Mathematik: Über Achilles und die Schildkröte
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Das berühmte Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon. Er argumentiert, daß der schnelle Läufer die Schildkröte niemals einholen wird, wenn er ihr einen Vorsprung läßt. Das scheinbare Paradoxon löst sich auf, wenn man den Grenzwert der geometrischen Reihen kennt, bzw. wenn man die Tatsache berücksichtigt, daß die Summe unendlich vieler Summanden auch endlich sein kann. Die alten Griechen waren durch Zenons Paradoxon verwirrt, weil ihnen das Konzept der Grenzwerte noch fehlte.
Eine häufige Formulierung des Problems lautet so:
Achilles, der mutige Krieger, macht einen Wettlauf mit einer Schildkröte. Er gibt ihr ein ganzes Stadion (=192,72m) Vorsprung. Achilles läüft 10-mal so schnell wie die Schildkröte. Zenon behauptet, daß Archilles stets damit beschäftigt sein wird, den "alten Aufenthaltsort" der Schildkröte zu erreichen, ohne sie jemals zu überholen.
Widerlege diese Behauptung, und berechne nach welcher Wegstrecke Archilles die Schildkröte einholt?
Und selbst heute noch ist diese Aufgabe faszinierend. Aus der Physik kennt man Aufgaben, bei denen zwei mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegte "Fahrzeuge" in räumlichem oder zeitlichem Abstand starten und der Weg gesucht ist, bis das eine Fahrzeug durch das andere überholt wird.
Die physikalische Formel mit Geschwindigkeiten und Abständen und die Lösung der Grenzwertaufgabe gemäß Zenon stimmen überein (ist ja auch besser so). Was bedeutet das? Ein Mathematiker löst die Aufgabe völlig anders als ein Physiker!

Und wie würde ein Physiker die Aufgabe lösen? Wenn A mit Geschwindigkeit va und S mit Geschwindigkeit vs läuft und S einen Vorsprung von L (Metern) hat, dann ist die Länge des in einer bestimmten Zeit von A zurückgelegte Weges gleich va*t und zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Schildkröte an der Stelle vs*t + L. Wenn S von A überholt wird, gilt Gleichheit:

vs*t + L = va*t
=> t = L / (va-vs)
Der Weg, den A bis dahin zurückgelegt hat, ist
s = L / (va-vs) * va

Das ganze geht auch mit Uhrzeigern. Der Minutenzeiger einer Uhr hat eine Geschwindigkeit von 360°/60 pro Minute = 6°/min. Der Stundenzeiger hat eine Geschwindigkeit von 360°/12 pro Stunde = 0,5°/min. Der Minutenzeiger ist 12-mal schneller als der Stundenzeiger.
Wir veranstalten nun einen Wettlauf zwischen den beiden Zeigern. Der Wettlauf startet genau um 13 Uhr, d.h. der Minutenzeiger steht auf der 12 und der Stundenzeiger auf der 1. Der Stundenzeiger hat damit einen Vorsprung von 30°. Um wieviel Uhr überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger (zum ersten Mal)?
Nach obiger Formel: s = 30° / (6°/min - 0.5°/min) * 6°/min = 32.72..°
Wieviel Uhr ist es dann? Nun die Zeit ist ja in obiger Formel enthalten.
t = 30° / (6°/min - 0.5°/min) = 5.45.. min
Und 0,45.. min sind 0.45..*60 = 27.27.. Sekunden.
Also überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger (etwa) um 13:05:27 Uhr.

Es gibt noch eine andere, kürzere Lösung für diese letzte Aufgabe. Wir wissen ja, daß Stunden- und Minutenzeiger sich mehrfach im Verlauf von 12 Stunden überholen, nämlich genau 11 mal. Das kann man ja noch auszählen. Da alle Geschwindigkeiten gleichmäßig sind, findet also alle 12/11 Stunden oder 720/11 Minuten oder 43200/11 Sekunden eine Überholung statt.
Nachdem die Zeiger um 12:00 genau übereinander gestanden haben, überholen sie sich das nächste mal um 13:05:27.

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Über Achilles und die Schildkröte [von matroid]  
Eine physikalische Lösung des Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon.
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"Mathematik: Über Achilles und die Schildkröte" | 6 Comments
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Re: Über Achilles und die Schildkröte
von: metamark am: Mi. 17. August 2005 11:32:46
\(\begingroup\)hi, man könnte sich natürlich die frage stellen, ob ein paradoxon dieser art überhaupt eine lösung sucht. oder ob es nicht vielmehr die funktion eines gleichnisses erfüllt. ich fände es durchaus plausibel anzunehmen, dass es sich bei den zenonschen paradoxien schon von der intention her nur um populäre veranschaulichungen der unmöglichkeit bzw der "unwirklichkeit" der bewegung handelt. zur lösung der "paradoxie" bewegungsgleichungen zu verwenden scheint deshalb irgendwie kontraproduktiv weil zenon doch von der unmöglichkeit der bewegung auszugehen scheint und diese nicht ableiten sondern darstellen will. auch eine grenzwertbetrachtung hätte zenon sicherlich nicht aus dem konzept gebracht, sondern ihn wohl nur dazu veranlasst sich ein neues bild zu suchen. aus heutiger sicht muss man wohl konstatieren, dass die fundamentale darstellung der welt in der raumzeit ebenfalls auf bewegung verzichtet. zenon hätte das sicher gefallen. gruss mark\(\endgroup\)
 

