Mathematik: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
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Mathematik

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Quadratwurzel einer komplexen Zahl und Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten

In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden. \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{-5/4} \pgfmathsetmacro\ImD{3} \pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2 + (\ImD)^2 )} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{1} \pgfmathsetmacro\ImPh{1/2} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); % Winkel \pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=5pt}] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D}; \draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$}; \draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$}; \draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; \draw[-, densely dashed] (U) -- (W0) node[near end, above]{$|D|$} -- (W) node[midway, right]{$D$}; \draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$}; \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$}; % Annotationen \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-2i)=0$}; \node[black] at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$}; \node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$}; \end{tikzpicture}

Inhalt:

• Quadratwurzel einer komplexen Zahl • Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten • Beispiele

Eine quadratische Gleichung z^2+pz+q=0 mit komplexen Koeffizienten p und q lässt sich, wie im reellen Fall, mittels quadratischer Ergänzung, das ist \displaystyle z^2 + 2\frac{p}{2}z + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = -q +\left(\frac{p}{2}\right)^2 , auf die Form \displaystyle \left(z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4}-q bringen. Ist dabei die rechte Seite negativ oder komplex, so ist die Standardmethode der Weg über die Polardarstellung. Wählt man diesen Rechenweg, muss für die rechte Seite das Argument einer komplexen Zahl ermittelt werden. Real- und Imaginärteil eines Ergebnisses enthielten demnach im Allgemeinen trigonometrische Ausdrücke mit Tangens-, Sinus- und Kosinusfunktionen, die unter Umständen gar nicht oder nur aufwendig weiter vereinfacht werden können bzw. nur numerisch bestimmt werden können. Günstig wäre also eine Ergebnisdarstellung in Form von Bruch- bzw. Wurzelausdrucken, wie sie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten liefert; auch bekannt als pq-Formel oder Mitternachtsformel, das ist %\scriptstyle x^2+px+q=0 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} ~\text{ falls }~ \frac{p^2}{4}-q \geq 0 . Der Weg über die Polardarstellung soll also im Folgenden nicht betrachtet werden, zum Zwecke der Auffindung einer Lösungsformel, ähnlich wie im reellen Fall.

Wie bereits erwähnt lässt sich, wie beim reellen Fall, die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten \displaystyle z^2 + pz +q =0 , durch quadratische Ergänzung auf die Form \displaystyle \left(z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4}-q ~:=D bringen, mit einer im Allgemeinen komplexen rechten Seite D, wobei D Diskriminante genannt wird. Es werden also komplexe Zahlen \left(z + \frac{p}{2} \right) gesucht, deren Quadrat gleich D ist oder, mit anderen Worten, die Quadratwurzel der komplexen Zahl D. Daher ist es sinnvoll, sich zunächst zu überlegen, wie sich \sqrt{z} für beliebige komplexe Zahlen z interpretieren lässt.

(1) Quadratwurzel einer komplexen Zahl

· Aus der Polardarstellung (z=|z|e^{\arg(z)i} ) weiß man, dass das Quadrat einer komplexen Zahl das doppelte Argument hat ( z^2=|z|^2e^{2\arg(z)i} ). Also muss die Wurzel einer komplexen Zahl das halbe Argument haben. · Bildet man zu einer gegebenen komplexen Zahl z, die komplexe Zahl w = z + |z|, so erkennt man, wenn man das durch z, w und den Urprung gebildete Dreieck zum Parallelogramm vervollständigt, dass der Zeiger w den Winkel des Zeigers z halbiert. · Eine Quadratwurzel von z muss also auf der Ursprungsgeraden durch w liegen. · Es muss also einen (reellen) Streckfaktor c derart geben, dass cw = \sqrt{z} bzw. (cw)^2 = z ist. · Dann ist auch |z| = |(cw)^2| = |cw|^2 = c^2 |w|^2 , woraus \displaystyle c = \pm \frac{\sqrt{|z|}}{|w|} = \pm \frac{\sqrt{|z|}}{\big|z +|z|\big|} folgt. · Also hat man gefunden \displaystyle \sqrt{z} = \pm \sqrt{|z|} \frac{z+|z|}{\big|z +|z|\big|} ~\text{ für }~ z +|z| \neq 0 , den Haupt- und den Nebenzweig der Quadratwurzel einer komplexen Zahl z. \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-2.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReZ{5/4} \pgfmathsetmacro\ImZ{3} \pgfmathsetmacro\AbsZ{sqrt(\ReZ^2+\ImZ^2)} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsZ)/(sqrt((\ReZ+\AbsZ)^2 +\ImZ^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtZ{\C*(\ReZ+\AbsZ)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtZ{\C*\ImZ} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtZ{sqrt(\ReSqrtZ^2+\ImSqrtZ^2)} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (Z) at (\ReZ,\ImZ); \coordinate (W) at (\ReZ+\AbsZ,\ImZ); \coordinate (W0) at (0+\AbsZ,0); \coordinate (SqrtZ) at (\ReSqrtZ,\ImSqrtZ); \coordinate (SqrtZNz) at (-\ReSqrtZ,-\ImSqrtZ); \pic[draw, ->, red, thin, fill=red!