha(b). Da \beta\circ\alpha nach Voraussetzung injektiv ist, gilt a=b. Also ist \alpha injektiv. \ll(zu c)Es sei c\in\ Z. Weil \beta\circ\alpha surjektiv ist, gibt es ein a \in\ X mit \beta\circ\alpha(a)=c. Sei \alpha(a)=b, so ist \beta(b)=c und wir haben gezeigt, dass \beta surjektiv ist. \Eine interessante Frage, die sich zu diesem Thema stellt, ist die Frage, ob eine Menge abzählbar ist oder nicht. Eine Menge M ist genau dann abzählbar, wenn es eine bijektive Abbildung f: \IN\ -> M gibt. \stress\Aufgabe 7 \ll(a)Zeigen Sie, dass die Menge der ganzen Zahlen \IZ abzählbar ist. \ll(b)Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen \IQ abzählbar ist. \ll(c)Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen \IR nicht abzählbar ist. Hier bietet es sich an, bei der Lösung schlicht die Aufgabenstellung abzuschreiben und anschließend die Lösung aufzuschreiben. \stress\Lösung: \ll(zu a)Wir definieren die Funktion f:\IN -> \IZ wie folgt: \align f(0)=0 f(2n+i)=\cases(n,falls i=0;-n,falls i=-1) \stopalign \ll()Wir müssen beweisen, dass diese Funktion bijektiv ist. Zunächst stellen wir fest, dass sich jede natürliche Zahl m auf eindeutige Weise in der Form m=2n+i mit i=0 oder i=-1 darstellen lässt. Somit gibt es also für jedes n nur zwei Zahlen dieser Form, nämlich 2n und 2n-1. Diese werden aber auf unterschiedliche Zahlen, nämlich n und -n abgebildet. Zwei Zahlen 2n+i und 2n'+i mit n!=n' werden ohnehin auf unterschiedliche Zahlen abgebildet. Damit ist f also injektiv. Sei m=0, so ist f(0)=0, ist m eine positive ganze Zahl, so ist f(2m)=m und ist m eine negative ganze Zahl, so ist f(-2m-1)=m. Somit ist die Funktion f also auch surjektiv und damit bijektiv. \ll(zu b)Wir werden für diese Aufgabe den Begriff des Abzählens einmal wörtlich nehmen und die rationalen Zahlen abzählen. Der Zahl n ordnen wir dann n-ten Eintrag unserer Liste zu. Wir schreiben die rationalen Zahlen zeilenweise auf, indem wir sie nach ihrem Nenner ordnen. Bild \ll()Eingekreiste Zahlen werden dabei für die Funktion verwendet, durchgestrichene Zahlen übergangen. Durchgestrichen werden Zahlen, die schon vorher in einer anderen Darstellung vorgekommen sind. Dies stellt sicher, dass die Funktion injektiv ist. Durch die Art der Zählung ist sichergestellt, dass alle rationalen Zahlen mit der Funktion getroffen werden. Die Funktion ist also surjektiv, und somit bijektiv. \ll(zu c)Wir werden diese Aufgabe mit einem Widerspruchsbeweis lösen. Wir zeigen, dass es keine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen gibt, oder genauer gesagt: Es gibt sogar keine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen in die Menge der Zahlen zwischen 0 und 1, in deren Dezimaldarstellung nur die Ziffern 0 und 1 auftreten. \ll()Angenommen wir hätten eine solche Aufzählung, die wir hier als Liste angeben möchten: Bild \ll()Wir konstruieren nun eine Zahl, die sich nicht in dieser Liste befindet, aber auch nur 0-en und 1-en hinter dem Komma hat. Wir definieren b wie folgt: 0.b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 ... \ll()Dabei sei b_1 !=a_(11) , b_2 != a_(22) , b_3 != a_(33) , b_4 != a_(44) , b_5 != a_(55) , .... Diese Zahl liegt auch zwischen 0 und 1, kann aber in der Liste nicht vorhanden sein. Sie unterscheidet sich schließlich an der n-ten Nachkommastelle von der n-ten Zahl der Liste. Also können wir keine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen in die Menge der Zahlen zwischen 0 und 1, deren Dezimaldarstellung nur aus 0-en und 1-en besteht, und somit in die reellen Zahlen finden. Es gibt also erst Recht keine Bijektion.

