Mathematik: Einige höhere trigonometrische Identitäten
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Analysis

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Einige höhere trigonometrische Identitäten

In diesem Artikel werden verschiedene Darstellungen hergeleitet für

• Winkelfunktionen für positiv-ganzzahlige Vielfache <math>\boldsymbol{\sin(nx),~ \cos(nx)}</math>
• Potenzen der Winkelfunktionen <math>\boldsymbol{\sin^n(x),~ \cos^n(x)}</math>
• Trigonometrische Summen vom Typ <math>\boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\cos(a_k t)}</math> bzw. <math>\boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\sin(a_k t)}</math>

sowie durch Beispiele und Schaubilder veranschaulicht.


Zum Beispiel
<math>%\displaystyle
\mbox{\footnotesize{\sin(nx)
=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
}}
</math> (Chebyshev-Polynom-Darstellung)
oder
<math>%\displaystyle
\mbox{\footnotesize{
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
}}
</math>
oder
<math>%\displaystyle
\mbox{\footnotesize{\sum\limits_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big)
=
\sin(t) + \sin(3t) + \sin(5t) + \dots + \sin\big((2n+1)t\big)
=
\frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
}}
</math>

u.v.m.

Insbesondere Kapitel (5) zeigt, wieviel Rechnung teilweise hinter den aus Formelsammlungen bekannten Darstellungen steht.


Inhalt:

(1)
<math>\displaystyle
\cos(nx)
=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n}{2k}  \sin^{2k}(x) \cos^{n-2k}(x)
</math>
(2)<math>\displaystyle
\sin(nx)
=
\sum\limits_{k=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^{k} \binom{n}{2k+1}  \sin^{2k+1}(x) \cos^{n-2k-1}(x)
</math>
(3)
<math>\sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x)</math> ("Chebyshev-Methode")
(4)
<math>\cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math> ("Chebyshev-Methode")
(5)
<math>\displaystyle\boldsymbol{\cdot}
\cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x)
</math>

<math>\displaystyle\boldsymbol{\cdot}
\cos(nx)
=
2^{n-1}\cos^n(x)
~+~
n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x)
~+~
\begin{cases}
(-1)^{\frac{n}{2}},  & \text{falls }n\text{ gerade}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>

(Chebyshev-Polynom-Darstellung)
(6)
<math>\boldsymbol{\cdot}\displaystyle
\sin(nx)
=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
</math>

<math>\displaystyle
\boldsymbol{\cdot}\sin(nx)
=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-1}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
~+~
\begin{cases}
0,  & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{gerade}}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}}  \sin(x), & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{ungerade}}
\end{cases}
</math>
(7)
<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)</math>
(8)
<math>\displaystyle
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right)</math>
(9)
<math>\displaystyle
\boldsymbol{\cdot}\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>

<math>\displaystyle
\boldsymbol{\cdot}\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>
(10)
<math>\displaystyle
\boldsymbol{\cdot}\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}}
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math>

<math>\displaystyle
\boldsymbol{\cdot}\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math>
(11)
<math>\displaystyle
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
(-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} \binom{n}{k}\cos\big((n-2k)x \big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>
(12)
<math>\displaystyle
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
(-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \binom{n}{k}  \sin\big((n-2k)x\big)
\right] ~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math>
(13)
Veranschaulichung von <math>\sin^n(x)</math> und <math>\cos^n(x)</math> gemäß (9), (10), (11), (12)
(14)
<math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\cos(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
</math>
(15)
<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
</math>
(16)
Veranschaulichung von <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt)</math> und <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt)</math> gemäß (14) und (15)
(17)
<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)}
=
\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{2\sin(t)} + \frac{1}{2}
</math>
(18)
<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)}
</math>
(19)
<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big)
=
\frac{\sin\big(2(n+1)t\big)}{2\sin(t)}
</math>
(20)
<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big)
=
\frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
</math>
(21)
Quellen







<math>\displaystyle e^{inx}= \cos(nx) + i\sin(nx)
= \big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n
= \left(e^{ix}\right)^n
</math>

<math>\displaystyle \Rightarrow
\cos(nx) = \mathrm{Re}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg]
</math> und <math>
\sin(nx) = \mathrm{Im}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg]
</math>

<math>\displaystyle
\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n
= \sum\limits_{k=0}^n i^k \binom{n}{k}  \sin^k(x) \cos^{n-k}(x)</math> ("Binomischer Lehrsatz").


<math>i^k</math> ist genau dann rein-reell, wenn <math>k</math> gerade ist (<math>
i^{4k} = 1,~ i^{4k+1} = i,~ i^{4k+2} = -1,~ i^{4k+3} = -i
</math> bzw. <math>i^{2k} =(-1)^k,~ i^{2k+1} =(-1)^k i</math>).


<math>\Rightarrow</math> Aufteilung der Summe in gerade und ungerade Indizes, d.h. Substitution <math>k = 2p</math> bzw. <math>k = 2q+1</math>:


<math>\displaystyle
\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n
=
\sum\limits_{p=0}^P i^{2p} \binom{n}{2p}  \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x)
~+~
\sum\limits_{q=0}^Q i^{2q+1} \binom{n}{2q+1}  \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x) \\
=
\sum\limits_{p=0}^P (-1)^p \binom{n}{2p}  \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x)
~+~
i \cdot \sum\limits_{q=0}^Q (-1)^{q} \binom{n}{2q+1}  \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x)
</math>



  • Größter Index <math>P</math> von <math>p</math>

    · Falls <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow</math> <math>
2p = n ~\Rightarrow~
p = \frac{n}{2}
= \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
</math>


    · Falls <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow</math> <math>
2p = n-1 ~\Rightarrow~
p = \frac{n-1}{2}
= \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
</math>

    <math>\displaystyle \Rightarrow~ P =  \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
</math>


  • Größter Index <math>Q</math> von <math>q</math>

    · Falls <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow</math> <math>
2q+1 = n-1 ~\Rightarrow~
q = \frac{n-2}{2}
= \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
</math>


    · Falls <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow</math> <math>
2q+1 = n ~\Rightarrow~
q = \frac{n-1}{2}
= \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
</math>

    <math>\displaystyle \Rightarrow~ Q =  \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor
</math>

Da <math>\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor
=
\begin{cases}
\frac{m}{2},  & \text{falls }m\text{ gerade}\\
\frac{m-1}{2}, & \text{falls }m\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>


<math>\displaystyle  \Rightarrow~
\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n
=
\sum\limits_{p=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^p \binom{n}{2p}  \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x)
~+~
i \cdot \sum\limits_{q=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^{q} \binom{n}{2q+1}  \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x)
</math>




