Mathematik: The weak Mordell-Weil theorem and descent
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Mathematik

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1. The weak Mordell-Weil theorem and descent

In diesem Artikel beweisen wir den schwachen Satz von Mordell-Weil und wie er mit einem Abstiegsargument den Satz von Mordell-Weil impliziert. Unser Ziel ist es, einen Beweis des Satzes von Mordell-Weil für Abelsche Varietäten über globalen Körpern zu geben, der nicht elementare Ad-hoc-Methoden verwendet, sondern die geballte Macht der arithmetisch-algebraischen Geometrie und étalen Kohomologie, und zeigt, wie man diese auf konkrete Probleme anwendet. Dies ist der erste Teil meiner Artikelserie über rationale Punkte auf Abelschen Varietäten über globalen Körpern.

1.1. Abelian schemes

Definition 1.1.1. An Abelian scheme is a smooth proper group scheme \mathscr{A}/X with (geometrically) connected fibres. An Abelian variety is an Abelian scheme over a field. Remark 1.1.2. Since an Abelian variety has a K-rational point, the zero section, one can omit the "geometrically" in the definition. Theorem 1.1.3. An Abelian scheme over a locally Noetherian scheme is a commutative group scheme. Proof. This follows from a rigidity theorem, confer [Tamme], p. 34, Theorem 3.2.1 resp. p. 38, Korollar 3.2.3. \square Theorem 1.1.4. Let X be a Dedekind scheme with function field K and A/K an Abelian variety. Let g: \{\eta\} \hookrightarrow X be the inclusion of the generic point. Then there is a Néron model of A/K, namely a smooth commutative group scheme \mathscr{A}/X with an isomorphism g^* \mathscr{A} \cong A which satisfies the Néron mapping property \mathscr{A} \xrightarrow{~\sim~} g_*g^*\mathscr{A} \cong g_*A as smooth sheaves on X. Proof. See [Bosch-Lütkebohmert-Raynaud], p. 19, Theorem 3. The mapping property means that one can spread out smooth morphisms uniquely from the generic fibre to the whole model. In other words, for Y/X smooth, one has \mathrm{Hom}_X(Y,\mathscr{A}) = \mathrm{Hom}_K(Y_K,A). \square Remark 1.1.5. One cannot hope for having a smooth proper model: By a theorem of Fontaine [Fontaine], there are no nontrivial Abelian schemes over \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z} and some other "small" rings of integers. Theorem 1.1.6. Outside a finite set of closed points, there is a model which is an Abelian scheme. Proof. This follows from [Hindry-Silverman], p. 158, Proposition A.9.1.6 and the fact that a Néron model is proper at the places of good reduction; alternatively, see [Bosch-Lütkebohmert-Raynaud], p. 19, Theorem 3. \square The main goal of our article is: Theorem 1.1.7 (Mordell-Weil). Let K be a global field, i.e. a finite extension of \mathbf{Q} (number field) or a finite extension of \mathbf{F}_p(T) (function field). Let A/K be an Abelian variety. Then the Mordell-Weil group A(K) is a finitely generated Abelian group.

1.2. The weak Mordell-Weil theorem

Theorem 1.2.1 (weak Mordell-Weil). In the situation of Theorem 1.1.7, A(K)/m is a finite Abelian group for every integer m > 0 prime to the characteristic of K. Remark 1.2.2. Theorem 1.2.1 does not imply Theorem 1.1.7: It could be possible that A(K) is m-divisible. We will see that the existence of a height function on A(K) implies the finite generation of the Mordell-Weil group, see Theorem 1.3.1 below. Proof of Theorem 1.2.1. Let X be the rings of integers of K in the number field case, respectively the unique smooth proper geometrically connected curve with function field K in the function field case. Let A/K be an Abelian variety with Néron model \mathscr{A}/X. Note that by the Néron mapping property, one has \mathscr{A}(X) = A(K). Throw out finitely many points of X such that the resulting scheme U satisfies: a) m is invertible on U. b) \mathscr{A}/U is an Abelian scheme. Then there is a short exact sequence of étale sheaves 0 \to \mathscr{A}[m] \to \mathscr{A} \stackrel{m}{\to} \mathscr{A} \to 0. Taking the associated long exact sequence in étale cohomology yields a short exact sequence 0 \to \mathscr{A}(U)/m \to \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U,\mathscr{A}[m]) \to \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U,\mathscr{A})[m] \to 0. We want to prove that the group in the middle, \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U,\mathscr{A}[m]), is finite. This certainly implies the weak Mordell-Weil theorem. Passing to a finite étale cover U' \to U, one can assume \mathscr{A}[m] (a finite étale group scheme killed by n of rank n^{2g}, g = \dim{A}, confer [Tamme], p. 142, Lemma 9.1.11) is constant, \mathscr{A}[m] \cong (\mathbf{Z}/m)^{2g}, and again passing to a finite étale cover, one can assume \mathscr{A}[m] \cong (\mathbf{Z}/m)^{2g} \cong (\mu_m)^{2g}. Let U'/U be a finite étale Galois covering with Galois group G. The low term exact sequence of the Hochschild-Serre spectral sequence \mathrm{H}^p(G,\mathrm{H}^q(U',\Acal[m])) \Rightarrow \mathrm{H}^{p+q}(U,\Acal[m]) gives us the exactness of 0 \to \mathrm{H}^1(G,\mathrm{H}^0(U',\Acal[m])) \to \mathrm{H}^1(U,\Acal[m]) \to \mathrm{H}^0(G,\mathrm{H}^1(U',\Acal[m])) Since G and \mathrm{H}^0(U',\Acal[m]) are finite, \mathrm{H}^1(G,\mathrm{H}^0(U',\Acal[m])) is finite, so it suffices to show that \mathrm{H}^1(U',\Acal[m]) is finite. But one has the short exact Kummer sequence (since m is invertible on U') 1 \to \mu_m \to \mathbf{G}_m \stackrel{m}{\to} \mathbf{G}_m \to 1 which induces a short exact sequence in cohomology 1 \to \mathbf{G}_m(U')/m \to \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U',\mu_m) \to \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U',\mathbf{G}_m)[m] \to 0. But by the two fundamental finiteness theorems in algebraic number theory, the finite generation of the S-unit group and the finiteness of the S-class number, the groups on the left and on the right hand side (\mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U',\mathbf{G}_m) = \mathrm{Pic}(U') = \mathrm{Cl}(U')) are finite, thus so is \mathrm{H}_\mathrm{\acute{e}t}^1(U',\mu_m). \square Remark 1.2.3. In fact, the proof gives us an upper bound for the cardinality of A(K)/m.