3. Aufgaben aus der Analysis

Angenehmer ist es natürlich, wenn es etwas mehr Struktur gibt, als dies in den Beispielen der Mengentheorie der Fall war. Wir werden uns nun mit einigen Beispielen der Analysis beschäftigen, die in der Anfangszeit des Studiums auftreten. Wir werden die grundlegenden Sätze in diesem Zusammenhang nicht beweisen sondern nur an geeigneter Stelle erwähnen. \stress\Aufgabe 8 Es seien [a,b] und [c,d] zwei Intervalle in den reellen Zahlen. Eine Funktion f:[a,b]->[c,d], die streng monoton fallend (bzw. streng monoton steigend) ist, ist injektiv. \stress\Lösung:\normal Wir zeigen nur den Fall einer streng monoton fallenden Funktion. Der Fall einer streng monoton steigenden Funktion läuft völlig analog. Es seien a<=a'f(b') und insbesondere f(a')!=f(b'). Insbesondere ist f also injektiv. \stress\Aufgabe 9 Eine stetige Funktion f: [a,b]->[c,d] ist genau dann surjektiv, wenn es Zahlen e,e'\in\ [a,b] gibt, so dass f(e)=c und f(e')=d ist. \stress\Lösung:\normal Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte e menge((x,y)\in\IR^2 : abs(x)+abs(y)<=1)? \stress\Lösung: gegeben:\normal Mengen [0,1] und menge((x,y)\in\IR^2 : abs(x)+abs(y)<=1) \stress\gesucht:\normal surjektives f:[0,1]-> menge((x,y)\in\IR^2 : abs(x)+abs(y)<=1) \stress\Behauptung:\normal f existiert. \stress\Beweis:\normal Wir werden eine solche Funktion nicht explizit definieren. Stattdessen werden wir sie als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen konstruieren. Um die Anschaulichkeit zu bewahren, werden wir diese Definition nicht in Formeln angeben. Nichtsdestoweniger werden wir die Funktionen genauso präzise definieren als hätten wir Formeln verwendet. In allen Schritten werden wir die Streckenzüge mit gleichmäßiger Geschwindigkeit durchlaufen. Bild Der erste Schritt ist ein einzelner Streckenabschnitt. Das Intervall [0,1] wird linear auf das Intervall [-1,1] abgebildet. Im zweiten Schritt wird der Streckenzug durch die Figur in Abb. 1.4b ersetzt, wobei die "Durchlaufgeschwindigkeit" entsprechend der Streckenlänge skaliert wird. Die Pfeile deuten dabei an, in welcher Reihenfolge die Streckenabschnitte abgelaufen werden. In jedem weiteren Schritt wird jeder einzelne Streckenabschnitt durch die entsprechend skalierte Variante von Abb. 1.4b ersetzt. Den dritten Schritt ohne Angabe der durchlaufenen Richtung kann man in Abb. 1.4c sehen. Dies definiert uns eine Folge von stetigen Funktionen. Wir müssen nun folgendes zeigen: \ll(a)Die Folge der Funktionen konvergiert gleichmäßig und \ll(b)das Bild der Grenzfunktion ist menge((x,y)\in\IR^2 : abs(x)+abs(y)<=1). \ll(zu a)Zunächst unterteilen wir das Einheitsintervall [0,1] in 9^(n-1) gleichgroße Teilintervalle. Die Bilder eines solchen Intervalls sind ab dem n-ten Schritt innerhalb einer Menge von Radius (1/2)^(n-1) enthalten. Die Funktionenfolge ist also eine Cauchyfolge und konvergiert daher gleichmäßig. Daraus schließen wir, dass die Grenzfunktion ebenfalls stetig ist. \ll(zu b)In jedem Schritt wird die Zahl der horizontalen Linien verdreifacht und die Linien sind über das Quadrat gleichmäßig verteilt. Jede dieser Linien verläuft über die gesamte Breite des Quadrats auf der entsprechenden Höhe. Sei nun (x_0 ,y_0)\in\ menge((x,y)\in\IR^2 : abs(x)+abs(y)<=1). Dann gibt es eine Folge (x_0 ,y_n), die gegen (x_0 ,y_0) konvergiert und für das (x_0, y_n) im Graphen des n-ten Schritts enthalten ist. Da der Graph der Grenzfunktion abgeschlossen ist, ist auch (x_0 ,y_0) im Graphen der Grenzfunktion enthalten und die Grenzfunktion surjektiv.

