Rätsel und Spiele: Lange Periode
Released by matroid on So. 06. April 2003 21:25:48 [Statistics]
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Mathematik

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Wie lang ist die Periode der dezimal geschriebenen Zahl 1:10000019, und wie heißen ihre letzten fünf Ziffern?


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Lange Periode [von Hans-Juergen]  
 Wie lang ist die Periode der dezimal geschriebenen Zahl 1:10000019, und wie heißen ihre letzten fünf Ziffern?
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"Rätsel und Spiele: Lange Periode" | 33 Comments
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Re: Lange Periode
von: matroid am: So. 06. April 2003 22:12:33
\(\begingroup\)In erster Näherung: Die Periodelänge ist kleiner als 10000019.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Martin_Infinite am: So. 06. April 2003 22:39:59
\(\begingroup\)Die Nadel im Heuhaufen.... *lol*
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................\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: matroid am: So. 06. April 2003 22:43:48
\(\begingroup\)@MI: welches Programm benutzt Du?\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: So. 06. April 2003 23:34:45
\(\begingroup\)Hallo Martin,

die von Dir angegebenen Dezimalen - ein paar tausend Stück - stellen nur einen winzigen Bruchteil der Periode dar und beantworten auch nicht die gestellten Fragen. Ich habe das numerische Beispiel mit Bedacht gewählt, und es steckt mehr dahinter als die "Suche nach einer Nadel im Heuhaufen". So bin ich gespannt, wie die Antworten weitergehen. Selber benutzte ich bei diesem Rätsel das von manchen wenig geliebte Pascal, aber es muß sich schließlich auch mit C++ lösen lassen.

Schöne Grüße,
Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: matroid am: So. 06. April 2003 23:42:35
\(\begingroup\)@Hans-Jürgen: Die Frage ist echt interessant. Man suche also nach dem theoretischen Rüstzeug.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Martin_Infinite am: Mo. 07. April 2003 00:37:06
\(\begingroup\)Ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen
soll und wollte nur zeigen, das ein Ansatz ohne
Theorie nach hinten losgehen wird.
@Matroid:Derive\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Mo. 07. April 2003 07:47:52
\(\begingroup\)Hallo Matroid und Martin,

wie man die Aufgabe theoretisch löst, weiß ich nicht. Es geht mit dem Computer. Die einzige, dafür nötige "Theorie" ist das Programm - falls man nicht irgendwo ein solches fertig findet, das lediglich zwei Zahlen dividiert. Im übrigen braucht man nicht alle Dezimalen auszugeben und sich anzusehen; das würde zu lange dauern. Ich möchte nur wissen, wieviele es sind und wie die letzten fünf heißen.

Gruß, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: MutenRoshi am: Mo. 07. April 2003 11:40:18
\(\begingroup\)Sie (die Periodenlänge) ist auf jeden größer als 8192000. Da hat mein Programm aufgegeben. \(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Mo. 07. April 2003 14:04:28
\(\begingroup\)Da hast Du recht, MutenRoshi: sie ist größer. Ich weiß nicht, womit Du Deinen Rechner hast arbeiten lassen; unter Pascal geht das (wenn man sich das richtige Programm ausgedacht hat) problemlos bis ans Ende der Periode und auf Wunsch weiter darüber hinaus. Von den vier Grundrechenarten ist die Division am leichtesten zu programmieren. Man braucht nur das schriftliche Rechnen nachzuahmen. \(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: sastra am: Mo. 07. April 2003 15:03:05
\(\begingroup\)Wenn ich mich nicht täusche, sind die letzten 5 Ziffern 68421
(68421 * 10000019 = ...99999)

Gruss Sastra
\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Eckard am: Mo. 07. April 2003 15:22:12
\(\begingroup\)Wow sastra, das sieht gut aus. Mein Programm rechnet noch (die ganze Periode aus). Hoffentlich ist es bald fertig. Ich wette 5 Euro, dass die Periodenlänge 10000018 beträgt. Wer hält dagegen?

Morgen mehr dazu (oder heute noch, wenn er endlich fertig wird, es ist halt bloss ein 500MHz-Rechner, *stöhn*).

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Spooky am: Mo. 07. April 2003 16:23:43
\(\begingroup\)Also als letzte 5 Ziffern hab ich (auch) 68421, denn:

es muss gelten 10^p = 1 (mod 10000019), wobei p die Periodenlänge ist.

somit kann man rückwärts die Stellen errechnen:


...
68421130
60000114 <- 6
--------
84210160
80000152 <- 8
--------
42100080
40000076 <- 4
--------
21000040
20000038 <- 2
--------
10000020
10000019 <- 1
--------
1 (Rest)


Die Länge der Periode bekommt man wohl wirklich nur per Brute-Force-Methode ;)

Gruß
Spooky\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Eckard am: Mo. 07. April 2003 16:37:11
\(\begingroup\)Mein Blechkumpel rechnet immer noch ...

