Mathematik: Was ist ein Schema? Teil 4
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Mathematik

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Was ist ein Schema?

Der Erfinder der Schematheorie und zugleich einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Alexander Grothendieck, ist kürzlich verstorben (MP/201162). Dies möchte ich zum Anlass nehmen, etwas über die funktorielle Sichtweise von Schemata zu schreiben. In den 60er Jahren hatte sich die geometrische Sichtweise zwar bereits durchgesetzt, aber Grothendieck selbst hat beim Buffalo Colloquium 1973 die Einfachheit und Natürlichkeit der funktoriellen Sichtweise betont und außerdem bedauert, dass es kaum Lehrbücher gibt, welche die funktorielle Sichtweise erklären und benutzen. Daran hat sich bis heute leider nichts verändert. Wir werden in diesem Artikel zeigen, dass die funktorielle Sichtweise eine viel prägnantere Definition von Schemata und ihren Morphismen bietet. Die Existenz von Faserprodukten geht sehr fix. Wir besprechen außerdem projektive Schemata und quasi-kohärente Moduln in der funktoriellen Sichtweise. Dieser Artikel ist relativ elementar - es wird lediglich etwas Ringtheorie vorausgesetzt und man muss auch keine Kategorientheorie kennen - und unabhängig von den vorherigen Teilen lesbar, welche sich auf die geometrische Sichtweise konzentriert hatten.


1. R-Funktoren

In der algebraischen Geometrie möchte man den Lösungsraum eines polynomiellen Gleichungssystems geometrisch beschreiben. Ein einfaches Beispiel ist die polynomielle Gleichung x^2=y^3. Doch das Verhalten der Lösungsmenge hängt stark davon ab, wo wir unsere Lösungen eigentlich suchen. In \mathds{C} hat x^2=y^3 die triviale Lösung (0,0) und für jedes feste y \neq 0 genau zwei Lösungen (\pm \sqrt{y^3},y). In \mathds{Z} sieht das allerdings anders aus, weil wir da nicht uneingeschränkt Wurzeln ziehen können. Wir können dann aber mit Hilfe der Primfaktorzerlegung einsehen, dass die Lösungen durch x=t^3, y=t^2 parametrisiert sind. Bei endlichen Körpern \mathds{F}_p muss man wieder anders vorgehen (man kann zeigen, dass es hier genau p Lösungspaare gibt), wenngleich natürlich jede ganzzahlige Lösung auch eine Lösung modulo p liefert (aber nicht umgekehrt). Allgemeiner kann man sich fragen, wie die Lösungsmengen für verschiedene Koeffizientenringe miteinander zusammenhängen. Wir können ein polynomielles Gleichungssystem, wenn es Koeffizienten in einem kommutativen Ring R hat, über jeder kommutativen R-Algebra A betrachten. Die Idee eines Schemas ist nun, alle diese Lösungsmengen in einem einzelnen Objekt zusammenzufassen. Die Lösungen mit Werten in A nennt man die A-wertigen Punkte des Schemas. Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Ein R-Funktor X ordnet jeder kommutativen R-Algebra A eine Menge X(A) zu. Wir nennen X(A) die Menge der A-wertigen Punkte von X. Außerdem soll jedem Homomorphismus von kommutativen R-Algebren \phi : A \to B eine Abbildung X(\phi) : X(A) \to X(B) zugeordnet werden. Es soll dabei gelten: X(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{X(A)}, und für zwei Homomorphismen \phi : A \to B, \psi : B \to C sei X(\psi \circ \phi) = X(\psi) \circ X(\phi). Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir s|_B := X(\phi)(s) für s \in X(A), sofern \phi aus dem Kontext klar ist. Die Leser, die mit Kategorien und Funktoren vertraut sind, erkennen natürlich, dass ein R-Funktor nichts anderes als ein Funktor von der Kategorie der kommutativen R-Algebren in die Kategorie der Mengen ist. Beispiel. Es sei P eine kommutative R-Algebra. Dann ist X=\hom_R(P,-) ein R-Funktor, definiert durch X(A) := \hom_R(P,A) und X(\phi) := \phi_* := (f \mapsto \phi \circ f). Wenn zum Beispiel P=R[T_1,\dotsc,T_n] eine Polynomalgebra ist, dann ist X(A) \cong |A|^n, wobei |A| die unterliegende Menge der R-Algebra A bezeichnet. Wir nennen \mathds{A}^n_R := \hom_R(R[T_1,\dotsc,T_n],-) den n-dimensionalen affinen Raum über R. Beispiel. Hat man allgemeiner ein polynomielles Gleichungssystem f_1(T_1,\dotsc,T_n)=\dotsc=f_r(T_1,\dotsc,T_n)=0 über R, so können wir die kommutative R-Algebra P = R[T_1,\dotsc,T_n]/(f_1,\dotsc,f_r) betrachten und der zugehörige R-Funktor identifiziert sich nach dem Homomorphiesatz mit A \mapsto \{a \in |A|^n : \forall i (f_i(a_1,\dotsc,a_n)=0)\}, d.h. mit der Menge der Lösungen des Gleichungssystems über A. Definition. Ein Morphismus von R-Funktoren f : X \to Y besteht aus Abbildungen f(A) : X(A) \to Y(A) für alle kommutativen R-Algebren A, sodass folgende Kompatibilität besteht: Ist \phi : A \to B ein Homomorphismus, so kommutiert das Diagramm \xymatrix{X(A) \ar[r]^{f(A)} \ar[d]_{X(\phi)} & Y(A) \ar[d]^{Y(\phi)} \\ X(B) \ar[r]^{f(B)} & Y(B)} Ein Isomorphismus \alpha sei wie üblich ein invertierbarer Morphismus; das bedeutet dass die Abbildungen \alpha(A) bijektiv sind (für alle A). Wenn alle \alpha(A) injektiv sind, nennen wir \alpha injektiv und X einen Unterfunktor von Y (bezüglich \alpha). Definition. Einen R-Funktor, der isomorph ist zu einem R-Funktor der Form \hom_R(P,-) für eine Algebra P, nennen wir darstellbar (durch P). Beispiel. Der R-Funktor X \subseteq \mathds{A}^3_R definiert durch X(A) = \{(a,b,c) \in |A|^3 : a^n+b^n=c^n\} ist darstellbar, nämlich durch P=R[T_1,T_2,T_3]/(T_1^n+T_2^n-T_3^n). Der Funktor \mathrm{Nil} \subseteq \mathds{A}^1_R definiert durch \mathrm{Nil}(A) = \{\text{nilpotente Elemente von } A \} ist allerdings nicht darstellbar (wenn R \neq 0) (Übungsaufgabe). Yoneda-Lemma. Sei P eine kommutative R-Algebra und X ein R-Funktor. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen der Menge der Morphismen \hom_R(P,-) \to X und der Menge X(P). Insbesondere gibt es eine natürliche Bijektion zwischen den Morphismen von Funktoren \hom_R(P,-) \to \hom_R(P',-) und den Morphismen von R-Algebren P' \to P. Beweis. (Skizze) Ein Morphismus f : \hom_R(P,-) \to X liefert eine Abbildung f(P) : \hom_R(P,P) \to X(P), die wir bei \mathrm{id}_P auswerten können. Umgekehrt liefert ein Element u \in X(P) den Morphismus f definiert durch f(A) : \hom_R(P,A) \to X(A), f(A)(\phi) := X(\phi)(u). Man überzeugt sich leicht, dass diese Zuordnungen zueinander invers sind. \square Definition. Seien f : X \to S und g : Y \to S zwei Morphismen von R-Funktoren. Das Faserprodukt X \times_S Y ist der R-Funktor mit (X \times_S Y)(A) := X(A) \times_{S(A)} Y(A) := \{(u,v) \in X(A) \times Y(A) : f(u)=g(v) \in S(A)\}. Für einen Homomorphismus A \to B sei (u,v)|_B := (u|_B,v|_B). Satz. Das Faserprodukt von darstellbaren Funktoren ist ebenfalls darstellbar. Beweis. Seien \hom_R(B,-) \to \hom_R(A,-) und \hom_R(C,-) \to \hom_R(A,-) zwei Morphismen. Nach dem Yoneda-Lemma entsprechen sie Homomorphismen von R-Algebren A \to B und A \to C. Wir können das Tensorprodukt B \otimes_A C konstruieren, welches die Struktur einer kommutativen R-Algebra trägt. Wenn T eine kommutative R-Algebra ist, so entsprechen Homomorphismen B \otimes_A C \to T auf natürliche Weise den Paaren von Homomorphismen B \to T und C \to T, die "auf" A übereinstimmen. Das besagt gerade, dass das Faserprodukt \hom_R(B,-) \times_{\hom_R(A,-)} \hom_R(C,-) zu \hom_R(B \otimes_A C,-) isomorph ist. \square Bemerkung. Die Kategorie der R-Funktoren, wie sie hier definiert wurde, ist zu groß, sodass einige Konstruktionen damit den mengentheoretischen Rahmen sprengen würden. Zum Beispiel ist die Klasse der Morphismen zwischen zwei R-Funktoren nicht unbedingt eine Menge. Um das zu verhindern, kann man in der Definition eines R-Funktors X noch ergänzen, dass X ein kleiner Kolimes von darstellbaren Funktoren ist. Das bedeutet insbesondere: Es gibt eine Menge M von kommutativen R-Algebren, sodass gilt: Wenn A eine beliebige kommutative R-Algebra und s ein A-wertiger Punkt von X ist, so gibt es eine Algebra B in M und einen Homomorphismus B -> A, sodass s im Bild von X(B) -> X(A) enthalten ist.

