Mathematik: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen

In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Beziehungen zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen mittels komplexer Zahlen Wir werden diese hier kurz anschneiden. Entscheidend ist: Wie kommt man auf die Idee, nach so einer Form zu suchen? Die Antwort finden wir in der geschlossenen Form der Fibonacci-Zahlen.

Kurze und knappe Einführung

Definitionen: a) Fibonacci-Zahlen Die Zahlenfolge \[ F_1 := 1, \quad F_2 := 1, \quad F_n := F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n>2) \] heißt Fibonacci-Folge. b) Komplexe Zahlen Zahlen \(z\) der Form \( z = a+ib\), \(a,b \in \mathbb{R}\), \(i^2 = -1 \) heißen komplexe Zahlen. c) Kreis- und Hyperbelfunktionen: \[ \sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{2} \] \[ \sin(x) := \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = \frac{\exp(ix) - \exp(-ix)}{2i} = -i \sinh(ix) \] d) Goldener Schnitt \[ \phi := \frac{1+\sqrt{5}}{2}\] Lemma: (Binet's Formel) (ohne Beweis) Die Fibonacci-Zahlen können wie folgt dargestellt werden. \[ F_n = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \]

Die Motivation nach einer trigonometrischen Form Ausschau zu halten

Werfen wir nochmals einen Blick auf die geschlossene Form der Fibonacci-Zahlen, erkennen wir folgende Struktur. – Im Zähler haben wir eine Differenz zweier Potenzen Genau, wie bei der Definition von \( \sin(x) \) und \( \sinh(x) \). Der kleine, aber feine Unterschied ist, dass sich die Basen im Vorzeichen unterscheiden. Das schreit förmlich nach der Frage, ob es uns nicht doch auf eine Art gelingt, die Fibonacci-Zahlen mittels dieser Funktionen auszudrücken.

Herleitung der trigonometrischen Form

Satz: (trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen) Die Fibonacci-Zahlen lassen sich folgendermaßen darstellen: \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin(i n \ln(i \phi)) \] Beweis: Schauen wir Binet's Form an und werfen einen Blick auf das Minus der zweiten Basis und schreiben diese \(-1\) ein wenig anders, ergibt sich der Rest fast von alleine. Für Schüler oder weniger fortgeschrittene Leser werde ich dennoch die Schritte kommentieren. \[\begin{align*} F_n =&~ \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \\ =&~\frac{\phi^n - ((-1) \cdot \phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \\ \overset{\color{brown}{{i^2 = -1}}}{=} &~ \frac{\phi^n - (i^2 \cdot \phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \\ \overset{\color{brown}{\large \text{erweitern}}}{=} &~ \frac{2i^n}{2i^n} \cdot \frac{\phi^n - (i^2 \cdot \phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \\ \overset{\color{brown}{\large \text{umsortieren}}}{=}&~ \frac{2}{i^n \sqrt{5}}\cdot \frac{(i \phi)^n - (i \cdot \phi)^{-n}}{2} \\ \overset{\color{brown}{\large \exp(\ln(x))=x}}{=}&~ \frac{2}{i^n \sqrt{5}}\cdot \frac{\exp(n \ln(i \phi)) - \exp(-n \ln(i \phi))}{2} \\ \overset{\color{brown}{\large \text{Def. } \sinh(x) }}{=}&~ \frac{2}{i^n \sqrt{5}} \cdot \sinh(n \ln(i \phi)) \\ \overset{\color{brown}{\large \text{Nenner rational machen }}}{=}&~ \frac{(-i)^n 2 \sqrt{5}}{5} \cdot \sinh(n \ln(i \phi)) \\ \overset{\color{brown}{\large \sinh(z)=-i \sin(iz)}}{=}&~ \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \cdot\sin( i n \ln(i \phi)) \end{align*} \] Wir wollen uns noch überzeugen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus keine Probleme bereitet. Die \(2\pi\)-Periode des \( \sin(x) \) zwingt den Logarithmus in den Hauptzweig. Es ist \[ \ln(z) = \ln( \left\vert z \right\vert ) + i(\arg(z) + 2k \pi) \] und damit \[ \sin( i n \ln(i \phi)) = \sin( i n [ \ln( \left\vert z \right\vert ) + i(arg(i \phi) + 2k \pi)] ) \\ =\sin( i n \ln( \left\vert z \right\vert ) -n(arg(i \phi) + 2k \pi) ) \\ =\sin( i n \ln( \left\vert z \right\vert ) -n(arg(i \phi)) ) \\ = \sin( i n [ \ln( \left\vert z \right\vert ) + iarg(i \phi)] ) \\ = \sin( i n \ln(i \phi)) \]

Abschließende Worte

Ich finde es eine hübsche Form und bedanke mich fürs Lesen.

Aufgabe

Finde eine ähnliche Darstellung für die Lucas-Folge. LG, easymathematics
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"Mathematik: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen" | 4 Comments
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Re: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
von: thureduehrsen am: Fr. 04. Februar 2022 23:44:38
\(\begingroup\)Hallo easymathematics, ich finde den Artikel gut motiviert, aber ich bin nicht so ohne Weiteres überzeugt von den Umformungen, bei denen im Argument des Logarithmus komplexe Zahlen stehen. Hier wären genauere Begründungen schön. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)
 

Re: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
von: Ixx am: Sa. 05. Februar 2022 00:20:11
\(\begingroup\)Moin! thureduehrsen hat schon darauf hingewiesen, dass man beim Umgang mit Logarithmen im Bereich der komplexen Zahlen aufpassen muss. Generell ist dieser wegen $\exp(2k\pi i)=1$ auch nur bis auf ganzzahlige Vielfache von $2\pi i$ eindeutig bestimmt. Die obige Rechnung stört das glücklicherweise nicht, da auch der Sinus $2\pi$-periodisch ist, also jeder Wert des komplexen Logarithmus' $\ln(i\phi)$ (bei gleichem $n$) den gleichen Funktionswert liefert. Alternativ könnte man sagen, dass man in obiger Rechnung mit "ln" den Hauptzweig der komplexen Logarithmus-Funktion meint, müsste dann aber kurz erwähnen, dass keines der oben verwendeten Argumente eine negative reelle Zahl ist, da dort dieser Hauptzweig nicht definiert ist. \(\endgroup\)
 

Re: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
von: easymathematics am: So. 06. Februar 2022 08:34:31
\(\begingroup\)Hallo, bei der obigen Rechnung geht schon alles mit rechten Dingen zu. Da hätte ich vielleicht ein wenig ausführlicher sein sollen. Ich nehme das noch auf. Danke für den Hinweis. LG, easymathematics\(\endgroup\)
 

Re: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
von: Wario am: Do. 10. März 2022 19:26:27
\(\begingroup\)Du hast am Ende ein paar Mal vergessen \arg zu setzen; ansonsten sehr hübsch. \(\endgroup\)
 

 
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