Mathematik: Eine Beobachtung zum Spektralsatz
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Mathematik

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Eine Beobachtung zum Spektralsatz


Ich möchte eine Beobachtung mitteilen, auf die ich vor ein paar Wochen gestoßen bin, welche es erlaubt, den Standardbeweis des Spektralsatzes für beschränkte Operatoren auch für unbeschränkte Operatoren zu benutzen, ohne zusätzlichen Aufwand betreiben zu müssen.


Einführung - Worum geht es eigentlich?




Der Spektralsatz und seine Verwandten sind eine Verallgemeinerung des Prinzip des (unitären) Diagonalisierens selbstadjungierter und normaler Matrizen auf Operatoren <math>A</math> auf unendlichdimensionalen Hilberträumen <math>H</math>. Diese Klasse von Sätzen beinhaltet normalerweise folgende (mehr oder weniger zueinander äquivalente) Aussagen:

  • Normalform:
    Es gibt einen Maßraum <math>(\Omega,\mathfrak{B},\mu)</math> und eine messbare Funktion <math>f:\Omega\to\mathbb{C}</math> derart, dass <math>(H,A)</math> unitär isomorph ist zu <math>(L^2(\mu),M_f)</math>, wobei <math>M_f</math> der Multiplikationsoperator <math>\psi \mapsto f\cdot\psi</math> ist. Dabei ist <math>f\in L^\infty</math>, wenn <math>A</math> beschränkt ist.
  • Funktionalkalkül:
    Es gibt einen "Einsetzungshomomorphismus"
    <math>\Phi: \{\text{Funktionen }\sigma(A)\to\mathbb{C}\} \to \{\text{Operatoren auf }H\}, f\mapsto f(A)</math>
    mit folgenden (etwas vereinfachten) Eigenschaften:
    1. <math>\Phi_A</math> ist ein <math>\ast</math>-Algebra-Homomorphismus:
      <math>(f+g)(A) = f(A)+g(A)</math>, <math>(af)(A) = af(A)</math>
      <math>(fg)(A) = f(A)g(A)</math>, <math>1(A) = 1</math> und
      <math>f^\ast(A) = (f(A))^\ast</math>, wobei <math>f^\ast</math> die punktweise komplexe konjugierte Abbildung sei. Insbesondere sind alle <math>f(A)</math> normale Operatoren und kommutieren miteinander und mit <math>A</math>.
    2. <math>\Phi</math> ist positiv:
      <math>f\geq 0 \implies f(A)\geq 0</math>
    3. Normierung:
      <math>\id_{\sigma(A)}(A) = A</math>
    4. Spektraler Abbildungssatz:
      <math>\sigma(f(A)) = f(\sigma(A))</math>
    5. <math>\Phi</math> ist stetig:
      <math>f_n\to f \implies f_n(A) \to f(A)</math>
  • Von Neumanns Charakterisierung von Projektor-wertigen Maßen:
    <math>\left\lbrace\begin{array}{rcl} \text{Projektor-wertige Mae }\mathfrak{B}_\mathbb{C}\to L(H) &\to& \text{normale Operatoren} \\ \pi &\mapsto& \int \lambda \,\textrm{d}\pi(\lambda) \\ (M\mapsto\chi_M(A))&\mapsfrom& A \end{array}\right.</math>
    ist ein Paar zueinander inverser Bijektionen.


Der Funktionalkalkül tritt dabei typischerweise in mehreren Varianten auf je nachdem, was man unter "Funktion", "stetig" und "<math>f(\sigma(A))</math>" versteht: Für beschränkte Operatoren <math>A</math> definiert man z.B. den stetigen Funktionalkalkül <math>C(\sigma(A)) \to L(H)</math> und den beschränkten, messbaren Funktionalkalkül <math>\mathcal{L}^{\infty}(\sigma(A)) \to L(H)</math>. In beiden Fällen sind jeweils verschiedene Stetigkeitsbegriffe und verschiedene Begriffe vom Bild von <math>f</math> gemeint. Sobald man sich für unbeschränkte Operatoren interessiert, kann man auch einen Funktionalkalkül auch für unbeschränkte messbare Funktionen definieren, wobei <math>f(A)</math> dann jedoch i.A. selbst unbeschränkt sein wird.



Der typische Beweisverlauf bei diesen Sätzen ist mehrphasig:
  1. Konstruiere den stetigen Funktionalkalkül für selbstadjungierte, beschränkte Operatoren.
  2. Folgere daraus die Existenz der anderen Funktionalkalküle, Spektralmaße und den Satz über die Normalform.
  3. Beweise alles noch einmal für normale, beschränkte Operatoren.
  4. Beweise für selbstadjungierte, unbeschränkte Operatoren erneut die Existenz mindestens eines Funktionalkalküls/Spektralmaßes, indem man feststellt, dass dann die Cayley-Transformation <math>U:=(A-i)(A+i)^{-1}=(A+i)^{-1}(A-i)</math> ein wohldefinierter unitärer Operator ist und man demnach die Theorie für normale Operatoren auf <math>U</math> anwenden kann.
  5. Es wird dann nur noch selten über normale, unbeschränkte Operatoren geredet und wenn dann ist man von den vielen Wiederholungen schon so müde, dass man nur noch mit den Händen wedelt.




Dieses Vorgehen ist offenbar nicht maximal elegant. Die Dopplung für beschränkte Operatoren kann man z.B. beheben, indem man die Theorie der C*-Algebren anwendet in Form des Gelfand'schen Darstellungssatzes. Wenn man sich entscheidet, ohne den Darstellungssatz zu arbeiten, dann tritt jedoch diese Dopplung im Beweis auf, sobald man normale Operatoren betrachtet. Und weil es keine offensichtliche Möglichkeit gibt, einem unbeschränkten, selbstadjungierten Operator einen beschränkten, selbstadjungierten zuzuordnen, fällt ohne diesen Umweg der gesamte Teil für unbeschränkte Operatoren in sich zusammen. Wenn man darüber hinaus auch an unbeschränkten, normalen Operatoren interessiert ist, dann ist der Ansatz über die Cayley-Transformierte zum Scheitern verurteilt, weil diese für nicht-selbstadjungierte Operatoren i.A. weder wohldefiniert noch beschränkt ist. Man kann natürlich versuchen, <math>\lambda\mapsto\frac{\lambda-i}{\lambda+i}</math> durch eine andere Abbildung <math>\sigma(A)\to\mathbb{C}</math> zu ersetzen, welche beschränktes Bild hat. Es stellt sich zum einen die Frage, woher man so eine Abbildung bekommt, ohne den Funktionalkalkül (und insbesondere den spektralen Abbildungssatz) zu benutzen oder zumindest einen Spezialfall des Funktionalkalküls (etwa für Möbiustransformationen) getrennt zu beweisen. Weiterhin führt man dann für jeden Operator einen anderen Beweis und hat eine unkanonische Wahl getroffen. Das spielt natürlich für das Ergebnis keine Rolle, da der Funktionalkalkül eindeutig bestimmt ist, aber unelegant ist es trotzdem.



Normale Operatoren oder nicht, der in meinen Augen hässlichste Punkt an diesem Ansatz ist trotzdem, dass er "falsch herum" ist: Wenn man <math>U=(A+i)^{-1}(A-i)</math> setzt und dann Funtionen auf <math>\{\frac{\lambda-i}{\lambda+i} \mid \lambda\in\sigma(A)\}</math> benutzt statt Funktionen auf <math>\sigma(A)</math>, dann hat man dem Gefühl nach ja bereits den Funktionalkalkül und den spektralen Abbildungssatz benutzt. In der Tat muss man, um diesen Ansatz zum Laufen zu bekommen, viele Hilfsaussagen beweisen, die im Wesentlichen einen Spezialfall des Funktionalkalküls konstituieren.



Es wäre mit anderen Worten schöner, wenn man einen Satz (eine Familie von Sätzen), der dieselbe Aussage macht, egal ob <math>A</math> beschränkt oder unbeschränkt ist, auch mit einem gemeinsamen Beweis bekommt. Der Zweck dieses Artikels ist, eine einfache Beobachtung mitzuteilen, die es mit einer winzigen Änderung erlaubt, den Standardbeweis für selbstadjungierte, beschränkte Operatoren auch für selbstadjungierte, unbeschränkte Operatoren zu benutzen.