2. Garben

Definition. Sei X ein R-Funktor. Wir nennen X eine Garbe, wenn folgendes gilt: Sei A eine beliebige kommutative R-Algebra und (f_i)_{i \in I} eine Familie von Elementen in A, die als Ideal A erzeugen (d.h. es gibt g_i \in A mit \sum_i g_i f_i=1). Wir betrachten die Lokalisierungen A[f_i^{-1}] bzw. A[f_i^{-1} f_j^{-1}]. Wir haben natürliche Abbildungen A \to A[f_i^{-1}] sowie A[f_i^{-1}] \to A[f_i^{-1} f_j^{-1}] bzw. A[f_j^{-1}] \to A[f_i^{-1} f_j^{-1}]. Wir erhalten damit ein Diagramm von Mengenabbildungen X(A) \to \prod_{i \in I} X(A[f_i^{-1}]) \rightrightarrows \prod_{i,j \in I} X(A[f_i^{-1} f_j^{-1}]). Damit X eine Garbe ist, verlangen wir, dass dieses Diagramm exakt ist, was bedeutet, dass die Abbildung links injektiv ist und das Bild dieser Injektion genau die Übereinstimmungsmenge der beiden Abbildungen rechts ist. Formulieren wir das aus: (1) Wenn s,t \in X(A) mit s|_{A[f_i^{-1}]} = t|_{A[f_i^{-1}]} für alle i, dann gilt s = t. (2) Wenn s_i \in X(A[f_i^{-1}]) für alle i mit s_i|_{A[f_i^{-1} f_j^{-1}]} = s_j|_{A[f_i^{-1} f_j^{-1}]} für alle i,j, so gibt es ein s \in X(A) mit s|_{A[f_i^{-1}]}=s_i für alle i. (Dieses s ist eindeutig wegen (1)). Wenn (f_i) das Ideal A erzeugen, dann tut dies bereits eine endliche Teilfamilie. Es reicht dann außerdem, die Garbenbedingungen für diese endliche Teilfamilie zu prüfen. Bemerkung: In der geometrischen Definition von Schemata (die wir hier nicht voraussetzen) entsprechen die A[f_i^{-1}] gerade den basis-offenen Teilmengen D(f_i) von \mathrm{Spec}(A) und die Bedingung, dass die f_i das Ideal A erzeugen, entspricht gerade \bigcup_{i \in I} D(f_i)=\mathrm{Spec}(A). Man erhält also den üblichen Garbenbegriff. Satz. Jeder darstellbare Funktor ist eine Garbe. Beweis. Es reicht (mit obigen Notationen) zu zeigen, dass das Diagramm von Ring-Homomorphismen A \to \prod_{i \in I}A[f_i^{-1}] \rightrightarrows \prod_{i,j \in I} A[f_i^{-1} f_j^{-1}] exakt ist; denn dann können wir den Funktor \hom_R(P,-) anwenden und die Exaktheit bleibt erhalten, sodass also \hom_R(P,-) eine Garbe wird. Wir dürfen annehmen, dass I endlich ist. Wir zeigen zunächst (1): Seien a,b \in A derart, dass \frac{a}{1}=\frac{b}{1} in A[f_i^{-1}] für alle i. Es gibt dann ein n_i \geq 0 mit f_i^{n_i} a = f_i^{n_i} b. Die f_i^{n_i} erzeugen ebenfalls das Ideal A. Daher könnnen wir g_i \in A finden mit \sum_i g_i f_i^{n_i}=1. Damit sehen wir a=b. Zum Nachweis von (2): Seien s_i=\frac{a_i}{f_i^{n_i}} \in A[f_i^{-1}] Elemente mit s_i|_{A[f_i^{-1} f_j^{-1}]} = s_j|_{A[f_i^{-1} f_j^{-1}]}, d.h. es gilt \frac{a_i}{f_i^{n_i}}=\frac{a_j}{f_j^{n_j}} in A[f_i^{-1} f_j^{-1}]. Es gibt ein n \geq 0 (wegen der Endlichkeit o.E. von i,j unabhängig), sodass für alle i,j die Gleichung (f_i f_j)^n f_j^{n_j} a_i = (f_i f_j)^n f_i^{n_i} a_j in A besteht. Beachte s_i = \frac{a_i f_i^n}{f_i^{n+n_i}} und f_j^{n+n_j} (a_i f_i^n)=f_i^{n+n_i} (a_j f_j^n). Nach dieser neuen Darstellung dürfen wir also f_j^{n_j} a_i = f_i^{n_i} a_j annehmen. Finde Elemente g_i \in A mit 1=\sum_i g_i f_i^{n_i}. Dann gilt also für alle j, dass a_j=\sum_i g_i f_i^{n_i} a_j=\sum_i g_i f_j^{n_j} a_i = f_j^{n_j} s mit s:=\sum_i g_i a_i \in A, und damit \frac{s}{1} = s_j in A[f_j^{-1}] für alle j. \square Bemerkung. Genauso zeigt man: Ist M ein A-Modul, so ist das Diagramm von A-Modul-Homomorphismen M \to \prod_{i \in I} M[f_i^{-1}] \rightrightarrows \prod_{i,j \in I} M[f_i^{-1} f_j^{-1}] exakt. Das wird uns noch nützlich sein. Satz. Faserprodukte von Garben sind ebenfalls Garben. Den unschwierigen Beweis lassen wir weg.