Ergebnis:
<math>\displaystyle
\mathrm{Re}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg]
=~~~
\cos(nx)
=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n}{2k}  \sin^{2k}(x) \cos^{n-2k}(x)
</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(0x) = 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(4x) = \cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(5x) = \cos^5(x) - 10\cos^3(x)\sin^2(x) + 5\cos(x)\sin^4(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(6x) = \cos^6(x) - 15\cos^4(x)\sin^2(x) + 15\cos^2(x)\sin^4(x) - \sin^6(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(7x) = \cos^7(x) - 21\cos^5(x)\sin^2(x) + 35\cos^3(x)\sin^4(x) - 7\cos(x)\sin^6(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>


Veranschaulichung:
<math>

\newcommand{\TRIGnx}[3]{%========================
\pgfmathsetmacro\n{7}
\begin{tikzpicture}[
%font=\footnotesize,
scale=#3]
\begin{axis}[xscale=1.75,
title={$y = #2(n x)$},
title style = {yshift=-0.75cm},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
%xlabel=$x$,
%every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex},
%ylabel=$y$,
%every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex},
domain = -370/\n:370/\n,
xtick = {-51.428,-25.714,25.714,51.428},
xticklabels = {
$-\frac{2\pi}{n}$,  $-\frac{\pi}{n}$,
$\frac{\pi}{n}$,  $\frac{2\pi}{n}$,
},
x tick style={line width=0.75pt, color=black},
%y tick style={line width=0.75pt, color=black},
%extra x ticks  = {-45, -90, ..., -360},
extra x tick labels= {},
extra y ticks = {-1,-0.9,...,1},
extra y tick labels= \empty,
enlarge x limits={abs=10pt},
enlarge y limits={abs=10pt},
extra y tick style={% ndern des Stils fr extraticks
every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite
major tick length=2pt% andere Lnge
},
]
\addplot [smooth, thick, samples=250]
{#1(\n*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}%========================


\TRIGnx{cos}{\cos}{0.875}
</math>









Aus der Rechnung in (1) folgt ebenso

<math>\displaystyle
\mathrm{Im}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg]
=~~~
\sin(nx)
=
\sum\limits_{k=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^{k} \binom{n}{2k+1}  \sin^{2k+1}(x) \cos^{n-2k-1}(x)
</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(0x) = 0}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(3x) = 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(4x) = 4\sin(x)\cos^3(x) - 4\sin^3(x)\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(5x) = 5\sin(x)\cos^4(x) - 10\sin^3(x)\cos^2(x) + \sin^5(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(6x) = 6\sin(x)\cos^5(x) - 20\sin^3(x)\cos^3(x) + 6\sin^5(x)\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(7x) = 7\sin(x)\cos^6(x) - 35\sin^3(x)\cos^4(x) + 21\sin^5(x)\cos^2(x) - \sin^7(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>


Veranschaulichung:
<math>

\newcommand{\TRIGnx}[3]{%========================
\pgfmathsetmacro\n{7}
\begin{tikzpicture}[
%font=\footnotesize,
scale=#3]
\begin{axis}[xscale=1.75,
title={$y = #2(n x)$},
title style = {yshift=-0.75cm},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
%xlabel=$x$,
%every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex},
%ylabel=$y$,
%every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex},
domain = -370/\n:370/\n,
xtick = {-51.428,-25.714,25.714,51.428},
xticklabels = {
%
$-\frac{2\pi}{n}$,  $-\frac{\pi}{n}$,
$\frac{\pi}{n}$,  $\frac{2\pi}{n}$,
},
x tick style={line width=0.75pt, color=black},
%y tick style={line width=0.75pt, color=black},
%extra x ticks  = {-45, -90, ..., -360},
extra x tick labels= {},
extra y ticks = {-1,-0.9,...,1},
extra y tick labels= \empty,
enlarge x limits={abs=10pt},
enlarge y limits={abs=10pt},
extra y tick style={% ndern des Stils fr extraticks
every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite
major tick length=2pt% andere Lnge
},
]
\addplot [smooth, thick, samples=250]
{#1(\n*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}%========================


\TRIGnx{sin}{\sin}{0.875}
</math>







(3) <math>\sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x)</math> ("Chebyshev-Methode")


(benannt nach P. Chebyshev [auch: Tschebyschow, Tschebyschew], 1821-1894, russischer Mathematiker)


• Mittels der Additionstheoreme
<math>\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)</math>, <math>\cos(a \pm b ) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)</math>
wird

<math>

\begin{align*}
\sin((n+1)x) &=\sin(nx+x) = \sin(nx)\cos(x)+\cos(nx)\sin(x) \\
&=2\sin(nx)\cos(x) - \sin(nx)\cos(x) +\cos(nx)\sin(x) \\
&= 2\sin(nx)\cos(x) - [\sin(nx)\cos(x) -\cos(nx)\sin(x) ] \\
&= 2\sin(nx)\cos(x) - \sin((n-1)x)
\end{align*}
</math>

Mit der Umindizierung <math>n \rightarrow n-1</math> wird

• Ergebnis:
<math>\sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x)</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(0x) = \sin(0) = 0}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(3x) = 2\cos(x)\sin(2x)-\sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(4x) = 2\cos(x)\sin(3x)-\sin(2x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(5x) = 2\cos(x)\sin(4x)-\sin(3x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(6x) = 2\cos(x)\sin(5x)-\sin(4x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(7x) = 2\cos(x)\sin(6x)-\sin(5x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>







(4) <math>\cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math> ("Chebyshev-Methode")




• Mittels der Additionstheoreme
<math>\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)</math>, <math>\cos(a \pm b ) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)</math>
wird

<math>

\begin{align*}
\cos((n+1)x) &=\cos(nx+x) = \cos(nx)\cos(x)-\sin(nx)\sin(x) \\
&=2\cos(nx)\cos(x) - \cos(nx)\cos(x) - \sin(nx)\sin(x) \\
&= 2\cos(nx)\cos(x) - [\cos(nx)\cos(x) + \sin(nx)\sin(x)] \\
&= 2\cos(nx)\cos(x) - \cos((n-1)x)
\end{align*}
</math>

Mit der Umindizierung <math>n \rightarrow n-1</math> wird

• Ergebnis:
<math>\cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(0x) = \cos(0) = 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(3x) = 2\cos(x)\cos(2x)-\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(4x) = 2\cos(x)\cos(3x)-\cos(2x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(5x) = 2\cos(x)\cos(4x)-\cos(3x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(6x) = 2\cos(x)\cos(5x)-\cos(4x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(7x) = 2\cos(x)\cos(6x)-\cos(5x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>