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(z)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=3pt}] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, "\tiny$\arg(z)$"] {angle = W0--U--Z}; \draw[->, thick] (U) -- (Z) node[left]{$z$}; \draw[->, thick] (U) -- (W) node[right]{$w=z+|z|$}; \draw[thick] (Z) -- (W) node[midway, above]{$|z|$}; \draw[-, densely dashed] (U) -- (W0) node[near end, below]{$|z|$} -- (W) node[midway, right]{$z$}; \draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtZNz) -- (W); \draw[red, ->, thick] (U) -- (SqrtZ) node[near end, above]{$\sqrt{z}$}; \draw[red, ->, thick] (U) -- (SqrtZNz) node[near end, above=3pt]{$-\sqrt{z}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtZ]; \end{tikzpicture} · Der problematische Fall z+|z| = 0 tritt ein, wenn z = 0 ist oder z auf der negativen reellen Halbachse liegt (z.B. z=-4). In diesem Falle ist \sqrt{z} = \pm i\sqrt{|z|} (wie man leicht verifiziert), also eine rein imaginäre Zahl. · Damit hat man also das Ergebnis: \fbox{% \sqrt{z} = \begin{cases} \pm i\sqrt{|z|} & \text{für }~ z \in \mathbb{R}_{\leq 0} \\[0.75em] \pm \sqrt{|z|} \dfrac{z+|z|}{\big|z +|z|\big|} & \text{sonst} \end{cases} }% Anmerkung: Nach dem Gesagten ist im Übrigen %\setlength{\fboxsep}{1pt} \fbox{% \arg\left( \sqrt{z} \right) = \dfrac{\arg(z)}{2} }% und, wie man direkt entliest, %\setlength{\fboxsep}{1pt} \fbox{% \vert\sqrt{z}\vert = \sqrt{|z|} \vphantom{\dfrac{\mathrm{Re}(z)+|z|}{\big|z +|z|\big|}} }% sowie %\setlength{\fboxsep}{1pt} \fbox{% \mathrm{Re}\left( \sqrt{z} \right) = \sqrt{|z|} \dfrac{\mathrm{Re}(z)+|z|}{\big|z +|z|\big|}, ~~~ \mathrm{Im}\left( \sqrt{z} \right) = \sqrt{|z|} \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{\big|z +|z|\big|} ~\text{ falls } z \not\in \mathbb{R}_{\leq 0} }% bzw. \fbox{% \mathrm{Re}\left( \sqrt{z} \right)= 0, ~~~ \vphantom{\dfrac{\mathrm{Re}(z)+|z|}{\big|z +|z|\big|}} \mathrm{Im}\left( \sqrt{z} \right)= \sqrt{|z|} ~\text{ falls } z \in \mathbb{R}_{\leq 0} }% .

(2) Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Für \displaystyle z^2 + pz + q = 0 ~\Leftrightarrow~ \left(z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4}-q ~:=D liefert (1) entsprechend \fbox{% \begin{minipage}{0.9\textwidth} \textit{z}^2 + pz + q = 0 \\ ~\Leftrightarrow~ z_{1/2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{D} ~~\text{ mit }~ D = \dfrac{p^2}{4}-q ~\text{ und }~ \sqrt{D} = \begin{cases} \pm i\sqrt{|D|} & \text{für }~ D \in \mathbb{R}_{\leq 0} \\[0.75em] \pm \sqrt{|D|} \dfrac{D+|D|}{\big|D +|D|\big|} & \text{sonst} \end{cases} \end{minipage} }% Diese Lösungsformel der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten entspricht gewissermaßen dem Gegenstück zur Lösungsformel der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten.

Beispiele

• Beispiel I (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante komplex) • Beispiel II (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante negativ) • Beispiel III (Koeffizienten reell, Lösungen komplex, Diskriminante negativ) • Beispiel IV (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante positiv-reell)


Beispiel I (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante komplex) z^2 -(2+i)z + (2-2i)= 0 = z^2+pz +q D = \dfrac{p^2}{4}-q = \dfrac{(-(2+i))^2}{4}-(2-2i) = -\dfrac54 +3i, |D| =\dfrac{13}{4} \sqrt{D} ~=~ \pm \sqrt{|D|} \dfrac{D+|D|}{\big|D +|D|\big|} ~=~ \pm \sqrt{\dfrac{13}{4}} ~ \dfrac{-\dfrac54 +3i+\dfrac{13}{4}}{\left|-\dfrac54 +3i +\dfrac{13}{4}\right|} ~=~ \pm \dfrac{2+3i}{2} \textit{z}_{1/2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{D} ~=~ \dfrac{2+i}{2} \pm \dfrac{2+3i}{2} ~=~ \begin{cases} 2+2i & =z_1 \\ -i & =z_2 \end{cases} \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{-5/4} \pgfmathsetmacro\ImD{3} \pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2 + (\ImD)^2 )} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{1} \pgfmathsetmacro\ImPh{1/2} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); % Winkel \pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=5pt}] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D}; \draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$}; \draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$}; \draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; \draw[-, densely dashed] (U) -- (W0) node[near end, above]{$|D|$} -- (W) node[midway, right]{$D$}; \draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$}; \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$}; % Annotationen \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-2i)=0$}; \node[black] at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$}; \node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$}; \end{tikzpicture}
Beispiel II (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante negativ) z^2 +(2+2i)z + (4+2i)= 0 = z^2+pz +q D = \dfrac{p^2}{4}-q = \dfrac{(2+2i)^2}{4}-(4+2i) = -4, |D|=4 \sqrt{D} ~=~ \pm i \sqrt{|D|} ~=~ \pm i \sqrt{4} ~=~ \pm 2i \textit{z}_{1/2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{D} ~=~ -\dfrac{2+2i}{2} \pm 2i ~=~ \begin{cases} -1+i & =z_1 \\ -1-3i & =z_2 \end{cases} \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-4.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-4,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-3.