3. Offene Unterfunktoren

Definition. Sei P eine kommutative R-Algebra und I \subseteq P ein Ideal. Wir definieren für kommutative R-Algebren A die Menge \hom_R(P,A)_I := \{\alpha \in \hom_R(P,A) : \alpha(I)A=A\}. Für Homomorphismen \phi : A \to B schränkt sich \phi_* : \hom_R(P,A) \to \hom_R(P,B) zu einer Abbildung \phi_* : \hom_R(P,A)_I \to \hom_R(P,B)_I ein. Wir erhalten daher einen R-Funktor \hom_R(P,-)_I. Wir nennen ihn den offenen Unterfunktor von \hom_R(P,-) bezüglich I. Wir nennen den Morphismus \hom_R(P,-)_I \to \hom_R(P,-) bzw. jeden dazu isomorphen Morphismus eine offene Immersion. Ein wichtiges Beispiel ist wenn I=(f) ein Hauptideal ist. Dann ist \hom_R(P,A)_I = \{\alpha \in \hom_R(P,A) : \alpha(f) \in A^{\times}\} \cong \hom_R(P[f^{-1}],A). Es gilt also \hom_R(P,-)_{(f)} \cong \hom_R(P[f^{-1}],-). (Im allgemeinen müssen offene Unterfunktoren allerdings nicht darstellbar sein.) Nachdem wir nun wissen, was offene Unterfunktoren von darstellbaren Funktoren sind, dehnen wir dieses Konzept mit Hilfe von Faserprodukten einfach aus: Definition. Ein Morphismus von R-Funktoren U \to X heißt offene Immersion (und wir nennen U einen offenen Unterfunktor von X), wenn für jeden darstellbaren R-Funktor Y und jeden Morphismus Y \to X der kanonische Morphismus U \times_X Y \to Y eine offene Immersion im bereits definierten Sinne ist. Wir müssen uns noch überlegen, dass die beiden Definitionen äquivalent sind wenn X darstellbar ist. Die eine Richtung ist trivial (nimm Y=X). Zur anderen Richtung nehmen wir an, dass X=\hom_R(P,-) und U=\hom_R(P,-)_I für ein Ideal I \subseteq P. Ein Morphismus Y=\hom_R(Q,-) \to X entspricht einem Homomorphismus \beta : P \to Q. Das Faserprodukt U \times_X Y ordnet einer kommutativen R-Algebra A die Menge der Homomorphismen \alpha : Q \to A zu, sodass P \to Q \to A in U(A) liegt, d.h. \alpha(\beta(I))A=A. Definieren wir also J=\beta(I)Q, so sehen wir U \times_X Y \cong \hom_R(Q,-)_J. Lemma. Offene Immersionen sind unter Faserprodukten stabil: Ist U \to X eine offene Immersion und Y \to X ein beliebiger Morphismus, so ist U \times_X Y \to Y eine offene Immersion. Beweis. Sei Z ein darstellbarer Funktor und Z \to Y ein Morphismus. Dann ist (U \times_X Y) \times_Y Z \cong U \times_X Z \to Z eine offene Immersion, weil U \to X eine offene Immersion ist. \square Satz. Sei U ein offener Unterfunktor von einer Garbe X. Dann ist auch U eine Garbe. Beweis. Es sei zunächst X=\hom_R(P,-) darstellbar, also o.E. U = \hom(P,-)_I für ein Ideal I \subseteq P. Wir müssen zeigen, dass U eine Garbe ist. Weil X eine Garbe ist, reicht es zu zeigen: Sind f_i \in A Elemente, die A als Ideal erzeugen und ist \alpha \in X(A) mit \alpha|_{A[f_i^{-1}]} \in U(A[f_i^{-1}]) für alle i, so ist \alpha \in U(A). Nun, es ist \alpha : P \to A ein Homomorphismus und für das Ideal J := \alpha(I)A von A gilt nach Annahme J[{f_i}^{-1}] = A[f_i^{-1}] für alle i. Mit der exakten Sequenz aus Abschnitt 2 folgt daher J=A, und damit die Behauptung. Wenn nun X nicht darstellbar ist, so benutzen wir das Yoneda-Lemma und die Definition eines offenen Unterfunktors, um die Behauptung auf den Spezialfall zurückzuführen (Übungsaufgabe). \square Bemerkung. Wenn I \subseteq P ein Ideal ist, dann nennen wir \hom_R(P/I,-) \cong \{\alpha \in \hom_R(P,-) : \alpha|_I = 0\} den durch I gegebenen abgeschlossenen Unterfunktor von \hom_R(P,-). Wie oben können wir durch Faserprodukte dann auch allgemeiner abgeschlossene Unterfunktoren von einem beliebigen R-Funktor definieren. Abgeschlossene Unterfunktoren von Garben sind ebenfalls Garben. Abgeschlossene Immersionen sind unter Faserprodukten stabil. Definition. Eine Familie von Morphismen f_i : X_i \to X heißt überdeckend, wenn für jede R-Algebra K, die zugleich ein Körper ist, die Abbildung \coprod_i X_i(K) \to X(K) surjektiv ist, d.h. X(K) = \bigcup_i \mathrm{im}(f_i(K)). Die Annahme, dass K ein Körper ist, spielt hier eine wichtige Rolle; wir werden das später noch sehen.

