Mathematik: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
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Physik

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Einleitung

Immer wieder ist zu hören und zu lesen und wird gern auch in der Schule so vermittelt, dass sich die Menschen in der Antike und im (finsteren) Mittelalter unsere Erde als Scheibe vorstellten. Dies ist natürlich längst als neuzeitlicher Mythos entlarvt (siehe Wikipedia - Flache Erde), dennoch möchte ich mit dem vorliegenden Artikel zeigen, dass sich die Kugelgestalt der Erde ganz logisch aus den antiken Vorstellungen, insbesondere der 4-Elemente-Lehre ergab, also die angebliche Scheibenerde schon in der Antike Humbug war. Doch dieses antike, genau genommen geozentrische Weltbild hatte auch seine Probleme. Da ich kein Historiker bin und nicht aus eigener Lektüre weiß, was antike bzw. mittelalterliche Autoren über die Probleme mit ihrem Weltbild geschrieben haben, tue ich dies hier fiktiv. Demnach müsste das Hauptproblem des antiken Weltbildes unser Mond gewesen sein. Dieser Artikel wurde für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 bzw. 9 geschrieben, wird aber natürlich häppchenweise präsentiert, mit Arbeitsblättern und Experimenten zum freien Fall und Wurf verknüpft, ist also eher das Resultat je einer Unterrichtseinheit. Hier ist er für den MP aufgearbeitet, wo ihn selbstverständlich jeder lesen kann.

Das antike Weltbild

Wie bereits behauptet, läßt sich das geozentrische Weltbild mit der Erde in Form einer Kugel ganz logisch und allein unter der Annahme, es gäbe die 4 Elemente Erde, Wasser, Luft und Feuer unter den Bedingungen der Schwerkraft herleiten. Ein historisches Zeugnis dieser Vorstellungen liefert uns Plinius der Ältere im 2. Kapitel (Kosmologie) seiner Naturkunde, der historia naturalis (siehe hier). Diese Vorstellungen kann man sich leicht selbst erarbeiten - unter den Bedingungen der Schwerkraft schichten sich die leichteren Stoffe auf den schweren. Daher sollte das Element "Erde" zuunterst sein (nochmal unterteilt in schwere Erden ganz unten, leichte Erden weiter oben), darüber eine Schicht Wasser, darüber die Luftschicht und zuoberst das leichteste Element "Feuer" in Form der Sonne und der Sterne. Dies entspricht auch dem Alltag - schwere Dinge fallen nach unten, leichte Dinge, z.B. das Feuer flackert nach oben. Diese lokale Anordnung kann nun auf zweierlei Weise global fortgeführt werden, zum einen flächig ausgedehnt in der Ebene, zum anderen um ein Zentrum herum. Da es ebenfalls zur antiken Alltagserfahrung gehörte, dass sich die Sonne und die Sterne um die Erde zu drehen schienen bzw. es deutliche Probleme gegeben hätte, den Sonnenuntergang mit einer unendlich ausgedehnten Ebene zu erklären, lag letztlich eine Schichtung um ein Zentrum nahe. Mit einem Punktzentrum ist also diese Schichtung radial, d.h. die Erde ist mehr oder weniger eine Kugel und die Wasser-, Luft- und Feuerschichten sind sphärisch darüber angeordnet. Soweit passte alles perfekt, nur der Mond tanzte aus der Reihe, denn er bestand augenscheinlich nicht aus dem Element "Feuer", wie er hätte sollen, sondern aus dem Element "Erde".