Ein bisschen Spektraltheorie



Definition
Sei <math>A:\textrm{dom}(A)\to H</math> ein Operator und <math>\sigma:=\sigma(A)</math> sein Spektrum. Dann definiere:
(a) Das Punktspektrum
<math>\displaystyle \sigma_p(A) := \{\lambda\in\sigma \mid \ker(A-\lambda)\neq 0\}</math>

(b) Das approximative Punktspektrum:
<math>\displaystyle \sigma_{ap}(A) := \{\lambda \mid \inf_{\psi\in\textrm{dom}(A)\setminus\{0\}} \frac{\|(A-\lambda)\psi\|}{\|\psi\|} = 0\}</math>

(c) Das stetige Spektrum
<math>\displaystyle \sigma_c(A) := \{\lambda\in\sigma\setminus\sigma_p \mid \overline{\textrm{im}(A-\lambda)}=H\}</math>

(d) Das Restspektrum:
<math>\displaystyle \sigma_r(A) := \sigma\setminus(\sigma_p\cup\sigma_c) = \{\lambda\in\sigma \mid A-\lambda\,\text{injektiv}, \textrm{im}(A-\lambda)^\perp\neq 0\}</math>



Bemerkung: Man beachte, dass nach Definition <math>\sigma=\sigma_p \sqcup \sigma_c \sqcup \sigma_r</math> und <math>\sigma_p\subseteq\sigma_{ap}\subseteq\sigma</math> gilt.

Lemma
Sei <math>A:D\to H</math> dicht definiert und abgeschlossen. Dann gilt:
(a) <math>\sigma_{ap}(A) = \sigma_p(A) \cup \{\lambda\in\mathbb{C} \mid \textrm{im}(A-\lambda)\,\text{nicht abgeschlossen}\}</math>.
(b) <math>\sigma_c(A)\subseteq\sigma_{ap}(A)</math> und daher <math>\sigma(A) = \sigma_{ap}(A) \cup \sigma_r(A)</math>.
(c) <math>\textrm{im}(A-\lambda)^\perp = \textrm{Eig}_{\lambda^\ast}(A^\ast)</math>. Insbesondere: <math>\sigma_r(A) \subseteq \sigma_p(A^\ast)^\ast \subseteq \sigma_r(A) \cup \sigma_p(A)</math>.

Ist <math>A</math> außerdem normal, so gilt zudem:
(d) <math>\textrm{Eig}_\lambda(A) = \textrm{Eig}_{\lambda^\ast}(A^\ast)</math>. Insbesondere: <math>\sigma_p(A)^\ast = \sigma_p(A^\ast)</math>.
(e) <math>\sigma_r(A)=\emptyset</math> und <math>\sigma(A) = \sigma_{ap}(A)</math>.

Beweis:
a.) Offenbar ist <math>\sigma_p</math> auf beiden Seiten enthalten.

Nun gilt <math>\lambda\in\mathbb{C}\setminus\sigma_{ap}</math> aber genau dann, wenn ein <math>\varepsilon>0</math> existiert mit
<math>\displaystyle \forall\psi\in\textrm{dom}(A): \|(A-\lambda)\psi\| \geq \varepsilon\|\psi\|</math>
Dies ist genau dann der Fall, wenn <math>A-\lambda</math> injektiv (d.h. <math>\lambda\notin\sigma_p</math>) und <math>(A-\lambda)^{-1}: \textrm{im}(A-\lambda) \to \textrm{dom}(A)</math> beschränkt ist.

Einen beschränkten, linearen Operator können wir eindeutig auf den Abschluss seines Definitionsbereichs fortsetzen. Wenn nun aber <math>T</math> die stetige Fortsetzung von <math>(A-\lambda)^{-1}</math> und <math>\phi_n\in\textrm{im}(A-\lambda)</math> gegen <math>\phi</math> konvergiert ist, etwa <math>\phi_n=(A-\lambda)\psi_n</math>, dann wäre <math>(A-\lambda)\psi_n \to \phi</math> und <math>\psi_n \to T\phi=:\psi</math>, dann folgt aus der Abgeschlossenheit <math>\psi\in\textrm{dom}(A)</math> und <math>(A-\lambda)\psi = \phi</math>. Das zeigt, dass <math>\textrm{im}(A-\lambda)</math> automatisch abgeschlossen ist, wenn <math>(A-\lambda)^{-1}</math> beschränkt ist.

Umgekehrt: Wenn <math>\textrm{im}(A-\lambda)</math> abgeschlossen ist, dann ist <math>(A-\lambda)^{-1}</math> beschränkt aufgrund des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

b.) Ist <math>\lambda\in\sigma_c(A)</math>, dann ist <math>A-\lambda</math> injektiv und <math>\textrm{im}(A-\lambda)</math> dicht in <math>H</math>. Wäre <math>\textrm{im}(A-\lambda)</math> abgeschlossen, dann wäre es also gleich <math>H</math>. Dann wäre <math>A-\lambda</math> bijektiv. Das kann nicht sein, da <math>\lambda\in\sigma(A)</math> ist. Also muss <math>\lambda\in\sigma_{ap}(A)</math> sein.

c.) Sei <math>\phi\in\textrm{im}(A-\lambda)^\perp</math>, d.h. <math>\forall \psi\in \textrm{dom}(A): 0 = \langle \phi,(A-\lambda)\psi\rangle</math>. Damit ist aber <math>\phi\in \textrm{dom}(A^\ast)</math> und <math>0=\langle(A^\ast-\lambda^\ast)\phi,\psi\rangle</math> für alle <math>\psi\in\textrm{dom}(A)</math>. Da <math>A</math> dicht definiert ist, folgt <math>(A^\ast-\lambda^\ast)\phi=0</math>, also <math>\phi\in\textrm{Eig}_{\lambda^\ast}(A^\ast)</math>. Die Umkehrung folgt analog. Wegen <math>\sigma_r\subseteq \{\lambda \mid \textrm{im}(A-\lambda)^\perp\neq 0\} \subseteq \sigma_p\cup\sigma_r</math> folgen dann die beiden Inklusionen.

d.) Es ist <math>(A-\lambda)^\ast = A^\ast-\lambda^\ast</math> normal und daher <math>\psi\in\textrm{Eig}_\lambda(A) \iff \|(A-\lambda)\psi\|=0 \iff \|(A^\ast-\lambda^\ast)\psi\|=0 \iff \psi\in\textrm{Eig}_{\lambda^\ast}(A^\ast)</math>.

e.) folgt aus d.), denn wegen <math>\sigma_r(A) \subseteq \sigma_p(A^\ast)^\ast = \sigma_p(A)</math> und Disjunktheit von <math>\sigma_p</math> und <math>\sigma_r</math> muss <math>\sigma_r(A)=\emptyset</math> sein. Wegen <math>\sigma=\sigma_{ap}\cup\sigma_r</math> folgt dann <math>\sigma=\sigma_{ap}</math>.


Besonders diese letzte Eigenschaft, dass das Spektrum normaler Operatoren mit dem approximativen Punktspektrum übereinstimmt, wird für uns nützlich sein und wir werden sie immer wieder benutzen.

Der Trick



Der übliche Beweis des Spektralsatzes für beschränkte Operatoren verläuft so, dass man den Einsetzungshomomorphismus <math>\mathbb{C}[Z]\to L(H),f\mapsto f(A)</math> benutzt und zu einer Isometrie <math>C(\sigma(A))\to L(H)</math> fortsetzt. Das funktioniert natürlich so nicht für unbeschränkte Operatoren. Indem man aber den Polynomring durch einen anderen Unterring von <math>\mathbb{C}(Z)</math> ersetzt und die Resolventen von <math>A</math> benutzt, funktioniert dieselbe Idee der stetigen Fortsetzung sowohl für beschränkte als auch für unbeschränkte Operatoren.

Lemma
Es sei <math>\rho\subseteq\mathbb{C}</math> beliebig. Dann ist <math>R_x\mapsto \frac{1}{Z-x}</math> ein Isomorphismus
<math>\displaystyle\mathbb{C}[R_x \mid x\in\rho] / (R_x-R_y - (x-y)R_x R_y) \xrightarrow[\cong]{} \mathbb{C}[\tfrac{1}{Z-x} \mid x\in\rho] </math>


Bemerkung Man beachte, dass die Algebra auf der rechten Seite genau gleich
<math>\displaystyle\{\tfrac{p}{q} \in \mathbb{C}(Z) \mid \deg(p)\leq\deg(q), \forall\lambda\in \sigma: q(\lambda)\neq 0 \}</math>
ist.

Beweis:
Offenbar erfüllen die Elemente <math>\frac{1}{Z-x}</math> die notwendigen Relationen, sodass die Zuordnung einen Algebra-Homomorphismus induziert. Schon aufgrund der Definition ist er surjektiv. Wir müssen nun noch zeigen, dass er auch injektiv ist.

