Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
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Mathematik

\(\begingroup\) Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen. In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren. Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen.

Zur Jankogruppe

Bevor wir anfangen und uns der \( S_5 \) widmen, möchte ich noch ein paar spannende Fakten zur Jankogruppe loswerden, die die Bedeutung ihrer Entdeckung und die beeindruckende Leistung von Janko und seinen Mitstreitern verdeutlichen. Die Jankogruppe \( J_1 \) gilt als die erste moderne sporadische einfache Gruppe und wurde 1965 von Zvonimir Janko entdeckt (etwa 100 Jahre nach den Mathieugruppen). Ein erstes Anzeichen ihrer Existenz zeigte sich bei dem Versuch, alle endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren, die einen Zentralisator vom Typ \( C_2 \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_q) \) besitzen. Für \( q=5 \) trat dabei ein Fall auf, der sich nicht auf offensichtliche Weise ausschließen ließ, für den aber auch kein Beispiel bekannt war. Konkret lässt sich \( J_1 \) definieren als eine endliche einfache Gruppe mit einem Zentralisator der Form \( C_2 \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_5) \) und abelschen 2-Sylowgruppen. Das war alles an Informationen, die Janko zur Verfügung hatte! Davon ausgehend bestimmte er die Ordnung \( |J_1| = 175560 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \), die Charaktertafel, und viele weitere strukturelle Eigenschaften von \( J_1 \). Es ließ sich unter anderem zeigen, dass \( J_1 = \langle y, z \rangle \) von zwei Elementen der Ordnung \( o(y) = 7 \) und \( o(z) = 5 \) erzeugt wird, die diverse Relationen erfüllen müssen. Im Hinblick auf die Fülle an charaktertheoretischen Informationen erscheint es natürlich naheliegend, entsprechende Matrizen \( Y,Z \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) zu suchen, die ebenfalls jene Relationen erfüllen und somit die \( J_1 \) als Matrixgruppe erzeugen. Das Problem: Neben dem trivialen Charakter vom Grad 1 haben die irreduziblen Charaktere der Jankogruppe die Grade 56, 56, 76, 76, 77, 77, 77, 120, 120, 120, 133, 133, 133 und 209. Über einem Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0 wäre die \( J_1 \) also bestenfalls eine Untergruppe von \( \mathrm{GL}(56,\mathbb{K}) \)! Erst mit Hilfe von modularer Darstellungstheorie und mit der Bestimmung der modularen Charaktertafeln wurde klar, dass die Jankogruppe bereits als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) auftreten muss. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters konnte Janko auf systematische Weise die berühmten Matrizen \( Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) und \( Z = \begin{pmatrix} -3 & +2 & -1 & -1 & -3 & -1 & -3 \\ -2 & +1 & +1 & +3 & +1 & +3 & +3 \\ -1 & -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 \\ -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 \\ -3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 & -1 \\ +1 & +3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 \\ +3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 & +1 \end{pmatrix} \) bestimmen, die eine Untergruppe der \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen, welche die Definition der Jankogruppe erfüllen muss (sofern dies denn überhaupt möglich ist). Die Existenz der \( J_1 \) konnte mit ein paar weiteren Überlegungen dann sogar auf die Aussage reduziert werden, dass die Matrizen Y und Z eine Untergruppe mit höchstens 175560 Elementen erzeugen. Die Verifikation dieser Aussage mit einem Computer ist in den 60er Jahren zwar nicht unbedingt trivial aber trotzdem durchaus machbar gewesen.

Charaktertafel der $S_5$ (in Charakteristik 0)

Von hier an wird sich alles um die symmetrische Gruppe \( S_5 \) und ihre Darstellungen drehen. Erinnerung: Ist \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) eine Darstellung, so ist der Charakter von D definiert als die zugehörige Abbildung \( \chi \colon G \to \mathbb{K}, g \mapsto \mathrm{Tr}(D(g)). \) Über einem Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0 ist jede Darstellung von G bis auf Isomorphie eindeutig durch ihren Charakter bestimmt. In der Charaktertheorie werden die Charaktere einer Gruppe oft losgelöst von ihren Darstellungen untersucht. Zerfällungskörper: In der herkömmlichen Charaktertheorie (d.h. über Körpern der Charakteristik 0) wählt man üblicherweise den Körper \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \) der komplexen Zahlen. Das hat zwar gewisse Vorteile, aber für die allermeisten Zwecke kommt es lediglich darauf an, dass es sich bei \( \mathbb{K} \) um einen Zerfällungskörper für G handelt (das heißt, für jede Körpererweiterung \( \mathbb{E} / \mathbb{K} \) und jede irreduzible Darstellung \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{E}) \) gibt es bereits eine zu D isomorphe Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \)). Zum Beispiel erhalten wir für jeden Zerfällungskörper von G die gleichen irreduziblen Charaktere, und damit die gleiche Charaktertafel. Ein wichtiger Satz von Brauer besagt, dass \( \mathbb{K} \) bereits dann ein Zerfällungskörper für G ist, wenn