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-3,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{-4} \pgfmathsetmacro\ImD{0} \pgfmathsetmacro\AbsD{abs(\ReD)} %\pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{0} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{sqrt(\AbsD)} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt((\ReSqrtD)^2+(\ImSqrtD)^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{-1} \pgfmathsetmacro\ImPh{-1} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); % \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); \pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(D)/2=\frac{\pi}{2}$}, pic text options={xshift=0pt, right=0pt} ] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(D)=\pi$}, pic text options={xshift=10pt, right=0pt} ] {angle = W0--U--D}; \draw[->, thick] (U) -- (D) node[above]{$-4=D$}; %\draw[->, ] (U) -- (W) node[above]{$w$}; %\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; %\draw[-, densely dashed] (U) %-- (W0) node[near end, below]{$|z|$} %-- (W) node[midway, right]{$D$}; %\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, <-, ] (SqrtD) -- (U) node[near start,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, left=11pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = -1+i$}; % \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[near end, left=5pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -1-3i$}; % % Annotationen \node[black] at (4,3.5) {$\sqrt{D} = 2i$}; \node[black] at (4,3.0) {$-\frac{p}{2} = -1-i$}; \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (3,4) {$z^2 +(2+2i)z + (4+2i)= 0$}; \end{tikzpicture}
Beispiel III (Koeffizienten reell, Lösungen komplex, Diskriminante negativ) z^2 -4z + 5= 0 = z^2+pz +q D = \dfrac{p^2}{4}-q = \dfrac{(-4)^2}{4}-5 = -1, |D|=1 \sqrt{D} ~=~ \pm i \sqrt{|D|} ~=~ \pm i \sqrt{1} ~=~ \pm i \textit{z}_{1/2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{D} ~=~ -\dfrac{-4~}{\hphantom{-}2~} \pm i ~=~ 2 \pm i \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-2.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-2,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{-1} \pgfmathsetmacro\ImD{0} \pgfmathsetmacro\AbsD{abs(\ReD)} %\pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{0} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{sqrt(\AbsD)} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt((\ReSqrtD)^2+(\ImSqrtD)^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{2} \pgfmathsetmacro\ImPh{0} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); % \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); % Winkel %\pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, %pic text={\tiny$\arg(D)/2=\frac{\pi}{2}$}, %pic text options={xshift=0pt, right=0pt} %] {angle = W0--U--W}; % %\pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, %pic text={\tiny$\arg(D)=\pi$}, %pic text options={xshift=10pt, right=0pt} %] {angle = W0--U--D}; \draw[->, thick] (U) -- (D) node[above]{$-1=D$}; %\draw[->, ] (U) -- (W) node[above]{$w$}; %\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; %\draw[-, densely dashed] (U) %-- (W0) node[near end, below]{$|z|$} %-- (W) node[midway, right]{$D$}; %\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, <-, ] (SqrtD) -- (U) node[midway,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[midway,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[right, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 =2+i$}; % \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[right, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 =2-i$}; % % Annotationen \node[black, anchor=east] at (4,2.5) {$\sqrt{D} = i$}; \node[black, anchor=east] at (4,2) {$-\frac{p}{2} = 2$}; \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (3,3) {$z^2 -4z + 5= 0$}; \end{tikzpicture}
Beispiel IV (Koeffizienten komplex, Lösungen komplex, Diskriminante positiv-reell) z^2 +(2+2i)z + (-5+2i)= 0 = z^2+pz +q D = \dfrac{p^2}{4}-q = \dfrac{(2+2i)^2}{4}-(-5+2i) = 5, |D| = 5 \sqrt{D} ~=~ \pm \sqrt{|D|} \dfrac{D+|D|}{\big|D +|D|\big|} ~=~ \pm \sqrt{5} \dfrac{5+5}{\big|5 +5\big|} ~=~ \pm \sqrt{5} \textit{z}_{1/2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{D} ~=~ -\dfrac{2+2i}{2} \pm \sqrt{5} ~=~ \begin{cases} (-1+\sqrt{5})-i & =z_1 \\ (-1-\sqrt{5})-i & =z_2 \end{cases} \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=3cm, y=3cm, scale=0.45, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,...,2}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{5} \pgfmathsetmacro\ImD{0} \pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2 + (\ImD)^2 )} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{-1} \pgfmathsetmacro\ImPh{-1} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); % Winkel %\pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle %eccentricity=1.0, % pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=5pt}] %{angle = W0--U--W}; \pic[->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)=0$}, pic text options={xshift=-17pt, yshift=5pt}] {angle = W0--U--D}; %\draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$}; %\draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$}; %\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; %\draw[-, densely dashed] (U) %-- (W0) node[near end, below]{$|D|$} %-- (W) node[midway, right]{$D$}; %\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[below=6pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = (-1+\sqrt{5})-i$}; \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[below=9pt, anchor=west, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = (-1-\sqrt{5})-i$}; % Annotationen \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt, anchor=east] at (3.5,2.5) {$z^2 +(2+2i)z + (-5+2i)= 0$}; \node[black, anchor=east] at (3.5,1.5) {$\sqrt{D} = \sqrt{5}$}; \node[black, anchor=east] at (3.5,2) {$-\frac{p}{2} = -1-i$}; \end{tikzpicture}
Quellen:wikipedia: QuadratwurzelMathematics.SX: How do I get the square root of a complex number?
Danke @Slash für das Korrekturlesen!