Aus dem Prinzip der Partialbruchzerlegung folgt, dass <math>\{\frac{1}{(Z-x)^n} \mid x\in\rho,n\in\mathbb{N}\}</math> eine <math>\mathbb{C}</math>-Basis von <math>\mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} \mid x\in\rho]</math> ist. Es genügt daher zu zeigen, dass <math>\{R_x^n \mid x\in\rho,n\in\mathbb{N}\}</math> ein Erzeugendensystem von <math>\mathbb{C}[R_x]/(R_x-R_y-(x-y)R_x R_y)</math> als <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum ist, denn der Homomorphismus schickt diese Menge auf eine Basis. Daher muss die Menge schon linear unabhängig gewesen und somit eine Basis sein. Da der Homomorphismus dann eine Basis auf eine Basis abbildet, ist er ein Vektorraumisomorphismus und somit bijektiv.

Es folgt bereits aus der Definition, dass <math>\{R_{x_1}^{n_1}\cdots R_{x_k}^{n_k} \mid x_i\in\rho, n_i\in\mathbb{N}, k\in\mathbb{N}\}</math> ein Erzeugendensystem des Vektorraums ist. Per Induktion nach <math>n_1+\cdots+n_k</math> beweist man aber durch Anwenden der Relationen, dass sich jedes solche Monom auch als Linearkombination von <math>R_{x_1}^0,\ldots,R_{x_1}^{n_1},\ldots,R_{x_k}^0,\ldots,R_{x_k}^{n_k}</math> schreiben lässt.


Lemma
Es sei <math>A: \textrm{dom}(A)\to H</math> ein Operator. Dann gibt es genau einen Algebra-Homomorphismus <math>\Phi_0: \mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} \mid x\in\rho(A)] \to L(H)</math> mit <math>\Phi_0(\frac{1}{Z-x})=R_x(A)</math>, wobei <math>R_x(A):=(A-x)^{-1}</math> die Resolvente von <math>A</math> bei <math>x</math> ist. Ist <math>A</math> selbstadjungiert, so ist sind beide Seiten <math>\ast</math>-Algebren und <math>\Phi_0</math> ein <math>\ast</math>-Algebra-Homomorphismus.

Wenn <math>f = \frac{p}{q}</math> mit <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ist, dann gilt außerdem
<math>\displaystyle\Phi_0(f) (A-\lambda) \subseteq \Phi_0(f(Z)(Z-\lambda)) = (A-\lambda)\Phi_0(f)</math>.

Beweis:
Da die Resolventen die Relationen <math>R_x(A)-R_y(A) = (x-y)R_x(A)R_y(A)</math> erfüllen, folgt die Existenz und Eindeutigkeit aus dem vorherigen Lemma. Dass dies ein <math>\ast</math>-Homomorphismus ist, folgt aus <math>\sigma(A)\subseteq\mathbb{R}</math> für selbstadjungierte <math>A</math>.

Die Gleichung folgt durch Multiplikation beider Seiten mit <math>R_\lambda(A)</math>.


Und das ist schon der ganze Trick. Jetzt ist es nur noch ein kurzer Weg, um von hier aus die Existenz des Funktionalkalküls zu folgern. Der Rest wird parallel ablaufen. Der nächste Schritt ist also, die Spektren der Operatoren im Bild von <math>\Phi_0</math> zu bestimmen.

Satz: Spektraler Abbildungssatz für <math>\Phi_0</math>
Es sei <math>A:\textrm{dom}(A)\to H</math> dicht definiert und normal. Dann gilt:
<math>\displaystyle\forall f\in\mathbb{C}[\tfrac{1}{Z-x} \mid x\in\rho]: \sigma(\Phi_0(f)) = \overline{f(\sigma(A))}.</math>

Beweis:
Wir zeigen nun die beiden Inklusionen. Für konstante Abbildungen <math>f=\lambda</math> ist die Aussage klar.

Zunächst zeigen wir <math>f(\sigma(A)) \subseteq \sigma(\Phi_0(f))</math>. Da <math>\lambda</math> eine Nullstelle von <math>f(Z)-f(\lambda)</math> ist, gibt es ein <math>f_1\in\mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} | x\in\rho]</math> mit
<math>\displaystylef(Z)-f(\lambda) = f_1(Z)(Z-\lambda)</math>
(man faktorisiere den Zähler von <math>f</math>) und somit
<math>\displaystyle\Phi_0(f)-f(\lambda) = \Phi_0(f-f(\lambda)) = \Phi_0(f_1)(A-\lambda)</math>
Wenn nun <math>\lambda\in\sigma(A)</math> ist, dann ist <math>\lambda\in\sigma_{ap}(A)</math> ist (hier benutzen wir Normalität), gibt es eine Folge <math>\psi_n\in\textrm{dom}(A)</math> mit <math>\|\psi_n\|=1</math> und <math>(A-\lambda)\psi_n\to 0</math>. Da <math>\Phi_0(f_1)\in L(H)</math> stetig ist, gilt somit auch <math>(\Phi_0(f)-f(\lambda))\psi_n \to 0</math>, sodass <math>f(\lambda)\in\sigma_{ap}(\Phi_0(f))</math> gilt. Das zeigt die Inklusion <math>f(\sigma(A))\subseteq \sigma(\Phi_0(f))</math>.

Die umgekehrte Richtung ist einfacher: Wenn <math>\mu\notin\overline{f(\sigma(A))}</math> ist, dann ist <math>f(Z)-\mu</math> von Null weg beschränkt auf <math>\sigma</math>. Ihr Inverses <math>\frac{1}{f(Z)-\mu}</math> ist daher in <math>\mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} | x\in\rho]</math>. Daher ist <math>\Phi_0(\frac{1}{f(Z)-\mu})\in L(H)</math>, d.h. <math>\Phi_0(f)-\mu\in L(H)^\times</math> und somit <math>\mu\notin \sigma(\Phi_0(f))</math>.


Bemerkung Insbesondere folgt <math>\sigma(R_\mu(A))\setminus\{0\} = \{\frac{1}{\lambda-\mu} \mid \lambda\in\sigma(A)\}</math> und wegen <math>R_\lambda(A)\neq 0</math> somit <math>\sigma(A)\neq\emptyset</math>, wenn <math>A</math> normal ist.

Beachte auch, dass <math>\frac{1}{\infty-\mu}=0</math> genau dann in <math>\sigma(R_\mu(A))</math> ist, wenn <math>A</math> unbeschränkt ist. Also ist ein dicht definierter, normaler Operator <math>A</math> unbeschränkt genau dann, wenn <math>\sigma(A)</math> unbeschränkt ist.


Der stetige Funktionalkalkül



Damit können wir nun die Existenz des stetigen Funktionalkalküls beweisen:

Satz: Stetiger Funktionalkalkül für normale Operatoren
Sei <math>A:\textrm{dom}(A)\to H</math> dicht definiert und normal. Es sei <math>\emptyset\neq\rho(A)</math>. Bezeichne mit <math>\widehat{\sigma}</math> den Abschluss von <math>\sigma(A)</math> in <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.

Dann gibt es genau einen isometrischen <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphimus
<math>\displaystyle\Phi: C(\widehat{\sigma}) \hookrightarrow L(H), f\mapsto f(A)</math>
mit <math>\Phi(\frac{1}{Z-x})=R_x(A)</math> für alle <math>x\in\rho(A)</math>.


Wir geben zwei Beweise. Der erste ist der Beweis für selbstadjungierte Operatoren, der ohne <math>C^\ast</math>-Algebren auskommt. Danach beweisen wir aber die allgemeine Version mit Hilfe des Gelfand'schen Darstellungssatzes.

Beweis zu Fuß für selbstadjungierte <math>A</math>
Wir haben bereits einen <math>\ast</math>-Algebra-Homomorphismus <math>\Phi_0 : \mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} | x\in\rho(A)] \to L(H)</math>. Der spektrale Abbildungssatz, den wir eben bewiesen haben, zeigt uns, dass
<math>\displaystyle\|\Phi_0(f)\|_{L(H)} = r(\Phi_0(f)) = \sup_{\mu\in\sigma(\Phi_0(f))} |\mu| = \sup_{\lambda\in\sigma(A)} |f(\lambda)| = \|f\|_{C_0(\sigma)}</math>
gilt. Dabei haben wir benutzt, dass <math>\Phi_0(f)</math> normal ist.