4. Aufgaben aus der (linearen) Algebra

\stress\Aufgabe 11 Es seien V,W Gruppen, Ringe oder Vektorräume und \phi:V->W ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass \phi genau dann injektiv ist, wenn ker\phi=0 ist. \stress\Lösung: gegeben:\normal Zwei Gruppen (Ringe, Vektorräume) V,W und ein Homomorphismus \phi:V->W. \stress\Behauptung:\normal \phi ist injektiv <=> ker\phi=0. \stress\Beweis:\normal "<==": Angenommen \phi wäre nicht injektiv, dann gäbe es zwei verschiedene Elemente a,b\in\ V mit \phi(a)=\phi(b). Dann wäre \phi(a-b)=\phi(a)-\phi(b)=0 und damit ist ker\phi!=0. "=>": Ist \phi injektiv, dann gilt abs(\phi^(-1)(w))<=1, \forall\in\ W. Da \phi(0)=0 folgt automatisch ker\phi=0. \stress\Aufgabe 12 Es sei \phi: K->L ein Körperhomomorphismus, dann ist \phi injektiv. \stress\Lösung: gegeben:\normal Körper K,L und ein Homomorphismus \phi: K->L \stress\Behauptung:\normal \phi ist injektiv. \stress\Beweis:\normal Angenommen k,l\in\ K seien zwei verschiedene Elemente mit \phi(k)=\phi(l). Es sei m=k-l!=0. Dann gilt \phi(m)=\phi(k-l)=\phi(k)-\phi(l)=0. Dann gilt aber auch \phi(j)=\phi(mm^(-1) j)=\phi(m)\phi(m^(-1) j)=0*\phi(m^(-1) j)=0 für alle j\in\ K. Das ist aber nicht möglich, weil definitionsgemäß \phi(1)=1 gilt. \stress\Aufgabe 13 \ll(a)Es seien V,W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume der gleichen Dimension. Ein Homomorphismus \phi:V->W ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist. \ll(b)Es seien V,W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume und \phi:V->W ein bijektiver Vektorraum-Homomorphismus. Dann gilt dim V=dim W. \stress\Lösung: gegeben:\normal zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume V,W und ein Homomorphismus \phi: V->W. \stress\Behauptung: \ll(a)Es seien V,W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume der gleichen Dimension. Ein Homomorphismus \phi:V->W ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist. \ll(b)Es seien V,W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume und \phi:V->W ein bijektiver Vektorraum-Homomorphismus. Dann gilt dim V=dim W. \stress\Voraussetzung:\normal Nach dem Dimensionssatz gilt dim V=dim im\phi+dim ker\phi. \stress\Beweis: \ll(zu a)"=>": Ist \phi injektiv, so ist dim ker\phi=0 und nach dem Dimensionssatz dim im\phi=dim V=dim W und \phi ist surjektiv. \ll()"<==": Ist \phi surjektiv, so gilt dim im\phi=dim W=dim V und damit ist dim ker\phi=0 und auch ker\phi=0. Nach der vorletzten Aufgabe ist \phi also injektiv. \ll(zu b)Nach dem Dimensionssatz gilt dim V=dim im\phi+dim ker\phi=dim W+0=dim W.
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Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen: injektiv, surjektiv, bijektiv Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart
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"Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium" | 11 Comments
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Re: Per 'tiv'-Flug ins Studium
von: Akura am: Mi. 06. August 2014 13:05:37
\(\begingroup\)Aufgabe 11 sollte man nur mit Gruppen formulieren. Anschließend kann man ja sagen, dass das auch auf Ringe und Vektorräume übertragbar ist, da bei diesen nur die additive Gruppenstruktur von Idealen bzw. Untervektorräumen eine Rolle spielt. Ansonsten könnte es für Studienanfänger verwirrend sein und manche denken, die verschieden Unterstrukturen in Gruppen, Ringen und Vektorräumen seien irgendwie gleich.\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: Martin_Infinite am: Mi. 06. August 2014 15:29:24
\(\begingroup\)Guter Artikel. Ich würde bei einer Einführung dieser Begriffe höchstens noch Gegenbeispiele ergänzen, etwa dass konstante Abbildungen in der Regel weder injektiv noch surjektiv sind, oder eine Betrachtung der Sinus-Funktion (nur gewisse Einschränkungen sind bijektiv). Außerdem finde ich von fundamentaler Bedeutung, dass bijektiv dasselbe wie umkehrbar ist. (Tatsächlich würde ich das so definieren, und bijektiv = injektiv + surjektiv als Lemma bringen.)\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: wessi90 am: Mi. 06. August 2014 20:14:13