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"Mathematik: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten" | 19 Comments
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Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 10. Dezember 2018 16:52:18
\(\begingroup\)Schreibfehler im 1. Beispiel / Graphik und Eröffnungsgraphik. Es fehlte eine '2'. Richtig muss es heißen z² - (2+i)z + (2-2i) = 0. Korrigiert. Danke @Hans-Juergen für den Hinweis! \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Hans-Juergen am: Fr. 14. Dezember 2018 09:08:06
\(\begingroup\)In der Figur von Abschnitt (1) erscheint mir der rote Pfeil deutlich zu lang. Es soll sein abs(sqrt(z)) = sqrt(abs(z)) . Ich messe beim Bildschirmformat 1280x1024 (5:4) (abs(z) = 4,9 cm und abs(sqrt(z)) = 2,7 cm, was nicht der obigen Bedingung entspricht. (Richtig wären ca. 2,2 cm.) \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: MontyPythagoras am: Fr. 14. Dezember 2018 10:15:11
\(\begingroup\)@Hans-Jürgen, in Abschnitt (1) geht es um den allgemeinen Fall. Es ist in der fraglichen Figur gar keine Einheit angegeben, dementsprechend kann man die Länge auch gar nicht "messen". Wenn $|z|=1$ wäre, müsste auch $|\sqrt z|=1$ sein, und $|z|$ und $|\sqrt z|$ wären gleich lang. Ein Verhältnis wie gemessen von 4,9 zu 2,7 würde genau dann passen, wenn $|z|=\tfrac{2401}{729}=3,29355...$ wäre. Warum soll es das nicht sein. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizient
von: Hans-Juergen am: Fr. 14. Dezember 2018 18:13:42
\(\begingroup\)Hallo Thomas, Längen kann man an der Figur durchaus messen, etwa mit dem GEO-Dreieck. 😉 Darüber hinaus denke ich: ein Beispiel soll den allgemeinen Fall veranschaulichen und ihm nicht widersprechen, auch nicht im Detail. Das aber tut cis' Figur. Bei ihr ist abs(sqrt(z)) ungleich sqrt(abs(z)) , während in Wirklichkeit beides stets gleich sein muss. Nur darauf wollte ich aufmerksam machen. Herzlichen Gruß Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: MontyPythagoras am: Fr. 14. Dezember 2018 19:51:32
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, in der Figur ist nichts, was sich widerspricht. Es sind nur $\sqrt z$ und $|z|$ abgebildet. Daher weiß ich nicht, woraus Du ableiten willst, dass in der Figur $|\sqrt z|\neq\sqrt{|z|}$ sein soll, wenn Du den Zahlenwert gar nicht kennen kannst, weil gar keine Skala zu sehen ist. Dass man mit einem Geodreieck irgendetwas messen kann, ist mir auch klar. Aber Dir ist offenbar nicht klar, dass wenn die Länge von z hier zum Beispiel 10000 wäre, die Wurzel von z nur 100 wäre und damit verschwindend klein. Ohne dass Du Zahlenwerte kennst, kannst Du gar nicht sagen, wie lang die Wurzel aus z im Verhältnis zu z sein müsste. Ich hoffe, es ist jetzt klarer geworden. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 14. Dezember 2018 19:54:42
\(\begingroup\)Also der Code für alle Figuren ist stets der gleiche, mit dem einen Unterschied, dass ich beim 1. Graph keine Skala anzeigen lasse. Wenn ich eine Skala ergänze und die Einstelllung x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, und \pgfmathsetmacro\ReZ{5/4} \pgfmathsetmacro\ImZ{3} so lasse, also $z=\frac54 +3i \Rightarrow~ |z| = \frac{13}{4} \Rightarrow~ |\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{\frac{13}{4}} \approx 1.8 $, und zusätzlich \draw[blue, very thick, ->] (0,0) -- (0,1.8) node[midway, left]{Test}; ergänze, habe ich $ \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] \draw[blue, very thick, ->] (0,0) -- (0,1.8) node[midway, left]{Test}; % x-Achse \draw[->] (-2.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-2,-1.5,...,4}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,-1.5,...,4}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReZ{5/4} \pgfmathsetmacro\ImZ{3} \pgfmathsetmacro\AbsZ{sqrt(\ReZ^2+\ImZ^2)} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsZ)/(sqrt((\ReZ+\AbsZ)^2 +\ImZ^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtZ{\C*(\ReZ+\AbsZ)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtZ{\C*\ImZ} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtZ{sqrt(\ReSqrtZ^2+\ImSqrtZ^2)} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (Z) at (\ReZ,\ImZ); \coordinate (W) at (\ReZ+\AbsZ,\ImZ); \coordinate (W0) at (0+\AbsZ,0); \coordinate (SqrtZ) at (\ReSqrtZ,\ImSqrtZ); \coordinate (SqrtZNz) at (-\ReSqrtZ,-\ImSqrtZ); \pic[draw, ->, red, thin, fill=red!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(z)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=3pt}] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, "\tiny$\arg(z)$"] {angle = W0--U--Z}; \draw[->, thick] (U) -- (Z) node[left]{$z$}; \draw[->, thick] (U) -- (W) node[right]{$w=z+|z|$}; \draw[thick] (Z) -- (W) node[midway, above]{$|z|$}; \draw[-, densely dashed] (U) -- (W0) node[near end, below]{$|z|$} -- (W) node[midway, right]{$z$}; \draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtZNz) -- (W); \draw[red, ->, thick] (U) -- (SqrtZ) node[near end, above]{$\sqrt{z}$}; \draw[red, ->, thick] (U) -- (SqrtZNz) node[near end, above=3pt]{$-\sqrt{z}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtZ]; \end{tikzpicture} $ Also das passt erstmal. Möglicherweise liegt es irgendwie an den Maßstäblichkeiten.\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 14. Dezember 2018 23:46:13