Das zeigt zum einen, dass <math>\Phi(f)</math> nur von <math>f</math> als stetiger Funktion auf <math>\sigma</math> abhängt und nicht von seiner Darstellung als rationale Funktion (das ist wichtig, da die kanonische Abbildung <math>\mathbb{C}[\frac{1}{Z-x} | x\in\rho] \to C(\widehat{\sigma})</math>, die der rationalen Funktion <math>\frac{1}{Z-x}</math> die stetige Funktion <math>\lambda\mapsto\frac{1}{\lambda-x}</math> zuordnet, nicht injektiv zu sein braucht).

Zum anderen zeigt es, dass wir eine Unteralgebra von <math>C(\widehat{\sigma})</math> isometrisch nach <math>L(H)</math> abbilden, wir können also eindeutig zu einer Isometrie auf dem Abschluss dieser Unteralgebra fortsetzen. Da die Funktionen <math>\lambda\to\frac{1}{\lambda-x}</math> Punkte trennen und unter komplexer Konjugation abgeschlossen sind (hier benutzten wir, dass <math>A</math> selbstadjungiert und daher <math>\rho^\ast=\rho</math> ist), folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraß, dass besagter Abschluss schon ganz <math>C(\widehat{\sigma})</math> ist.


Allgemeiner Beweis
Sei <math>x\in\rho(A)</math> fix. Zunächst stellen wir fest, dass jede Funktion der Form <math>\frac{1}{Z-x}</math> injektiv auf <math>\widehat{\sigma}</math> ist, also diese einzelne Funktion schon punkttrennend. Nach dem Satz von Stone-Weierstraß ist <math>C(\widehat{\sigma})</math> also als <math>C^\ast</math>-Algebra von <math>\frac{1}{Z-x}</math> erzeugt. Das impliziert die Eindeutigkeitsaussage.

Aus dem spektralen Abbildungssatz für <math>\Phi_0</math> folgt <math>\sigma(R_x(A)) = \{\frac{1}{\lambda-x} \mid \lambda\in\widehat{\sigma}\}=:X</math>.

Aus dem Gelfand'schen Darstellungssatz folgt, dass für jede <math>C^\ast</math>-Algebra <math>\mathfrak{A}</math> und jedes Element <math>a\in\mathfrak{A}</math> mit Spektrum <math>\sigma_{\mathfrak{A}}(a)=X</math> eine isometrische Einbettung <math>C(X)\to\mathfrak{A}</math> mit <math>\id_X\mapsto a</math> existiert.

Es gibt daher genau einen isometrischen <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismen <math>C(X) \hookrightarrow L(H)</math> mit <math>\id_X\mapsto R_x(A)</math> und genau einen isometrischen <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismus <math>C(X) \hookrightarrow C(\widehat{\sigma})</math> mit <math>\id_X\mapsto (\lambda\mapsto\frac{1}{\lambda-x})</math>, welcher sogar surjektiv ist. Wir haben somit die Situation
<math>\displaystyle C(\widehat{\sigma}) \xleftarrow[\cong]{} C(X) \hookrightarrow L(H)</math>
Die Komposition ist ein isometrischer <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismus <math>C(\widehat{\sigma})\hookrightarrow L(H)</math>, der <math>\frac{1}{Z-x}</math> auf <math>R_x(A)</math> schickt. Aus
<math>\displaystyle R_y(A) = (1+(x-y)R_x(A))^{-1} R_x(A)</math>
<math>\displaystyle\frac{1}{Z-y} = (1+\tfrac{x-y}{Z-x})^{-1} \frac{1}{Z-x}</math>
folgt, dass auch <math>\frac{1}{Z-y}</math> auf <math>R_y(A)</math> geschickt wird.


Bemerkung
Man beachte, dass das wirklich der Funktionalkalkül ist: Es gilt wirklich <math>\id_{\widehat{\sigma}}(A)=A</math> für alle beschränkten <math>A</math>, denn dann gilt:
<math>\displaystyle A=R_\lambda(A)^{-1}+\lambda</math>
<math>\displaystyle Z=(\tfrac{1}{Z-\lambda})^{-1}+\lambda</math>


Vom Funktionalkalkül zum Spektralsatz



Eingangs hatte ich bereits festgestellt, dass die wesentlichen Sätze der Spektraltheorie mehr oder minder äquivalent zueinander sind. Sobald man einen Funktionalkalkül für einen Operator <math>A</math> hat, hat man auch alle anderen Funktionalkalküle. Das Spektralmaß ist durch den Funktionalkalkül bestimmt und umgekehrt. Jede Identifikation von <math>H</math> mit einem <math>L^2</math>-Raum, die <math>A</math> zu einem Multiplikationsoperator macht, induziert einen Funktionalkalkül und umgekehrt. Diese Äquivalenzen benutzen den Operator <math>A</math> dabei überhaupt nicht mehr, es sind ganz allgemein gültige Resultate.

Diese Äquivalenz wollen wir in diesem Abschnitt beweisen. Wir fixieren dafür einen lokalkompakten Hausdorffraum <math>\Omega</math>.

Satz: Bootstrapping I
Jeder <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismen <math>C_0(\Omega) \to L(H)</math> hat eine eindeutige Fortsetzung zu einem <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismen <math>\mathcal{L}^\infty(\Omega)\to L(H)</math> mit
<math>\displaystyle f_n \to f \,\text{punktweise}\,\wedge \|f_n\|_\infty \leq M \implies \forall\psi\in H: \Phi(f_n)\psi \to \Phi(f)\psi</math>

Beweis:
Jeder <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismus <math>\Phi: C_0(\Omega) \to L(H)</math> hat Operatornorm <math>\leq 1</math> und induziert daher eine Familie von Linearformen auf <math>C_0(\Omega)</math> via <math>f\mapsto\langle \phi,\Phi(f)\psi\rangle_H</math>. Nach dem Darstellungssatz von Riesz gibt es deshalb komplexwertige Radon-Maße <math>\mu_{\phi,\psi}</math> endlicher Variation mit
<math>\displaystyle \forall f\in C_0(\Omega): \langle \phi,\Phi(f)\psi\rangle = \int_\Omega f\,\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}</math>
Dabei gilt
<math>\displaystyle \|\mu_{\phi,\psi}\|_{M(\Omega)} = \|\langle\phi,\Phi(\cdot)\psi\rangle\|_{C_0(\Omega)"} \leq \|\Phi\|_{L(C_0(\Omega),L(H))}\|\phi\|_H\|\psi\|_H \leq \|\phi\|_H\|\psi\|_H.</math>
Die Integrale sind nun auch für alle <math>f\in\mathcal{L}^\infty</math> wohldefiniert. Die Abbildung <math>(\phi,\psi)\mapsto \int f\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}</math> ist außerdem sesquilinear und beschränkt für alle <math>f\in\mathcal{L}^\infty</math>. Es gibt also genau einen beschränkten Operator <math>\Phi(f)\in L(H)</math>, der diese Sesquilinearform darstellt, d.h.
<math>\displaystyle \forall f\in \mathcal{L}^\infty(\Omega): \langle \phi,\Phi(f)\psi\rangle = \int_\Omega f\,\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}.</math>
Offenkundig ist <math>\Phi</math> nun <math>\mathbb{C}</math>-linear, respektiert <math>\ast</math> und ist stetig bzgl. der punktweisen und glm. beschränkten Konvergenz (majorisierte Konvergenz!). Es ist noch zu zeigen, dass <math>\Phi</math> auch die Multiplikation respektiert. Fixiere zunächst ein <math>g\in C_0</math>. Da nun <math>f\to \Phi(fg)</math> und <math>f\mapsto\Phi(f)\Phi(g)</math> zwei Funktionen <math>\{f\in\mathcal{L}^\infty \mid \|f\|\leq 1\} \to L(H)</math> sind, die bzgl. der punktweisen Konvergenz von Folgen auf dem Einheitsball und der schwachen Operatortopologie auf <math>L(H)</math> stetig sind und auf der dichten Teilmenge <math>\{f\in C_0 \mid \|f\|\leq 1\}</math> übereinstimmen, sind sie bereits überall gleich. Daher gilt <math>\Phi(fg)=\Phi(f)\Phi(g)</math> für alle <math>f\in\mathcal{L}^\infty</math> und alle <math>g\in C_0</math>. Dasselbe Argument mit vertauschten Rollen zeigt die Gleichung auch für <math>g\in\mathcal{L}^\infty</math>.