4. Schemata

Definition. Ein R-Schema ist ein R-Funktor X mit den folgenden beiden Eigenschaften: (1) X ist eine Garbe. (2) Es gibt eine Familie von darstellbaren R-Funktoren X_i mit offenen Immersionen X_i \to X, die überdeckend sind. Ein Morphismus von Schemata ist einfach ein Morphismus der unterliegenden Funktoren. Salopp gesagt ist ein Schema also eine Sammlung von Punkten, die sich verkleben lassen, und die lokal durch Lösungen von polynomiellen Gleichungssystemen gegeben sind. Beispiel. Jeder darstellbare R-Funktor X=\hom_R(P,-) ist ein R-Schema. Denn (1) haben wir bereits gezeigt und (2) ist klar, denn die Identität X \to X ist stets eine offene Immersion (man nehme das Ideal I=(1)). Wir schreiben \hom_R(P,-) auch als \mathrm{Spec}(P) und nennen es das zu P gehörige affine Schema. Nach dem Yoneda-Lemma entsprechen die Morphismen von affinen Schemata \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A) bijektiv den Homomorphismen von Algebren A \to B. Beispiel. Betrachte den durch das Ideal (T_1,T_2) gegebenen offenen Unterfunktor X von \mathbb{A}^2_R =\mathrm{Spec}(R[T_1,T_2]). Konkret ist also X(A) die Menge der (a,b) \in |A|^2, die das Ideal A erzeugen. Überlegen wir uns, dass X ein Schema ist: Es folgt (1) daraus, dass \mathbb{A}^2_R eine Garbe ist. Für (2) betrachte die durch die Ideale (T_1) bzw. (T_2) gegebenen offenen Unterfunktoren X_1 bzw. X_2 von X. Konkret ist also X_1(A) = \{(a,b) \in |A|^2 : a \in A^\times\} und X_2(A) = \{(a,b) : b \in A^\times\}. Es ist X_1 \cong \hom_R(R[T_1^{\pm 1},T_2],-) darstellbar, analog X_2. Die offenen Immersionen X_i \to X sind überdeckend, denn falls K ein Körper ist und a,b \in |K|^2 mit (a,b)=K (erzeugtes Ideal), so muss bereits a oder b invertierbar sein, da ansonsten a=b=0 und damit (a,b)=0. Es ist also X ein Schema. Man kann zeigen, dass X nicht affin ist. Allgemeiner gilt: Satz. Sei X ein Schema und U ein offener (bzw. abgeschlossener) Unterfunktor von X. Dann ist U ein Schema. Der Beweis ist eine gute Übungsaufgabe. Satz. Das Faserprodukt von Schemata (gebildet in der Kategorie der R-Funktoren) ist ebenfalls ein Schema. Beweis. Seien f : X \to S und g : Y \to S Morphismen von Schemata. Es ist X \times_S Y eine Garbe, weil es X,Y,S sind. Zur Überdeckungs-Eigenschaft: Sei \{S_i \to S\} eine offene affine Überdeckung, d.h. eine überdeckende Familie von offenen Immersionen, wobei jeweils S_i affin ist. Dann erhalten wir die offene Überdeckung \{(X \times_S Y) \times_S S_i \to X \times_S Y\}, wobei (X \times_S Y) \times_S S_i \cong (X \times_S S_i) \times_{S_i} (Y \times_S S_i). Wenn wir wüssten, dass dies jeweils ein Schema ist, dann also auch X \times_S Y. Wir dürfen daher annehmen, dass S affin ist. Aber mit einem ähnlichen Argument können wir auch annehmen, dass X affin ist: Eine offene affine Überdeckung \{X_i \to X\} liefert eine offene Überdeckung \{X_i \times_S Y \to X \times_S Y\}, und es reicht die X_i \times_S Y als Schemata zu erkennen. Es sei also o.E. X affin, und analog o.E. Y affin. Dann folgt die Behauptung aber aus dem bereits bekannten Satz, dass das Faserprodukt von darstellbaren Funktoren wieder darstellbar ist. \square Bemerkung. Man muss sich nicht auf mengenwertige Funktoren einschränken. Zum Beispiel ist ein Gruppenschema ein R-Schema X zusammen mit einer Gruppenstruktur auf den Mengen X(A), sodass für jeden Homomorphismus A \to B die induzierte Abbildung X(A) \to X(B) ein Gruppenhomomorphismus ist. Ein typisches Beispiel ist das Gruppenschema \mathrm{GL}_n, welches A die Gruppe der invertierbaren n \times n-Matrizen über A zuordnet. Das unterliegende Schema ist hierbei affin, nämlich das Spektrum von R[\{T_{ij}\}_{1 \leq i,j \leq n},\mathrm{det}(T_{ij})^{-1}]. Elliptische Kurven sind Beispiele für nicht-affine Gruppenschemata.