Lösungsversuch in der Renaissance (Wiederaufnahme der Antike)

Galileo hat sich nicht nur mit Astronomie beschäftigt, sondern auch mit dem sogenannten freien Fall. Er hat dazu diverse Experimente gemacht, interessant dabei ist nicht nur, dass bei gleicher Höhe die Fallzeiten für unterschiedliche Körper oder volumengleiche Körper unterschiedlicher Masse gleich sind - was mittlerweile allgemein bekannt ist, sondern vor allem auch, dass es offenbar egal ist, ob solch ein Körper senkrecht fällt oder waagerecht geworfen wird, auch hier bleibt die Fallzeit letztlich gleich. Das Verhältnis von Fallzeit t und Höhe h beträgt dabei \[h = \frac{1}{2} g t^2\] wobei g = 9,81 m/s die Fallbeschleunigung oder auch der sog. Ortsfaktor ist. Aber warum hat sich Galileo eigentlich so intensiv damit beschäftigt? Genau hier setzen wir fiktiv an. Nun kann man sich ja folgendes überlegen: Da die Erde rund ist, wird bei einem waagerechten Wurf die Höhe eigentlich immer größer. Das sieht man am besten in einer Skizze. Gleichzeitig fällt aber der Körper während des Fluges herunter. Wenn man also schnell genug „wirft“, dann sollte sich der Höhengewinn durch die Erdkrümmung und der Höhenverlust durch den freien Fall gerade aufheben. Diese Geschwindigkeit berechnen wir jetzt. Wir benutzen dazu die bekannte Formel \(v = \frac{s}{t}\), wobei wir zunächst den Weg s aus dem Satz des Pythagoras bekommen. Es gilt ja \((r_E+h)^2=r_E^2+s^2\), also \(s^2=(r_E +h)^2−r_E^2\), wobei \(r_E\) der Erdradius ist. Zum Berechnen benutzen wir jetzt die 1. binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) und wenden diese auf \((r_E+h)^2\) an. \(( r_E+ h )^2 = r_E^2+ 2r_E h + h^2\) Damit ist \(s^2=( r_E + h )^2− r_E^2= r_E^2 + 2 r_E h + h^2− r_E^2= 2r_E h + h^2 \approx 2r_E h\) Der letzte Schritt, also das man \(h^2\) einfach weglässt, hängt damit zusammen, dass \(2r_E h\) wesentlich größer als \(h^2\) ist, man rundet also nur. Es ist also \[\boxed{s=\sqrt{2r_E h}}\] Übrigens eine überaus nützliche Formel zur Berechnung der Entfernung des Horizonts von einer bestimmten Höhe aus! Bei Anwendung aber bitte unbedingt darauf achten, die Höhe h in km einzusetzen, also statt h=50m ist zu setzen h=0,05km! Wir setzen nun in \(s^2 = 2r_E h\) das h von oben ein (also \(h=\frac{1}{2}gt^2\) ) und erhalten daraus \(s^2= r_E g t^2\), ziehen erneut die Wurzel und setzen in v ein. Wir erhalten also insgesamt \[\boxed{v= \sqrt{r_E g}}\] Das sieht doch schon mal ganz gut aus. Wir berechnen dies nun mit den folgenden Werten \(r_E= 6400km\) und \(g= 10 \frac{m}{s^2}=0,01 \frac{km}{s^2}\) . Hier wurde 9,81m als rund 10m und diese als 0,01km gesetzt. Wir bekommen also \(v= \sqrt{64 \frac{km^2}{s^2}}=8\frac{km}{s}\). Dh. wenn wir einen Körper mit einer Geschwindigkeit von 8km/s „werfen“, dann fliegt er in einer Sekunde 8km geradeaus und fällt in dieser Sekunde zugleich 5m herunter; wegen der Kugelgestalt der Erde bleibt der so geworfene Körper aber in gleicher Höhe über dem Boden. Diese Geschwindigkeit heisst „1. kosmische Geschwindigkeit“. Wir können damit weitere Überlegungen starten. ZB. können wir berechnen, wie lange ein Körper braucht, um einmal die Erde zu umrunden, wenn er mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit fliegt. Auch