Der letzte Schritt ist, zu beweisen, dass man die schwache Operatortopologie nun auch durch die starke Operatortopologie ersetzen kann. Wenn <math>f_n\to f</math> und <math>f_n</math> gleichmäßig beschränkt ist, dann gilt aber auch
<math>$\begin{align*}
\|\Phi(f_n)\psi\|_H^2 &= \langle\Phi(f_n)\psi,\Phi(f_n)\psi\rangle_H \\
&= \langle \psi,\Phi(f_n^\ast f_n)\psi\rangle_H \\
&\to \langle \psi,\Phi(f^\ast f)\psi\rangle_H \\
&=\langle \Phi(f)\psi,\Phi(f)\psi\rangle_H \\
&=\|\Phi(f)\psi\|_H^2
\end{align*}$</math>
Daher gilt auch <math>\Phi(f_n)\psi\to\Phi(f)\psi</math>.


Bemerkung: In der Tat gibt es eine eindeutige Fortsetzung von <math>\Phi</math> zu einem Homomorphismus <math>\Phi:C_0(\Omega)""_{w\ast} \to L(H)_{wot}</math> mit der schwach-<math>\ast</math>-Topologie auf dem Bidualraum und der schwachen Operatortopologie auf <math>L(H)</math>. Das folgt aus allgemeinen Kompaktheitsargumenten. Der Darstellungssatz von Riesz wird in Wirklichkeit nur für die Einbettung <math>\mathcal{L}^\infty(\Omega) \subseteq C_0(\Omega)""</math> benötigt.

Der Bidualraum trägt sogar die kanonische Struktur einer <math>C^\ast</math>-Algebra und ist die universelle einhüllende Von-Neumann-Algebra von <math>C_0(\Omega)</math> und diese Fortsetzungseigenschaft ist genau die universelle Eigenschaft.


Satz: Bootstrapping II
Jeder <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismen <math>\mathcal{L}^\infty(\Omega)\to L(H)</math> mit
<math>\displaystyle f_n \to f \,\text{punktweise}\,\wedge \|f_n\|_\infty \leq M \implies \forall\psi\in H: \Phi(f_n)\psi \to \Phi(f)\psi</math>
hat eine eindeutige Fortsetzung zu einer Abbildung <math>\mathcal{L}^0(\Omega) \to Op(H)</math> mit
(i) <math>\Phi(f)</math> ist dicht definiert, abgeschlossen und normal.
(ii)<math>\ast</math>-Homomorphismus:
a.) <math>\Phi(f_1)+\Phi(f_2) \subseteq \Phi(f_1+f_2)</math>, <math>a\Phi(f)\subseteq\Phi(af)</math> und <math>\Phi(0)=0</math>.
b.) <math>\Phi(f)\Phi(g) \subseteq \Phi(fg)</math> und <math>\Phi(1) = 1</math>.
c.) <math>\Phi(f^\ast) = \Phi(f)^\ast</math>.

(iii) <math>|f|\leq |g| \implies \textrm{dom}(\Phi(g))\subseteq\textrm{dom}(\Phi(f))</math>.
(iv) <math>f_n \to f</math> punktweise und <math>|f_n|\leq |g| \implies \forall\psi\in\textrm{dom}(\Phi(g)): \Phi(f_n)\psi \to \Phi(f)\psi</math>.
(v) <math>\Phi</math> ist maximal mit diesen Eigenschaften: Wenn <math>\tilde{\Phi}:\mathcal{L}^0\to Op(H)</math> eine weitere Abbildung mit (i)-(iv) und <math>\Phi(f)\subseteq\tilde{\Phi}(f)</math> ist, dann gilt bereits <math>\Phi(f)=\tilde{\Phi}(f)</math>.

Beweis:
Wir benutzen wieder die Maße <math>\mu_{\phi,\psi}</math> aus dem vorherigen Beweis sowie die Abkürzung <math>\mu_\psi := \mu_{\psi,\psi}</math>.


Zunächst überzeugen wir uns von der Eindeutigkeit solch einer Fortsetzung. Wenn <math>f</math> beschränkt ist, dann ist <math>|f| \leq M</math> und somit <math>H=\textrm{dom}(M\id_H) \subseteq \Phi(f)</math>, d.h. <math>\Phi(f)</math> ist beschränkt (aufgrund des Satzes vom abgeschlossenen Graphen).

Da jede messbare Funktion <math>f</math> als punktweiser Limes einer Folge <math>(f_n)_{n\in\IN}</math> messbarer, beschränkter Funktionen dargestellt werden kann (z.B. <math>f_n := f\cdot\chi_{\{|f|\leq n\}}</math>) folgt aus der Stetigkeitseigenschaft <math>\Phi(f)\psi = \lim_n \Phi(f_n)\psi</math> für alle <math>\psi\in\textrm{dom}(\Phi(f))</math>, d.h. <math>\Phi(f)</math> ist eindeutig bis auf seinen Definitionsbereich festgelegt.

Außerdem ist
<math>$\begin{align*}
\|\Phi(f)\psi\|_H &= \lim_n \|\Phi(f_n)\psi\| \\
&= \lim_n \|f_n\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&= \|f\|_{L^2(\mu_\psi)}
\end{align*}$</math>
Daher gilt
<math>\displaystyle \textrm{dom}(\Phi(f)) \subseteq \{\psi\in H \mid f\in L^2(\mu_\psi)\} =: D_f</math>
Ich behaupte nun, dass es eine Fortsetzung von <math>\Phi:\mathcal{L}^\infty\to L(H)</math> gibt, die genau <math>D_f</math> als Definitionsbereich hat. Damit folgt aus der Maximalitätsforderung von <math>\Phi(f)</math> die Eindeutigkeit. Man beachte dabei, dass <math>D_f</math> wirklich ein Vektorraum ist, denn <math>\mu_{\psi_1+\psi_2} \leq 2\mu_{\psi_1} + 2\mu_{\psi_2}</math> und <math>\mu_{a\psi} = |a|^2\mu_{\psi}</math>. Außerdem gilt <math>D_f=H</math>, falls <math>f\in\mathcal{L}^\infty</math>.


Wir haben nun also die Existenz solch einer Fortsetzung zu zeigen. Seien dafür <math>\phi,\psi\in H</math> und <math>f\in L^2(\mu_\psi)</math> beliebig. Wir behaupten zunächst, dass <math>\int_\Omega f \,\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}</math> existiert. Es gilt nämlich
<math>$\begin{align*}
|\mu_{\phi,\psi}(M)| &= |\langle\phi,\Phi(\chi_M)\psi\rangle_H| \\
&= |\langle\Phi(\chi_M)\phi,\Phi(\chi_M)\psi\rangle_H| \\
&\leq \|\Phi(\chi_M)\phi\|_H \|\Phi(\chi_M)\psi\|_H \\
&= \|\chi_M\|_{L^2(\mu_\phi)} \|\chi_M\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&= \mu_\phi(M)^{1/2} \mu_\psi(M)^{1/2} \\
\implies \sum_i |a_i| |\mu_{\phi,\psi}(M_i)| &\leq \sum_i |a_i| \mu_\phi(M_i)^{1/2} \mu_\psi(M_i)^{1/2} \\
&\leq (\sum_i \mu_\phi(M_i))(\sum_i |a_i|^2 \mu_\psi(M_i)) \\
\implies \int_\Omega |f| \,\textrm{d}|\mu_{\phi,\psi}| &\leq \|1\|_{L^2(\mu_\phi)} \|f\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&= \|\phi\|_H \|f\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
\end{align*}$</math>
Daraus folgt die Wohldefiniertheit von <math>\int f \,\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}</math> für alle <math>f\in L^2(\mu_\psi)</math> und alle <math>\phi\in H</math>. Das Integral ist sesquilinear in <math>(\phi,\psi)</math> und aufgrund dieser Ungleichung auch stetig in <math>\phi</math>. Daher können wir <math>\Phi(f)\psi</math> als den eindeutigen Vektor mit mit
<math>\displaystyle \forall \phi\in H: \langle\phi,\Phi(f)\psi\rangle = \int_\Omega f \,\textrm{d}\mu_{\phi,\psi}</math>
definieren. Jetzt haben wir eine Definition von <math>\Phi:\mathcal{L}^0\to Op(H)</math> und sehen sofort, dass dies eine Fortsetzung von <math>\Phi:\mathcal{L}^\infty\to L(H)</math> ist.

Aus diesen Definitionen folgt direkt <math>|f|\leq|g| \implies D_g\subseteq D_f</math> und die Stetigkeitsbedingung
<math>\displaystyle f_n \to f, |f_n|\leq |g| \implies \forall\phi\in H,\psi\in D_g: \langle\phi,\Phi(f_n)\psi\rangle \to \langle\phi,\Phi(f)\psi\rangle</math>
Da jedes <math>f\in L^2</math>-Funktion als Limes von <math>f_n\in\mathcal{L}^\infty</math> mit <math>|f_n| \nearrow |f|</math> geschrieben werden kann und <math>D_h = H</math> für alle beschränkten <math>h</math> gilt, können wir alle restlichen Aussagen aus den entsprechenden Eigenschaften von <math>\Phi_{|\mathcal{L}^\infty}</math> folgern. Wir müssen nur Vorsicht mit den Definitionsbereichen walten lassen.