1.3. Descent

Theorem 1.3.1 (Descent). Assume M is an Abelian group and m > 1 an integer. Let h: M \to \mathbf{R} be a height function, i.e. h(x-y) \leq h(x) + h(y), \quad h(mx) = mh(x) \qquad \text{for all }x, y \in M. Let S \subseteq M be a set of representatives of M/m such that h(x) \leq C for all x \in S with a constant C \in \mathbf{R}. Then every x \in M can be written as a (finite) sum of y_i \in S and z \in M with h(z) \leq C + 1. Proof. Let x \in M. Choose y_0 \in S and x_0 \in M such that x = y_0 + mx_0. Then h(x_0) = h\Big(\frac{x-y_0}{m}\Big) \leq \frac{1}{m}(h(x) + h(y_0)). Inductively, choose y_l \in S and x_l \in M with x_{l-1} = y_l + mx_l and h(x_l) \leq \Big(\sum_{i=1}^{l+1}\frac{1}{m^i}\Big)\cdot C + \frac{1}{m^{l+1}}h(x). Choose l such that h(x) \leq m^{l+1}. Then by the geometric series h(x_l) \leq \frac{C}{m-1} + 1 \leq C + 1, and x = y_0 + mx_0 = y_0 + m(y_1 + mx_1) = \ldots = y_0 + my_1 + \ldots + m^ly_l + m^{l+1}x_l. \square In the next article LinkHeights we prove Theorem 1.3.2 (Existence of the height pairing and the Northcott property). Let A/K be an Abelian variety over a global field K. Then there is a height function h: A(K) \to \mathbf{R} as in Theorem 1.3.1 satisfying the Northcott property, i.e. for all C the set of points with height bounded from above by C is finite. This implies the Mordell-Weil theorem Theorem 1.1.7 by Theorem 1.3.1 and Theorem 1.2.1.