hier nutzen wir wieder die Formel \(v=\frac{s}{t}\). Nur ist hier \(s=U_E\) der Umfang der Erde und t=T die Umlaufperiode bzw. halt die Zeit, die dieser Körper für eine Erdumrundung benötigt, also \(v=\frac{U_E}{T}\). \(U_E\) der Erdumfang berechnet sich als Kreisumfang über \(2\pi r_E \) und beträgt für die Erde 40.000km (genau genommen ist es anders herum, bei der ersten Definition des Meters wurde nämlich der Erdumfang zu 40.000.000m festgelegt und daraus dann sowohl das Meter als auch der Erdradius abgeleitet). Dh. die Umlaufperiode berechnen wir zu \(T = \frac{U_E}{v}= 5000s= 1h 23min 20s\). Nun kommt langsam der Mond ins Spiel. Wir verfolgen jetzt die Idee weiter, dass der Mond aus dem Element "Erde" nur deshalb nicht auf der Erde ist, wohin er, wie gesagt, eigentlich gehören sollte, und nur deshalb am Himmel ist, weil er noch nicht herunter gefallen ist bzw. immer noch fällt, aber dieses "Fallen" eigentlich eine ständige Erdumrundung ist. Im geozentrischen Weltbild braucht der Mond für eine Umrundung um die Erde ca. 25h im heliozentrischen Weltbild etwa 27,5 Tage. Schon das allein ist ein gewaltiger Unterschied. Mit diesen Umlaufzeiten können wir nun den Umfang des Kreises berechnen, auf dem der Mond umläuft und damit auch die Entfernung! Und wenn wir diese haben, dann können wir auch die Größe des Mondes aus dem Strahlensatz ableiten. Es ist eigentlich \(U_{MB}=v\cdot T=2\pi r_{MB}\), wobei MB Mondbahn bedeutet (damit wir mit den Buchstaben nicht durcheinander kommen). Aber wir können für v nicht einfach die 8km/s einsetzen, da wir zur Berechnung die Entfernung des fliegenden Körpers vom Erdmittelpunkt benutzt haben. Wir müssen also für v die obige Formel benutzen, aber statt \(r_E\) müssen wir den Mondbahnradius \(r_{MB}\) einsetzen, sprich wir verwenden \(v_M= \sqrt{r_{MB} g}\), wobei \(v_M\) die Geschwindigkeit des Mondes um die Erde ist. Dabei ist \(r_{MB}\) der Abstand zwischen Mond und Erde vom Mittelpunkt der Erde zum Mittelpunkt des Mondes gerechnet. Wir haben also \(v_M \cdot T = \sqrt{r_{MB} g} \cdot T=2\pi r_{MB}\). Quadrieren auf beiden Seiten ergibt \(g\cdot T^2=4\pi^2 r_{MB}\), wobei wie einmal \(r_{MB}\) gekürzt haben. Umstellen nach \(r_{MB}\) ergibt letztlich \[\boxed{r_{MB}=\frac{g\cdot T^2}{4\pi^2}}\] Für das geozentrische Weltbild setzen wir T=24h 51min (der Mond geht ja jeden Tag ca. 51min später auf), das ist in Sekunden T=89.460s und erhalten \(r_{MB}= 1.985.000km\). Das ist weit. Wenn man jetzt den Strahlensatz anwendet, also davon ausgeht, dass der Mond in 1m Entfernung aussieht, als hätte er einen Durchmesser von etwa 1cm, dann kommt man auf einen Monddurchmesser von 19.850km, dh. der Mond wäre größer als die Erde! Noch verrückter wird es, wenn wir das alles im heliozentrischen Weltbild ausrechnen. Da ist ja T das 26,4fache vom obigen Wert, also T=2.358.720s. Dh. \(r_{MB}\) wäre 1.380.000.000km und der Monddurchmesser noch riesiger. Das kann also alles nicht stimmen. Mit Sicherheit hat Galileo auch diese oder ähnliche Überlegungen angestellt, aber konnte keine Lösung dafür finden. Nach diesen Überlegungen wäre das geozentrische Weltbild falsch, aber das heliozentrische Weltbild noch falscher! Daher hat Galileo diese Überlegungen wohl für sich behalten.