Zuerst zeigen wir, dass <math>D_f\subseteq H</math> dicht ist. Setze dazu <math>M_n := \{\omega\in\Omega \mid |f(\omega)|<n\}</math>. Dann ist <math>M_n \nearrow \Omega</math>, d.h. <math>\bigcup_n \Phi(\chi_{M_n})H</math> ist dicht in <math>H</math>. Wir behaupten, dass diese Unterräume in <math>D_f</math> liegen. Es gilt <math>f = \lim_n f\cdot \chi_n</math> und <math>|f \chi_{M_n}| \nearrow |f|</math> und somit für <math>\psi\in\Phi(\chi_{M_k})H</math>:
<math>$\begin{align*}
\|f\|_{L^2(\mu_\psi)} &= \lim_n \|f \cdot \chi_{M_n}\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&=\lim_n \| \Phi(f \chi_{M_n})\psi \|_H \\
&=\lim_n \| \Phi(f \chi_{M_n}) \Phi(\chi_{M_k}) \psi \|_H \\
&=\lim_n \| \Phi(f \chi_{M_n} \chi_{M_k}) \psi \|_H \\
&=\lim_n \| \Phi(f \chi_{M_k}) \psi \|_H \\
&=\| \Phi(f \chi_{M_k}) \psi \|_H < \infty
\end{align*}$</math>
Also ist <math>\Phi(f)</math> wirklich dicht definiert. Weiter gilt offenbar <math>D_{f^\ast} = D_f</math> sodass für alle <math>\phi,\psi\in D_f</math> folgendes gilt:
<math>$\begin{align*}
\langle\phi,\Phi(f)\psi\rangle &= \lim_n \langle\phi,\Phi(f_n)\psi\rangle \\
&= \lim_n \langle \Phi(f_n)^\ast \phi,\psi\rangle \\
&= \lim_n \langle \Phi(f_n^\ast) \phi,\psi\rangle \\
&= \langle\Phi(f^\ast)\phi,\psi\rangle
\end{align*}$</math>
sodass <math>\Phi(f)^\ast=\Phi(f^\ast)</math> folgt, weil <math>D_f</math> dicht ist. Weiter ist <math>\|\Phi(f)\psi\|_H = \|f\|_{L^2(\mu_\psi)} = \|f^\ast\|_{L^2(\mu_\psi)} = \|\Phi(f)^\ast\psi\|_H</math>. Daher ist <math>\Phi(f)</math> abgeschlossen und normal.

Ich führe noch vor, wie die Multiplikativität folgt. Wenn <math>\psi\in\textrm{dom}(\Phi(f)\Phi(g)) = D_g \cap \Phi(g)^{-1}D_f</math> gilt, dann ist gilt:
<math>$\begin{align*}
\|fg\|_{L^2(\mu_\psi)} &= \lim_n \lim_m \|f_n g_m\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&= \lim_n \lim_m \|\Phi(f_n g_m)\psi\|_H \\
&= \lim_n \lim_m \|\Phi(f_n)\Phi(g_m)\psi\|_H \\
&= \lim_n \|\Phi(f_n) \Phi(g)\psi\|_H \quad\text{denn}\, \Phi(f_n)\, \text{ist stetig} \\
&= \|\Phi(f)\Phi(g)\psi\|_H < \infty
\end{align*}$</math>
und somit <math>\psi\in D_{fg}</math>. Für die Funktionswerte gilt mit demselben Argument:
<math>$\begin{align*}
\Phi(fg)\psi &= \lim_n \Phi(f_n g)\psi \\
&=\lim_n \lim_m \Phi(f_n g_m)\psi \\
&=\lim_n \lim_m \Phi(f_n)\Phi(g_m)\psi \\
&=\lim_n \Phi(f_n)\Phi(g)\psi \\
&=\Phi(f)\Phi(g)\psi
\end{align*}$</math>
und somit <math>\Phi(f)\Phi(g)\subseteq\Phi(fg)</math>. Alle anderen Aussagen folgen so ähnlich.



Satz: Funktionalkalküle und Spektralmaße
Es gibt eine kanonische Bijektion zwischen
(*) Funktionalkalkülen <math>\Phi:\mathcal{L}^0(\Omega)\to Op(H)</math>.
(*) Projektor-wertigen Radon-Maßen <math>\pi: \mathfrak{B}_{\Omega} \to L(H)</math>.

Bemerkung
Die Radon-Maß-Bedingung ist für typische Beispiele von <math>\Omega</math> automatisch gegeben, z.B. für <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math>.

Beweis:
Ist <math>\Phi</math> ein Funktionalkalkül, so ist <math>M\mapsto\Phi(\chi_M)</math> ein Projektor-wertiges Radon-Maß. Ist <math>\pi</math> gegeben, so kann man <math>\Phi(f):=\int f \,\textrm{d}\pi</math>, wobei das Lebesgue-Integral in der üblichen Weise definiert ist, d.h.
<math>\displaystyle \int \sum_{i=1}^n a_i \chi_M \,\textrm{d}\pi := \sum_{i=1}^n a_i \pi(M)</math>
für Treppenfunktionen,
<math>\displaystyle \int f \,\textrm{d}\pi := \sup\{\int g"\,\textrm{d}\pi \mid 0\leq g\leq f\,\text{Treppenfunktion}\}</math>
für <math>f\in\mathcal{L}^\infty_{\geq 0}</math> und
<math>\displaystyle \int f\,\textrm{d}\pi := \int f^+\,\textrm{d}\pi - \int f^-\,\textrm{d}\pi</math>
für allgemeine <math>f\in\mathcal{L}^\infty</math>.

Man beachte, dass <math>\pi</math> Projektor-wertig ist, sodass
<math>\displaystyle \int \chi_{M_1}\cdot\chi_{M_2} \,\textrm{d}\pi = \int \chi_{M_1\cap M_2} \,\textrm{d}\pi = \pi(M_1\cap M_2) = \pi(M_1)\pi(M_2) = (\int \chi_{M_1} \,\textrm{d}\pi)(\int \chi_{M_2}  \,\textrm{d}\pi)</math>
gilt. Durch einen Grenzübergang folgt dadurch allgemein die Multiplikativität von <math>\Phi</math>.


Beispiel: Das kanonische Beispiel für Funktionalkalküle ist der Funktionalkalkül der Multiplikationsoperatoren auf <math>H:L^2(\Omega,\mathfrak{B},\mu)</math> für Maßräume <math>(\Omega,\mathfrak{B},\mu)</math>. Er ist durch <math>\Phi(f):=M_f</math> gegeben, wobei <math>\textrm{dom}(M_f) = \{\psi\in L^2 \mid f\cdot\psi \in L^2\}</math> und <math>M_f \psi := f\cdot\psi</math> ist.

Der folgende Satz zeigt uns nun, dass dies bereits im Wesentlichen das einzige Beispiel ist.

Satz: Normalformen
Sei <math>\Omega</math> ein lokalkompakter Hausdorffraum. Es gibt eine kanonische Bijektion zwischen
(*) Paaren <math>(\mu,U)</math> mit einem endlichen Radon-Maß <math>\mu</math> auf <math>(\Omega,\mathfrak{B})</math> und einer Isometrie <math>U: L^2(\mu) \hookrightarrow H</math>.
(*) Paaren <math>(\Phi,\psi)</math> mit einem Funktionalkalkül <math>\Phi:\mathcal{L}^0(\Omega)\to Op(H)</math> und <math>\psi\in H</math>.

Beweis:
Die Vorwärtsrichtung ist trivial: Ist <math>U</math> gegeben, so kann man <math>\psi:=U(1)</math> setzen und kann den kanonischen Funktionalkalkül auf <math>L^2</math> nach <math>H</math> transportieren, indem man <math>\Phi(f) := U M_f U^\ast</math> setzt.