(5) <math>\displaystyle\boldsymbol{\cdot}
\cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x)
</math>

<math>\displaystyle\boldsymbol{\cdot}
\cos(nx)
=
2^{n-1}\cos^n(x)
~+~
n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x)
~+~
\begin{cases}
(-1)^{\frac{n}{2}},  & \text{falls }n\text{ gerade}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>


(Chebyshev-Polynom-Darstellung)



• Weiterbearbeitung der Beispiele aus (4) liefert
<math>\cos(0x) = \cos(0) = 1</math>
<math>\cos(1x) = \cos(x)</math>
<math>\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1</math>
<math>

\begin{align*}
\cos(3x) &= 2\cos(x)\cos(2x)-\cos(x) \\
&= 2\cos(x)\big(2\cos^2(x)-1\big)-\cos(x) \\
&= 4\cos^3(x)-3\cos(x) = \cos(3x)
\end{align*}</math>
<math>

\begin{align*}
\cos(4x) &= 2\cos(x)\cos(3x)-\cos(2x) \\
&= 2\cos(x)\big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\big)-\big(2\cos^2(x)-1\big) \\
&= 8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1 = \cos(4x)
\end{align*}</math>
<math>

\begin{align*}
\cos(5x) &= 2\cos(x)\cos(4x)-\cos(3x) \\
&= 2\cos(x)\big(8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1\big)-\big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\big) \\
&= 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) = \cos(5x)
\end{align*}</math>
<math>\cos(6x) = \dots = 32\cos^6(x) - 48\cos^4(x) + 18\cos^2(x) - 1 = \cos(6x)</math>
<math>\cos(7x) = \dots = 64\cos^7(x) - 112\cos^5(x) + 56\cos^3(x) - 7\cos(x) = \cos(7x)</math>
<math>\dots</math>


<math>\Rightarrow</math> Die Chebyshev-Methode (4) legt nahe, dass <math>\cos(nx)</math> als Polynom (<math>n</math>-ter Ordnung) in <math>\cos(x)</math> geschrieben werden kann.


<math>\Rightarrow</math> Definition: <math>\cos(nx) = T_n(\cos(x))</math> (<math>T_n</math>: "Chebyshev-Polynom <math>n</math>-ter Ordnung")


Zum Beispiel
<math>\cos(0x) = T_0(\cos(x)) = 1</math> bzw. <math>T_0(x) =1</math>
<math>\cos(1x) = T_1(\cos(x)) = \cos(x)</math> bzw. <math>T_1(x) = x</math>
<math>\cos(2x) = T_2(\cos(x)) = 2\cos^2(x)-1</math> bzw. <math>T_2(x) = 2x^2-1</math>
<math>\cos(3x) = T_3(\cos(x)) = 4\cos^3(x)-3\cos(x)</math> bzw. <math>T_3(x) = 4x^3-3x</math>
<math>\dots</math>

Oder allgemein
<math>\cos(nx) = T_n(\cos(x)) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) </math> (vgl. (4))


<math>\Rightarrow</math>
· <math>T_0(x)=1, ~T_1(x)=x</math> (Startwerte)
· <math>T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)</math>, für <math>n >1</math>
(Rekursive Darstellung der Chebyshev-Polynome)


• Um nun <math>T_n(x)</math> in eine Summe zu entwickeln wird zunächst die Erzeugende Funktion <math>\displaystyle T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n</math> von <math>T_n(x)</math> bestimmt.

Mit Hilfe der o.g. Rekurrenz wird (für die Rechnung <math>(x)</math> bzw. <math>(t,x)</math> weggelassen)

<math>\displaystyle

\begin{align*}
T &= \sum\limits_{n=0}^\infty T_n t^n
= T_0 + T_1t + \sum\limits_{n=2}^\infty T_n t^n
= T_0 + T_1t + \sum\limits_{n=2}^\infty (2xT_{n-1} - T_{n-2}) t^n \\
&=T_0 + T_1t + 2x\sum\limits_{n=2}^\infty  T_{n-1} t^n
- \sum\limits_{n=2}^\infty  T_{n-2} t^n \\
&=T_0 + T_1t + 2x\sum\limits_{k=1}^\infty  T_{k} t^{k+1}
- \sum\limits_{k=0}^\infty  T_{k} t^{k+2}
=T_0 + T_1t + 2tx\sum\limits_{k=1}^\infty  T_{k} t^{k}
- t^2\sum\limits_{k=0}^\infty  T_{k} t^{k} \\
&=T_0 + T_1t + 2tx(T-T_0) - t^2 T ~~~\longleftarrow \textsf{Startwerte einsetzen}\\ \\
&= 1+ tx + 2tx(T-1) - t^2T \\
&= 1-tx+(2tx-t^2)T=T
\end{align*}
</math>


<math>\displaystyle \Rightarrow
T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n
= \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}%,~~~~ |x| \leq 1, |t|<1
</math> ("Erzeugende Funktion der Chebyshev-Polynome")

Bemerkung: Für eine alternative Rechnung, die von der Definition <math>\mbox{\footnotesize{T_n(\cos(x)) = \cos(nx)}}</math> ausgeht, siehe hier.



• Mit Hilfe der Erzeugenden Funktion <math>\displaystyle
T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n
= \frac{1-tx}{1-2tx+t^2},~~~~ |x| \leq 1,~ |t|<1,~ |1-2tx+t^2| < 1
</math>
lässt sich nun eine Summendarstellung von <math>T_n(x)</math> angeben.

<math>\displaystyle
T(t,x)
= \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n
= \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}
= (1-tx) \sum\limits_{m=0}^\infty (2tx-t^2)^m,
</math>

da <math>
\sum\limits_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q},</math> für <math>|q|<1</math> ("geometrische Reihe").

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\Rightarrow~~ T(t,x)
&=
(1-tx) \sum\limits_{m=0}^\infty (2tx-t^2)^m
=
(1-tx)\sum\limits_{m=0}^\infty
\sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}(2tx)^{m-k} (-t^2)^k \\
&=
(1-tx)\sum\limits_{m=0}^\infty
\sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}(-1)^k(2x)^{m-k} t^{m+k},
\end{align*}
</math>

da <math>(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}</math> ("Binomischer Lehrsatz")


Mit der Umindizierung <math>n=m+k</math> wird

<math>\displaystyle

\begin{align*}
T(t,x)
&=
(1-tx)\sum\limits_{n=k}^\infty
\sum\limits_{k=0}^N \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n} \\
&=
(1-tx)\sum\limits_{n=0}^\infty
\sum\limits_{k=0}^N \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n},
\end{align*}
</math>
da <math>\binom{n-k}{k} = 0</math>, falls <math>n < k</math>.


