Mathematik: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
Released by matroid on Mo. 02. September 2019 20:49:09 [Statistics]
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Mathematik

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Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmöglich, führt aber hoffentlich verzweifelte Fragesteller auf die richtige Spur. Ich beobachte zwar keine Schullehrer beim Unterricht, aber ich lese Schultexte und achte auf Schülerfragen in Matheforen. Ich möchte auch nicht andeuten, es insgesamt besser machen zu können; ich würde vermutlich anstelle dieser Fehler eine Unzahl anderer machen.

Lineare Optimierung befasst sich mit der Lösung von "linearen Ungleichungssystemen". Optimiert wird nur nebenbei (beziehungsweise danach). Ursprünglich hieß das Gebiet auch gar nicht so, sondern "Linear Programming", was zu deutsch etwa "Lineares Programmieren" oder "Lineare Planrechnung" bedeuten würde. Bis die übermächtigen informatischen Heerscharen bar jeder Rücksichtnahme ins Mathematikreich eingebrochen sind und den Ausdruck "programmieren" für sich beschlagnahmt haben.

Der Knappheit zuliebe setze ich hier die Kenntnis von Simplexverfahren für die Lineare Optimierung voraus; wer diese nicht kennt, dem empfehle ich den Wikipedia-Eintrag: Pivotverfahren, für welchen ich größtenteils selber verantwortlich bin. Ein paar nützliche Vorübungen zu diesem Thema werden im Schulprojekt Linearer Gleichungszauber erklärt.


1
Nachdem ein den Ungleichungen entsprechendes Gleichungssystem in nichtnegativen Variablen aufgestellt wird, begehen die meisten Lehrer gleich den ersten schwerwiegenden Fehler: sogenannte "Tableaus" einführen, Datenstrukturen für Computersoftware. Im Wörterbuch findet man darunter Bedeutungen wie "Tafel", "Tabelle", "Array", oder ähnliches, aber das Wort scheint sich zu einem Fachbegriff entwickelt zu haben. Nie davon gehört? Prima, da hatten Sie einen besseren Lehrer als die meisten. Tableaus haben mit Linearer Optimierung ebensowenig am Hut wie mit irgendeinem anderen Gebiet der Mathematik, und lenken die Schüler ausschließlich vom Lernstoff ab. Namhafte Autoren wie Chvátal (1983) und Vanderbei (1996) sind offenbar derselben Meinung.

Das soll nicht bedeuten, dass die Umwandlungen des erwähnten Gleichungssystems chaotisch zu erfolgen haben. In jedem Schritt des Verfahrens kann das abgewandelte Gleichungssystem direkt ohne Zwischenrechnungen hingeschrieben werden, aber als Gleichungssystem und nicht in esoterischer Verkleidung.

Jedem Laster, das vermieden wird, entspricht eine Tugend, in diesem Fall "Vermeide Tableaus!" Oder "Überlasse Datenstrukturen unbedingt den Informatikern!" Ich werde hier nicht erklären, wie solche peinliche Objekte aussehen; das würde nur zu deren Verbreitung beitragen und die Sache verschlimmern.

2
Lineare Ungleichungssysteme haben einerseits mit linearen Funktionen zu tun und anderseits mit Ungleichungen. Bevor man beides miteinander verknüpft, sollte man es getrennt betrachten, was leider unterlassen wird. Ein System von linearen Funktionen und sein Dualsystem haben die Form
\[
\forall i\in B\quad x_i=\sum_{j\in D} a_{ij}\,x_j \;,\qquad
\forall j\in D\quad y_j=\sum_{i\in B} (-a_{ij})\,y_i
\] (Für Schüler muss so etwas natürlich ausgeschrieben werden, aber dieses ist ein Aufsatz für Lehrer). Von Ungleichungen ist bisher keine Rede.