Sind umgekehrt <math>\Phi</math> und <math>\psi</math> gegeben, dann setzen wir <math>\mu:=\mu_\psi</math> und
<math>\displaystyle U: L^2(\mu_\psi) \to H, f\mapsto\Phi(f)\psi</math>
für alle <math>f\in L^2(\mu_\psi)</math>. Dies ist wohldefiniert und eine Isometrie wegen
<math>\displaystyle \|U(f)\|_H = \| \Phi(f)\psi\| = \|f\|_{L^2(\mu_{\psi})} </math>

Diese Konstruktionen sind zueinander invers: Ist <math>U: L^2(\mu)\to H</math> gegeben, dann ist
<math>\displaystyle \mu_\psi(M) = \langle \psi,\Phi(\chi_M)\psi\rangle_H = \langle U 1,U M_{\chi_M} U^\ast \cdot U 1\rangle_H = \langle 1,\chi_M 1\rangle_{L^2(\mu)} = \mu(M)</math>

Sind umgekehrt <math>\Phi</math> und <math>\psi</math> gegeben, dann gilt für alle <math>\phi=U(f)</math>:
<math>$\begin{align*}
(U M_g U^\ast)(\phi) &= (U M_g U^\ast U)(f) \\
&= U(M_g(f)) \\
&= U(gf) \\
&= \Phi(gf)\psi \\
&=\Phi(g)\Phi(f)\psi \\
&=\Phi(g)\phi
\end{align*}$</math>
für alle <math>f\in L^2(\mu)</math> und alle <math>g\in\mathcal{L}^\infty(\Omega)</math>, also <math>\Phi(g)= U M_g U^\ast</math> auf <math>\textrm{im}(U)</math>. Aus der Eindeutigkeit des Funktionalkalküls folgt die Gleichung für beliebige messbare <math>g\in\mathcal{L}^0</math> (inklusive der Gleichheit der Definitionsbereiche!)


Bemerkung
Das so konstruierte <math>U</math> ist nur eine Einbettung, muss aber i.A. nicht surjektiv sein. Das Bild ist genau <math>\Phi(L^2)\psi = \overline{\Phi(\mathcal{L}^\infty)\psi}=\overline{\Phi(C_0)\psi}</math>. Wenn dies gleich <math>H</math> sein sollte, nennt man <math>H</math> auch <math>A</math>-zyklisch (wobei <math>A</math> der erzeugende Operator des Funktionalkalküls sei). Im Allgemeinen muss <math>H</math> natürlich nicht zyklisch sein, aber eine einfache Anwendung des Lemmas von Zorn zeigt, dass man <math>H</math> in eine orthogonale Summe von zyklischen Modulen zerlegen kann. Da <math>\bigoplus_i L^2(\Omega_i,\mu_i) = L^2(\coprod_i \Omega_i,\sum_i \mu_i)</math> gilt, kann man die Isomorphismen auf den Summanden dann zusammensetzen zu einem gesamten Isomorphismus <math>L^2(\Omega,\mu) \to H</math>, der mit dem Funktionalkalkül verträglich ist.

Man beachte auch, dass das so gewonnene <math>\Omega</math> wieder lokalkompakt und <math>\mu</math> wieder regulär ist. <math>\mu</math> kann genau dann <math>\sigma</math>-endlich gewählt werden, wenn <math>H</math> separabel ist.


Satz: Ergänzungen zum Spektralsatz
Sei ein Funktionalkalkül <math>\Phi</math> gegeben und <math>\pi</math> sein zugeordnetes Spektralmaß.

Es gilt:
(i) <math>\Phi(f) = \Phi(g) \iff f=g</math> <math>\pi</math>-f.ü., d.h. <math>\pi(\{\omega \mid f\neq g\}) = 0</math>.
(ii) <math>\ker(\Phi_{|C_0}) = \{f\in C_0(\Omega) \mid f_{|\textrm{supp}(\pi)} = 0\}</math>.
Insbesondere ist <math>\Phi_{|C_0} \to L(H)</math> genau dann injektiv, wenn <math>\emptyset\neq M\subseteq\Omega</math> offen <math>\implies \pi(M)\neq 0</math> gilt.
(iii) <math>\Phi: L^\infty(\Omega,\mathfrak{B},\pi) \to L(H)</math> ist eine Isometrie.
(iv) Spektraler Abbildungssatz:
<math>\displaystyle \sigma(\Phi(f)) = \text{ess.im}(f) := \{\lambda\in\mathbb{C} \mid \forall\varepsilon: \pi(\omega \mid |f(\omega)-\lambda|<\varepsilon ) \neq 0\}</math>
(v) Eigenräume:
<math>\Phi(\chi_{\{f=z\}})</math> ist die Projektion auf <math>\textrm{Eig}_{z}(\Phi(f))</math>
(vi) <math>\Phi</math> erhält Positivität: <math>f\geq 0 \implies \Phi(f)\geq 0</math>


Beweis:
(i)
<math>$\begin{align*}
\Phi(f) = \Phi(g) &\iff \forall \psi\in D_f\cap D_g: \Phi(f)\psi = \Phi(g)\psi \\
&\iff \forall \psi\in D_f\cap D_g: \|\Phi(f-g)\psi\|_H = 0 \\
&\iff \forall \psi\in D_f\cap D_g: \|f-g\|_{L^2(\mu_\psi)} \\
&\iff \forall \psi\in D_f\cap D_g: \mu_\psi(\{f\neq g\}) = 0 \\
&\iff \forall \psi\in D_f\cap D_g: \langle \psi,\pi(\{f\neq g\})\psi\rangle = 0 \\
&\iff \pi(\{f\neq g\}) = 0
\end{align*}$</math>

(i) folgt sofort aus (ii) und der Tatsache, dass <math>\{f\neq g\}</math> offen ist, wenn <math>f</math> und <math>g</math> stetig sind.

(iii) folgt nun, weil <math>L^\infty(\Omega,\mathfrak{B},\pi) \to L(H)</math> ein injektiver <math>C^\ast</math>-Algebra-Homomorphismus ist, für diese der spektrale Abbildungssatz immer gilt, und <math>\textrm{ess.im}(f) = \sigma_{L^\infty}(f)</math> gilt.

(vi) der spektrale Abbildungssatz gilt, wie gesagt, für beschränkte <math>f</math>. Für beliebige <math>f</math> folgt er so:

Wenn <math>\lambda\notin\textrm{ess.im}(f)</math> ist, dann ist <math>(f-\lambda)^{-1}</math> f.ü. beschränkt. Somit ist <math>(\Phi(f)-\lambda)\Phi((f-\lambda)^{-1})=\Phi((f-\lambda)^{-1})(f-\lambda)=\Phi(1)=1</math> zumindest auf einer dichten Teilmenge. Daher ist <math>\lambda\in \rho(\Phi(f))</math>. Das zeigt <math>\sigma(\Phi(f))\subseteq\textrm{ess.im}(f)</math>.

Für die andere Inklusion sei <math>\lambda\in\textrm{ess.im}(f)</math>, <math>\varepsilon>0</math> und <math>M_\varepsilon</math> von positivem Maß mit <math>|f(x)-\lambda|<\varepsilon</math> auf <math>M_\varepsilon</math>. Seien nun <math>f_n</math> beschränkt mit <math>f_n\to f</math> und <math>|f_n|\leq|f|</math>. Dann gilt:
<math>\displaystyle \|(\Phi(f)-\lambda)\psi\| \leq \|(\Phi(f)-\Phi(f_n))\psi\| + \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| + \|f_n(x)-f(x)\|\|\psi\| + \|f(x)-\lambda\|\|\psi\|</math>
für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>, alle <math>\psi\in\textrm{dom}(\Phi(f))</math> und alle <math>x\in\Omega</math>. Daraus folgt für <math>\|\psi\|=1</math> und <math>x\in M_\varepsilon</math>:
<math>$\begin{align*}
\|(\Phi(f)-\lambda)\psi\| &\leq \underbrace{\inf_n \|(\Phi(f)-\Phi(f_n))\psi\|}_{=0}+\inf_n\|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| \\
&\quad + \underbrace{\inf_n |f_n(x)-f(x)|}_{=0} + |f(x)-\lambda| \\
&= \inf_n \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| + |f(x)-\lambda| \\
&\leq \inf_n \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| + \varepsilon \\
\implies \inf_{\|\psi\|=1} \|(\Phi(f)-\lambda)\psi\| &\leq \inf_{\psi,x,\varepsilon} ( \inf_n \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| + \varepsilon) \\
&= \inf_{\psi,x,\varepsilon} \inf_n \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\| \\
&= \inf_{n,\varepsilon} \inf_x \inf_{\psi} \|(\Phi(f_n)-f_n(x))\psi\|
\end{align*}$</math>
Wenn das innerste Infimum echt größer als Null wäre, dann müsste <math>f_n(x) \notin \sigma_{ap}(\Phi(f_n))</math> sein. Weil wir das Spektrum von <math>\Phi(f_n)</math> schon als das essentielle Bild von <math>f_n</math> erkannt haben, folgt <math>f_n(M_\varepsilon) \cap \textrm{ess.im}(f_n) = \emptyset</math>. Das ist aber ein Widerspruch, da <math>M_\varepsilon</math> keine Nullmenge ist. Also ist das innerste Infimum Null und daher auch die linke Seite. Somit ist <math>\lambda\in\sigma_{ap}(\Phi(f))</math> wie behauptet.

e.) Ist <math>\Phi(\chi_{\{f=z\}})\psi = \psi</math>, dann folgt auch
<math>$\begin{align*}
\Phi(f)\psi &= \Phi(f)\Phi(\chi_{\{f=z\}})\psi \\
&= \Phi(f\chi_{\{f=z\}})\psi \\
&= \Phi(z\chi_{\{f=z\}})\psi \\
&= z \Phi(\chi_{\{f=z\}})\psi \\
&= z \psi
\end{align*}$</math>
(Zunächst für beschränkte <math>f</math> und per Grenzübergang auch für unbeschränkte. Insbesondere ist <math>\psi\in\textrm{dom}(\Phi(f))</math>.)