Jupitermonde

Das geozentrische Weltbild ist einfach und es gibt, bis auf das Problem mit dem Mond, dass er aus dem Element Erde besteht, auch keine Ausnahmen - die Erde ist im Mittelpunkt der Welt, die sieben Planeten Sonne, Mond, Jupiter, Saturn, Venus, Mars und Merkur umkreisen sie in ihrem je eigenen Rhythmus, darüber der Fixsternhimmel ebenfalls mit eigener Rotation. Die Vermessung der Planetenbahnen und die Berechnungen zukünftiger Konstellationen am Himmel waren zwar mühselig und wurden mit zunehmender Genauigkeit immer komplexer. Die Bahnen waren keine einfachen Kreise, sondern Kreise, die auf Kreisen, die auf Kreisen liefen - sogenannte Epizyklen. Dennoch beherrschten bereits antike Mathematiker und Astronomen diese Aufgaben und es gab sogar mechanische "Computer" dafür (siehe hier), indem sie die verschiedenen Kreise, die auf Kreisen, die auf Kreisen liefen, als Zahnräder bauten. Das heliozentrische Weltbild wird zwar oft als einfacher dargestellt, ist es jedoch erstmal nicht. Sicher, es ist praktisch ebenso einfach zu sagen, die Planeten umkreisen die Sonne, insbesondere werden die Rechnungen nach der Transformation der Messwerte vom Koordinatensystem der Erde in das Koordinatensystem der Sonne wieder deutlich einfacher, nämlich zu Ellipsen (bei Kopernikus sind es sogar einfache Kreise). Dennoch 1. ist die besagte Koordinatentransformation selbst eine komplizierte Rechnung und 2. es gibt eine Ausnahme. Und diese Ausnahme ist ausgerechnet wieder der Mond. Denn der Mond verbleibt als einziger "Planet" auf einer Umlaufbahn um die Erde und dreht sich nur mit ihr um die Sonne. Ausnahmen in einer Theorie sind immer unschön, erst recht, wenn es eine ausnahmefreie Theorie gibt. Da nun wie gezeigt, alle bisherigen Rechnungen nicht zum Erfolg führten, war es Galileo wichtig, den Nachweis zu erbringen, dass der Mond im heliozentrischen Weltbild eben doch keine Ausnahme ist. Und dies ist ihm eindrucksvoll gelungen! Aber wie? Er hat ein Fernrohr konstruiert und konnte damit die Planeten genauer studieren. Und dabei entdeckte er vier Monde des Jupiters. Direkt waren sie nicht zu sehen, aber wenn sie vor dem Jupiter ihre Bahn zogen, waren sie als kleine, bewegliche schwarze Punkte zu erkennen. Galileo konnte für diese Monde auch deren Bahnen und Umlaufzeiten bestimmen. Im Prinzip kann man sagen, dass durch die Entdeckung der Jupitermonde der experimentelle Beweis für das heliozentrische Weltbild erbracht wurde.

Endgültige Lösung

Wir sind jetzt, was die Theorie betrifft, in einer für Physiker typischen Situation: die Theorie ist super, die Experimente stimmen, aber die Zahlen passen nicht. Irgendetwas haut nicht hin und muss angepasst werden. Fiktiv ist es nun anzunehmen, dass ein anderer großer Physiker, nämlich Newton zunächst ähnliche Überlegungen angestellt und dafür nach einer Lösung gesucht hätte. Möglich wäre es aber auch, dass er bereits andere kosmische Daten, genauer Planetenbahnen, für die genau die gleichen Probleme bestanden, zu Rate gezogen hat. Wie auch immer, die Lösung besteht darin, die bisherige Konstante g variabel zu gestalten. Letztlich kann in der Formel zur Berechnung der Mondbahn auch nur die Fallbeschleunigung g nicht stimmen. \(r_{MB}\) ist unbekannt, an T gibt’s nichts zu rütteln, also muss g falsch sein. Daher ist anzunehmen oder zumindest nicht unplausibel, dass Newton überlegte, woher das g genau kommt. Nämlich von der Gravitation und die nimmt möglicherweise