· Größter Index <math>N</math> von <math>k</math>:
Es wird <math>\dbinom{n-k}{k}=0</math>, falls <math>k>n-k ~\Leftrightarrow~ 2k>n</math>
<math>\Rightarrow</math> Es ist maximal <math>2k = n</math>

- Falls <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow~~ 2k=n ~~ \Rightarrow~~ k = \frac{n}{2} = \left\lfloor\right \frac{n}{2} \rfloor</math>
- Falls <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow~~ 2k=n-1 ~~\Rightarrow~~ k = \frac{n-1}{2} = \left\lfloor\right \frac{n}{2} \rfloor</math>

Da <math>\left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor
=
\begin{cases}
\frac{m}{2},  & \text{falls }m\text{ gerade}\\
\frac{m-1}{2}, & \text{falls }m\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>

<math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle N =  \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
</math>

<math>\displaystyle
\Rightarrow~~ T(t,x)
=
(1-tx)\sum\limits_{n=0}^\infty
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n},
</math>


ausmultiplizieren

<math>\displaystyle

\begin{align*}
T(t,x)
&=
\sum\limits_{n=0}^\infty
\left[
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}  t^{n}
-
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} x  t^{n+1}
\right] \\
&=
\sum\limits_{n=0}^\infty
\left[
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}  t^{n}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n+1-2k}  t^{n+1}
\right]
\end{align*}
</math>

und umindizieren der zweiten Summe in der Klammer (<math>n \rightarrow n-1</math>)

<math>\displaystyle

\begin{align*}
T(t,x)
&=
\sum\limits_{n=0}^\infty
\left[
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}  t^{n}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-1+1-2k}  t^{n-1+1}
\right] \\
&=
\sum\limits_{n=0}^\infty
\left[
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
\right]  t^{n} \\
&=
\sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n
=
T(t,x)
\end{align*}
</math>

erlaubt schließlich den Koeffizientenvergleich

<math>\displaystyle
T_n(x)
=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
</math>


· I. Fall: <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
=
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\Rightarrow T_n(x)
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
\end{align*}
</math>


· II. Fall: <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
=
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}+1
\Leftrightarrow
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
=
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} -1
</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\Rightarrow T_n(x)
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2} \Bigg[
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\underbrace{
\binom{n-\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
}_{
\begin{smallmatrix}
~=~0, \\
\textsf{da }n-\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1 < \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
\end{smallmatrix}
}
(-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}(2x)^{n-2\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\Bigg] \\
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
\end{align*}
</math>


<math>\Rightarrow</math> Die Summation ist also in beiden Fällen die selbe und kann vorgezogen werden

<math>\displaystyle

\begin{align*}
T_n(x) &=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k}
-
\frac{1}{2}
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\
&=
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\left[
\binom{n-k}{k} - \frac{1}{2}\binom{n-1-k}{k}
\right]
(-1)^k(2x)^{n-2k}
\end{align*}
</math>

Nebenrechnung:
<math>\displaystyle

\begin{align*}
\binom{n-k}{k} - \frac{1}{2}\binom{n-1-k}{k}
&=
\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!} - \frac{1}{2}\frac{(n-1-k)!}{k!(n-1-2k)!} \\
&=
\frac{(n-k)(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} - \frac{1}{2}\frac{(n-1-k)!\cdot(n-2k)}{k!(n-1-2k)!\cdot(n-2k)} \\
&=
\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} \left(n-k - \frac{1}{2}(n-2k)\right) \\
&=
\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} \cdot \frac{n}{2}
\end{align*}
</math>


• Zwischenergebnis I:
<math>
\displaystyle
T_n(x) =
\frac{n}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
</math>


Zieht man das Leitglied (<math>k=0</math>) aus der Summation heraus, wird

<math>
\displaystyle

\begin{align*}
T_n(x) &=
\frac{n}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \\
&=
\frac{n}{2} \cdot (-1)^0 \frac{(n-1-0)!}{0!(n-2 \cdot 0)!} (2x)^{n-2 \cdot 0}
~+~
\frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \\
&=
2^{n-1} x^n + \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
\end{align*}
</math>

Da nun in der Summation kein Index <math>k = 0</math> mehr auftritt, kann der Vorfaktor noch vereinfacht werden;
Nebenrechnung:

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}
&=
\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)(n-1-2k)!}
=
\frac{1}{n-2k} \cdot \binom{n-1-k}{k} \\
&=
\frac{1}{n-2k} \left[ \frac{(n-1-k)!}{k! (n-1-k -k)!} \right] \\
&=
\frac{1}{n-2k} \left[\frac{(n-1-k)!}{(k-1)! (n-1-k -(k-1))!} \cdot \frac{n-1-k - (k-1)}{k} \right] \\
&=
\frac{1}{n-2k} \left[\binom{n-1-k}{k-1} \cdot \frac{n-2k}{k}\right] \\
&=
\frac{1}{k} \cdot \binom{n-1-k}{k-1}
\end{align*}
</math>


Damit wird für Zwischenergebnis I


• Zwischenergebnis II:
<math>\displaystyle
T_n(x) = 2^{n-1}x^n + \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}(2x)^{n-2k}
</math>



Für die kleinste auftretende Potenz, d.h. für <math>k = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor</math>, wird <math>\displaystyle
\def\Y{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
%
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y}
</math>

· I. Fall: <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
=
\frac{n}{2}
</math>

<math>\displaystyle

\def\X{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} }
\def\Y{\frac{n}{2}}

\begin{align*}
\Rightarrow~~
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\X}}{\X} \binom{n-1-\X}{\X-1}(2x)^{n-2\X}
&=
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y} \\
&=
(-1)^\Y \binom{\Y-1}{\Y-1} (2x)^0 \\
&=
(-1)^\Y ~~~~~~~~~~~~ \textsf{(absoluter Koeffizient)}
\end{align*}
</math>

· II. Fall: <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
=
\frac{n-1}{2}
</math>

<math>\displaystyle

\def\X{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} }
\def\Y{\frac{n-1}{2}}

\begin{align*}
\Rightarrow~~
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\X}}{\X} \binom{n-1-\X}{\X-1}(2x)^{n-2\X}
&=
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y} \\
&=
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{\Y}{\Y-1} (2x)^1 \\
&=
\frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \frac{\left(\Y\right)!}{\left(\Y-1\right)!1!} 2x \\
&=
n \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \frac{\Y\left(\Y-1\right)!}{\left(\Y-1\right)!} x \\
&=
(-1)^{\Y} n x
\end{align*}
</math>