\(\begingroup\)PS: \quoteon @Hans-Jürgen, in Abschnitt (1) geht es um den allgemeinen Fall. Es ist in der fraglichen Figur gar keine Einheit angegeben, dementsprechend kann man die Länge auch gar nicht "messen". Wenn $|z|=1$ wäre, müsste auch $|\sqrt z|=1$ sein, und $|z|$ und $|\sqrt z|$ wären gleich lang. Ein Verhältnis wie gemessen von 4,9 zu 2,7 würde genau dann passen, wenn $|z|=\tfrac{2401}{729}=3,29355...$ wäre. Warum soll es das nicht sein. Ciao,Thomas \quoteoff Kommt etwa hin: $\sqrt{(\frac54 \cdot 1.5)^2 + (3 \cdot 1.5)^2} \cdot 0.725 = 3.53$\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Hans-Juergen am: Di. 18. Dezember 2018 11:09:35
\(\begingroup\)Hallo cis und Thomas, aus dieser Diskussion habe ich Neues hinzugelernt und es hier auf meiner Homepage verwertet. Danke und frohe Weihnachten! Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: nosapa am: Mi. 19. Dezember 2018 22:59:27
\(\begingroup\) Hallo, man kann eine Gleichung zweiten Grades in eine Pythagoras Form umwandeln. Wenn ax^2+bx+c=0 dann ist (+2a^2 x^2 +2ac-b^2)^2 +(+2ac)^2 =(2ac-b^2)^2 Denn (+2a^2 x^2 +2ac-b^2)^2 +(+2ac)^2 -(2ac-b^2)^2=4a^2 (ax^2+bx+c)(ax^2-bx+c) Es ist bekannt dass (2mn)^2 +(m^2-n^2)^2 =(m^2 +n^2)^2 Jezt kann man die Zuordnung tun. Möglichkeit 1. +2mn=+2a^2 x^2 +2ac-b^2 +m^2-n^2=+2ac +m^2 +n^2=2ac-b^2 Möglichkeit 2 +m^2-n^2=+2a^2 x^2 +2ac-b^2 +2mn=+2ac +m^2 +n^2=2ac-b^2 Ich gehe davon aus dass die drei Teile des Pythagoras Satzes alle positiv sind , wenn nicht dann gibt es noch mehrere Möglichkeiten der Zuordnung. Ich hoffe es ist eine Hilfe, diese Umwandlung. Gruß Nosapa Frohe Weihnacht \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 20. Dezember 2018 03:00:38
\(\begingroup\)\quoteon(nospa) a) ... wenn nicht dann gibt es noch mehrere Möglichkeiten der Zuordnung. b) Ich hoffe es ist eine Hilfe, diese Umwandlung. \quoteoff b) Ja, ich hoffe auch viel. Inwiefern? Was hat das jetzt für eine praktische Relevanz? Wie löse ich damit einfach eine QGL mit komplexen Koeffizienten oder wie ziehe ich damit die Wurzel aus einer komplexen Zahl? a) Wenn Du großartige Ideen hast, dann schreibe einen Artikel dazu; denn irgendwo trittbrettfahrerisch und vor allen Dingen wenigsagend-fragmentarisch reinzufunken ist ja wohl mindestens mal Zeitverschwendung... \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: weird am: Do. 20. Dezember 2018 12:50:50
\(\begingroup\)Ok, ich versuch es dann auch mal mit einem Alternativvorschlag, was die Berechnung der beiden Lösungen $w_{1,2}$ der komplexen Gleichung $w^2=z$ für ein vorgegebenes $z\in \mathbb C$ betrifft. Dazu gehe ich von der Darstellung $z=|z|(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$ mit $\varphi=\arg(z)$ aus. Dann ist zunächst einmal klar, dass die beiden Wurzeln obiger Gleichung gegeben sind durch $w_{1,2}=\pm\sqrt{|z|}(\cos(\frac\varphi2)+i\sin(\frac\varphi2))$ und mithilfe der bekannten Formeln $\cos(\frac{\varphi}2)=\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}2},\ \sin(\frac{\varphi}2)=\sqrt{\frac{1-\cos\varphi}2}$ kann man dies nach leichter Umformung auch schreiben als $w_{1,2}=\pm\left(\sqrt{\frac{|z|+Re(z)}2}+i\ sign(Im(z))\sqrt{\frac{|z|-Re(z)}2}\right)$ Nun also die Gretchenfrage: Ist diese Formel gegenüber der im Artikel angegebenen ein Gewinn? Für mich schon, denn zum einen ist die Berechnung m.E. etwas einfacher und vor allem braucht man hier auch keine Fallunterscheidung was $z$ betrifft. Aber ich bin ja schon gespannt, was die anderen, vor allem cis dazu sagen, und geh dazu vorsorglich schon mal in Deckung. 😁 Edit: In obiger Formel fehlte ursprünglich der Faktor sign(Im(z)). \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 20. Dezember 2018 13:14:04
\(\begingroup\)\quoteon(weird) und geh dazu vorsorglich schon mal in Deckung \quoteoff Ja, das ist auch richtig so. Du sollst hier keine einfachen Sonderfälle lösen, sondern ein praktikables Verfahren für den allgemeinen Fall angeben. Wenn man das nämlich -mit der bzw. ähnlicher Methode- macht, kommt man auf irgendwie sowas \ \frameon z^2 + (p_(\calR) + i p_(\dsI)) z + (q_(\calR) + i q_(\dsI)) = 0 => z_(1\/2) = -(p_(\calR) + i p_(\dsI))/2 +- (\sqrt((R + A)/2) + i * sign^\+(B) \sqrt((R - A)/2)) wobei A = (p_(\calR)^2 - p_(\dsI)^2)/4 - q_(\calR), |B = (p_(\calR)*p_(\dsI))/2 - q_(\dsI), |R = \sqrt(A^2 + B^2) und sign^\+(B) = cases(1\,, B >= 0; -1\,, B<0) \frameoff (eine Herleitung hier). Und schön ist das nicht, wegen den vielen Nebenrechnungen, die man da hat. \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: weird am: Do. 20. Dezember 2018 14:25:46