Ist umgekehrt <math>\Phi(f)\psi=z\psi</math>, dann folgt <math>\Phi(1+|f-z|^2)\psi=\Phi(1+(f-z)^\ast (f-z))\psi=\psi</math> und somit auch <math>\Phi(g)\psi=\psi</math> für <math>g:=\frac{1}{1+|f-z|^2}</math>. Man beachte, dass <math>0\leq g\leq 1</math> und <math>g(\mu)=1 \iff f(\mu)=z</math>. Per Induktion folgt <math>\Phi(g^n)\psi = \Phi(g)^n\psi = \psi</math>. Da nun <math>g^n \to \chi_{\{f=0\}}</math> punktweise und <math>0\leq g^n\leq 1</math> gilt, folgt <math>\Phi(\chi_{\{f=0\}})\psi = \psi</math> aus der Stetigkeit.

(vi) folgt direkt aus (iv).


Spektralsätze für Operatoren



Wenn wir alle diese Sätze nun zusammensetzen und auf den Funktionalkalkül <math>\Phi:C_0(\sigma(A)) \to L(H)</math> eines dicht definierten, normalen Operators anwenden, erhalten wir nun folgende Aussagen:

Konkreter Spektralsatz
Ist <math>A:\textrm{dom}(A)\to H</math> ein dicht definierter, normaler Operator mit <math>\rho(A)\neq\emptyset</math>, dann gilt:

(i) Es gibt es genau einen maximalen Funktionalkalkül <math>\Phi:\mathcal{L}^0(\sigma) \to Op(H), f\mapsto f(A)</math> mit <math>\id_\sigma(A)=A</math>. Er erfüllt:
a.) Alle <math>f(A)</math> sind dicht definiert und normal. <math>f(A)\in L(H)</math>, wenn <math>f</math> beschränkt ist.
b.) <math>(f+g)(A) = f(A)+g(A)</math>, <math>(af)(A) = af(A)</math>, <math>(fg)(A) = f(A)g(A)</math>, <math>1(A)=1</math> und <math>f(A)^\ast = f(A)</math> wo immer beide Seiten der Gleichungen definiert sind.
c.) <math>f(g(A)) = (f\circ g)(A)</math>.
d.) <math>f</math> reell-wertig <math>\implies f(A)</math> selbstadjungiert.
e.) <math>f\geq 0 \implies f(A)\geq 0</math>.
f.) <math>\sigma(f(A)) = \overline{f(\sigma(A))}</math> für alle stetigen <math>f</math>.
g.) <math>\chi_{\{\lambda\}}(A)</math> ist die Projektion auf <math>\textrm{Eig}_\lambda(A)</math>.
h.) <math>A\psi = \lambda\psi \implies f(A)\psi = f(\lambda)\psi</math>. Insbesondere: <math>f(\sigma_p(A)) \subseteq \sigma_p(f(A))</math>.

(ii) Es gibt genau ein Projektor-wertiges Maß <math>\pi:\mathfrak{B}_{\sigma(A)} \to L(H)</math> mit <math>A = \int_{\sigma(A)} \lambda \,\textrm{d}\pi(\lambda)</math>. Es erfüllt <math>\pi(\{\lambda\}) > 0 \iff \lambda\in\sigma_p(A)</math>.
(iii) Für jeden Einheitsvektor <math>\psi\in H</math> gibt es ein W-Maß <math>\mu_\psi</math> auf <math>\sigma(A)</math> und eine Isometrie <math>L^2(\mu_\psi) \to H</math> mit <math>1\mapsto\psi</math> die den Multiplikationsoperator <math>M_{\id}</math> in <math>A</math> überführt.



Abschluss



Der einzige noch verbleibende Schönheitsfehler in diesem Beweis ist die Annahme <math>\rho(A)\neq\emptyset</math>, die wir brauchen, damit überhaupt Resolventen existieren, die man zur Konstruktion von <math>\Phi</math> benutzen könnte.

Ich vermute, dass man diese Annahme umgehen könnte, wenn man statt <math>\frac{1}{z-\lambda} \mapsto R_\lambda(A)</math> etwa <math>\frac{z}{1+|z|^2} \mapsto A R_{-1}(AA^\ast)</math> zur Fortsetzung benutzt. Das erscheint mir jedoch wieder zusätzliche technische Schwierigkeiten zu erzeugen, weil man z.B. zuerst zeigen muss, dass <math>AA^\ast</math> dicht definiert und wesentlich selbstadjungiert ist.

Der hier vorgestellte Ansatz hat den Vorteil, so gut wie kein nichttriviales Wissen über unbeschränkte Operatoren zu benötigen. Das einzig nicht-selbstverständliche Wissen war die Gleichheit <math>\sigma(A) = \sigma_{ap}(A)</math> für normale Operatoren, die wir brauchten, um die allererste Version des spektralen Abbildungssatzes zu beweisen. Danach bekam man den Funktionalkalkül und den Spektralsatz durch abstrakte Argumente, die nichts mehr mit den Operatoren zu tun hatten.


Ich danke meiner Testleserin AnnaKath ganz herzlich.

mfg Gockel.
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"Mathematik: Eine Beobachtung zum Spektralsatz" | 3 Comments
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Re: Eine Beobachtung zum Spektralsatz
von: Mathedonut am: Do. 07. Mai 2015 21:11:38
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Hallo Gockel,

ein super Artikel. Er hat mir sehr gut gefallen.

Es ist vielleicht etwas unelegant, dass man für die verschiedenen Spektralsätze und Funktionalkalküle oft doppelte und dreifache Beweise aufbaut, aber dafür gibt es natürlich auch einige Gründe:

Dein Beweis ist natürlich sehr algebraisch angehaucht, während man als Analytiker sich eher davor drückt größtmögliche Abstraktion und Allgemeinheit zu beweisen. Man geht dann eher den Weg über Spektralmaße oder -scharen und hat dann nur Integrationstheorie zu meistern (Stichwort: Herglotzfunktionen).

Auf der anderen Seite, ist es in Vorlesungen auch üblich erstmal die ganze Funktionalanalysis mit beschränkten Operatoren aufzuziehen und dann ist der Spektralsatz oft der krönende Abschluss. Es wäre wohl didaktisch oft nicht sinnvoll, direkt mit unbeschränkten Operatoren zu beginnen, da man sich dort oft mit technischen Kleinigkeiten aufhalten muss.

Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren bleibt auch meistens der wichtigste. Abundzu braucht man vielleicht noch einen für unitäre Operatoren, aber der allgemein gültige für normale unbeschränkte Operatoren kommt in Anwendungen eher selten vor.

Unabhängig davon ist dein geschlossener Beweis natürlich klasse. In der Tat habe ich solchen noch in keinen Buch gefunden.

Danke!\(\endgroup\)
 

Re: Eine Beobachtung zum Spektralsatz
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 24. Mai 2015 01:54:00
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Sehr netter Beweis, danke! Einen solchen habe ich ebenfalls in keinem Buch gelesen.

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Re: Eine Beobachtung zum Spektralsatz
von: epsilonkugel am: So. 24. Mai 2015 18:50:02
\(\begingroup\)
Toller Artikel, gefällt mir! Ich mag das Zusammenspiel von analytischen- und algebraischen Methoden. Der Trick ist auch mir neu. Beispielsweise lässt sich die übliche Vorgehensweise in Werners "Funktionalanalysis" nachlesen.\(\endgroup\)
 

 
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