Damit lässt sich, für Zwischenergebnis II, die kleinste auftretende Potenz folgendermaßen aus der Summation herausziehen


• Zwischenergebnis III
<math>\displaystyle
T_n(x)
=
2^{n-1}x^n
~+~
\frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}(2x)^{n-2k}
~+~
\begin{cases}
(-1)^{\frac{n}{2}},  & \text{falls }n\text{ gerade}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}} n x, & \text{falls }n\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>




Mittels der Definition <math>T_n(\cos(x)) = \cos(nx)</math> folgt nunmehr aus Zwischenergebnis II

• Ergebnis I
<math>\displaystyle
\cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac n2 \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x)
</math>



Mittels der Definition <math>T_n(\cos(x)) = \cos(nx)</math> folgt nunmehr aus Zwischenergebnis III

• Ergebnis II
<math>\displaystyle
\cos(nx)
=
2^{n-1}\cos^n(x)
~+~
n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x)
~+~
\begin{cases}
(-1)^{\frac{n}{2}},  & \text{falls }n\text{ gerade}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(0x) = 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(2x) =  2\cos^2(x) - 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(4x) = 8\cos^4(x) - 8\cos^2(x) + 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(5x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(6x) = 32\cos^6(x) - 48\cos^4(x) + 18\cos^2(x) - 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos(7x) = 64\cos^7(x) - 112\cos^5(x) + 56\cos^3(x) - 7\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>









• Aus der Definition <math>\cos(nx) = T_n(\cos(x))</math> aus (5) folgt mittels Ableitung

<math>\displaystyle
\big[\cos(nx)\big]"
= -n \sin(nx) = -\sin(x)T"_n(\cos(x))
~\Leftrightarrow~
\sin(nx) = \frac{1}{n} \sin(x)T"_n(\cos(x))
</math>


• Für das Ergebnis I aus (5) <math>\displaystyle
\cos(nx)
=
2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}\cos^{n-2k}(x)
= T_n(\cos(x))
</math> wird entsprechend

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sin(nx) &= \frac{1}{n} \sin(x)T"_n(\cos(x)) \\
&=
\frac{1}{n} \sin(x)
\left[
2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}\cos^{n-2k}(x)
\right]" \\
&=
\frac{1}{n} \sin(x)
\left(
n 2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}(n-2k)\cos^{n-1-2k}(x)
\right) \\
&=
\sin(x)
\left(
2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
\frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}(n-2k)\cos^{n-1-2k}(x)
\right)
\end{align*}
</math>


Nebenrechnung:
<math>\displaystyle

\begin{align*}
\frac{n-2k}{k}\binom{n-1-k}{k-1}
&=
\frac{n-2k}{k}\frac{(n-1-k)!}{(k-1)!(n-2k)!} \\
&=
(n-2k)\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)(n-1-2k)!} \\
&=
\binom{n-1-k}{k}
\end{align*}
</math>


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\Rightarrow~~
\sin(nx)
&=
\sin(x)
\left(
2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\right) \\
&=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\end{align*}
</math>


· I. Fall: <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
=
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\Rightarrow~~
\sin(nx)
&=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \\
&=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\end{align*}
</math>


· II. Fall: <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}
=
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}+1
</math>

<math>\displaystyle

\def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor+1}

\begin{align*}
\Rightarrow~~
\sin(nx)
&=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor+1}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \\
&=
\sin(x)
\left(
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\right) \\
&{\quad}+
\sin(x)
\Bigg(
(-1)^{\X} \binom{n-1-\left(\X\right)}{\X} 2^{n-1-2\left(\X\right)} \cos^{n-1-2\left(\X\right)}(x)
\Bigg) \\
&=
\sin(x)
\left(
\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\right) \\
&{\quad}+
\sin(x)
\Bigg(
(-1)^{\X}
\underbrace{\binom{n-\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-2}{\X}}_{
\begin{smallmatrix}
~=~0, \\
\textsf{da } n-\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-2 < \X
\end{smallmatrix}
}
2^{n-1-2\left(\X\right)} \cos^{n-1-2\left(\X\right)}(x)
\Bigg) \\ \\
&=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\end{align*}
</math>


In beiden Fällen hat man also



• Ergebnis I
<math>\displaystyle
\sin(nx)
=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
</math>



• Für den größten Index <math>k</math> in Ergebnis I, d.h. für <math>k = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor</math>, wird

<math>

\def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\displaystyle \sin(x)
(-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x)
</math>



· I. Fall: <math>n</math> gerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
=
\frac{n}{2} -1
</math>

<math>

\def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\def\Y{\left(\frac{n}{2}-1\right)}
\def\Z{\frac{n}{2}-1}

%\begin{align*}
\displaystyle \sin(x)
(-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x)  \\
~~~~ =
\sin(x)
(-1)^{\Z} \binom{n-1-\Y}{\Z} 2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\
~~~~ =
\sin(x)
(-1)^{\Z} \underbrace{\binom{\frac{n}{2}}{\Z}}_{
\begin{smallmatrix}
~=~ 0, \\
\textsf{da } \frac{n}{2} < \Z
\end{smallmatrix}
}
2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\
~~~~ =  0
%\end{align*}
</math>



· II. Fall: <math>n</math> ungerade <math>\Rightarrow
\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
=
\frac{n-1}{2}
</math>

<math>

\def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}
\def\Y{\left(\frac{n-1}{2}\right)}
\def\Z{\frac{n-1}{2}}

%\begin{align*}
\displaystyle \sin(x)
(-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x)  \\
~~~~ =
\sin(x)(-1)^{\Z} \binom{n-1-\Z}{\Z} 2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\
~~~~ =
\sin(x)(-1)^{\Z} \binom{\Z}{\Z} 2^{0}\cos^{0}(x) \\
~~~~ =  (-1)^{\Z} \sin(x)
%\end{align*}
</math>


Damit wird für Ergebnis I


• Ergebnis II
<math>\displaystyle
\sin(nx)
=
\sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-1}
(-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
~+~
\begin{cases}
0,  & \text{falls }n\text{ gerade}\\
(-1)^{\frac{n-1}{2}}  \sin(x), & \text{falls }n\text{ ungerade}
\end{cases}
</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(0x) = 0}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(3x) = \sin(x)[4\cos^2(x)-1]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(4x) = \sin(x)[8\cos^3(x) - 4\cos(x)]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(5x) = \sin(x)[16\cos^4(x)-12\cos^2(x)+1]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(6x) = \sin(x)[32\cos^5(x)-32\cos^3(x)+6\cos(x)]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin(7x) = \sin(x)[64\cos^6(x)-80\cos^4(x)+24\cos^2(x)-1]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\dots}}</math>







• Mit Hilfe der Eulerschen Identität wird

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^n
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n
\binom{n}{k} \left(e^{-ix}\right)^k \left(e^{ix}\right)^{n-k} \\
&=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n
\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x}
\end{align*}
</math>

da <math>(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}</math> ("Binomischer Lehrsatz")


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n
\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
i \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \sin\big((n-2k)x\big)
\right] \\
\end{align*}
</math>

Da <math>\cos^n(x) = \mathrm{Re}\bigl[\cos^n(x)\bigr]</math> wird

<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)</math>



Beispiele: Siehe (9), (10)
Veranschaulichung: Siehe (13)









• Aus (8) <math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)</math> wird mit <math>\sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right)</math> direkt

<math>\displaystyle
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right)</math>

Bemerkung: Für praktische Berechnung siehe (11) und (12).