\(\begingroup\)\quoteon(cis) Ja, das ist auch richtig so. Du sollst hier keine einfachen Sonderfälle lösen, sondern ein praktikables Verfahren für den allgemeinen Fall angeben. \quoteoff Dann frag ich mich echt, warum der theoretische Teil deines Artikels oben (die Beispiele also nicht gerechnet) fast zur Gänze diesem "einfachen Sonderfall" gewidmet ist. Es gibt einen guten Grund dafür, nämlich dass der allgemeine Fall eine simple Anwendung davon ist, da es hier nur um die Berechung der Wurzel aus der Diskriminante geht. Und ja, gegebenüber deinen Rechnungen oben werden hier nur die Werte $A$ und $R$ benötigt, wobei letzteren ja auch du brauchst. Keine Rede also davon, dass dies nicht "praktikabel" wäre, vor allem nicht im Vergleich zu deiner Methode. 😮 \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 20. Dezember 2018 14:45:44
\(\begingroup\)Die zu lösende Gleichung lautet $z^2 + pz + q = 0$ (immer noch...). Du sollst mich hier nicht in dumme Diskussionen verwickeln, Du sollst eine geschlossene Darstellung der Lösungen $z_{1/2} = z_{1/2}(p,q)$ angeben, mit möglichst wenigen Substitutionen und Nebenrechnungen. Also wenn dann kürzer / kompakter als \quoteon(Artikel) $\fbox{% \begin{minipage}{0.9\textwidth} \scriptstyle \textit{z}^2 + pz + q = 0 \\ ~\Leftrightarrow~ z_{1/2} = -\frac{p}{2} + \sqrt{D} ~~\text{ mit }~ D = \frac{p^2}{4}-q ~\text{ und }~ \sqrt{D} = \begin{cases} \scriptstyle \pm i\sqrt{|D|} &\scriptstyle \text{für }~ D \in \mathbb{R}_{\leq 0} \\[0.75em] \scriptstyle \pm \sqrt{|D|} \frac{D+|D|}{\big|D +|D|\big|} &\scriptstyle \text{sonst} \end{cases} \end{minipage} }% $ \quoteoff Darum ging es hier in dem Artikel (das steht schon im 1. Satz). Es ging nicht darum: "Ich weiß irgendwas zum Thema, und das drehe ich jetzt so hin, als ob ich alles besser weiß..." (wofür jetzt die Kommentare missbraucht werden). \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: weird am: Do. 20. Dezember 2018 16:03:35
\(\begingroup\)Was den polemischen Teil deines Kommentars betrifft ("dumm", "weiß alles besser" etc.) geh ich jetzt nicht darauf ein, jeder der hier mitliest, kann sich ja selbst ein Bild machen bzw. hat es sich aufgrund früherer Beiträge von dir schon längst gemacht. ☹️ Bezogen auf die allgemeine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten besteht hier der einzige Unterschied ja nur in der Berechnung von $\sqrt D$, wozu du erstens eine unschöne Fallunterscheidung benötigst und wo du zweitens 2 Beträge berechnen musst. Was also so kurz und kompakt aussieht, ist es in Wahrheit dann gar nicht. Für meine Methode wird zur Berechnung von $\sqrt D=\frac 12 \sqrt{p^2-4q}$ ebenfalls $|D|$ benötigt, während sich $Re(D)$ (wie dein $A$ oben) wie folgt ergibt: $Re(D)=\frac 14 (Re(p)^2-Im(p)^2-4Re(q))$ was dann in etwa mit der Berechnung von deinem $|D+|D||$ vergleichbar ist. Von "nicht praktikabel" kann also keine Rede sein und insgesamt ist mein Vorschlag also genau das, als was ich ihn oben bezeichnet habe, nämlich durchaus eine Alternative im Rahmen des allgemeinen Themas hier. 😎 \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 20. Dezember 2018 16:34:00
\(\begingroup\)Also es kommt keine geschlossene Darstellung von $z^2 + pz + q = 0$ bis $z_{1/2} = z_{1/2}(p,q)$. Das hättest Du längst machen können, und das wäre weniger Arbeit gewesen, als hier so überflüssige, halbseitige Texte belehrender, dumm-debattierender Natur zu schreiben. Was willst Du eigentlich? Ne, ganz im ernst. Du kommst hier her, lässt so einen fragmentarischen Furz rein und jetzt muss man dich als Helden feiern, oder was? Was soll man jetzt tun? Den Artikel lesen. Dann die Kommentare lesen, dann sich sagen: "Ah Moment, weird hat einen fragmentarischen Furz ergänzt. Ah dann mache ich das besser so." Also ich werde bei matroid beantragen, dass er den Artikel wieder rausnimmt. Ich habe mir nicht die Arbeit gemacht, um dann schließlich mit Dir penetranten Wichtigtuer so ein überflüssiges scheiß Gespräch zu führen. \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: MontyPythagoras am: Do. 20. Dezember 2018 22:06:12
\(\begingroup\)Hallo zusammen, es wäre schön, wenn Ihr Euch auf den Austausch von sachlichen Argumenten beschränken könntet. Die Darstellung von cis hat (möglicherweise) durchaus einen Vorteil, wie ich gleich zeigen werde. Die Kritik von weird ist aber dahingehend gerechtfertigt, dass sich im Grunde die ganze Sache auf das Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl reduzieren lässt, denn die Lösung der quadratischen Gleichung lautet genau wie in den reellen Zahlen: $$z_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}4-q}$$nur dass hier halt $\frac{p^2}4-q$ auch eine komplexe Zahl sein kann. Daher bringt die Formel von cis erst einmal keine neue Erkenntnis. Die Beispiele von cis sind auch insofern unglücklich, weil sie so gewählt sind, dass sie glatt aufgehen. Nehmen wir aber ein (halbwegs) zufälliges Beispiel, wie etwa $D=17+31i$. Zunächst der Rechenaufwand mit cis Methode: $$|D|=\sqrt{17^2+31^2}=\sqrt{1250}=25\sqrt{2}$$$$D+|D|=17+25\sqrt2+31i$$$$\left|D+|D|\right|=\sqrt{(17+25\sqrt{2})^2+31^2}=\sqrt{17^2+2\cdot17\cdot25\sqrt2+1250+31^2}=\sqrt{2500+34\cdot25\sqrt2}$$$$\sqrt{|D|}\frac{D+|D|}{|D+|D||}=\sqrt{25\sqrt{2}}\cdot\frac{17+25\sqrt{2}+31i}{\sqrt{2500+34\cdot25\sqrt2}}$$Jetzt