er eine primitive m-te Einheitswurzel enthält, wobei m der Exponent von G ist. Zerfällungskörper können also wesentlich kleiner sein, als der Körper der komplexen Zahlen. Wir werden sehen, dass im Falle der \( S_5 \) bereits \( \mathbb{Q} \) ein Zerfällungskörper ist. Los gehts! Die irreduziblen Charaktere der \( S_5 \) in Charakteristik 0 sind durch folgende Tabelle gegeben: \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345) & (123) & (123)(45)\\ \small{\#} & \small{1} & \small{10} & \small{15} & \small{30} & \small{24} & \small{20} & \small{20}\\ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1\\ \chi_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1\\ \chi_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ \chi_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1\\ \chi_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{array} \) Tatsächlich sind die irreduziblen Charaktere aller symmetrischen Gruppen \( S_n \) bekannt und können durch gewisse Formeln berechnet werden. Die Gruppe \( S_5 \) ist aber klein genug, dass wir ihre irreduziblen Charaktere allein durch ein paar Standardtricks bestimmen können. Diese seien hier kurz genannt: Lineare Charaktere: Die Charaktere der linearen Darstellungen \( G \to \mathrm{GL}(1,\mathbb{K}) \) sind lediglich die Homomorphismen \( G/G' \to \mathbb{K}^\times \). Die Kommutatorgruppe der \( S_5 \) ist die alternierende Gruppe \( A_5 \). Es gibt genau zwei Homomorphismen \( C_2 \cong S_5 / A_5 \to \mathbb{K}^\times \) - nämlich \( \chi_1 \) und \( \chi_2 \). Das sind also alle linearen Charaktere. Permutationscharaktere: Sei G eine Permutationsgruppe auf einer endlichen Menge \( \Omega \). Sei außerdem \( V = \mathbb{K}^{(\Omega)} \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum, von dem wir eine Basis mit \( \Omega \) identifizieren. Indem wir die Permutationen von G auf \( \Omega \) dann zu linearen Abbildungen auf V fortsetzen, erhalten wir eine Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(V) \). Der zugehörige Charakter \( \chi \) zählt lediglich die Fixpunkte der jeweiligen Permutationen. Dieser Charakter ist fast nie irreduzibel: In jedem Fall enthält er den trivialen Charakter \( 1_G \) als Bestandteil. Der Charakter \( \chi - 1_G \) hingegen ist genau dann irreduzibel (in Charakteristik 0!), wenn G zweifach transitiv auf \( \Omega \) operiert. In unserem Beispiel ist \( \chi_3 + 1_G \) gerade der Permutationscharakter der \( S_5 \) auf \( \Omega = \{1,2,3,4,5 \} \). Da die \( S_5 \) zweifach (sogar fünffach) transitiv auf \( \Omega \) operiert, ist \( \chi_3 \) irreduzibel. Wir erhalten unmittelbar auch den irreduziblen Charakter \( \chi_4 = \chi_2 \cdot \chi_3 \). Äußere Potenzen: Sei \( \chi \) der Charakter einer Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(V) \). Dann gibt es eine davon induzierte Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(\Lambda^2(V)) \) mit Charakter \( \Lambda^2(\chi) \). Dieser Charakter ist gegeben durch die Formel \( \Lambda^2(\chi)(g) = \frac{1}{2} \left( \chi(g)^2 - \chi(g^2) \right) \) für alle \( g \in G \). Im konkreten Beispiel gilt \( \chi_7 = \Lambda^2(\chi_3) \). Die Irreduzibilität von \( \chi_7 \) überprüft man mit Hilfe des üblichen Skalarprodukts auf den Klassenfunktionen von G. Tatsächlich ist \(\langle \chi_7, \chi_7 \rangle = 1 \). Mit der selben Konstruktion erhalten wir auch die letzten beiden irreduziblen Charaktere: Wir bilden den Charakter \( \Lambda^2(\chi_7) \) und berechnen die Skalarprodukte \( \langle \Lambda^2(\chi_7), \chi_4 \rangle = 1 \) und \( \langle \Lambda^2(\chi_7), \chi_7 \rangle = 1 \). Aus diesen Gründen ist \( \chi_5 = \Lambda^2(\chi_7) - \chi_4 - \chi_7 \) ebenfalls ein Charakter. Wegen \( \langle \chi_5 , \chi_5 \rangle = 1 \) ist dieser irreduzibel. Schlussendlich erhalten wir auch \( \chi_6 = \chi_2 \cdot \chi_5 \). Da wir nun 7 irreduzible Charaktere gefunden haben und die \( S_5 \) genau 7 Konjugationsklassen besitzt, sind wir an dieser Stelle fertig. \(S_5\) als Matrixgruppe: Anhand der obigen Konstruktionen ist ist unmittelbar klar, dass die Charaktere \( \chi_1, \chi_2 \) und \( \chi_3 \) zugehörige Darstellungen über dem Körper \( \mathbb{Q} \) der rationalen Zahlen besitzen. Alle anderen irreduziblen Charaktere entstanden wiederum aus diesen dreien durch Konstruktionen, welche unabhängig vom zugrundeliegenden Körper funktionieren. Daraus können wir schließen, dass alle Darstellungen der \( S_5 \) über Körpern der Charakteristik 0 bereits über den rationalen Zahlen realisierbar sind. Anders gesagt: Jeder Körper der Charakteristik 0 ist ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \)! Damit lässt sich unser eingehendes Anliegen (in Charakteristik 0) nun leicht anhand der Charaktertafel beantworten: Wir sehen, dass jeder Charakter der \( S_5 \) vom Grad \( \leq 3 \) eine Summe der beiden linearen Charaktere ist, und als solcher einen nicht-trivialen Kern besitzt. Die kleinsten treuen Charaktere der \( S_5 \) sind \( \chi_3 \) und \( \chi_4 \). Somit besitzt die allgemeine lineare Gruppe \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) über Körpern der Charakteristik 0 genau dann eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe, wenn \( n \geq 4 \) ist.