Über Achilles und die Schildkröte
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 21. August 2005 21:42:55
\(\begingroup\)Ich habe mich zu diesem Thema in der Wikipedia ausgelassen und das Problem ist nicht gelöst. Erstens kann man einen Reihenansatz nicht vom anderen "unendlichen" Ende beginnen, sondern muß mit endlichen Größen anfangen. Zweitens: Der Ansatz v = s/t liefert für die Geschwindigkeit in einem ausdehnungslosen Augenblick den Wert v = 0/0 , der unbestimmt bleibt, was andeutet, daß der Pfeil (bzw. Achilles) keine Geschwindigkeit hat, sondern in Ruhe bleibt. Um aber die Geschwindigkeit 0 zu erzielen muß t einen positiven Wert haben und v = 0/t = 0. Vlastos (A Note on Zeno's Arrow) vergleicht dies mit der Frage, wie ein Kreis gekrümmt sein kann da, er doch aus Punkten besteht und diese sind nicht gekrümmt. Das Problem sind Position und Zeitpunkt. Man muß sie weglassen und nur Veränderung zwischen Achilles und der Schildkröte betrachten, zB. wenn Achilles 90 Meter hinter der Schildkröte startet ändert sich sein Abstand um 81 Meter, wenn er 90 Meter gelaufen ist, die Schildkröte lief und ist 9 m vorn. Läuft Achilles nochmal 90 Meter hat er sie überholt den 81 Meter > 9 Meter.betrachten. Mna kann auch andere Einheiten als 81 Meter nehmen und anderen Vorsprung, zb 200 m dann hat Achilles nach 3mal 90 metern die Schilkröte überholt. 243>200. Gruß roomsixhu\(\endgroup\)
 

Re: Über Achilles und die Schildkröte
von: predator am: Mo. 22. August 2005 11:38:35
\(\begingroup\)Hallo roomsixhu! Wo hat denn jemand einen Reihenansatz vom anderen "unendlichen" Ende begonnen? Und zu zweitens: lim(x->0,x/x) =1. Du scheinst die Frage mehr von der klassischen Seite zu betrachten. Mathematisch und physikalisch ist da wirklich nichts offen. Es gibt konvergierende unendliche Reihen, und es gibt Quotienten von Nullfolgen, die gegen einen positiven Wert konvergieren. gruss p. \(\endgroup\)
 

Re: Über Achilles und die Schildkröte
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 05. Dezember 2005 17:15:04
\(\begingroup\)Ich glaub man sollte zwei Probleme unterscheiden: 1.) Das Problem der Bewegung oder Geschwindigkeit an sich. Und zwar als Problem der Interpretation des Differentialquotienten ("wie lang ist dx?"). 2.) Das Problem der Bezüglichkeiten. Die Schildkröte bewegt sich mit v bezüglich des Weges. Bei Achilles redet man von Geschwindigkeit (Bewegung in Zeitintervall) in Bezug auf die Bewegung der Schildkröte. Das ist eine konstruierte Regression. Sinnvoll können wir nur über Geschwindigkeiten reden, die den gleichen Bezugspunkt (z.B. der Weg,...) haben. Machen wir das (und die Physiker machen das instinktiv), löst sich das Paradoxon auf. Geschwindigkeit an sich kann man natürlich weiterhin für paradox halten... Grüße, Stefan \(\endgroup\)
 

Re: Über Achilles und die Schildkröte
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. März 2006 16:11:47
\(\begingroup\)Wie bringe ich in der Gleichung einen 3.Zeiger unter? Mir ist klar, dass Stunden-,Minuten- und Sekunden-Zeiger erst wieder bei 12Uhr Überdeckung haben, aber mich würde das Prinzip interessieren.\(\endgroup\)
 

Re: Über Achilles und die Schildkröte
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. Januar 2008 13:11:49
\(\begingroup\)An Matroid: Es war einmal ein Opa, der spielte gerne mit seiner Enkelin. Als seine Annalena um die 3 Jahre alt war, hatten sie besonderen Spaß beim Nachlaufen. Später, als Annalena die vier Grundrechnungen beherrschte, stellte der Opa Annalena folgende Aufgabe: Nehmen wir an, du hättest beim Nachlaufen einen Vorsprung von 12 m und du liefest immer nur gerade aus. Kannst du mir dann berechnen, wie weit du und ich laufen werden, bis ich dich einhole, wenn ich 3 Mal schneller laufen würde als du? Nach einer Weile antwortete Annalena: Ich werde 6 m und du wirst 18 m weit laufen. Auf die Frage des Opas, wie sie denn auf das richtige Ergebnis kam, antwortete sie: Opa, das ist doch wirklich einfach, echt easy: Wenn ich von deiner Laufstrecke meine, die 3 Mal kürzer ist abziehe, bleiben 2 meiner Laufstrecken für den Vorsprung. Ich muss somit 12 m durch 2 teilen und das ergibt 6 m für mich, und verschwand. Eine Aufgabe für den nächsten PISA-Test für 6-Klässler!!! Man kann somit auch ohne algebraische- oder Grenzwert-Kenntnisse den Einholweg berechnen. Nur damit löst man mit allen drei Möglichkeiten nicht das Paradoxon! Gruß, Michael\(\endgroup\)
 

 
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