muss man genauer hinsehen, aber man kann die Wurzel vor dem Bruch mit dem Nenner teilweise kürzen: $$\sqrt{|D|}\frac{D+|D|}{|D+|D||}=\frac{17+25\sqrt{2}+31i}{\sqrt{50\sqrt2+34}}=\frac{17+25\sqrt{2}+31i}{\sqrt2 \sqrt{17+25\sqrt2}}$$Das muss man entweder so stehen lassen, oder den Realteil kürzen und den Imaginärteil passend erweitern, um dann letztlich zu erhalten: $$\sqrt{|D|}\frac{D+|D|}{|D+|D||}=\sqrt{\frac{17}2+\frac{25}2\sqrt2}+i\sqrt{\frac{25}2\sqrt2-\frac{17}2}$$Hier habe ich also den Rechenschritt des Erweiterns des Nenners sogar noch übersprungen. Die Alternative, auf die andere schon hingewiesen haben, lautet: $$\sqrt{a+bi}=\sqrt{\tfrac12\sqrt{a^2+b^2}+\tfrac12a}+i\cdot\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\tfrac12\sqrt{a^2+b^2}-\tfrac12a}$$Auf dieses Zahlenbeispiel angewendet bedeutet das: $$\sqrt{D}=\sqrt{\tfrac12\sqrt{17^2+31^2}+\frac{17}2}+i\cdot1\cdot\sqrt{\tfrac12\sqrt{17^2+31^2}-\frac{17}2}$$$$\sqrt{D}=\sqrt{\tfrac12\sqrt{1250}+\frac{17}2}+i\sqrt{\tfrac12\sqrt{1250}-\frac{17}2}$$$$\sqrt{D}=\sqrt{\frac{25}2\sqrt2+\frac{17}2}+i\sqrt{\frac{25}2\sqrt2-\frac{17}2}$$Unter dem Strich kann man definitiv sagen, dass die Alternativformel zumindest für die manuelle Berechnung den deutlich kürzeren Weg darstellt, weil eigentlich in cis' Methode das gleiche gerechnet wird, man aber dann manuell noch die letzten Schritte (kürzen und Imaginärteil passend erweitern) durchführen muss, die in der Alternativ-Variante bereits fertig verarbeitet sind. Der potentielle (!) Vorteil der Darstellung von cis besteht dagegen in der numerischen Berechnung in Programmiersprachen. Nehmen wir an, wir haben eine Programmiersprache, die komplexe Zahlen verarbeiten kann. Dann würde man die cis-Variante so programmieren ($h$ sei eine Hilfsvariable, die Funktion "Abs()" berechne den Betrag einer ggf. komplexen Zahl, und die Funktion "Sqrt()" die Wurzel aus einer reellen Zahl): \sourceon h=Abs(D) h=Sqrt(h)*(D+h)/Abs(D+h) \sourceoff Zwei Funktionsaufrufe für "Abs()", einmal für "Sqrt()", zwei Additionen, eine Multiplikation, eine Division, zwei Wertzuweisungen an eine Variable. Mit der Alternativvariante sähe das so aus: \sourceon a=Re(D) b=Im(D) h=Sqrt(a*a+b*b) h=(Sqrt(h+a)+i*Sign(b)*Sqrt(h-a))*0.70710678118654752440084436210485 \sourceoff Von den Aufrufen für "Re()", "Im()" und "Sign()" und mehr Speicherbedarf für zwei zusätzliche Variablen abgesehen, haben wir drei Aufrufe von "Sqrt()", vier Additionen, vier Multiplikationen, vier Wertzuweisungen, also insgesamt (zumindest oberflächlich betrachtet) mehr Rechenoperationen. Wenn es darum geht, die letzten Mikrosekunden in zeitkritischem Code rauszuquetschen, sind solche Feinheiten manchmal entscheidend. Eventuell kann man Details geringfügig anders programmieren (z.B. a^2 statt a*a, wobei aber erfahrungsgemäß in den mir bekannten Programmiersprachen der doppelte Variablenaufruf und die einfache Multiplikation schneller vonstatten geht als das Potenzieren). Außerdem bedeutet für den Prozessor der Aufruf der "Abs()"-Funktion natürlich intern auch nichts anderes als $\sqrt{a^2+b^2}$, und insofern käme es jeweils auf einen Versuch an, welcher Code tatsächlich der schnellere ist - natürlich nur, falls es denn überhaupt notwendig ist, weil die Programmiersprache nicht einfach direkt die Wurzelfunktion für eine komplexe Variable zur Verfügung stellt... Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: weird am: Fr. 21. Dezember 2018 09:53:13
\(\begingroup\)@Thomas, Zunächst einmal vielen Dank für deinen Beitrag, der hoffentlich sehr zu Versachlichung der Diskussion hier beitragen wird, auch wenn ich nicht allen Punkten mit dir übereinstimme, wovon noch die Rede sein wird. Worin ich voll mit dir übereinstimme, wie ich ja selbst auch schon angemerkt habe, ist die Tatsache, dass es hier wirklich nur auf die Berechnung von $\sqrt D$ ankommt, wobei $D$ die Diskriminante der quadratischen Gleichung $z^2+pz+q=0$ mit $p,q\in \mathbb C$ ist. Alles andere ist ja formal gleich wie bei einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten und bedarf daher keiner gesonderten Erwähnung. Was ich ebenfalls sehr schön finde und was ich selbst nicht besser hätte machen können, ist deine Beispielrechnung mit einer Diskriminante $D$, welche mehr dem "Normalfall" entspricht. Sie zeigt sehr schön auf, was ich auch oben schon angesprochen habe, dass die Einfachheit von cis' Formel oft darüber hinwegtäuscht, dass man bis zum fertigen Endergebnis oft doch noch sagen wir "einige" Rechnungen durchzuführen hat. Meine Formel - "meine" bedeutet hier natürlich nicht, dass sie von mir gefunden, sondern eben nur als alternative Möglichkeit vorgeschlagen wird - führt manchmal, wie eben auch in diesem Beispiel schneller auf ein "herzeigbares" Endergebnis und ist somit durchaus "praktikabel". Der Teil deiner Ausführungen, wo ich mit dir leider ganz und gar nicht übeinstimme, bezieht sich auf die Programmierbarkeit der