5. Projektive Schemata

In diesem Abschnitt führen wir projektive Schemata ein, welche wohl die wichtigsten (nicht-affinen) Schemata darstellen. Wenn A ein kommutativer Ring ist, so heißt ein A-Modul \mathcal{L} invertierbar, wenn es einen A-Modul \mathcal{K} gibt mit \mathcal{L} \otimes \mathcal{K} \cong A. Man schreibt \mathcal{K} = \mathcal{L}^{\otimes -1}. Man kann zeigen, dass dies damit äquivalent ist, dass es eine Familie von Elementen (f_i) in A gibt, die das Ideal A erzeugen, sodass die Lokalisierung \mathcal{L}[f_i^{-1}] jeweils ein freier A[f_i^{-1}]-Modul vom Rang 1 ist. Man sagt auch kurz, dass \mathcal{L} lokalfrei vom Rang 1 ist. Definition. Sei E ein endlich-erzeugter R-Modul. Wir definieren den R-Funktor \mathds{P}(E) wiefolgt: Für eine kommutative R-Algebra A sei \mathds{P}(E)(A) die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren (\mathcal{L},s), wobei \mathcal{L} ein invertierbarer A-Modul ist und s : E \otimes_R A \to \mathcal{L} ein surjektiver Homomorphismus von A-Moduln ist. Wir identifizieren (\mathcal{L},s) mit (\mathcal{L}',s'), wenn es einen Isomorphismus \alpha : \mathcal{L} \cong \mathcal{L}' gibt mit \alpha s = s'. Für einen Homomorphismus \phi : A \to B sei \mathds{P}(E)(A) \to \mathds{P}(E)(B) durch (\mathcal{L},s) \mapsto (\mathcal{L} \otimes_A B,s \otimes_A B) definiert. Wenn zum Beispiel A=R=K ein Körper ist, dann sind invertierbare K-Moduln bereits frei vom Rang 1 und daher ist \mathds{P}(E)(K) isomorph zur Menge der surjektiven Homomorphismen von K-Moduln E \to K. Diese entsprechen wiederum den 1-kodimensionalen Unterräumen von E. Der "klassische" projektive Raum über E besteht aus den 1-dimensionalen Unterräumen von E. Der Unterschied hat technische Gründe und verschwindet außerdem nach Wahl einer Basis von E. Satz. Es ist \mathds{P}(E) ein R-Schema. Beweis. Wir werden hier nicht zeigen, dass \mathds{P}(E) eine Garbe ist (man benutzt dabei i.W. die exakte Sequenz aus Abschnitt 2 für den Modul \mathcal{L}), aber wir konstruieren eine offene affine Überdeckung von \mathds{P}(E). Wir wählen dazu ein endliches Erzeugendensystem B von E und konstruieren für b \in E den Unterfunktor \mathds{P}(E)_b bestehend aus den (\mathcal{L},s), für die s(b \otimes 1) \in \mathcal{L} bereits ein Erzeuger ist und folglich A \xrightarrow{b} E \otimes_R A \xrightarrow{s} \mathcal{L} ein Isomorphismus ist. Wir behaupten: (1) Es ist \mathds{P}(E)_b ein affines Schema. (2) Es ist \mathds{P}(E)_b \to \mathds{P}(E) eine offene Immersion. (3) Die offenen Immersionen \mathds{P}(E)_b \to \mathds{P} sind überdeckend. Beweis von (1): Es ist \mathds{P}(E)_b(A) isomorph zur Menge der Äquivalenzklassen von Homomorphismen s : E \to A von R-Moduln mit s(b) \in A^\times, wobei s \sim t wenn s = u \cdot t für ein u \in A^\times. Wir können also stets s mittels s(b)^{-1} s normieren und ändern die Äquivalenzklasse nicht. Es ist daher \mathds{P}(E)_b(A) isomorph zur Menge der Homomorphismen von R-Moduln s : E \to A mit s(b)=1. Diese entsprechen den Homomorphismen von kommutativen R-Algebren \tilde{s} : \mathrm{Sym}(E) \to A mit \tilde{s}(b-1)=0; dabei bezeichnet \mathrm{Sym}(E) die symmetrische Algebra auf E. Wir erkennen daher \mathds{P}(E)_b \cong \mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}(E)/(b-1)). Beweis von (2): Sei \hom_R(A,-) \to \mathds{P}(E) ein Morphismus, d.h. nach dem Yoneda-Lemma ein A-wertiger Punkt (\mathcal{L},s) \in \mathds{P}(E)(A). Betrachten wir das Faserprodukt \hom_R(A,-) \times_{\mathds{P}(E)} \mathds{P}(E)_b. Die B-wertigen Punkte bestehen aus den Homomorphismen \alpha : A \to B mit der Eigenschaft, dass (\mathcal{L} \otimes_A B,s \otimes_A B) in \mathds{P}(E)_b(B) enthalten ist, d.h. A \xrightarrow{b} E \otimes_R A \xrightarrow{s} \mathcal{L} wird nach Tensorieren mit A \to B surjektiv. Nun können wir den zu s dualen Homomorphismus s^{\dagger} : E \otimes_R \mathcal{L}^{\otimes -1} \to A betrachten. Sei I \subseteq A sein Bild. Das Bild von s^{\dagger} \otimes_A B ist dann IB \subseteq B. Das Faserprodukt ist daher zu \hom_R(A,-)_I isomorph und daher ein offener Unterfunktor von \hom_R(A,-). Beweis von (3): Sei K eine kommutative R-Algebra, die zugleich ein Körper ist, und (\mathcal{L},s) \in \mathds{P}(E)(K). Weil K ein Körper ist, gilt \mathcal{L}\cong K und wir dürfen sogar \mathcal{L}=K annehmen. Dann ist E \otimes_R K \to K ein surjektiver Homomorphismus. Es gibt also ein b \in B, welches nicht auf 0 und damit auf eine Einheit geschickt wird. Dann ist (\mathcal{L},s) \in \mathds{P}(E)_b(K). \square Damit ist gezeigt, dass \mathds{P}(E) ein Schema ist. Im Spezialfall E=R^{n+1} erhält man \mathds{P}^n_R := \mathds{P}(R^{n+1}), den n-dimensionalen projektiven Raum über R. Definition. Ein R-Schema X heißt projektiv, wenn es einen endlich-erzeugten R-Modul E gibt zusammen mit einer abgeschlossenen Immersion X \to \mathds{P}(E). Das bedeutet letztendlich, dass wir in der Definition von \mathds{P}(E) noch Relationen für s ergänzen dürfen. Zum Beispiel ist \mathds{P}^2_R der R-Funktor mit A-wertigen Punkten (\mathcal{L},a,b,c), wobei \mathcal{L} ein invertierbarer A-Modul ist und a,b,c \in \mathcal{L} ein Erzeugendensytem bilden. Die Fermat-Kurve (vom Grad n) ist der abgeschlossene Unterfunktor X, bei dem wir noch a^{\otimes n}+b^{\otimes n}=c^{\otimes n} (Gleichung in \mathcal{L}^{\otimes n}) fordern. Dieses projektive Schema wird von drei affinen Schemata überdeckt, wovon das erste etwa (in suggestiver Notation) das Spektrum von R[\frac{b}{a},\frac{c}{a}]/(1+\left(\frac{b}{a}\right)^n = \left(\frac{c}{a}\right)^n) ist. (Die Normierung kommt gerade aus unserem Beweis von (1) heraus.) Bemerkung. Faserprodukte von projektiven R-Schemata sind ebenfalls projektive R-Schemata. Dazu reicht es zu zeigen, dass es eine abgeschlossene Immersion S : \mathds{P}(E_1) \times \mathds{P}(E_2) \to \mathds{P}(E_1 \otimes E_2) gibt ("Segre-Einbettung"), wobei E_1,E_2 zwei (endlich-erzeugte) R-Moduln sind. Wir definieren S wie folgt: Ein A-wertiger Punkt von \mathds{P}(E_1) \times \mathds{P}(E_2) besteht aus invertierbaren A-Moduln \mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2 und surjektiven Homomorphismen s_1 : E_1 \otimes_R A \to \mathcal{L}_1, s_2 : E_2 \otimes_R A \to \mathcal{L}_2. Durch Tensorieren erhalten wir einen invertierbaren A-Modul \mathcal{L} := \mathcal{L}_1 \otimes_A \mathcal{L}_2 und den surjektiven Homomorphismus s_1 \otimes_A s_2 : (E_1 \otimes_R E_2) \otimes_R A \to \mathcal{L}_1 \otimes_A \mathcal{L}_2 = \mathcal{L}. Damit ist S definiert. Man kann (global) zeigen, dass S injektiv ist und das Bild von S aus den Paaren (\mathcal{L},s) besteht, die der Gleichung s(e_1 \otimes e_2) \otimes s(e'_1 \otimes e'_2) = s(e_1 \otimes e'_2) \otimes s(e'_1 \otimes e_2) in \mathcal{L}^{\otimes 2} genügen. Daraus folgt dann, dass S eine abgeschlossene Immersion ist.