Modulare Charaktertheorie

Bevor wie uns den modularen Charaktertafeln der \( S_5 \) zuwenden, möchte ich kurz die Idee der modularen Charaktertheorie umreißen. Genau wie in Charakteristik 0 können wir auch in positiver Charakteristik jeder Darstellung \( G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) einen Charakter \( G \to \mathbb{k} \) auf übliche Weise zuordnen. Allerdings gibt es hierbei zwei Besonderheiten. Fehlende Eindeutigkeit: Über einem Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik \( p > 0 \) beschreiben Charaktere den Isomorphietyp ihrer Darstellungen nicht mehr eindeutig. Schlimmer noch: Ist \( \chi \colon G \to \mathbb{k} \) ein beliebiger Charakter, so ist \( p \cdot \chi \) die Nullabbildung. Immerhin werden die irreduziblen Darstellungen von G noch eindeutig durch ihren Charakter beschrieben. Fehlende Einheitswurzeln: Ist \( \mathbb{k} \) ein Körper der Charakteristik \( p > 0 \), so gibt es bis auf die 1 keine weiteren Einheitswurzeln mit p-Potenz-Ordnung in \( \mathbb{k} \). Das hat ganz konkrete Konsequenzen für die Charaktertheorie: Sei \( \chi \colon G \to \mathbb{k} \) ein beliebiger Charakter sowie \( g \in G \). Dann ist \( \chi(g) \) eine Summe von m-ten Einheitswurzeln, wobei m die Ordnung von g ist. Ist also g ein p-Element (also ein Element mit p-Potenz-Ordnung), so folgt \( \chi(g) = \chi(1) \). Bei etwas genauerem Hinschauen kann man sogar noch mehr zeigen. Jedes Element \( g \in G \) lässt sich eindeutig in ein Produkt \( g = ab \) aus einem p-Element a und einem \(p'\)-Element b (also ein Element, dessen Ordnung nicht von p geteilt wird) zerlegen, sodass a und b miteinander kommutieren. In dieser Situation gilt stets \( \chi(g) = \chi(ab) = \chi(b) \). Wir sehen also, dass in Charakteristik \( p > 0 \) jeder Charakter von G bereits eindeutig durch seine Werte auf den \( p' \)-Konjugationsklassen bestimmt ist. Insbesondere ist die Anzahl der irreduziblen Charaktere von G höchstens so groß wie die Anzahl der \( p' \)-Konjugationsklassen von G. Über Zerfällungskörpern gilt sogar Gleichheit. p-modulare Systeme: Um das Problem der fehlenden Eindeutigkeit zumindest teilweise zu beheben, hatte Richard Brauer eine geniale Idee. Anstatt einer Darstellung \( D \colon G \to \mathrm{Gl}(n,\mathbb{k}) \) ihren herkömmlichen Charakter zuzuordnen, betrachtete er eine ähnliche Abbildung, die heute Brauercharakter genannt wird. Üblicherweise bilden wir die Spuren der Matrizen \( D(g) \), also die Summe der Eigenwerte von \( D(g) \) über \( \mathbb{k} \). Der Brauercharakter von D bildet g ebenfalls auf die Summe der Eigenwerte von \( D(g) \) ab, allerdings werden diese zuvor in einen anderen Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0 geliftet! Um dies auf sinnvolle Weise tun zu können, benötigen wir ein sogenanntes p-modulares System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \). Dieses besteht aus einem Körper \( \mathbb{K} \) der Charakteristik 0, einem Hauptidealring \( R \subset \mathbb{K} \) mit Quotientenkörper \( \mathbb{K} \) sowie einem Körper \( \mathbb{k} = R / \mathfrak{m} \) der Charakteristik p, der aus R durch Herausteilen eines maximalen Ideals hervorgeht. Nach Konstruktion liegt dann jede Einheitswurzel \( \zeta \in \mathbb{K} \) bereits in R und lässt sich somit zu einer Einheitswurzel \( \overline{\zeta} \in \mathbb{k} \) reduzieren. Ein ganz einfaches Beispiel für ein 5-modulares System wäre etwa \( (\mathbb{Z}/(5),\mathbb{Z},\mathbb{Q}) \). Dieses ist allerdings für unsere Zwecke noch nicht gut genug, denn wir können zum Beispiel die beiden primitiven vierten Einheitswurzeln \( 2,3 \in \mathbb{Z}/(5) \) nicht zu entsprechenden Einheitswurzeln nach \( \mathbb{Q} \) liften. Tatsächlich muss man ein wenig Aufwand betreiben um p-modulare Systeme zu konstruieren, die für die modulare Darstellungstheorie gut geeignet sind (p-adische Körper eignen sich bestens hierfür). Brauercharaktere: Für unsere Zwecke wird es völlig ausreichen zu wissen, dass es für jede endliche Gruppe G und für jede Primzahl p ein p-modulares System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) gibt, sodass \( \mathbb{K} \) und \( \mathbb{k} \) Zerfällungskörper von G sind, die hinreichend viele Einheitswurzeln besitzen und dass die Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) eine Bijektion zwischen den Einheitswurzeln von \( \mathbb{k} \) und den \( p' \)-Einheitswurzeln von \( \mathbb{K} \) liefert. Der Brauercharakter einer \( \mathbb{k} \)-Darstellung D ist dann definiert als die Abbildung \( \beta \colon G_{p'} \to \mathbb{K} \), die jedem \(p'\)-Element \( g \in G_{p'} \) die Summe der Einheitswurzeln in \(\mathbb{K}\) zuweist, die auf eindeutige Weise den Eigenwerten