Aber damit es zwischendurch nicht so langweilig wird, noch Folgendes dazu:

Wie zu vermuten war, hat Hans-Juergen den Nenner 10.000.019 tatsaechlich
mit Bedacht gewaehlt, denn er ist eine Primzahl, was man unter
Linux mit einem schlichten Aufruf von

> factor 10000019

bestaetigt findet. Nun findet gerade ein kleines, selbstgeschriebenes
C-Programm das Reziproke von dieser Zahl heraus. Ok, der Hauptteil der Arbeit steckt in
der GMP library
(GNU Multiprecision Arithmetic Library), aber deren Installation ist
unter Linux kein Problem 😄

Theoretisch ist das wirklich höchst interessant, weil noch nicht voll verstanden,
welche Primzahlen eine maximale Periode in ihrer Dezimalrepräsentation liefern.
Aber folgender Link hilft weiter:

Cyclic number

... und er rechnet immer noch.
\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: DieElemente am: Mo. 07. April 2003 16:56:35
\(\begingroup\)Bestimmung der Periodenlänge !
Z: 1
N: 10000019
************************************************

Treffer !!
Rest 10000018= 10 und Rest 0= 10 sind identisch!
PERIODENLÄNGE: 10000018
Vieviele Ziffen, des Anfangs und des Endes der Periode sollen ausgegeben werden? :1000
Anfang und Ende der Periode: 00000009999981000036099931410130320752390570457916129
95935307722915326460879724328523775804825970830655421
75469866607253446218452184940848612387636463490719367
63320149691715585740387093264522797406684927298638132
58754808365864104858200769418538104777600922558247139
33043527217298287133254446816551048553007749285276357
97491984765228946065002476495294658940148013718773934
32952477390292958443378957579980598036863729958913078
06515167621181519755112465286315955999683600601158857
79817018347665139436235071153364808606863646959070777
76552224550773353530628291806245568133420546500961648
17286847154990405518229515363920808550463754118867174
15236911049869005248890027108948492997863304059722286
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82930272432482378283481261385603367353602028156146503
32164368887699113371684593799271781383615371130794851
48978216941387811363158409999021001860096465816714948
24159834096315217001087697933373926589539479874988237
5223487075374556788342102150005914988761521353
...
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32982147333920065551875451436642270379686278596070667
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98911242068640069583867790651197762724250823923434545
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4231037961027874047039310625309811911357368421

68421 sind also die letzen 5 Stellen.

Endlich, ich habs geschaft.
Nachdem deine Vorgängerversion dieses Programms mich um meinen 400MHz Prozessor bangen ließ (nach 1,5 Stunden hab ich dann abgebrochen-), kam mir die Idee, den Rechenaufwand zu verringern. Nun dauert es keine 10sec bis es diese Lösung ausspuckt. Ich hoffe, siwe ist richtig. Das Programm (C++ unter Linux)hat nochn paar Macken, aber die beseitige ich noch.
Hat jemand dasselbe Ergebniss ??

PS: man sollte nicht versuchen sich die gesamte Periode ausgeben zu lassen. Das sind je Schriftgröße und bei ausnutzung der gesamten Breite eines 17 Zoll Monitors locker 500 Meter. 😉

volker\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Spooky am: Mo. 07. April 2003 17:16:47
\(\begingroup\)jup kann ich bestätigen, Periodenlänge ist 10000018
die Laufzeit meines Programms liegt unter 1sec ;)
(auf einem Duron 1,2 Ghz)

mal kurz der Code (in C, nur auf die schnelle gebastelt ^^), wen's interesiert:


#define P_MAX 10000018

main() {
long int p, r, i;

init();
r = 1;

for (p = 1; p <= P_MAX; p++) {
i = r % 10;
r = (r + N[i]) / 10;
}
if (r == 1) {
printf("korrekte Periodenlaenge: %ld", P_MAX);
}
else {
printf("falsche Periodenlaenge: %ld", P_MAX);
}
}


in N[x] befinden sich die Vielfachen von 10000019
(also N[x] = x*10000019)