zugrundliegenden Formeln. Zunächst einmal hast du in \sourceon h=Abs(D) h=Sqrt(h)*(D+h)/Abs(D+h) \sourceoff den zweiten Fall in cis' Formel ganz weggelassen. Diese Fallunterscheidung ist ja gerade eine meiner Hauptkritikpunkte hier, indem Fallunterscheidungen in der Mathematik generell als "unelegant" verschrieen sind und sie die meisten Mathematiker daher auch meiden "wie der Teufel das Weihwasser". :D Des weiteren bin ich mit mit der Umsetzung meiner Methode in ein Programm, nämlich \sourceon a=Re(D) b=Im(D) h=Sqrt(a*a+b*b) h=(Sqrt(h+a)+i*Sign(b)*Sqrt(h-a))*0.70710678118654752440084436210485 \sourceoff nicht wirklich einverstanden. Für mich fehlt hier die explizite Berechnung von Re$(D)$, wie ich sie oben angegeben hatte. Auch versteh ich nicht, warum hier die Berechnung von h - anders als oben - "aufgedröselt" und die numerische Näherung von $1/\sqrt 2$ benützt wird. In diesen Teil deiner Ausführungen kann ich dir also leider nicht ganz folgen, denn für eine Vergleichbarkeit der beiden Formeln müsste man m.E. viel mehr ins Detail gehen, sie wäre wohl erst auf der Basis von Bitoperationen gegeben. Danke jedenfalls, dass du dir auch dazu Gedanken gemacht hast. 😉 PS: Was allerdings den Faktor Sign(b) betrifft, so hatte ich den tatsächlich in meiner Formel "vergessen" und habe das oben editiert. \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
von: MontyPythagoras am: Fr. 21. Dezember 2018 13:02:21
\(\begingroup\)Hallo weird, ich gehe bei den Pseudo-Codeschnipseln davon aus, dass die komplexe Zahl $D$ bereits im Speicher vorliegt, also schon aus zwei Floating-Point-Zahlenwerten besteht, und ich mit a=Re(D) und b=Im(D) nur noch die beiden Zahlenwerte separaten Variablen zuweise. Die Berechnung von D hat also schon vorher stattgefunden. Wenn das keinen Zeitvorteil bringt, weil eventuell der Aufruf "Re(D)" genauso schnell geht wie der Aufruf von "a", könnte man sich das natürlich schenken... Du hast auch recht damit, dass ich die Fallunterscheidung unterschlagen habe, die schon wieder einen Tacken kosten könnte - aber nicht unbedingt muss. Im Gegenteil, wenn relativ oft "Sonderfälle" oder "Ausnahmen" auftreten, wo man sich eine aufwendige Rechnung sparen kann, weil man den gesuchten Wert ohnehin kennt, dann führt unter dem Strich die Fallunterscheidung sogar zu einer Zeitersparnis. Ein Beispiel: ich habe mir in Excel VBA unter anderem die inkompletten, elliptischen Integrale auf Basis der extrem schnell konvergierenden, symmetrischen Carlson-Form programmiert (ich kann mir bei dem Begriff "Excel VBA" gerade lebhaft das schmerzverzerrte Gesicht der Vollblutmathematiker hier im Forum vorstellen, aber Excel-Dateien haben in der Ingenieur-Berufswelt nun einmal den unschlagbaren Vorteil, dass man sie jedem Hanswurst schicken kann, und er sie garantiert öffnen und benutzen kann). Wenn ich aber doch den genauen Wert des elliptischen Integrals bei x=0 kenne, warum nicht einfach den Wert 1.57079632679489661923... ($\tfrac{\pi}2$) zuweisen, wenn das ein häufig vorkommender Wert ist und nach der aufwendigen rekursiven Berechnung sowieso raus käme? Womöglich sogar noch mit einer Abweichung, aufgrund der Summe vieler kleiner Rundungsfehler? Ich bin natürlich kein professioneller Programmierer, aber meine Erfahrung ist bisher allgemein, dass sämtliche Rechenoperationen, die man in einer Hochsprache programmiert, grundsätzlich länger dauern, als eventuell maschinennah (z.B. in Assembler) programmierte Funktionen. Intern im Prozessor laufen logischerweise bei der Addition zweier komplexer Zahlen auch zwei Additionen ab, weil der Prozessor ja auch nur die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat addiert. Insofern kann es durchaus eine Milchmädchenrechnung sein, zu sagen, dass in cis' Methode weniger Rechenoperationen ablaufen. Es sind in Wirklichkeit nur weniger Hochsprachen-Operationen, und darin könnte ein kleiner Vorteil liegen, der sich aber von Programmiersprache zu Programmiersprache unterschiedlich gestalten wird, je nachdem, wie maschinennah die Hochsprache jeweils ist. Die Multiplikation mit dem festen Zahlenwert 0.70710678... ist erfahrungsgemäß die schnellste Variante, durch $\sqrt2$ zu teilen. Natürlich könnte man auch "/Sqrt(2)" programmieren, aber damit nötigt man den Prozessor nur, erst einmal die Wurzel von 2 auszurechnen, und dann muss er auch noch dividieren, was ebenfalls länger braucht als zu multiplizieren. Wenn das dann in einer Schleife passiert, die Abermillionen mal aufgerufen wird, muss der Prozessor Abermillionen mal die Wurzel von 2 ausrechnen, was pure Zeitverschwendung ist. Die andere Möglichkeit wäre, innerhalb der Wurzeln durch 2 zu teilen oder besser noch, jeweils mit 0,5 zu multiplizieren. Das sind aber unter dem Strich immer noch zwei Fließkomma-Multiplikationen, die länger dauern als eine Fließkomma-Multiplikation mit 0.70710678 ganz am Ende. Effizienter Code ist halt nicht immer auch schöner Code... Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

 
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