6. Quasi-kohärente Moduln

Definition. Es sei X ein R-Funktor. Ein quasi-kohärenter Modul M auf X ordnet jedem A-wertigen Punkt s \in X(A) einen A-Modul s^* M zu, und jedem Homomorphismus \phi : A \to B einen Isomorphismus von B-Moduln \alpha_{s,\phi} : (s^* M) \otimes_A B \to X(\phi)(s)^* M. Dabei sollen die folgenden Kompatibilitäten gelten: (1) Es sei \alpha_{s,\mathrm{id}_A} der kanonische Isomorphismus s^* M \otimes_A A \cong s^* M. (2) Sind \phi : A \to B, \psi : B \to C zwei Homomorphismen, und s \in X(A), so soll das folgende Diagramm kommutieren: \xymatrix@C=45pt{ (s^* M \otimes_A B) \otimes_B C \ar[r]^-{\cong} \ar[d]_{\alpha_{s,\phi} \otimes_B C} & s^* M \otimes_A C \ar[d]^{\alpha_{s,\psi \phi}} \\ (X(\phi)(s)^* M) \otimes_B C \ar[r]^{\alpha_{X(\phi)(s),\psi}} & (X(\psi \phi)(s))^* M } Auf dem ersten Blick ist das vielleicht etwas kompliziert, aber im Grunde genommen handelt es sich bei einem quasi-kohärenten Modul ganz einfach um eine Ansammlung von A-Moduln, für jeden A-wertigen Punkt, die sich entlang von Homomorphismen A \to B "stetig" verändern. Beispiel. Wenn X=\mathrm{Spec}(A) ein affines Schema ist, so ist ein quasi-kohärenter Modul auf X "dasselbe" wie ein A-Modul (präzise: es gibt eine Äquivalenz von Kategorien). Das Argument ist ähnlich zum Yoneda-Lemma: Einem A-Modul N ordnet man hierbei den quasi-kohärenten Modul zu, der einem B-wertigen Punkt von X d.h. einem Homomorphismus A \to B den B-Modul N \otimes_A B zuordnet. Die Isomorphismen \alpha seien die kanonischen. Für B=A bekommen wir N zurück. Wir können quasi-kohärente Moduln zurückziehen: Definition. Sei f : Y \to X ein Morphismus von R-Funktoren und M ein quasi-kohärenter Modul auf X. Dann ist der Pullback f^* M der folgende quasi-kohärente Modul auf Y: Für einen A-wertigen Punkt s \in Y(A) ist f(s) \in X(A) ein A-wertiger Punkt von X. Wir setzen s^* f^* M := f(s)^* M. Die Definition der Isomorphismen \alpha ist offensichtlich. Bemerkung. Die von gewöhnlichen Moduln bekannten Operationen \bigoplus (direkte Summe) und \bigotimes (Tensorprodukt) lassen sich unmittelbar auf quasi-kohärente Moduln verallgemeinern. Zum Beispiel definiert man s^* (M \otimes N) := s^* M \otimes_A s^* N für A-wertige Punkte s. Dasselbe betrifft Endlichkeitsbedingungen. Zum Beispiel nennen wir M endlich-erzeugt, wenn der gewöhnliche Modul s^* M für alle Punkte s endlich-erzeugt ist. Beispiel. Ein wichtiger quasi-kohärenter Modul auf X ist die Strukturgarbe \mathcal{O}_X, die ganz einfach durch s^* \mathcal{O}_X = A für alle s \in X(A) definiert ist, zusammen mit den kanonischen Isomorphismen A \otimes_A B \cong B. Ein weiteres Beispiel ist der Modul der Differentiale \Omega^1_{X/R}, der allerdings nur für R-Schemata X definiert werden kann. Dabei gilt gerade s^* \Omega^1_{X/R} = \Omega^1_{A/R} für offene Immersionen s : \mathrm{Spec}(A) \to X (allerdings nicht für beliebige Morphismen). Bemerkung. Für einen beliebigen R-Funktor X kann man kaum erwarten, dass es viele quasi-kohärente Moduln gibt. Wenn allerdings X ein gutartiges R-Schema ist (quasi-separiert), so gibt es sogar so viele quasi-kohärente Moduln, dass sich das Schema X aus der Kategorie der quasi-kohärenten Moduln auf X rekonstruieren lässt. Das ist der Rekonstruktionssatz von Gabriel/Rosenberg. Er ist nur der Anfang einer langen Geschichte, bei der man von der Geometrie noch weiter abstrahieren kann und nicht mit den Räumen, nicht mit den Funktoren, sondern mit den Kategorien algebraische Geometrie macht.

7. Schlussbemerkungen

Die funktorielle Definition von Schemata, die hier vorgestellt wurde, ist zwar nicht so sehr geometrisch, bringt aber viele Vorteile mit. Affine Schemata, projektive Schemata, Morphismen von Schemata, Faserprodukte, quasi-kohärente Moduln, Pullback u.v.m. lassen sich mit der funktoriellen Definition äußerst einfach definieren. Und genauso einfach kann man dann damit umgehen. Viele Komplikationen, die bei den geometrischen Definitionen im Detail auftreten, verschwinden ganz einfach. Man kann übrigens ohne großen Aufwand zeigen, dass beide Definitionen von Schemata äquivalent sind. Die funktorielle Sichtweise zahlt sich ebenfalls bei algebraischen Gruppen, Modulräumen sowie natürlichen Verallgemeinerungen von Schemata aus (formelle Schemata, algebraische Räume, algebraische Stacks). Das Gebiet der relativen algebraischen Geometrie, bei der man die symmetrische monoidale Kategorie der R-Moduln, auf der hier alles basiert, durch eine gutartige symmetrische monoidale Kategorie ersetzt, basiert ebenfalls auf der funktoriellen Sichtweise. Die folgenden Quellen benutzen die funktorielle Sichtweise als Grundlage für Schemata: • F. Gaeta, "Introduction to functorial algebraic algebraic geometry", After a summer course by A. Grothendieck, Scan. • Demazure, Gabriel, "Introduction to algebraic geometry and algebraic groups". • Jantzen, "Representations of algebraic groups". • N.P. Strickland, "Formal schemes and formal groups", arXiv:math/0011121. • M. Nieper-Wißkirchen, Vorlesungsskript "Algebraische Geometrie" (WS07-SS08), pdf. In den folgenden Quellen wird die funktorielle Sichtweise zumindest erwähnt: • Grothendieck, Dieudonné, "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas", zweite Version von 1971. • Mumford, "The Red Book of Varieties and Schemes". • Eisenbud, Harris, "The Geometry of Schemes". Vielen Dank an Zaos und Dune fürs Korrekturlesen.