Gruß
Spooky\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: viertel am: Mo. 07. April 2003 17:20:26
\(\begingroup\)Hi Fans,
ich hab meinen Kasten auch grad mal rechnen lassen. Hier die letzten Stellen des Monstrums (hat die volle Periodenlänge):
8848290188 2486423275 7957759880 2562275131 6772498132 2535487182 5743531087 2909341472 2512027227 1482684182 9000524899 0026918948 8539971774 0536292981 0433360176 6156644302 3758254859 3157673000 4212991995 3152089011 0308790413 2982147333 9200655518 7545143664 2270379686 2785960706 6746573181 5109551291 8525454801 6358768918 3390551557 9520398911 2420686400 6958386779 0651197762 7242508239 2343454547 4363598709 1624525913 4007645385 4737675998 4156030103 5428032686 7378951979 9912380166 4776836924 0098443812 9567553821 6477388692 9614833731 8159095497 7185543347 4676398114 8435817971 9458533028 7872453042 3392195554 8284458259 5293068943 1690079788 8484011880 3774272828 8816251249 1226266670 0933268226 7903690982 9871323244 4858354769 1259386607 1654463856 5186726145 2203240813 8424536993 3797125785 4610076240 8551423752 2948706397 4578448300 9482281983 6642310379 6102787404 7039310625 3098119113 57368421

Sastra täuscht sich also nicht.

Das Programm ist selbst geschrieben. Rechnet ca. 4 Sek. auf meinem 850MHz Rechner.

Gruß
Dietmar das 1/4\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: viertel am: Mo. 07. April 2003 17:25:02
\(\begingroup\)Au Backe, anscheinend hat sich gerade der halbe Planet auf die Aufgabe gestürzt...\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Rodion am: Mo. 07. April 2003 17:25:50
\(\begingroup\)Juhu, ich habe jetzt auch 68421, und die Periodenlänge ist...

10000018!!!\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: viertel am: Mo. 07. April 2003 17:53:44
\(\begingroup\)Hi Spooky,
ich hab Dein Programm mal bei mir laufen lassen. Meldet "falsche Periodenlänge" für 10000019. Auch für 223. Allerdings für 17 meldet es richtig "korrekte Periodenlaenge".
Dietmar\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Spooky am: Mo. 07. April 2003 18:12:21
\(\begingroup\)hm, also init() enthält nur folgendes:


void init() {
N[0] = 0;
N[1] = 10000019;
N[2] = 20000038;
N[3] = 30000057;
N[4] = 40000076;
N[5] = 50000095;
N[6] = 60000114;
N[7] = 70000133;
N[8] = 80000152;
N[9] = 90000171;
}

ich hoffe mal das hast du nicht vergessen irgendwie auf eine Weise hinzuzufügen :)

also für 10000019 sollte es auch falsche periodenlänge melden, da sie eben 10000018 ist. ,)
dass für 17, "richtige Periodenlänge" ausgegeben wird, kann ich nicht verstehn... hab hier mal von Anfang an durchlaufen lassen (um den "such-speed" zu testen)... er meldet mir für alle Periodenlängen <= 100000 nie "richtig".

meine Überlegung war wie die bei der "theoretischen" Berechnung (ohne PC) der 5 letzten Stellen... (s. mein obiges Posting)
r (im Code) ist jeweils die Zahl, die unter einem horiz. Strich steht, diese muss nach p (periodenlänge) Schritten 1 sein. dabei beginnt man von unten (Startwert Rest r = 1) und arbeitet sich nach oben in der "schriftlichen Division"...

Gruß
Spooky\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Spooky am: Mo. 07. April 2003 18:19:26
\(\begingroup\)übrigens, man kann natürlich die Werte (vielfachen) von N[] nicht beliebig ändern, da dann die Zuordnung mit dem Index nicht mehr stimmt!
man könnte sie nur durch Vielfache einer anderen Zahl, die ebenfalls mit 9 endet ersetzen.

hier hat man halt zufällig die praktische Situation, dass wenn die letzte Zahl des Restes r , x ist, man zur ergänzung auf "10", einfach nur x*N = N[x] braucht.
also zB.: r(=2) + N[2] = 2 + 2*10000019 20000040\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Mo. 07. April 2003 19:25:31
\(\begingroup\)Danke für die vielen richtigen Antworten – ich bin sehr froh, daß Euch diese Aufgabe anscheinend auch Spaß gemacht hat! Nun können wir, wenn Ihr wollt, noch ein Stück weitergehen.
Die Dezimalen folgen einander ohne erkennbares System, scheinbar zufällig. Interessant wäre dabei zu erfahren, ob in der Periode alle Ziffern nicht nur ungefähr gleich oft vorkommen, sondern ob sie auch einigermaßen gleichmäßig verteilt sind. Eine Möglichkeit von mehreren, letzteres zu testen, besteht darin, daß man die gesamte Periode in Dreierblöcke aufteilt und die relative Häufigkeit derjenigen Blöcke bestimmt, deren mittlere Ziffer größer ist als die beiden äußeren Ziffern. Was dabei herauskommt, ist zu vergleichen mit dem theoretischen Wahrscheinlichkeitswert, einen solchen Block beim Drehen eines idealen Glücksrades mit den Ziffern 0,1, 2,...., 9 zu erhalten.
Wer macht mit?
(Anm.: in einem alten Computerbuch aus der Basic-Zeit fand ich die Dreierblockmethode als Übungsaufgabe. Dort wurde die genannte theoretische Wahrscheinlichkeit mit 0,280 angegeben, was meiner Meinung nach nicht ganz richtig ist.)
Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: viertel am: Mo. 07. April 2003 19:43:16
\(\begingroup\)Das kommt bei mir raus: 0.285000
Dietmar\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Mo. 07. April 2003 20:04:01
\(\begingroup\)Ja, genau, Dietmar, bei mir auch, für den theoretischen Wert.