Beispiele: Siehe (11), (12)
Veranschaulichung: Siehe (13)








• Aus (7) <math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)</math> wird für gerades <math>n</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right]  \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\binom{n}{\frac{n}{2}}\cos\left(\big(n-2\frac{n}{2}\big)x\right)
+
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right]  \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\binom{n}{\frac{n}{2}}
+
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right]
\end{align*}
</math>


·Für die zweite Summe ist
<math>\displaystyle
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
=
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{n-k} \cos((n-2k)x)
</math>
wegen der Symmetrie das Binomialkoeffizienten <math>\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}</math>

Mit <math>p = n-k ~\Leftrightarrow~ k = n-p</math> wird
- kleinster Index <math>k</math> ist <math>k=\frac{n}{2}+1</math> <math>\Rightarrow~ p = n-k = n-\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n}{2}-1</math> (größter Index <math>p</math>)
- größter Index <math>k</math> ist <math>k=n</math> <math>\Rightarrow~ p = n-k = n-n = 0</math> (kleinster Index <math>p</math>)

<math> \displaystyle

\begin{align*}
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos((n-2(n-p))x) \\
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos(-(n-2p)x) \\
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos((n-2p)x) ~~~~~~~~~ \textsf{da } \cos(-a) = \cos(a) \\
&= \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
\end{align*}
</math>


Damit wird


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\binom{n}{\frac{n}{2}}
+
\sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] \\
\end{align*}
</math>



Ergebnis I:
<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>


• Für den kleinsten Index <math>k=0</math> wird <math>\displaystyle
\binom{n}{0} \cos\big((n-2 \cdot 0)x\big)
= \cos(nx)
</math>, also


Ergebnis II:
<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>



Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^0(x) = 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^2(x) = \frac{1}{2} \big[\cos(2x) + 1 \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^4(x) = \frac{1}{8} \big[\cos(4x) + 4\cos(2x) + 3\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^6(x) = \frac{1}{32} \big[\cos(6x) + 6\cos(4x) + 15\cos(2x) + 10 \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^8(x) = \frac{1}{128} \big[\cos(8x) + 8\cos(6x)+ 28\cos(4x) + 56\cos(2x) + 35\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^{10}(x) = \frac{1}{512} \big[\cos(10x) + 10\cos(8x) + 45\cos(6x) + 120\cos(4x) + 210\cos(2x) + 126\big]}}</math>


Veranschaulichung: Siehe (13)








• Aus (7) <math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)</math> wird für ungerades <math>n</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right]
\end{align*}
</math>


·Für die zweite Summe ist
<math>\displaystyle
\sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
=
\sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{n-k} \cos((n-2k)x)
</math>
wegen der Symmetrie das Binomialkoeffizienten <math>\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}</math>

Mit <math>p = n-k ~\Leftrightarrow~ k = n-p</math> wird
- kleinster Index <math>k</math> ist <math>k=\frac{n-1}{2}+1</math> <math>\Rightarrow~ p = n-k = n-\left(\frac{n-1}{2}+1\right) = \frac{n-1}{2}</math> (größter Index <math>p</math>)
- größter Index <math>k</math> ist <math>k=n</math> <math>\Rightarrow~ p = n-k = n-n = 0</math> (kleinster Index <math>p</math>)

<math> \displaystyle

\begin{align*}
\sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos((n-2(n-p))x) \\
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos(-(n-2p)x) \\
&=
\sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos((n-2p)x) ~~~~~~~~~ \textsf{da } \cos(-a) = \cos(a) \\
&= \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x)
\end{align*}
</math>


Damit wird


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\cos^n(x)
&=
\frac{1}{2^n} \left[
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] \\
&=
\frac{1}{2^n} \left[
2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] \\
\end{align*}
</math>



Ergebnis I:
<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}}
\sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math>


• Für den kleinsten Index <math>k=0</math> wird <math>\displaystyle
\binom{n}{0} \cos\big((n-2 \cdot 0)x\big)
= \cos(nx)
</math>, also


Ergebnis II:
<math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math>



Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^1(x) = \cos(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^3(x) = \frac{1}{4} \big[\cos(3x) + 3\cos(x) \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^5(x) = \frac{1}{16} \big[\cos(5x) + 5\cos(3x) + 10\cos(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^7(x) = \frac{1}{64} \big[\cos(7x) + 7\cos(5x) + 21\cos(3x) + 35\cos(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^9(x) = \frac{1}{512} \big[\cos(9x) + 9\cos(7x)+ 36\cos(5x) + 84\cos(3x) + 126\cos(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\cos^{11}(x) = \frac{1}{1024} \big[\cos(11x) + 11\cos(9x) + 55\cos(7x) + 165\cos(5x) + 330\cos(3x) + 462\cos(x)\big]}}</math>


Veranschaulichung: Siehe (13)








Für gerades <math>n</math> wird mit Ergebnis II aus (9) <math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math> und mit <math>\sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right)</math>



<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sin^n(x)
=
\cos^n\big(x-\frac{\pi}{2}\big)
&=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos\big(n(x-\frac{\pi}{2})\big)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] \\
&=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos\big(nx-\frac{n}{2}\pi\big)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)x - \frac{n-2k}{2}\pi\right)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right]
\end{align*}
</math>


Da <math>\cos(a - m\pi) = (-1)^m \cos(a)</math> wird


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sin^n(x)
&=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos\big(nx-\frac{n}{2}\pi\big)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)x - \frac{n-2k}{2}\pi\right)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] \\
&=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
(-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} (-1)^{\frac{n-2k}{2}} \cos\big((n-2k)x \big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] \\
\end{align*}
</math>




Ergebnis:
<math>\displaystyle
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
(-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} \binom{n}{k}\cos\big((n-2k)x \big)
+
\frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}}
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ gerade}
</math>


Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^0(x) = 1}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^2(x) = \frac{1}{2} \big[-\cos(2x) + 1 \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^4(x) = \frac{1}{8} \big[\cos(4x) - 4\cos(2x) + 3\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^6(x) = \frac{1}{32} \big[-\cos(6x) + 6\cos(4x) - 15\cos(2x) + 10 \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^8(x) = \frac{1}{128} \big[\cos(8x) - 8\cos(6x)+ 28\cos(4x) - 56\cos(2x) + 35\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^{10}(x) = \frac{1}{512} \big[-\cos(10x) + 10\cos(8x) - 45\cos(6x) + 120\cos(4x) - 210\cos(2x) + 126\big]}}</math>


Veranschaulichung: Siehe (13)








Für ungerades <math>n</math> wird mit Ergebnis II aus (10) <math>\displaystyle
\cos^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
</math> und mit <math>\sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right)</math>


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sin^n(x)
=
\cos^n\big(x-\frac{\pi}{2}\big)
&=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
\cos\left(n(x-\frac{\pi}{2})\right)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)(x-\frac{\pi}{2})\right)
\right]
\end{align*}
</math>

Nebenrechnung:
<math>\displaystyle

\begin{align*}
\boldsymbol{\cdot}~
\cos\left(n(x-\frac{\pi}{2})\right)
=
\cos\left(nx - \frac{n}{2}\pi)\right)
&=
\cos\left(nx - \frac{n-1}{2}\pi - \frac{\pi}{2}\right) \\
&=
\sin(nx -\frac{n-1}{2}\pi) \\
&=
(-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx)
\end{align*}
</math>

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\boldsymbol{\cdot}~
\cos\left((n-2k)(x-\frac{\pi}{2})\right)
=
\cos\left((n-2k)x -\frac{n-2k}{2}\pi\right)
&=
\cos\left((n-2k)x -\frac{n-1-2k}{2}\pi- \frac{\pi}{2}\right) \\
&=
\sin\left((n-2k)x -\frac{n-1-2k}{2}\pi\right) \\
&=
(-1)^{\frac{n-1-2k}{2}} \sin\big((n-2k)x\big)
=
(-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \sin\big((n-2k)x\big)
\end{align*}
</math>

da <math>\cos\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(a)</math> und <math>\sin(a - m\pi) = (-1)^m \sin(a)</math>



Damit wird

Ergebnis
<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sin^n(x)
=
\frac{1}{2^{n-1}} \left[
(-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx)
+
\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \binom{n}{k}  \sin\big((n-2k)x\big)
\right] ~~~~ \text{fr } n \text{ ungerade}
\end{align*}
</math>



Beispiele:
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^1(x) = \sin(x)}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^3(x) = \frac{1}{4} \big[-\sin(3x) + 3\sin(x) \big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^5(x) = \frac{1}{16} \big[\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^7(x) = \frac{1}{64} \big[-\sin(7x) + 7\sin(5x) - 21\sin(3x) + 35\sin(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^9(x) = \frac{1}{512} \big[\sin(9x) - 9\sin(7x) + 36\sin(5x) - 84\sin(3x) + 126\sin(x)\big]}}</math>
<math>\mbox{\footnotesize{\sin^{11}(x) = \frac{1}{1024} \big[-\sin(11x) + 11\sin(9x) - 55\sin(7x) + 165\sin(5x) - 330\sin(3x) + 462\sin(x)\big]}}</math>


Veranschaulichung: Siehe (13)







(13) Veranschaulichung von <math>\sin^n(x)</math> und <math>\cos^n(x)</math> gemäß (9), (10), (11), (12)



<math>

\newcommand{\TRIGxHOCHn}[5]{%========================
\def\n{#2}
%\pgfmathsetmacro\n{2}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, scale=#4]
\begin{axis}[xscale=1.25, align =center,
title={$y = #3^n(x),$ \\ $n$ #5},
title style = {yshift=-0.5cm, xshift=0.75cm},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
%xlabel=$x$,
%every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex},
%ylabel=$y$,
%every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)}, anchor=south, xshift=-1.5ex},
domain = -370:370,
xtick = {-360,-180,180,360},
xticklabels = {
%
$-2\pi$,  $-\pi$,
$\pi$,  $2\pi$,
},
extra x ticks  = {-270, -180,..., 270},
extra x tick labels= {},
extra x tick style={% ndern des Stils fr extraticks
every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite
major tick length=2.75pt% andere Lnge
},
ytick = {-1,-0.5,...,1},
extra y ticks = {-1,-0.9,...,1},
extra y tick labels={},
extra y tick style={% ndern des Stils fr extraticks
every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite
major tick length=2pt% andere Lnge
},
enlarge x limits={abs=10pt},
enlarge y limits={abs=10pt},
]
\addplot [smooth, thick, samples=550]
{#1(x)^\n};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}%========================

\begin{tabular}{ cc }
\TRIGxHOCHn{sin}{4}{\sin}{0.875}{gerade} & \TRIGxHOCHn{sin}{3}{\sin}{0.875}{ungerade} \\
\TRIGxHOCHn{cos}{4}{\cos}{0.875}{gerade} & \TRIGxHOCHn{cos}{3}{\cos}{0.875}{ungerade} \\
\end{tabular}
</math>









Da <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt)=
\mathop{\rm Re}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right]</math> Betrachtung der Summe <math>\displystyle \sum\limits_{k=0}^ne^{ikt}</math>.

<math>\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n e^{ikt}
=
\sum\limits_{k=0}^n \left(e^{it}\right)^k
=
\frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1},</math>
da <math>\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} </math> ("endliche geometrische Reihe")


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum\limits_{k=0}^n e^{ikt}
&=
\frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1}
=
\frac{e^{i\left(\frac{2n+1}{2}\right)t}-e^{-i\frac{t}{2}}}{e^{i\frac{t}{2}}-e^{-i\frac{t}{2}}} \\
&=
\frac{\cos\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) - \left[
\cos\left(\frac{t}{2}\right) - i \sin\left(\frac{t}{2}\right)
\right]}{2i \cdot \sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\
&=
\frac{\cos \left(\frac{2n+1}{2} t\right) -\cos\left(\frac{t}{2}\right)}{2i\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
+
i\, \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + \sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2i\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + \sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
-
i\frac{\cos \left(\frac{2n+1}{2} t\right) -\cos\left(\frac{t}{2}\right)}{2\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\[5mm]
&=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
+
i\,\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)},
\end{align*}
</math>

da <math>\sin(a)+\sin(b) = 2 \cdot \sin\left(\frac{a+b}{2}\right)  \cdot \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)</math> und <math>\cos(a)-\cos(b) = -2 \cdot\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{a-b}{2\right)}
</math>.