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: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Was ist ein Schema? Teil 4 [von Martin_Infinite]  
Was ist ein Schema?Der Erfinder der Schematheorie und zugleich einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Alexander Grothendieck, ist kürzlich verstorben (MP/201162). Dies möchte ich zum Anlass nehmen, etwas über die funktorielle Sichtweise von Schemata zu schreiben. In den 60er Jahr
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"Mathematik: Was ist ein Schema? Teil 4" | 18 Comments
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Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 08. Februar 2015 14:45:03
\(\begingroup\) Schöner Artikel. Kannst du erklären, wie man analog algebraische Räume und Stacks definiert? Das wäre ein Artikel, auf den ich mich total freuen würde! :)\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: So. 08. Februar 2015 19:10:30
\(\begingroup\)Das würde ich gerne, aber werden algebraische Räume und algebraische Stacks nicht sowieso standardmäßig funktoriell definiert? Hier eine Zusammenfassung der Definitionen (für Details siehe Stacks Project): Ein algebraischer Raum über einem kommutativen Ring $R$ (ähnlich geht der Fall eines Basisschemas) ist ein $R$-Funktor $X$, der drei Bedingungen erfüllt: 1) $X$ ist eine Garbe in der étalen Topologie. Die étale Topologie ist eine Verfeinerung der Zariski-Topologie, welche hier (und auch sonstwo) viel zu schwach ist. Mir ist nicht klar, wie man die Garbenbedingung in der étalen Topologie in reiner kommutativer Algebra formuliert, ohne nur alles künstlich zu übersetzen. Manchmal wird auch die fppf-Topologie genommen. 2) Die Diagonale $\Delta_X : X \to X \times X$ ist relativ darstellbar, d.h. für jedes $R$-Schema $S$ und je zwei $S$-wertige Punkte $x,y \in X(S)$ ist der Funktor, der ein $R$-Schema $T$ auf die Menge der Morphismen $T \to S$ mit $x|_T = y|_T$ schickt, durch ein $R$-Schema darstellbar. 3) Es gibt ein $R$-Schema $P$ zusammen mit einem surjektiven étalen Morphismus $P \to X$. Das bedeutet: Für jedes $R$-Schema $S$ und jeden $S$-wertigen Punkt $S \to X$ ist das Faserprodukt $P \times_X S$ ein $R$-Schema und die Projektion $P \times_X S \to S$ ist ein surjektiver étaler Morphismus von Schemata im üblichen Sinne. Jeder algebraische Raum besitzt eine "étale Präsentation": Wähle $p : P \to X$ wie in 3), setze $R = P \times_X P$. Dann hat man zwei étale Projektionen $p_1,p_2 : R \to P$ und $p$ ist der Differenzkokern von $p_1,p_2$ in der Kategorie der étalen Garben. Umgekehrt kann man aus jeder étalen Äquivalenzrelation auf einem Schema einen algebraischen Raum konstruieren. Wenn man (geometrische) Objekte klassifizieren möchte, ist es oftmals keine gute Idee, die Isomorphie-Relation herauszuteilen. Man sollte sich die Struktur einer Kategorie merken, sofern sie vorhanden ist. Ein Stack ist nun nichts weiter als eine "Garbe mit Werten in Kategorien". Er heißt algebraisch, wenn er durch einen algebraischen Raum "klassifiziert" werden kann. Das auszuformulieren, braucht ein wenig: Ein Prä-Stack $X$ (über $R$) ordnet jedem $R$-Schema $S$ eine kleine Kategorie $X(S)$ zu (nicht nur eine Menge) und jedem Morphismus $S \to T$ einen Funktor $X(T) \to X(S)$, notiert mit $x \mapsto x|_S$ auf Objekten und entsprechnd auf Morphismen. Dabei soll $X(S) \to X(S)$ isomorph zur Identität sein und für Ketten $S \to T \to U$ soll $X(U) \to X(T) \to X(S)$ bis auf Isomorphie mit $X(U) \to X(S)$ übereinstimmen. Genauer gesagt sollen die Isomorphismen von Funktoren zum Datum dazugehören und in einem geeigneten miteinaner kompatibel sein. Der technische Begriff lautet hier Pseudo-Funktor. Ein Prä-Stack heißt Stack (bezüglich der étalen Topologie), wenn folgendes gilt: 1) Sind $x,y \in X(S)$ zwei Punkte, so ist die durch $T \mapsto \hom_{X(T)}(x|_T,y|_T)$ definierte Prägarbe auf der Kategorie der Schemata über $S$ eine Garbe bezüglich der étalen Topologie. Man kann also Morphismen verkleben. 2) Ist $(S_i \to S)$ eine étale Überdeckung und sind $x_i \in X(S_i)$ Punkte zusammen mit Isomorphismen $\phi_{ij} : x_i|_{S_i \times_S S_j} \to x_j|_{S_i \times_S S_j}$, welche die Kozykelbedingung $\begin{tikzcd}[row sep=30pt] \\& x_i|_{S_i \times_S S_j \times_S S_k} \ar{dr}{\phi_{ik}|_{S_i \times_S S_j \times_S S_k}} \ar{dl}[swap]{\phi_{ij}|_{S_i \times_S S_j \times_S S_k}} & \\ x_j|_{S_i \times_S S_j \times_S S_k} \ar{rr}[swap]{\phi_{jk}|_{S_i \times_S S_j \times_S S_k}} && x_k |_{S_i \times_S S_j \times_S S_k} \end{tikzcd}$ erfüllen, so gibt es ein $x \in X(S)$ zusammen mit Isomorphismen $f_i : x|_{S_i} \cong x_i$ mit $f_j|_{S_i \times_S S_j} \circ f_i|_{S_i \times_S S_j}^{-1} = \phi_{ij}$. Man kann also Objekte verkleben. Ein algebraischer Stack ist ein Stack $X$ mit den folgenden drei Eigenschaften: 1) Für jedes Schema $S$ ist $X(S)$ ein Gruppoid, d.h. jeder Morphismus in $X(S)$ ist schon ein Isomorphismus. 2) Die Diagonale $\Delta_X : X \to X \times X$ ist durch algebraische Räume darstellbar, d.h. für jedes Schema $S$ und je zwei Punkte $x,y \in X(S)$ ist die Garbe, welche $T \to S$ auf die Menge der Isomorphismen $x|_T \to y|_T$ schickt, ein algebraischer Raum. 3) Es gibt ein Schema $P$ (oder äquivalent, ein algebraischer Raum) zusammen mit einen surjektiven étalen Morphismus $P \to X$.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: KidinK am: Mo. 16. Februar 2015 11:48:13
\(\begingroup\)Ist mit $A[f_i^{-1}f_j^{-1}]$ die Lokalisierung nach den beiden Elementen $f_i$ und $f_j$ gemeint? Ich bin mir nicht ganz sicher, weil ich ein Komma zwischen den Elementen erwarten würde. So sieht es aus wie ein Produkt dieser beiden (formalen) Elemente. Liebe Grüße, KidinK\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Mo. 16. Februar 2015 13:06:43
\(\begingroup\)@KidinK: Ja, das ist damit gemeint. Oder äquivalent, $A[(f_i f_j)^{-1}]$. Das ist zugleich $A[f_i^{-1}][f_j^{-1}]$.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: matroid am: Mo. 16. Februar 2015 15:50:55
\(\begingroup\)Hinweis: Ich habe die provokanten Kommentare und die darauf sich beziehenden Antworten und Reaktionen gelöscht. Dies habe ich getan, nachdem ich darin eine gezielte und wiederholte Provokation erkannt habe. Gruß Matroid PS: Ich werde diesen Kommentar in 1 oder 2 Tagen auch wieder löschen.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: helmetzer am: Mi. 25. Februar 2015 17:37:50