Gruß,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: viertel am: Mo. 07. April 2003 20:46:12
\(\begingroup\)Sorry, hätt ich dazu schreiben sollen: gezählt nach der Dreierblockmethode.
Dietmar\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 07. April 2003 21:55:26
\(\begingroup\)Schaut euch mal folgende Page an!!

http://www.mathematik-online.de/F103.htm#dezi

Gruß N.\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Eckard am: Di. 08. April 2003 08:59:57
\(\begingroup\)Mittlerweile ist mein Programm auch fertig geworden...

Hier Links von zwei Files, die alle Dezimalstellen der Periode enthalten:

bzip2 file (4.703.050 Bytes)
gzip file (5.168.091 Bytes)

Wer will, kann damit etwas Ziffernstatistik betreiben. Die Ziffern stehen in dem File in einer Zeile ohne CR/LF hintereinander weg. Viel Spaß damit!

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Di. 08. April 2003 23:40:26
\(\begingroup\)Also dann (weil sich nach der stürmischen Anfangsbeteiligung keiner weiter mehr meldet) ein bißchen Ziffernstatistik:

Insgesamt gibt es unter den 3333339 gebildeten Dreierblöcken 950283, deren mittlere Zahl größer als die beiden anderen ist. Das sind (gerundet) 28,51 Prozent, in sehr guter Übereinstimmung mit dem theoretischen Wert 0,285. Auch die relativen Häufigkeiten anderer Dreierblöcke sowie von Vierer-, Fünfer- und Sechserblöcken mit gleichen oder verschiedenen vorgegebenen Ziffern liefern gute Ergebnisse. So kommt etwa die von uns betrachtete fünfstellige Zahl 68421 vom Ende der Periode in deren Innern noch 100 weitere Male vor (wer es genauer wissen möchte: an 24783., 80118., 413545., .... , 10000013. Stelle) – theoretisch zu erwarten wäre 100-mal.

Das gewählte Beispiel – sicherlich kein Einzelfall – zeigt, daß man ohne die Verwendung komplizierter Algorithmen, allein mit einer einfachen Division, über zehn Millionen Pseudozufallsziffern erhalten kann!

MfG Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 09. April 2003 08:44:00
\(\begingroup\)Wie kaputt seid ihr denn im Kopp? Habt ihr nix besseres zu tun als so einen scheiss zu machen?!
An eurer stelle würde ich die weltherrschaft an mich reißen , bundeskanzler werden oder ne katze grün anmalen !!! macht was aus eurem wissen , ihr könnt reich werden damit !\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Hans-Juergen am: Mi. 09. April 2003 09:43:43
\(\begingroup\)Hallo Anonymer!

Dich als Bundeskanzler oder Weltbeherrscher - das könnte Dir so passen!

Warum beschimpfst Du uns? Bist Du neidisch?

"Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis."

Jean-Baptist le Rond d'Alembert
(Guck 'mal nach, wer das war; kannst was lernen.)

Im Internet fand ich an einer Stelle den Hinweis:
"Dem Enzyklopädisten und Mathematiker d'Alembert verdanken wir auch die Formulierung der Menschenrechte."

Hans-Jürgen



\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Eckard am: Mi. 09. April 2003 12:37:21
\(\begingroup\)@Hans-Jürgen: Es gibt einen Haufen Bekloppte auf dieser Welt, man sollte sich nicht allzu sehr darum kümmern, solange sie nur so'n Blech schreiben.

@Anonymous: Deine Meinung geht in die große runde Ablage!

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 09. April 2003 16:25:20
\(\begingroup\)Hallo! Hat irgendwer auch das Programm mit Delphi geschrieben??? Wenn ja, würde ich das mal gerne sehen!\(\endgroup\)
 

Re: Lange Periode
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 17. Juni 2003 10:19:10
\(\begingroup\)Wie viele nutzlose Dinge tun wir sonst! Die Mathematik schult wenigstens den Geist!
\(\endgroup\)
 

 
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