von \( D(g) \) in \( \mathbb{k} \) entsprechen (Vielfachheiten werden dabei berücksichtigt). Die Brauercharaktere der irreduziblen \( \mathbb{k} \)-Darstellungen von G sind linear unabhängig über \( \mathbb{K} \) und jeder Brauercharakter von G zerfällt eindeutig in eine Summe von irreduziblen Brauercharakteren (d.h. von Brauercharakteren irreduzibler \( \mathbb{k} \)-Darstellungen). Die Betrachtung von Brauercharakteren löst das Problem der fehlenden Eindeutigkeit zumindest teilweise: Eine \( \mathbb{k} \)-Darstellung D ist durch ihren Brauercharakter \( \beta \) zwar immer noch nicht bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, aber immerhin sind die Kompositionsfaktoren von D (also ihre "irreduziblen Bestandteile") nun eindeutig durch \( \beta \) bestimmt. Zudem lässt sich der herkömmliche Charakter von D jederzeit aus \( \beta \) rekonstruieren, indem wir die Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) anwenden. Brauercharaktere tragen also mehr Informationen in sich als herkömmliche Charaktere. Brauercharaktere treuer Darstellungen: In der herkömmlichen Charaktertheorie (in Charakteristik 0) lässt sich der Kern jeder Darstellung einer Gruppe G an ihrem Charakter \( \chi \) ablesen. Konkret ist dieser gegeben durch \( \mathrm{Ker}(\chi) = \{ g \in G : \chi(g) = \chi(1) \} \). Im Falle von Brauercharaktern ist dies nicht mehr so einfach möglich, da solche uns lediglich einen Blick auf die \( p' \)-Elemente von G ermöglichen. Tatsächlich ist es so, dass verschiedene Darstellungen von G mit dem selben Brauercharakter verschiedene Kerne haben können. Im konkreten Beispiel \( G = S_5 \) sind wir aber in der glücklichen Situation, dass diese Gruppe keine Normalteiler mit p-Potenz-Ordnung für irgendeine Primzahl p besitzt (das kann man übrigens leicht anhand der obigen Charaktertafel ablesen). Ist nun \( \beta \colon G \to \mathbb{K} \) ein beliebiger Brauercharakter mit \( \beta(g) \neq \beta(1) \) für alle \( 1 \neq g \in G_{p'} \), so muss der Kern einer beliebigen \( \mathbb{k} \)-Darstellung mit Brauercharakter \( \beta \) eine p-Gruppe (und somit trivial) sein. Fazit: Im Falle der \( S_5 \) können wir anhand des Brauercharakters erkennen, ob eine \( \mathbb{k} \)-Darstellung treu ist oder nicht. Die Reduktionsmethode: Das Geniale an Brauers Theorie ist, dass sie eine Brücke zwischen den \( \mathbb{k} \)-Darstellungen einer Gruppe G und den \( \mathbb{K} \)-Darstellungen von G schafft, sofern \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) ein "vernünftiges" p-modulares System ist. Eine der wichtigsten Konstruktionen in diesem Zusammenhang ist die Reduktionsmethode. Sei \( D \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{K}) \) eine \( \mathbb{K} \)-Darstellung mit Charakter \( \chi \colon G \to \mathbb{K} \). Weil R ein Hauptidealring ist, finden wir dann immer eine zu D isomorphe Darstellung \( D' \colon G \to \mathrm{GL}(n,R) \) mit Matrixeinträgen in R. Durch Anwendung der Reduktion \( R \to \mathbb{k} \) erhalten wir schließlich eine \(\mathbb{k}\)-Darstellung \( \overline{D'} \colon G \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \). Das Tolle daran: Der Brauercharakter \( \beta \) von \( \overline{D'} \) stimmt auf den \( p' \)-Elementen von G mit \( \chi \) überein! Wir können also aus jedem \(\mathbb{K}\)-Charakter \( \chi \) unmittelbar einen Brauercharakter herstellen, indem wir \( \chi \) auf die \( p' \)-Elemente von G einschränken. Mehr noch: Tatsächlich tritt jeder irreduzible Brauercharakter von G als Summand eines reduzierten irreduziblen \(\mathbb{K}\)-Charakters auf. Auf diese Weise lassen sich in vielen Fällen alle irreduziblen Brauercharaktere von G aus der Charaktertafel von G ableiten, ohne überhaupt Darstellungen zu betrachten. Ein Satz über Irreduzibilität: Ein wichtiges Resultat, um das wir nicht herum kommen werden, ist folgendes hinreichende Kriterium für Irreduzibilität von Brauercharakteren: Sei \( \chi \) ein irreduzibler \(\mathbb{K}\)-Charakter, sodass (die ganze Zahl) \( |G| / \chi(1) \) nicht durch p teilbar ist. Dann ist der durch \( \chi \) gegebene Brauercharakter automatisch irreduzibel. Ein besonders wichtiger Spezialfall dieses Satzes ist der, in dem die Ordnung von G nicht durch p teilbar ist. In diesem Fall sind alle irreduziblen \(\mathbb{K}\)-Charaktere auch irreduzible Brauercharaktere, und die modulare Charaktertafel von G in Charakteristik p stimmt mit der herkömmlichen Charaktertafel von G überein. Tatsächlich sind dann alle \(\mathbb{K}\)-Charaktere identisch mit den Brauercharakteren, und die Charaktertheorie von G über \(\mathbb{k}\) ist im Wesentlichen identisch mit der über \(\mathbb{K}\). Insbesondere kann das herkömmliche Skalarprodukt