\(\begingroup\)Ich zitiere aus der Einleitung: "Dieser Artikel ist relativ elementar - es wird lediglich etwas Ringtheorie vorausgesetzt und man muss auch keine Kategorientheorie kennen - und unabhängig von den vorherigen Teilen lesbar, welche sich auf die geometrische Sichtweise konzentriert hatten." Dadurch neugierig gemacht, stellte sich bei mir schon nach kurzem Lesen eine tiefe Frustration ein. Meine Folgerung: Ich erkenne, dass der Artikel eben doch nur mit tiefen Vorkenntnissen sinnvoll zu lesen ist. Also meine Bitte: Schreibt, was ihr wollt, aber verkauft es in der richtigen Verpackung! \(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Do. 26. Februar 2015 12:34:50
\(\begingroup\)Danke für die Kritik. Könntest du bitte sagen, was unverständlich ist und welche Vorkenntnisse deiner Meinung nach, abgesehen von Ringtheorie, nötig sind? Ich kann das anscheinend nicht so gut überblicken. Ich würde dann versuchen, den Artikel verständlicher zu machen!\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: helmetzer am: Di. 03. März 2015 14:39:32
\(\begingroup\)Das kann ich eben nicht, weil das Thema so weit über meinem Level ist, dass es auch nicht hilft, die erste Stelle zu benennen, wo ich nicht mehr folgen kann. Früher oder später verliere ich mich in einer Fülle vollkommen unvertrauter Begriffe. Ich habe ja auch nicht angeregt, den Artikel verständlicher zu machen, sondern am Anfang zu sagen: "Halt, wenn du nicht mit diesem und jenem vertraut bist, hat es für dich voraussichtlich keinen Wert, weiterzulesen!"\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Di. 03. März 2015 14:50:20
\(\begingroup\)Ok. Mein Ziel ist es aber u.a., diese Thematik so elementar wie möglich rüberzubringen, zum Beispiel um viele Leser nicht, wie dich, so schnell zu verlieren. Daher wäre ich sehr daran interessiert, genauer zu verstehen, was den Artikel so schwer verdaulich macht. Das kann (soll!) natürlich auch subjektiv sein. Ich kann auch konkreter fragen: Ist die Definition eines R-Funktors klar? Ist die Motivation dahinter klar formuliert? Welche Begriffe müssen ausführlicher erklärt werden? Wobei ich dazu sagen muss, dass dieser Artikel natürlich nur einen Einblick in die Begriffe der funktoriellen algebraischen Geometrie bietet und keineswegs eine vollständige Einführung ersetzen kann.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 03. März 2015 18:46:04
\(\begingroup\)Hast du Beispiele für algebraische Räume und Stacks? \(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Buri am: Di. 10. März 2015 11:02:52
\(\begingroup\)Hi, ich verstehe die Bedenken von helmetzer. Es heißt ganz am Anfang Leser, die mit Kategorien und Funktoren vertraut sind, erkennen natürlich, dass .... Meiner Meinung nach ist dies aber das Wesen der Sache, und es ist nicht nützlich, dies in einer beiläufigen Bemerkung zu verstecken. Mit anderen Worten: Leute, die das nicht erkennen, brauchen hier überhaupt nicht weiterzulesen. @Martin Ich danke dir sehr für diesen Artikel. Ich wollte das schon immer mal wissen, aber ich sehe es als eine harte Arbeit an, den Artikel so durchzulesen, dass man ihn versteht. Ich bin aber Mathematiker, und betrachte diese harte Arbeit (zu der mich niemand zwingt) somit als Vergnügen. Buri \(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Di. 10. März 2015 11:39:18
\(\begingroup\)@Buri: Mit Leute, die das nicht erkennen, brauchen hier überhaupt nicht weiterzulesen. stimme ich nicht überein. Aber das muss ja ohnehin jeder selbst entscheiden, ob er weiterliest oder nicht. Ich habe einmal eine Vorlesung gehört, in der formale Gruppen als gewisse Funktoren behandelt worden sind, und dabei war es ebenfalls nicht notwendig, allgemeine kategorientheoretische Begriffe einzuführen. Natürlich sehe ich es auch so, dass man mit einer Prise Kategorientheorie diese Begriffe am besten versteht, aber es ist meiner Meinung nach nicht notwendig, um in die funktorielle algebraische Geometrie einzusteigen. Bei einem $R$-Funktor geht es ganz einfach darum, dass man für jede kommutative $R$-Algebra $A$ eine Menge $X(A)$ hat, die man sich als die Lösungsmenge eines "hypothetischen" Gleichungssystems in $A$ vorstellt. Solche Lösungen können außerdem entlang von Homomorphismen $A \to B$ auf natürliche Weise transportiert werden. Das ist viel konkreter und anschaulicher als der allgemeine Funktor-Begriff. Der Grund ist, dass hier nur zwei Kategorien (nämlich $\mathsf{CAlg}_R$ und $\mathsf{Set}$) beteiligt sind, nicht beliebige Kategorien. Ein konkretes Beispiel ist der $R$-Funktor $X(A) := \{(a,b) \in |A| \times |A| : a^2 = b^3 \}$, wobei man für Homomorphismen $\phi : A \to B$ die Abbildung $X(\phi) : X(A) \to X(B)$, $(a,b) \mapsto (\phi(a),\phi(b))$ hat. Dieser $R$-Funktor ist sogar darstellbar (d.h. ein affines $R$-Schema), nämlich durch $R[X,Y]/(X^2-Y^3)$. Ich kann natürlich trotzdem nachvollziehen, dass der Artikel schwierig zu lesen ist. Konstruktive Vorschläge nehme ich gerne entgegen. Und natürlich können (sollen!) auch Fragen gestellt werden.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 10. März 2015 16:29:05
\(\begingroup\)Ist bei der Definition von algebraischen Räumen "2) Die Diagonale $\Delta_X : X \to X \times X$ ist relativ darstellbar," äquivalent zu: Für alle $R$-Schemata $S$ ist $X \times S \to S$ ein Schema? \(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 10. März 2015 16:40:18
\(\begingroup\) Ich meinte: Für alle $R$-Schemata $S$ ist $S \to X$ darstellbar.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Di. 10. März 2015 23:29:48
\(\begingroup\)@Anonymous: Gute Frage. Es ist $\Delta_X$ genau dann relativ darstellbar, wenn für alle Paare von Morphismen $S \rightrightarrows X$ von Schemata $S$ das Faserprodukt $X \times_{(X \times X)} S$, d.h. der Differenzkern $\mathrm{eq}(S \rightrightarrows X)$ darstellbar ist. Ein Morphismus $S \to X$ ist relativ darstellbar, wenn für jedes Schema $T$ und jeden Morphismus $T \to X$ das Faserprodukt $S \times_X T$ darstellbar ist. Spontan erkenne ich keinen Zusammenhang zwischen diesen Bedingungen. Ich bin da aber auch kein Experte und bin mir nicht sicher - vielleicht haben diese Bedingungen ja doch etwas miteinander zu tun, jedenfalls wenn $X$ ein algebraischer Raum ist.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 11. März 2015 16:12:04
\(\begingroup\)Ich bin darauf gekommen, als ich in Gómez, Proposition 2.19 1<=>3 gelesen habe. \(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Martin_Infinite am: Mi. 11. März 2015 16:30:41
\(\begingroup\)Ja, dort wird die Äquivalenz also bewiesen. PS: Diese Fragen haben eigentlich nichts mit dem Artikel zu tun und gehören daher eher ins Forum.\(\endgroup\)
 

Re: Was ist ein Schema? Teil 4
von: Ex_Mitglied_43988 am: So. 12. Juli 2015 17:49:05
\(\begingroup\)@Matroid: Dann lösch' den Kommentar doch mal!\(\endgroup\)
 

 
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