mit zunehmender Entfernung von der Erde ab. Man sagt auch, g ist nur eine Konstante auf der Erdoberfläche, aber sonst ist es eine Funktion von r. Newton setzte diese Funktion mit \(g(r)=\frac{K}{r^2}\) an, wobei K eine unbekannte Größe ist, die noch von der Masse des anziehenden Körpers abhängt. Dieser Ansatz bedeutet, dass die Gravitation mit zunehmendem Abstand zu einer Masse immer geringer wird, sprich hier auf der Erde spüren wir kaum die Anziehungskraft von Sonne und Mond, auf dem Mond dagegen würden wir die Anziehungskraft der Erde kaum spüren (das Wörtchen "kaum" wurde bewusst gewählt, denn es gibt durchaus Wirkungen des Mondes auf der Erde, nämlich die sog. Gezeiten). Das normale g wird mit Newton's Ansatz zu \(g_E=\frac{K}{r_E^2}\) und da sind \(g_E\) und \(r_E\) ja bekannt. Mit deren Hilfe läßt sich nun g(r) ohne K angeben als \[\boxed{g(r)=g_E \frac{r_E^2}{r^2}}\] Das setzen wir nun in die \(r_{MB}\) Formel ein mit \(r=r_{MB}\) und erhalten zunächst \(r_{MB}=\frac{g_E \cdot r_E^2 \cdot T^2}{4\pi^2 \cdot r_{MB}^2}\) Die neuen \(r_{MB}\)'s im Nenner der Formel müssen auf die andere Seite, das ergibt \[\boxed{r_{MB}^3=\frac{g_E \cdot r_E^2 \cdot T^2}{4\pi^2}}\] Dies sieht zwar deutlich komplizierter aus, aber stimmt mit einem wichtigen Gesetz überein, nämlich dem 3. Keplerschen Gesetz. Der Astronom Kepler hatte nämlich heraus gefunden, dass die Kuben der Bahnen proportional zum Quadrat der Umlaufzeiten sind. Und das ist hier der Fall. Für das geozentrische Weltbild erhalten wir dafür \(r_{MB}\) = kubische Wurzel aus (1.985.000km * (6400km)2) = 43.300km und als Monddurchmesser \(d_M\) = 430km und für das heliozentrische Weltbild auf ähnliche Weise \(r_{MB}\) = 384.000km und als Monddurchmesser \(d_M\) = 3.800km. Nun passt eigentlich beides. Warum man sich nun für das heliozentrische Weltbild entschieden hat, liegt entscheidend daran, dass Newton auch alle anderen Systeme zB. das Sonne-Erde-System, die anderen Planeten mit deren Umlaufzeiten etc. durchgerechnet hat und dabei überall sinnvolle Werte heraus kamen, was man vom geozentrischen Weltbild nicht mehr sagen konnte. Und nicht zuletzt hatte ja auch Galileo mit der Entdeckung der Jupitermonde den Nachweis für die Richtigkeit des heliozentrischen Weltbildes erbracht. Man kann also sagen, dass der Mond im freien Fall um unsere Erde fällt/fliegt. Wir können jetzt noch berechnen mit welcher Geschwindigkeit er das macht. Es ist \(v_M=1km/s\), mit anderen Worten deutlich langsamer als die erste kosmische Geschwindigkeit. Zum Schluss noch eine letzte, kurze Rechnung. Wir berechnen die Fallbeschleunigung \(g_M\) auf dem Mond im Verhältnis zur Erde. Dazu müssen wir nur das Verhältnis von Mond- und Erdradius quadrieren. Wir erhalten \(\frac{g_M}{g}=(\frac{r_M}{r_E})^2\approx \frac{1}{11}\). Tatsächlich ist die Fallbeschleunigung auf dem Mond aber etwas größer, nämlich \(\frac{1}{6}\) der Erdfallbeschleunigung. D.h. auch hier stimmt irgendwas mit unseren Zahlen nicht und müsste überprüft werden. Doch das ist eine andere Geschichte. viel Freude trunx (Jens Koch)
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Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes [von  
Einleitung Immer wieder ist zu hören und zu lesen und wird gern auch in der Schule so vermittelt, dass sich die Menschen in der Antike und im (finsteren) Mittelalter unsere Erde als Scheibe vorstellten. Dies ist natürlich längst als neuzeitlicher Mythos entlarvt (siehe Wikipedia - Flache Erde),