\(\begingroup\)Naja, bijektiv=umkehrbar finde ich persönlich nicht so gut. Denn bereits wenn die Abbildung injektiv ist, gibt es eine Umkehrabbildung mit dem Bild als natürlichem Definitionsbereich. Zum Artikel: Gut gemacht, tatsächlich bereitet das Studienanfängern große Probleme, daher ein nützlicher Artikel.\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: pindakaas am: Do. 07. August 2014 08:40:41
\(\begingroup\)hätte ich sicher gut gebrauchen können vor vier JAHREN!!!! zu spät^^. Aber ich muss sagen, ich finde es gerade für einen Einstieg immer gut wenn viele völlig verschiedene Anwendungen, wie hier, da sind, dann kann man sich die, die auf dem eigenen Niveau sind heraussuchen. Damit bist du schon mal besser als so manchen andere Autor, der Geld für seine Werke bekommt^^ \(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: huepfer am: Fr. 08. August 2014 14:24:22
\(\begingroup\)@wessi90, genau das sollte man nicht machen. Zu einer Abbildung gehören immer ihr Definitions- und Zielbereich dazu. Wenn ich den Zielbereich einschränke, habe ich eine andere Abbildung. Insbesondere bei der Frage nach der Umkehrbarkeit kann das zu fundamentalen Fehlleistungen führen. @M_I, den Vorschlag werde ich mir mal durch den Kopf gehen lassen und überlegen, ob ich das noch ändern werde. (Unter der Voraussetzung, dass ich die Zeit habe, wenn ich meinen neuen Job angefangen habe.) @Akura, ich sehe, was Du meinst. Meine Überlegung war, dass der Ansatz hier ja tatsächlich identisch ist und die relevanten Unterstrukturen tatsächlich irgendwie gleich sind. Ich sehe aber auch, wie das einen Studienanfäger verwirren kann. @pindakaas, der Artikel liegt glaube ich fast schon so lange auf Halde und ich habe ihn nur nicht veröffentlicht, weil er eigentlich im Zusammenhang mit einem MP-Buchprojekt erscheinen sollte. Da sich das Projekt aber (bisher) nicht realisieren ließ, habe ich ihn jetzt eben so veröffentlicht. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: viertel am: So. 10. August 2014 18:15:00
\(\begingroup\)Es hat mich schon in den Fingern gejuckt, die flächenfüllende Kurve nachzuvollziehen. Rausgekommen ist dabei dieses Bild: Erinnert mich übrigens schwer an die Drachenkurve. Die müßte doch eigentlich auch zum vollständigen Überdecken eines Einheitsquadrates herhalten können, wenn man einen ensprechenden Ausschnitt aus etwa der Mitte der Figur nimmt (der Rest ist dann für diesen Zweck überflüssige Zeichenarbeit). Gruß vom ¼\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: viertel am: Di. 12. August 2014 12:04:57
\(\begingroup\)Eine Frage, die sich mir stellt: „Erwischt“ diese Funktion f aus Aufgabe 10 auch den Punkt $(\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi})$? Gewiß ist sie dicht in $\mathbb{R}^2$, aber $\mathbb{Q}$ ist auch dicht in $\mathbb{R}$, und dennoch ist $\pi \notin \mathbb{Q}$.\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: Martin_Infinite am: Di. 12. August 2014 14:08:42
\(\begingroup\)@viertel: Das Bild ist kompakt (weil $[0,1]$ kompakt ist) und daher abgeschlossen. Sehr gutes Bild übrigens.\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 21. August 2014 19:27:34
\(\begingroup\)Ein sehr gelungener Artikel.\(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 31. Januar 2015 20:50:53
\(\begingroup\)Du schreibst: "Bijektive Funktionen können also nur zwischen gleich großen Mengen bestehen. Dies gilt auch für unendliche Mengen." Ist es nicht leichter verständlich, wenn man das genau umgekehrt formuliert? Also etwa in der Art: "Auf diese Weise kann man das Konzept "Größe einer Menge" auch auf unendliche Mengen übertragen. Man kann nämlich Beispiele von unendlich großen Mengen finden, zwischen denen es keine Bijektionen gibt, sodass man sinnvollerweise davon spricht, dass diese Mengen verschieden groß sind." \(\endgroup\)
 

Re: Per tiv-Flug ins Studium
von: Kezer am: Do. 20. August 2020 13:52:16
\(\begingroup\)Noch ein kurzer Kommentar, wieso man bijektiv als umkehrbar definieren sollte. Es ist nämlich natürlich der kategorische Isomorphisbegriff in der Kategorie der Mengen.\(\endgroup\)
 

 
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