auf den Klassenfunktionen von G verwendet werden, und es gelten die üblichen Orthogonalitätsrelationen. Interessant sind also vor Allem die Primzahlen, die die Gruppenordnung \( |G| \) teilen. Zerfällungskörper: In Charakteristik 0 lässt sich anhand der Charaktertafel einer Gruppe G nicht ohne Weiteres ablesen, ob ein gegebener Körper \( \mathbb{K} \) ein Zerfällungskörper für G ist. Das liegt nicht zuletzt daran, dass minimale Zerfällungskörper nicht eindeutig sind. (Zum Beispiel ist \( \mathbb{K} \) genau dann ein Zerfällungskörper der Quaternionengruppe \( Q_8 \), wenn sich \( -1 \) in \( \mathbb{K} \) als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Dementsprechend sind \( \mathbb{Q}(i) \) und \( \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) \) zwei verschiedene minimale Zerfällungskörper der \( Q_8 \).) In positiver Charakteristik p ist genau das Gegenteil der Fall. Hier gibt es einen eindeutig bestimmten minimalen Zerfällungskörper \( \mathbb{k} \) für G. Dieser wird über \( \mathbb{F}_p \) von den Werten aller irreduziblen Charaktere von G (über einem beliebigen Zerfällungskörper) erzeugt, und ist daher leicht anhand der modularen Charaktertafel abzulesen. Diese überraschende Tatsache folgt im Wesentlichen aus dem Satz von Wedderburn, dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist.

Modulare Charaktertafeln der \( S_5 \)

Wir werden nun die modularen Charaktertafeln der symmetrischen Gruppe \( S_5 \) bestimmen. Unser Ziel ist nach wie vor herauszufinden, für welche natürlichen Zahlen n und für welche Körper \( \mathbb{k} \) positiver Charakteristik \( p > 0 \) die allgemeine lineare Gruppe \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) eine zu \( S_5 \) isomorphe Untergruppe besitzt. Wie im letzten Abschnitt erwähnt, brauchen wir dabei nur jene Primzahlen p zu betrachten, die die Gruppenordnung \( |S_5| = 120 \) teilen, also \( p \in \{ 2,3,5 \} \). Für alle anderen Charakteristiken ist die Antwort identisch mit der in Charakteristik 0! Alle folgenden Betrachtungen finden über einem „hinreichend guten” p-modularen System \( (\mathbb{k},R,\mathbb{K}) \) der jeweiligen Charakteristik p statt. Charakteristik 2: Indem wir uns auf die \( 2' \)-Elemente der \( S_5 \) beschränken, erhalten wir mit Hilfe der Reduktionsmethode aus der herkömmlichen Charaktertafel unmittelbar die folgenden Brauercharaktere (linke Seite). \( \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1\\ \beta_4 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5 & 5 & 0 & -1\\ \beta_6 & 5 & 0 & -1 \\ \beta_7 & 6 & 1 & 0\\ \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5 & 5 & 0 & -1 \\ \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{c|c|c|c} S_5 & () & (12345) & (123) \\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_3 & 4 & -1 & 1 \\ \beta_5' & 4 & -1 & -2 \\ \end{array} \) Wir sehen leicht, dass sich \( \beta_7 = \beta_1 + \beta_5 \) aus zwei anderen Brauercharakteren zusammensetzt. Nach Streichen der überflüssigen Zeilen, erhalten wir die mittlere Tabelle, die schon einmal die richtige Größe einer modularen Charaktertafel der \( S_5 \) besitzt. Natürlich ist \( \beta_1 \) als linearer Brauercharakter irreduzibel, und da in Charakteristik 2 keine nicht-trivialen Homomorphismen \( C_2 \cong S_5 / A_5 \to \mathbb{k}^\times \) existieren, gibt es auch keine weiteren linearen Brauercharaktere. Wir zeigen als nächstes, dass \( \beta_3 \) irreduzibel ist und dass der dritte irreduzible Brauercharakter entweder durch \( \beta_5 \) oder \( \beta_5 - \beta_1 \) gegeben ist. Wir betrachten dazu die zyklische Untergruppe \( U = \langle (1,2,3,4,5) \rangle \leq S_5 \). Da die Ordnung von U nicht durch 2 teilbar ist, sind Einschränkungen von Brauercharakteren auf U gewöhnliche Charaktere. Insbesondere können wir das herkömmliche Skalarprodukt verwenden. Wir berechnen \( \langle (\beta_3)_U, (\beta_1)_U \rangle = 0 \) und \( \langle (\beta_5)_U, (\beta_1)_U \rangle = 1 \). Dies zeigt, dass \( \beta_3 \) keinen linearen Bestandteil besitzt, während \( \beta_5 \) höchstens einmal \( \beta_1 \) als Bestandteil enthält. Für einen Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass \( \beta_3 \) reduzibel ist. Dann können wir diesen als Summe \( \beta_3 = \gamma + \delta \) aus zwei irreduziblen Brauercharakteren vom Grad 2 schreiben. Da Brauercharaktere per Definition nur ganz-algebraische Werte annehmen (und daher \( \frac{1}{2} \cdot \beta_3 \) kein Brauercharakter sein kann), sind \( \gamma \) und \( \delta \) notwendigerweise verschieden. Also sind die drei irreduziblen Brauercharaktere der \( S_5 \) gegeben durch \( \beta_1, \gamma \) und \( \delta \). Den gesuchten Widerspruch erhalten wir nun durch