Ein unvermeidlicher Bestandteil bei der Behandlung solcher Systeme ist nun, dass sie nicht nur nach den Variablen \(x_i, i\in B\) aufgelöst werden können, sondern auch nach einer anderen Teilmenge, zum Beispiel \(x_i,i\in \pi(B)\), wo \(\pi:D\cup B\rightarrow D\cup B\) eine Umstellung ist. (Für Schüler über ein Zahlenbeispiel erklären, oder besser noch, selber auflösen lassen) Und siehe: das neue System hat –Wunder über Wunder– dieselben Einträge wie das gleichermaßen abgewandelte Dualsystem:
\[
\forall i\in \pi(B)\quad x_i=\sum_{j\in \pi(D)} a^\pi_{ij}\,x_j \;,\qquad
\forall j\in \pi(D)\quad y_j=\sum_{i\in \pi(B)} (-a^\pi_{ij})\,y_i
\] Hausaufgabe ist dann, an einem zweiten, ausgedachten Beispiel zu zeigen, wie dieser Zusammenhang "immer" funktioniert. (Der Schüler lernt hier Simplexschritte und kommutative Diagramme ohne es zu merken). Von Ungleichungen ist immer noch nicht die Rede.

Erst jetzt suchen wir nach nichtnegativen Lösungen \(x\ge0\). Weil nun alle diese Systeme eine triviale nichtnegative Lösung \(x=0\) haben, was nicht besonders interessant ist, erhöhen wir unseren Anspruch, wählen eine bevorzugte Variable \(x_0\) aus, und suchen nach einer Lösung der Form \(x\ge0,\,x_0>0\). Und jeder weiß, dass er \(x_0\) dafür maximieren und nicht minimieren muss. Die zweite Tugend heißt: "Halte Funktionen und Ungleichungen möglichst auseinander!"

3
Das dritte Laster besteht darin, Kommazahlen zu verwenden, was vermutlich am Gebrauch der Taschenrechner liegt. Nun können Taschenrechner auch Bruchzahlen, aber die sind genauso schwer einzugeben. Taschenrechner können aber auch ganze Zahlen, und dafür nehmen wir einen gemeinsamen Nenner für alle Einträge des Gleichungssystems. Und nicht voreilig kürzen, das ist ein gleich großes Laster!

Nichts kann leichter sein als so einen gemeinsamen Nenner zu finden: In jedem Pivotierschritt gibt es einen Pivotiereintrag, und der Zähler des Pivotiereintrags ist der gemeinsame Nenner des Folgesystems. Geht die Sache bei jemandem nicht auf? Genau überprüfen, da muss irgendwo ein Rechenfehler sein! Es erstaunt mich immer wieder, wie oft durch mein Arbeiten mit Bruchzahlen Rechenfehler prompt angezeigt werden.

Für die meisten großen Systeme ist der Nenner natürlich zu groß – aber welcher Schullehrer nimmt echt große Systeme durch? Hier die dritte Tugend heißt: "Verwende Bruchzahlen mit gemeinsamen Nenner!".

Ich hatte die schöne Gelegenheit, verschiedene Male den Schöpfer des Simplexverfahrens, Herrn George Dantzig, persönlich zu fragen, warum seiner Meinung nach die angezeigten obigen Tugenden fast nie eingehalten wurden. Ich habe sie dabei höflicherweise nicht "Tugenden" sondern "Lehransätze" genannt. Seid versichert: er wusste es selber nicht. Vermutlich richten sich Lehrer nach vorgeschriebenen Lehrbüchern, und deren Lehrbuchautoren sind keine Mathematiker. Oder es liegt einfach nur daran, dass dieses Fachgebiet (immer noch) zu jung ist.
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Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern [von Goswin]  
Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmög
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"Mathematik: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern" | 7 Comments
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Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Delastelle am: Di. 03. September 2019 00:34:24
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Hallo Goswin!

Lineare Optimierung in der 12.Klasse - ich wusste gar nicht, dass Teilgebiete der Optimierung schon so früh vermittelt werden.