Ergebnis I:
<math>\displaystyle \mathop{\rm Re}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right]
=
\sum_{k=0}^n\cos(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
</math>

Bemerkung: Für eine reelle Rechnung siehe hier


• Mittels <math>2\sin(a) \cos(b) = \sin(a-b) + \sin(a-b)</math> wird daraus

<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\cos(kt)
&=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\
&=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)+\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
\end{align*}
</math>

Also

Ergebnis II
<math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\cos(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
</math>



Veranschaulichung: Siehe (16)







Aus der Rechnung (14) folgt direkt

Ergebnis
<math>\displaystyle \mathop{\rm Im}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right]
=
\sum_{k=0}^n\sin(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}.
</math>


Veranschaulichung: Siehe (16)






(16) Veranschaulichung von <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt)</math> und <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt)</math> gemäß (14) und (15)




<math>

\newcommand{\SUMMETRIGkx}[3]{%========================
%\def\n{7}
\def\SCALE{0.6125}
\def\n{#3}
%\pgfmathsetmacro\n{7}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, scale=\SCALE]
\begin{axis}[xscale=1.75,
title={\normalsize$\displaystyle y = \sum\limits_{k=0}^{\n}#2(k t)$},
title style = {yshift=-0.55cm},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
%xlabel=$t$,
%every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex},
%ylabel=$y$,
%every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex},
domain = -4*362:4*362,
xtick = {-1440,-1080,...,1440},
xticklabels = {
%
$-4\pi$,  $-3\pi$, $-2\pi$, $-\pi$,
$\pi$,  $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$,
},
extra x ticks  = {-45, -90, ..., -360},
extra x tick labels= {},
extra y ticks = {-1,-0.9,...,1},
extra y tick labels= \empty,
enlarge x limits={abs=10pt},
enlarge y limits={abs=10pt},
extra y tick style={% ndern des Stils fr extraticks
every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite
major tick length=2pt% andere Lnge
},
]
\addplot [smooth, thick, samples=250]
{sin(x*(\n+1)/2)*+#1(x*\n/2)/sin(x/2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}%========================


%\SUMMETRIGkx{<cos fr Sinussumme, sin fr Kosinussumme>}{<Gegenteil>}{<n-Wert>} \\

% Summe sin(kx) von 0 bis n
%\SUMMETRIGkx{cos}{\sin}{3} \\

% Summe cos(kx) von 0 bis n
%\SUMMETRIGkx{sin}{\cos}{3}


\begin{tabular}{ cc }
\SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{1} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{1} \\
\SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{2} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{2} \\
\SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{3} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{3} \\
\SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{4} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{4} \\
\SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{5} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{5} \\ \\
$\dots$                    &  $\dots$ \\ \\
\SUMMETRIGkx{cos}{\sin}{22} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{22} \\
\end{tabular}


</math>








Aus (14) <math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\cos(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
</math> folgt mit

<math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\cos(2kt)
=
\sum_{k=0}^n\cos\big(k\cdot(2t)\big)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, 2t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, 2t\right)}{\sin\left(\frac{2t}{2}\right)}
=
\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}2t\right)}{2\sin\left(\frac{2t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
</math>

die Behauptung direkt.








Aus (15) <math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\sin(kt)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
</math> folgt mit

<math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\sin(2kt)
=
\sum_{k=0}^n\sin\big(k\cdot(2t)\big)
=
\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, 2t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, 2t\right)}{\sin\left(\frac{2t}{2}\right)}
</math>

die Behauptung direkt.








Mit Hilfe des Additionstheorems <math>\cos(a + b ) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)</math> wird


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big)
=
\sum_{k=0}^n\cos\big(2kt + t\big)
&=
\sum_{k=0}^n\big[\cos(2kt)\cos(t) - \sin(2kt)\sin(t)\big] \\
&=
\cos(t)\sum_{k=0}^n\cos(2kt) - \sin(t)\sum_{k=0}^n\sin(2kt)
\end{align*}
</math>


Mit (17) <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)}
</math> und (18) <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)}
</math> wird daraus


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big)
&=
\cos(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} - \sin(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} \\
&=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}\left[
\cos(t)\cos(nt) - \sin(t)\sin(nt)
\right] \\
&=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
\end{align*}
</math>

da <math>\cos(a + b ) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)</math>.

Schließlich wird


<math>\displaystyle
\sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
=
\frac{\sin\big(2(n+1)t\big) + \sin(0)}{2\sin(t)}
=
\frac{\sin\big(2(n+1)t\big)}{2\sin(t)}
</math>

da <math>2\cdot\sin(a)\cdot\cos(b)=\sin(a+b)+\sin(a-b)</math>.








Mit Hilfe des Additionstheorems <math>\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)</math> wird


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big)
=
\sum_{k=0}^n\sin\big(2kt + t\big)
&=
\sum_{k=0}^n\big[\sin(2kt)\cos(t) + \cos(2kt)\sin(t)\big] \\
&=
\cos(t)\sum_{k=0}^n\sin(2kt) + \sin(t)\sum_{k=0}^n\cos(2kt)
\end{align*}
</math>


Mit (17) <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)}
</math> und (18) <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt)
=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)}
</math> wird daraus


<math>\displaystyle

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big)
&=
\cos(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} + \sin(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} \\
&=
\frac{\sin\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}\left[
\cos(t)\sin(nt) + \sin(t)\cos(nt)
\right] \\
&=
\frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
\end{align*}
</math>

da <math>\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)</math>.







(21) Quellen



· Prosthaphäretische Formeln
· Die Beziehungen von Sinus und Cosinus
· Formelsammlung Trigonometrie
· List of trigonometric identities
· Multiple-Angle Formulas
· Trigonometrische Zusammenhänge, Vereinfachungen, Formeln (Arndt Brünner)

· Chebyshev Polynomials








Danke @ MontyPythagoras & Jürgen007 für das Korrekturlesen!

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"Mathematik: Einige höhere trigonometrische Identitäten" | 2 Comments
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Re: Einige höhere trigonometrische Identitäten
von: thureduehrsen am: Mo. 26. Oktober 2015 16:30:04
\(\begingroup\)
Boooooah!! :-o

Große Klasse! Hut ab!

Jetzt weiß ich, was ich meinen Nachhilfeschülern
zum Auswendiglernen vorlegen kann! :-D

mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
 

Re: Einige höhere trigonometrische Identitäten
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 27. Oktober 2015 14:33:37
\(\begingroup\)
Danke Dir!\(\endgroup\)
 

 
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