Betrachtung aller möglichen Zerlegungen von \( \beta_5 \) in die irreduziblen Brauercharaktere \( \{ \beta_1, \gamma, \delta \} \): Natürlich ist \( \beta_5 \neq \beta_1 + \beta_3 = \beta_1 + \gamma + \delta \). Die einzig übrigen Möglichkeiten sind aber nur \( \beta_5 = \beta_1 + 2 \cdot \gamma \) oder \( \beta_5 = \beta_1 + 2 \cdot \delta \). In beiden Fällen erhalten wir aber den Widerspruch, dass ein Brauercharakter (\( \gamma \) oder \( \delta \)) Werte annimmt, die nicht ganz-algebraisch sind. Dieser Widerspruch zeigt, dass \( \beta_3 \) irreduzibel ist. Da \( \beta_5 \) höchstens einmal den irreduziblen Bestandteil \( \beta_1 \) besitzt und \( \beta_5 - \beta_3 \) kein Brauercharakter ist, bleiben nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist \( \beta_5 \) der dritte irreduzible Brauercharakter der \( S_5 \), oder es ist \( \beta_5 - \beta_1 \). Die modulare Charaktertafel in Charakteristik 2 ist also entweder durch die mittlere Tabelle oder durch die rechte Tabelle gegeben. Es ist leider nicht ganz einfach zu zeigen, dass \( \beta_5 - \beta_1 \) tatsächlich ein Brauercharakter ist, und somit die rechte Tabelle die Richtige ist. Für unsere Zwecke ist dies aber egal. In beiden Fällen können wir anhand der modularen Charaktertafel schlussfolgern, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 2 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist, und dass die \( S_5 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{k}) \) auftritt. Auf der anderen Seite sehen wir, dass es keine treuen \( \mathbb{k} \)-Darstellungen der \( S_5 \) in Dimension \( n \leq 3 \) gibt, und die \( S_5 \) daher nicht als Untergruppe der \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) für solche n auftritt. Charakteristik 3: Wir schränken die herkömmliche Charaktertafel der \( S_5 \) diesmal auf die \( 3' \)-Elemente ein und erhalten die linke Tabelle aus Brauercharakteren. \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & 0\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & 0\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1\\ \end{array} \implies \begin{array}{c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (12345)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & -1\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 1\\ \end{array} \) Wir erkennen sofort, dass sich \( \beta_5 = \beta_4 + \beta_1 \) und \( \beta_6 = \beta_3 + \beta_2 \) als Summe anderer Brauercharaktere schreiben lassen. Nach Streichen der überflüssigen Zeilen erhalten wir die rechte Tabelle, die tatsächlich bereits die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) in Charakteristik 3 ist: Das übliche Argument zeigt, dass \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) die einzigen linearen Brauercharaktere sind. Zudem ist die Zahl \( |S_5| / \chi_7(1) = 20 \) nicht durch 3 teilbar, wodurch die Irreduzibilität von \( \beta_7 \) garantiert ist. Es bleibt also lediglich zu zeigen, dass \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) irreduzibel sind. Genau wie im vorherigen Fall lässt sich durch Einschränkung auf eine zyklische Untergruppe der Ordnung 5 zeigen, dass \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) keine linearen Anteile besitzen. Durch einen analogen Widerspruchsbeweis lässt sich ebenso zeigen, dass sich keiner von beiden in eine Summe zweier irreduzibler Brauercharaktere vom Grad 2 zerlegen lässt. Die Details seien dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. :-) Das Fazit ist das Gleiche wie in Charakteristik 2: Wir sehen anhand der modularen Charaktertafel, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 3 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist, dass diese Gruppe als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{k}) \) auftritt, und dass die \( S_5 \) nicht als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{k}) \) für \( n \leq 3 \) auftritt. Charakteristik 5: Kommen wir nun zum besonders spannenden Fall der Charakteristik 5. Wie üblich schränken wir die Charaktertafel der \( S_5 \) auf die \( 5' \)-Elemente ein und erhalten die linke Tabelle. \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (123) & (123)(45)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \beta_3 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & -1\\ \beta_4 & 4 & -2 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \beta_7 & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \implies \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (123) & (123)(45)\\ \hline \beta_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \beta_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \beta_3' & 3 & 1 & -1 & -1 & 0 & -2\\ \beta_4' & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 2\\ \beta_5 & 5 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \beta_6 & 5 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{array} \) Wie zuvor sehen wir, dass \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) die einzigen linearen Brauercharaktere sind. Außerdem sind die Zahlen \( |S_5|/\chi_5(1) = |S_5|/\chi_6(1) = 24 \) nicht durch 5 teilbar, womit \( \beta_5 \) und \( \beta_6 \) automatisch irreduzibel sind. Deutlich spannender ist nun allerdings die Gleichung \( \beta_3 + \beta_4 = \beta_7 + \beta_1 + \beta_2 \). Diese erzählt uns unter anderem, dass die Brauercharaktere \( \beta_3 \) und \( \beta_4 \) zusammengenommen die beiden lineare Bestandteile \( \beta_1 \) und \( \beta_2 \) enthalten. Um dem näher auf den Grund zu gehen, betrachten wir die Untergruppe \( U = \langle (12), (34) \rangle \leq S_5 \), deren Ordnung nicht durch 5 teilbar ist. Wir berechnen die Skalarprodukte \( \langle (\beta_3)_U, (\beta_2)_U \rangle = \langle (\beta_4)_U, (\beta_1)_U \rangle = 0 \) und erkennen, dass \( \beta_2 \) kein Bestandteil von \( \beta_3 \) sowie \( \beta_1 \) kein Bestandteil von \( \beta_4 \) sein kann. Folglich müssen \( \beta_3' = \beta_3 - \beta_1 \) und \( \beta_4' = \beta_4 - \beta_2 \) Brauercharaktere sein. Wie wir schon wissen, ergeben diese in der Summe \( \beta_3' + \beta_4' = \beta_7 \). Wir erhalten damit die rechte Tabelle, die sich tatsächlich als die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) in Charakteristik 5 herausstellen wird. Es bleibt zu zeigen, dass \( \beta_3' \) und \( \beta_4' \) irreduzibel sind, wobei es dafür sogar bereits genügt zu zeigen, dass sie keine linearen Bestandteile enthalten. Wir wissen bereits, dass \( \beta_2 \) kein Bestandteil von \( \beta_3' \) sowie \( \beta_1 \) kein Bestandteil von \( \beta_4' \) sein kann. Für die übrigen Fälle betrachten wir die zyklische Untergruppe \( H = \langle (1234) \rangle \leq S_5 \) und berechnen die Skalarprodukte \( \langle (\beta_3')_H, (\beta_1)_H \rangle = \langle (\beta_4')_H, (\beta_2)_H \rangle = 0. \) Damit haben wir auch in Charakteristik 5 die modulare Charaktertafel der \( S_5 \) gefunden. Wie in den vorherigen Fällen sehen wir, dass jeder Körper \( \mathbb{k} \) der Charakteristik 5 ein Zerfällungskörper für die \( S_5 \) ist. Besonders ist aber, dass wir nun erstmals sehen, dass es (bis auf Isomorphie genau zwei) treue Darstellungen \( S_5 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{k}) \) gibt. Bei genauerem Hinschauen erkennt man (anhand von \( \beta_4'((12)) = -1 \)) sogar, dass \( \beta_4' \) treue Darstellungen \( S_5 \to \mathrm{SL}(3,\mathbb{k}) \) beschreibt. Daher tritt die \( S_5 \) tatsächlich als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) (sogar als Untergruppe der \( \mathrm{SL}(3,\mathbb{F}_5) \)) auf!

Das große Finale!

Zum Schluss wollen wir noch eine konkrete zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) finden, deren Existenz wir gerade sichergestellt haben. Genauer gesagt werden wir auf systematische Weise die bis auf Konjugation eindeutige Untergruppe der \( \mathrm{SL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren, die zur \( S_5 \) isomorph ist. Aus unseren vorherigen Überlegungen wissen wir bereits, dass es eine bis auf Isomorphie eindeutige Darstellung \( D \colon S_5 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) gibt, die den (irreduziblen) \( \mathbb{F}_5 \)-Charakter \( \chi \) mit folgenden Werten besitzt. (Achtung: Ab hier betrachten wir wieder herkömmliche Charaktere, keine Brauercharaktere!) \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} S_5 & () & (12) & (12)(34) & (1234) & (123) & (123)(45) & (12345)\\ \hline \chi & 3 & 4 & 4 & 1 & 0 & 2 & 3\\ \end{array} \) Wir werden nun versuchen, die Werte von D auf den Elementen der \( S_5 \) zu bestimmen. Wir beginnen mit der Permutation \( \pi = (1234) \). Die Matrix \( D(\pi) \) hat die Ordnung 4 und ist somit über \( \mathbb{F}_5 \) diagonalisierbar. Indem wir die Darstellung D gegebenenfalls durch eine isomorphe Darstellung ersetzen, können wir o.B.d.A. annehmen, dass \( D(\pi) \) tatsächlich eine Diagonalmatrix ist, mit Diagonaleinträgen aus \( \{ 1,2,3,4 \} \). Ihr Quadrat \( D(\pi)^2 \) hingegen ist eine Diagonalmatrix der Ordnung 2 mit Diagonaleinträgen aus \( \{ 1, 4 \} \). Wegen \( \mathrm{Tr}(D(\pi)) = \chi(\pi) = 1 \) und \( \mathrm{Tr}(D(\pi)^2) = \chi(\pi^2) = 4 \) kommt (bis auf Reihenfolge der Diagonalelemente) nur eine Matrix für \( D(\pi) \) in Frage, nämlich \( D(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \) Als nächstes schauen wir uns die Permutation \( \sigma = (345) \) an. Für \( D(\sigma) \) betrachten wir eine