Viele Grüße
Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Gerhardus am: Di. 03. September 2019 22:35:14
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Von linearer Optimierung habe ich keine Ahnung, du gibst keine Literatur an und der 1. Abschnitt klingt äußerst polemisch. Ich zitiere aus dem Buch "Einführung in die lineare Optimierung" von J. Piehler (Leipzig 1966): "Lineares Optimieren ist die für den deutschen Sprachgebrauch von einem Unterausschuß der GAMM vorgeschlagene Übersetzung des englisch-amerikanischen Ausdrucks linear programming." Das klingt nicht nur sachlich, sondern auch verständlich. Da die Lösungsmethoden Algorithmen von Rechenschemata enthalten, kann man auch von linearer Programmierung sprechen.
Im 2. Abschnitt warnst du vor Dingen, die keiner kennt und folgerst daraus, dass der Leser einen besseren Lehrer hatte. Ich hatte keinen Lehrer und verstehe deine Logik nicht. Aus diesem Grunde verstehe ich auch den 3. Abschnitt nicht.
Der Rest des Artikels ist eine Frage des einfachen Rechnens. Vielleicht genügen dann auch ganze Zahlen und man verkleinert am Ende alles mit dem gemeinsamen Nenner. Ich bin gespannt auf deinen Vortrag.
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Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Goswin am: Mi. 04. September 2019 00:21:44
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Der obige Artikel bezieht sich *nicht* auf meinen Vortrag beim MPCT_2019; ein Skript zu meinem Vortrag befindet sich in meinem Notizbuch.


@Gerhardus:

Ein Hinweis im Artikel auf eine Einführung in das Thema ist wirklich vonnöten; ich empfehle Wikipedia: Pivotverfahren und habe das eingefügt. Wer sich keinen Unterricht über das Simplexverfahren antun musste, leidet natürlich nicht unter dessen möglichen Verirrungen.

Und natürlich ist der Artikel im Ton nicht ganz sachlich, aber ich hatte befürchtet, dass Motivieren nicht ganz ohne Provozieren geht. Vielleicht findet das jemand "nicht lustig"; da bitte ich um Verzeihung. Dein Zitat soll nicht angezweifelt werden, mit der Benennung "Lineare Optimierung" ist aber keiner der angesprochenen Didaktikfehler gemeint.
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Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Kitaktus am: Do. 05. September 2019 21:46:00
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Ich selbst habe nie erlebt, dass lineare Optimierung in der Schule unterrichtet wurde. Wenn ich aber so darüber nachdenke, meine ich mich an eine "Telekolleg"-Sendung (oder wie hießen diese Schulbegleitenden Sendungen im Fernsehen früher?) erinnern zu können, bei der es tatsächlich um lineare Optimierung ging. Hauptsächlich aber um die geometrische Veranschaulichung und das geometrische Lösungsverfahren für zwei, bestenfalls drei Dimensionen.

Ich habe LP (so die liebevolle Abkürzung von "Linear Programming" / "Linearer Programmierung") in der Uni kennengelernt. Der Professor der die Vorlesung hielt, hatte deutlich mehr Expertise in diskreter Optimierung, als in kontinuierlicher, aber die Studienordnung sah nun mal lineare Optimierung als Einstiegsthema in die Optimierung vor.
Die Vorarbeiten über polyedrische Mengen hat er Pflichtgemäß erledigt, an dem Punkt, an dem dann aber üblicherweise der Simplexalgorithmus aufgedröselt wird, hat er aber das Skript beiseite gelegt und uns Lineare Optimierung als "lokale Suche auf den Ecken einer polyedrischen Menge" erklärt. Es wurde bewiesen, dass man dabei nicht in "Nebenoptima" hängen bleiben kann, es wurde auf den Klee-Minty-Würfel verwiesen, der zeigt, dass dieser Ansatz nicht in Polynomialzeit funktioniert. Es wurde der Zusammenhang zum dualen Problem erläutert usw.
Aber über den konkreten Simplex-Algorithmus wurde praktisch nicht gesprochen. Aus Sicht des Professors war das nicht weiter relevant. Natürlich gibt (oder gab) es Mathematiker, die am Simplex-Verfahren forschen und die müssen natürlich wissen, wie das im Detail funktioniert, aber für den "normalen" Mathematiker ist klar, dass man mit Mitteln der linearen Algebra ausrechnen kann, auf welche Ecke man stößt, wenn man entlang einer Kante weiterläuft. Von Hand rechnet das in der Praxis keiner aus, wozu soll man also einem Studenten bis ins letzte Detail erklären, welche Rechenschritte in welcher Reihenfolge durchgeführt werden.
In dem Moment war mir nicht klar, wie weit mein Prof. damit von der "üblichen Lehrmeinung" entfernt war. Ich habe später als Übungsleiter mehrfach die Lineare Optimierung auch bei anderen Profs betreut und da wurden über etliche Wochen hinweg die Austauschschritte durchgekaut, selbst nachprogrammiert usw. Die Studenten, die dann in der Klausur "Tableaus" von Hand berechnen mussten, habe ich eher bedauert.