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"Mathematik: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes" | 8 Comments
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Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: Diophant am: Mo. 22. April 2019 19:14:36
\(\begingroup\)Hallo trunx, ich habe den Artikel für heute nur kurz überflogen, möchte aber jetzt schon ein Dankeschön dafür loswerden: - Für Schülerinnen und Schüler bietet er neben der Tatsache, dass hier bekannte und in der Regel bisher rein theoretische Inhalte einmal eine nachvollziehbare Relevanz bekommen auch die Inspiration, sich überhaupt einmal mit der Frage der Weltbilder auseinanderzusetzen. Das passt darüberhinaus sehr gut zum Alter der Zielgruppe. 😄 - Für uns alte Hasen liefert er einen guten Grund, sich einmal wieder mit der Geschichte der (Himmels-)Mechanik und der Astronomie zu beschäftigen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: trunx am: Di. 23. April 2019 09:39:27
\(\begingroup\)hallo Diophant, danke für die wohlwollende Aufnahme. Zur Vermittlung von Unterrichtsstoff ist es natürlich immer von Vorteil, wenn eine Geschichte erzählt wird bzw. der Stoff in eine Geschichte eingebettet werden kann. Meiner Meinung geht das eigentlich immer, denn es gibt ja historisch immer jemanden, der sich mit dem fraglichen Problem zuerst auseinander gesetzt hat. Nur verläuft die Geschichte niemals gradlinig, eigens dafür wurde der Begriff des historisch-logischen Zugangs 'erfunden'. Aber das bedeutet, dass die Geschichte eben zum Teil fiktiv bleiben bzw. durch die Fantasie ergänzt, also letztlich geglättet werden muss. Das gefällt nicht jedem. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: weird am: Di. 23. April 2019 16:05:44
\(\begingroup\)Ich habe den Artikel bisher zwar ebenfalls nur kurz überflogen ohne die darin enthaltenen Formeln zu verinnerlichen, bin aber gleichfalls sehr angetan davon. Was den Mond betrifft, gäbe es noch drei Dinge, die hier nicht erwähnt wurden, falls ich nichts überlesen habe: Zum einen ist das die Tatsache, dass sich der Mond doch jedes Jahr ein kleines Stück von der Erde entfernt, wenngleich sich das innerhalb eines Menschenalters nicht merkbar auswirkt. Wenn ich das richtig im Kopf habe, ist das wegen der Gezeitenbremse so, die auch eine Rückwirkung auf den Mond hat. Die zweite Tatsache besteht darin, dass der Mond uns immer die gleiche Seite zukehrt, was meines Wissens nach ebenfalls eine Folge der gravitativen Rückwirkung der Erde auf den Mond ist. Wahrhaft sensationell und eigentlich durch nichts erklärbar ist aber die dritte Tatsache, dass der Mond bei einer totalen Sonnenfinsternis die Sonne exakt überdeckt, also im genau richtigen Abstand dafür zur Erde steht. Ein irrer kosmischer Zufall, den man so nur staunend zur Kenntnis nehmen kann! Was Newton betrifft, bin ich doch immer wieder verblüfft, was der Mann alles herausgefunden hat - und das, obwohl er, ich sag jetzt mal 90% seiner Zeit dubiosen Studien der Alchemie und Theologie gewidmet hat und nur 10% den Untersuchungen in Physik und Mathematik, wofür er heute bekannt ist. Man stelle sich vor, wenn es gerade umgekehrt gewesen wäre!\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: trunx am: Mi. 24. April 2019 09:24:56