generische Matrix \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} \) mit zunächst unbekannten Werten aus \( \mathbb{F}_5 \). Diese Werte gilt es nun zu bestimmen. Wir berechnen die Spuren \( \begin{eqnarray*} a+e+i &=& \mathrm{Tr}(D(\sigma)) = \chi((345)) &=& 0,\\ a+2e-2i &=& \mathrm{Tr}(D(\sigma \pi)) = \chi((123)(45)) &=& 2,\\ a-e-i &=& \mathrm{Tr}(D(\sigma \pi^2)) = \chi((13245)) &=& 3. \end{eqnarray*} \) Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung \( (a,e,i) = (4,0,1) \). Also ist \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} 4 & b & c\\ d & 0 & f\\ g & h & 1 \end{pmatrix}. \) Als nächstes bestimmen wir die Spur \( 2-2fh = \mathrm{Tr}(D(\pi \sigma \pi^3 \sigma)) = \chi((245)) = 0 \), woraus unmittelbar \( fh = 1 \) folgt. Um die Situation weiter zu vereinfachen, wenden wir einen kleinen Trick an. Wie zuvor ersetzen wir D durch eine isomorphe Darstellung, indem wir diesmal alle Werte von D mit der Transformationsmatrix \( T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & f & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) konjugieren (also jede Matrix \( D(\tau) \) durch \( T^{-1} D(\tau) T \) ersetzen). Die resultierende Darstellung bezeichnen wir der Einfachheit halber wieder mit D. Nun hat sich die Matrix \( D(\pi) \) bei dieser Aktion nicht verändert. Die Matrix \( D(\sigma) \) hingegen ist nun gegeben durch \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} 4 & bf & c\\ d/f & 0 & 1\\ g & 1 & 1 \end{pmatrix}. \) Indem wir die Werte \( d/f \) und \( bf \) durch neue frische Variablen ersetzen (die wir der Einfachheit halber wieder mit b und d bezeichnen), erhalten wir \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} 4 & b & c\\ d & 0 & 1\\ g & 1 & 1 \end{pmatrix}. \) Wir betrachten nun das Gleichungssystem \( \begin{eqnarray*} cg - bd +2 &=& \mathrm{Tr}(D(\sigma \pi \sigma \pi)) = \chi((132)) &=& 0,\\ -cg +3bd -1 &=& \mathrm{Tr}(D(\sigma \pi \sigma)) = \chi((1243)) &=& 1, \end{eqnarray*} \) aus dem wir \( bd = 0 \) sowie \( cg = 3 \) schlussfolgern können. Insbesondere sind c und g von Null verschieden, und es gilt entweder \( b = 0 \) oder \( d = 0 \). Zusammen mit der Gleichung \( 2bd + 3cd +3bg +3 = \mathrm{Tr}(D(\sigma)^3) = \chi(()) = 3 \) erhalten wir dann \( cd + bg = 0 \) und somit tatsächlich \( b=d=0 \). Wir sind nun auf folgendem Stand: \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} 4 & 0 & c\\ 0 & 0 & 1\\ g & 1 & 1 \end{pmatrix}. \) Indem wir schließlich noch einmal mit der Transformationsmatrix \( T = \begin{pmatrix} c & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) konjugieren, können wir o.B.d.A. annehmen, dass \( c= 1 \) und \( g = 3 \) gilt (diese Transformation ändert nichts an der Matrix \( D(\pi) \)). Wir haben also schlussendlich eine konkrete Matrix \( D(\sigma) = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) gefunden. Man kann sich nun leicht überlegen, dass die beiden Permutationen \( \pi \) und \( \sigma \) bereits die gesamte Gruppe \( S_5 \) erzeugen. Die Darstellung D ist daher eindeutig durch die Werte \( D(\pi) \) und \( D(\sigma) \) bestimmt. Insbesondere ist die bis auf Konjugation eindeutige zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe \( G \leq \mathrm{SL}(3,\mathbb{F}_5) \) gegeben durch \( G = \left \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right \rangle \). Ich hoffe dieses (im Vergleich zur Jankogruppe sehr einfache) Beispiel vermittelt einen ungefähren Eindruck darüber, wie die systematische Erarbeitung der \( J_1 \) durch (modulare) Charaktertheorie abgelaufen ist.
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"Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie" | 2 Comments
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Re: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
von: helmetzer am: Mi. 29. August 2018 11:00:41
\(\begingroup\)Bin gleich am Anfang gestolpert: Was ist der Zentralisator einer Gruppe? Das Zentrum ...? Aber das wäre ja 1 in einer einfachen nicht-abelschen Gruppe.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
von: Dune am: Mi. 29. August 2018 11:42:39
\(\begingroup\)Ich spreche von einer Untergruppe der Form \( C_G(x) = \{ g \in G : gx = xg \} \) für beliebige \( x \in G \). Da per Definition das Element \( x \) immer im Zentrum von \( C_G(x) \) liegt, und da hier von Zentralisatoren der Form \( C_2 \times \mathrm{PSL}(2,5) \) die Rede ist, geht es in Wirklichkeit sogar um Zentralisatoren von Involutionen. Ich wollte die Einleitung aber nicht unnötig technisch erscheinen lassen (im Anschluss geht es ja auch gar nicht mehr darum), daher habe ich dieses Detail weggelassen.\(\endgroup\)
 

 
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