References

[Bombieri-Gubler] Heights in Diophantine Geometry [Bosch-Lütkebohmert-Raynaud] Néron models [Fontaine] Il n'y a pas de variété abélienne sur Z, Invent. Math. 81 (1985), 515–538 [Hindry-Silverman] Diophantine Geometry: An Introduction [Milne] Étale Cohomology [Silverman] The Arithmetic of Elliptic Curves [Tamme] Preprintreihe Vorlesung über Abelsche Schemata I wwwmath.uni-muenster.de/sfb/about/publ/heft433.ps 1. Teil: "The weak Mordell-Weil theorem and descent" LinkThe weak Mordell-Weil theorem and descent 2. Teil: "Heights" LinkHeights 3. Teil: "Calculating the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields" LinkCalculation of the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields
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The weak Mordell-Weil theorem and descent [von rofler]  
1. In diesem Artikel beweisen wir den schwachen Satz von Mordell-Weil und wie er mit einem Abstiegsargument den Satz von Mordell-Weil impliziert. Unser Ziel ist es, einen Beweis des Satzes von Mordell-Weil für Abelsche Varietäten über globalen Körpern zu
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"Mathematik: The weak Mordell-Weil theorem and descent" | 9 Comments
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Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: Slash am: Sa. 09. August 2014 22:59:25
\(\begingroup\)Irgendetwas stimmt mit meinem Browser nicht. Bei mir wird der Artikel in Englisch angezeigt.\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: Wauzi am: So. 10. August 2014 00:54:43
\(\begingroup\)Geht mir genauso. Schade um den Artikel.\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: Ex_Mitglied_5557 am: So. 10. August 2014 10:20:15
\(\begingroup\)Die Sprache dürfte hier viel weniger eine Hürde darstellen als das vorausgesetzte Wissen, dass wohl schon einige Spezial-Vorlesungen umfasst. Insofern würde ich mich sehr freuen, wenn es zu diesem Artikel auch ein "Prequel" geben könnte, was z.B. eine Einführung in étale Kohomologie beinhalten könnte. :)\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: rofler am: So. 10. August 2014 11:20:08
\(\begingroup\)Man muss eigentlich nur (?) wissen, dass eine kurze exakte Sequenz étaler Garben eine lange exakte Folge in der Kohomologie induziert, und dass darstellbare Garben fpqc-, also insbesondere étale Garben sind.\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: syngola am: So. 10. August 2014 18:06:11
\(\begingroup\)Hi, ich bin kein Experte in dem Fachgebiet, aber mir fehlt doch einiges in dem Artikel. Ich vermisse vor allem eine Erklaerung, was denn jetzt die geballte Macht der arithmetisch-algebraischen Geometrie und étalen Kohomologie ueberhaupt ist. Das bleibt voellig im Dunkeln (es wuerde mich daher freuen, wenn Du das hier kurz kommentieren koenntest?). Gruss, Peter \(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: Martin_Infinite am: So. 10. August 2014 19:25:34
\(\begingroup\)@rofler: Gut geschriebener Artikel. Danke dafür. Ich habe zwei Fragen zum Beweis von weak Mordell-Weil: 1) Wieso ist $m : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ Epi? 2) Wieso reicht es zu zeigen, dass $\matcal{A}(U)/m$ endlich ist? @Slash, Wauzi: Fast alle mathematischen Veröffentlichungen sind ohnehin auf Englisch. Die Sprache sollte keine Hürde zum Verständnis darstellen. Ein Artikel in deutscher Sprache wäre natürlich trotzdem schön. Immerhin ist die Einleitung auf Deutsch. @cyrix: Für eine Einführung in die étale Kohomologie ist das Buch von Tamme, "Einführung in die étale Kohomologie" ganz empfehlenswert. Offenbar werden die Grundbegriffe bei diesem Artikel vorausgesetzt. @syngola: Das ergibt sich aus dem Beweis, würde ich behaupten. Die kohomologischen Methoden sind standard (auch in anderen Gebieten), aber die Vorteile an der étalen Topologie sind u.a. die große Flexibilität bei der Wahl von Überdeckungen (z.B. bei der Exaktheit der Kummer-Sequenz) und die Endlichkeitsresultate, die dann etwa aus der algebraischen Zahlentheorie kommen.\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: ZetaX am: So. 10. August 2014 19:43:35
\(\begingroup\)Ich bin leider noch immer nicht dazu gekommen, den Artikel zu lesen. Habe ich aber die nächsten Tage noch vor. Als grobe Erläuterung der etalen Kohomologie könnte man kurz erklären, dass es "sowas wie singuläre Kohomologie" ist. Das ist die "Definition" die ich meistens heranziehe, wenn ich Leuten die Beweisidee der Weilvermutungen erkläre. Für die wichtigsten Aspekte könnte es auch hier reichen.\(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 10. August 2014 20:40:38
\(\begingroup\)Es ist jetzt nicht so, dass ich den Artikel verstehen würde, wenn er auf Deutsch wäre, aber ich verstehe nicht, warum ein deutscher Muttersprachler (nehme ich jetzt mal an?) in einem deutschsprachigen Forum, das wohl kaum von Personen aufgesucht wird, die nicht der deutschen Sprache mächtig sind, einen Artikel in Englisch schreibt. Ich meine wozu das ganze, hat das irgendeinen Sinn? Verstehen könnte ich es, wenn der Artikel nicht nur hier auftaucht, sondern auch wo anders, in diesem Fall ziehe ich den Einwand zurück. \(\endgroup\)
 

Re: The weak Mordell-Weil theorem and descent
von: rofler am: Mo. 11. August 2014 10:53:13
\(\begingroup\)@Martin_Infinite: Danke. 1) folgt aus [Milne], Étale Cohomology, p. 67, Exercise II.2.19 (a) => (c) ($m$ ist étale (und surjektiv) wegen $m$ invertierbar auf $U$, das steht vermutlich in [Tamme] oder [Mumford], Abelian varieties oder [Milne], Abelian varieties in: [Cornell-Silverman]) 2) Nach der Néronschen Abbildungseigenschaft ist $\mathcal{A}(U) = A(K)$. @ZetaX: Für $\mathbf{Q}_\ell$-Koeffizienten, also $\mathrm{H}^q(X,\mathbf{Q}_\ell) = \varprojlim_n\mathrm{H}^q(X,\mathbf{Z}/\ell^n) \otimes \mathbf{Q}_\ell$ und $X$ eine glatte projektive Varietät über einem separabel abgeschlossenen Körper ist étale Kohomologie tatsächlich ein Analogon zur singulären Kohomologie. In diesem Artikel kommen aber andere Koeffizienten vor.\(\endgroup\)
 

 
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