\(\begingroup\)hallo weird, auch dir danke für deine wohlwollende Aufnahme. Die drei von dir angesprochenen Dinge sind tatsächlich nicht im Artikel enthalten. Man muss halt immer aufpassen, die Stunden nicht mit zu viel Informationen zu überfrachten. Aber: Es gibt bei Plinius dem Älteren auch ein sehr geistreiches Kapitel über den Mond (leider aber nichts mit Bezug zum Thema "Problem Element Erde" oder "freier Fall bzw. waagerechter Wurf"), in dem schlüssig anhand von Finsternissen argumentiert wird, dass die Sonne größer ist als die Erde und diese größer als der Mond. Das hätte ich mit einbauen können in meinem Kapitel "Lösungsversuch in der Renaissance". Da Optik und auch die Finsternisse Stoff der 6. Klasse Physik sind, bietet es sich aber eher an, vielleicht schon zu einem so frühen Zeitpunkt, die antiken Vorstellungen zu thematisieren. Hier würde dann Punkt drei gut reinpassen. Der zweite Punkt ist aber eigentlich noch wichtiger und den habe ich eigentlich ebenfalls bewusst weggelassen, obwohl man für die Rechnungen ein entscheidendes Resultat aus dieser Tatsache benötigt, nämlich die lange Umlaufzeit des Mondes um die Erde von T=27,5d. Diese habe ich einfach vorgegeben. Der Hintergrund ist, dass es den Schülerinnen und Schülern (und deren Eltern) extrem schwer fällt, sich diese erdgebundene Rotation vorzustellen. Es kostet Stunden, die ich eigentlich nicht habe. Andererseits sind das sehr lebendige Stunden mit echter Begeisterung fürs Thema. Auch da gibt es schlüssige Experimente (zwei Schüler stehen sich gegenüber, der äußere als Mond und ein dritter Unbeweglicher halten ein Seil zwischen sich gespannt, dann dreht sich der "Mond" um die "Erde" und wickelt diese und sich mit dem Seil ein.) und Erklärungen, aber es hilft nichts, diese einmonatige tatsächliche Eigenrotation wird nicht geglaubt. Was das betrifft, sind sie noch voll im geozentrischen Weltbild. Im übrigen hadere ich da mit mir, ob ich das nicht doch wieder mit rein nehme. Zur ersten Tatsache, es sind jährlich wohl ca. 4cm, die sich der Mond entfernt, aber dies und weitere Eigenschaften (sowie die Geschichte des Mondes) überlasse ich dem Astronomie-Kollegen. Ja, jedenfalls danke für die Anregungen, das durchdenke ich auf jeden Fall. bye trunx \(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: egf am: Mi. 24. April 2019 12:55:25
\(\begingroup\)Nicht nur bzgl. Erdform, auch das geozentrische Weltbild war in der Antike - nach meinem Kenntnisstand - nicht Konsens. Hypathia (ihr schreibt man auch das Erkennen der "Kegelschnitt-Bahnen" zu), Seleukos, Aristarch, Plutarch - vertraten mWn alle ein heliozentrisches Weltbild. Ich habe den Eindruck, Superstar Aristoteles "überdeckt" da die anderen Stimmen. Auch die Entfernung Erde-Mond war in der Antike bekannt (wenn ich mich richtig Erinnere, kamen die auf die rund 400'000 km). Selbst im europäischen Mittelalter (vor Kopernikus) dürfte die Sache nicht so eindeutig sein (heliozentrisches Weltbild im MA (geschichtsforum.de))\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: trunx am: Mi. 24. April 2019 22:47:29
\(\begingroup\)hallo egf, danke für den Link. Hab mich jetzt mal ein bisschen mit Aristarch beschäftigt, viel gibts ja leider nicht mehr. Trotzdem sehr interessant; hast du eine Quelle mit den 400.000 km Entfernung zum Mond? bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: egf am: Do. 25. April 2019 12:17:11