Ich muss aber sagen, dass die Geschmäcker da verschieden sind. Einige empfinden das als eintönige Fleißaufgabe, andere waren froh zu wissen: "Wer den Simplex drauf hat, kann praktisch nicht durch die Klausur fallen."\(\endgroup\)
 

Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: PrinzessinEinhorn am: Fr. 06. September 2019 17:04:00
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@Delastelle/Kitakus: Ich habe mein Abitur auf einem Gymnasium mit wirtschaftlichen Schwerpunkt gemacht. Wir haben das Simplex-Verfahren kennengelernt.
Ist auf solchen Gymnasien wahrscheinlich auch üblich.

Dafür hatten wir keine klassische analytische Geometrie.

Wir hatten auch etwas Statistik. Hypothesen-Tests etc.
Ist auf 'normalen' Gymnasien wahrscheinlich auch eher unüblich.\(\endgroup\)
 

Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Ex_Mitglied_5557 am: Fr. 06. September 2019 17:55:35
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Tja, und ich habe mich immer gefragt, wozu man das alles macht. ;) Der eine Prof hat lieber Geschichten erzählt (die ganz interessant waren, mich aber mich fragen ließen, wo denn der rote Faden der Vorlesung sei), der andere dafür inhaltlich über Wochen nichts Neues. Hängengeblieben ist bei mir der Eindruck, dass man gut und gerne den relevanten Stoff der linearen Optimierung in zwei bis drei Wochen hätte vermitteln können, das Semester nur leider knapp 15 Wochen lang war...

Ich erinnere mich auch noch gut an die Aufgabe, den Simplex-Algorithmus nachzuprogrammieren. Dafür hatte ich mir von einem netten Übungsleiter aus dem Bereich, der die gerade stattfindende Veranstaltung nicht betreute, den Code in Matlab geben lassen, hatte aber doch nicht die Chuzpe, dies dann so abzugeben. Also habe ich den Spaß genommen und für Maple, womit ich öfter gearbeitet hatte, umgeschrieben. Zurück kam dann vom tatsächlich für mich gerade zuständigen Übungsleiter, dass die Abgabe ja ganz nett sei, man aber am Lehrstuhl kein Maple habe und deshalb die Abgabe in Matlab erwarte. *grrrrr*\(\endgroup\)
 

Re: Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern
von: Goswin am: So. 08. September 2019 20:29:17
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cyrix schreibt:
Hängengeblieben ist bei mir der Eindruck, dass man gut und gerne den relevanten Stoff der linearen Optimierung in zwei bis drei Wochen hätte vermitteln können ...

Was in der Linearen Optimierung relevanter Stoff ist, darüber kann man streiten. Was die Simplexverfahren anbetrifft, vertrete ich die Meinung, dass der wirklich relevante Stoff einem Mathematikstudenten in 20-30 Minuten ausführlich vermittelt werden kann. Bei Schülern würde das etwas länger dauern, aber nie länger als 2 Unterrichtsstunden von je 45 Minuten.

Dafür muss man freilich wissen, welcher Stoff relevant ist. Ich halte weder Anwendungen in Textaufgaben noch geometrische Darstellungen für relevant, um das Simplexverfahren zu verstehen. Obwohl beides natürlich wichtig und schön ist.\(\endgroup\)
 

 
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