\(\begingroup\)Ich habe leider nur noch mein altes Vorlesungsskript gefunden: Vorlesungsskripte - Astronomie. Dort steht: "Die Beobachtung zeigt, dass der Mond etwa eine Stunde braucht, um sich gegen die Fixsterne um die Länge seines Durchmessers, $D_M$, zu bewegen; seine Geschwindigkeit beträgt damit $v \approx 1 D_M/h$. Bei einer Zentralfinsternis verweilt der Mond etwa 1h40min vollständig im Kernschatten der Erde. Das zeigt bereits, dass der Mond kleiner ist als die Erde. Gesamtzeit im Halb- und Vollschatten der Erde beträgt etwa 3.5 Stunden. Da das Sonnenlicht in der Erdatmosphäre gestreut wird, sind die Grenzen der Schatten mit blossem Auge nur ungenau auszumachen. Wenn der gesamte Durchlauf durch den Erdschatten also etwa $t \approx 3$ Stunden dauert, so lässt sich daraus eine grobe Abschätzung für die Grösse des Mondes herleiten. In den drei Stunden durchläuft der Mond den Weg $s \approx D_E = vt \approx 3 D_M \Rightarrow D_M \approx 1/3 D_E$. Es ist weiter zu berücksichtigen, dass wegen der geometrischen Verhältnisse der Schattenwurf der Erde ein Konus ist. Die Distanz Erde-Mond folgt aus der absoluten Grösse des Mondes und dem Winkel, unter dem wir den Durchmesser des Mondes sehen; der Winkel beträgt etwa $\alpha = 1/2$ Grad. Die Distanz $d$ (Erde-Mond) folgt aus der Beziehung $D_M/d = \tan{\alpha}$, oder aus der Beziehung zwischen Kreisumfang und Kreisausschnitt: Distanz $\approx \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{2 R_E}{3} \cdot \frac{360^\circ}{\alpha}$. In der Antike waren somit Durchmesser der Erde und des Mondes und die Distanz zum Mond recht gut bekannt, hingegen wurde die Distanz zur Sonne stark unterschätzt." Im Skript werden dazu aber leider keine Referenzen genannt. Ich habe aber auch im Kopf, dass ich das irgendwo wesentlich genauer gelesen habe. Müsste im Buch, dass uns seinerzeit Empfohlen wurde, gewesen sein: "Der neue Kosmos", von Bado Baschek und Albrecht Unsöld. Leider habe ich es "verliehen" und gerade nicht zur Verfügung. Wenn ich obiges mit Erathostenes' $\approx 39'000$ km für den Erdumfang rechne, komme ich auf $d \approx 470'000$ km. P.S.: Zu Hypathia gibt es übrigens sogar einen Spielfilm: "Agora - die Säulen des Himmels". Ich fand, dass er die Notwendigkeit und Schwierigkeit, von Kreisbahnen zu Ellipsenbahnen zu wechseln, recht schön illustriert.\(\endgroup\)
 

Re: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
von: trunx am: Do. 25. April 2019 20:10:51
\(\begingroup\)hallo egf, danke für deine Ausführungen. Ich habe nun noch mal bei Plinius nachgelesen, u.z. hier (in meiner Buchausgabe wurde diese Passage weggelassen), jedenfalls findet sich hier die Bemerkung, die auch schon in dem von dir verlinkten Geschichtsforenthread erwähnt wurde, nämlich, dass die Sonne vom Mond 19x soweit wie der Mond von der Erde entfernt ist. Aber hier findet sich auch die Entfernung von 2.000.000 Stadien für die Entfernung Mond-Erde (neben einer weiteren, deutlich kürzeren von Pythagoras) und noch eine letzte von Erde und Sonne mit 5.000.000 Stadien. Lange Rede, kurzer Sinn die 2.000.000 Stadien entsprechen 370.000km, was der tatsächlichen Entfernung schon ziemlich nahe kommt und wurde von Posidonius angegeben. Man hätte es sich also aussuchen müssen. Interessant ist jedoch, dass in der Antike durchaus das heliozentrische Weltbild diskutiert wurde, so auch bei Plinius (einige Seiten zuvor), er sagt sogar direkt, dass es des schärfsten Geistes bedarf, diesem zu widerzusprechen. Bücher, die nur Auswahltexte beinhalten (wie mein Reclam-Büchlein), sind doch wirklich furchtbar! bye trunx\(\endgroup\)
 

 
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