Mathematik: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
Released by matroid on Fr. 03. Oktober 2003 11:42:04 [Statistics]
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Mathematik

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In letzter Zeit habe ich mich eingehend mit Gleichungen 3. Grades beschäftigt. Dabei hatte ich die Idee für folgendes Näherungsverfahren:

Der Grundgedanke des Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = x³ + ax + b durch die kubische Parabel y = x³, die durch y = (x - x[n])³ auf der x-Achse um die Startnäherung  x[n] verschoben wird.



Es ergibt sich nun:
x³ + ax + b =(x - x[n])³
x²[n+1] + (a - 3x²[n])x[n+1]/3x[n] + (b + x³[n])/3x[n] = 0
Ist x[n] ein Näherungswert für die Nullstelle der Funktion y = x³ + ax + b, so ist x[n+1] ein neuer, allgemein besserer Näherungswert. Die Approximation ist abgeschlossen, wenn (b + x³[n])/3x[n] gegen -a/3 konvergiert.

Beispiel: x³ - 5x + 3 = 0 x[1]= -2

x²[2] + 2,83333333x[2] + 0,83333333 = 0
x[2] = -2,5
x²[3] + 3,16666666x[3] + 1,68333333 = 0
x[3] = -2,490863559
x²[4] + 3,159975547x[4] + 1,66666666 = 0
Approximation abgeschlossen
x[4] = -2,490863615

Das Verfahren konvergiert sehr rasch, meistens sind wesentlich weniger Konvergenzfolgen nötig als beim Newton- oder gar Iterationsverfahren.
Jedoch muss jedesmal eine quadratische Gleichung gelöst und zu Beginn einer der beiden x[n+1]-Werte sondiert werden. Natürlich ist das Verfahren auch für die Normalform der kubischen Gleichung x³ + ax² + bx + c anwendbar.

Bindi

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: Mathematik :: kubische Gleichung :: Näherungsverfahren :: Sonstige Mathematik :
Näherungsverfahren für kubische Gleichungen [von bindi]  
In letzter Zeit habe ich mich eingehend mit Gleichungen 3. Grades beschäftigt. Dabei hatte ich die Idee für folgendes Näherungsverfahren: Der Grundgedanke des Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = x³ + ax + b durch die kubische Parabel y = x³, die durch y = (x - x[n])³ auf
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"Mathematik: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen" | 10 Comments
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Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: zaphodBLN am: Mo. 06. Oktober 2003 11:15:46
\(\begingroup\)Hallo Bindi,

Du schreibst "so ist x[n+1] ein neuer, allgemein besserer Näherungswert". Kannst Du denn zeigen, unter welchen Bedingungen sich ein besserer Wert ergibt?

Ausserdem denke ich, dass dieses Näherungsverfahren für die Implementation am Computer gerade durch das Lösen der quadr. Gleichung ungünstiger als das Newton-Verfahren ist, da das Radizieren aufwändiger und ungenauer (im Sinne der Bitdarstellung) als eine Division ist.

Verstehe diesen Beitrag bitte einfach als Anregung, meine Zweifel auszuräumen 😄

ReadU, Zaphod\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 07. Oktober 2003 13:44:11
\(\begingroup\)Zum Konvergenzkriterium: Das Verfahren konvergiert sicher für x[n] = R\{0}; D>0 (D = Diskriminante der quad. Gleichung)
Zur Genauigkeit von Wurzeln: Du hast völlig recht. Das Radizieren ist natürlich aufwendiger und ungenauer.
Zum Newton-Verfahren: Beim Newton-Verfahren stellt sich bei kubischen Gleichungen folgendes Problem: Hat die kubische Gleichung (reduzierte Form) 3 Lösungen und mindestens 2 davon sind identisch (z.B x³-3x+2), so ist f´(x) = 0. Die notwendige Bedingung für das Newton-Verfahren lautet jedoch, dass f´(x) ungleich 0 sein muss.

Gruss
Bindi\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 07. Oktober 2003 18:15:40
\(\begingroup\)Sehr gut Herr Bindhammer, sehr gut !!\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: zaphodBLN am: Mi. 08. Oktober 2003 08:00:20
\(\begingroup\)naja, nicht ganz .... f'(x) muss ungleich 0 sein. Müsste f(x) ungleich 0 sein, wäre das Verfahern ja nutzlos, weil man ja genau diese Stellen sucht 😄 Und selbst wenn man beim Rechnen auf den Fall f'(x)=0 kommt, reicht es doch aus, x_n etwas zu verschieben.

Was passiert eigentlich, wenn in einem Rechenschritt bei Deinem Verfahren die quadratische Gleichung unlösbar ist, das Originalproblem aber eine Lösung hat? Wie kann man diesen Knoten auflösen?\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: zaphodBLN am: Mi. 08. Oktober 2003 08:01:43
\(\begingroup\)... sorry, hatte nicht den Strich von f ' bei Dir nicht gesehen ... aber der zweite Einwand bleibt trotzdem bestehen 😄\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 08. Oktober 2003 15:47:48
\(\begingroup\)Gute Idee Bindi! Sollte funktionieren!\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 08. Oktober 2003 17:13:46
\(\begingroup\)Die quadratische Gleichung hat dann keine (reele) Lösung, wenn D<0. Geometrisch würde das bedeuten, die beiden Kurven y = x³+ax+b und y = (x-x[n])³ schneiden sich nicht. Liegt die Startnäherung in der näheren Umgebung der Nullstelle, schneiden sich die beiden Kurven, und zwar bei jedem Iterationsschritt, was wiederum bedeutet, dass die quadratische Gleichung lösbar ist.
Das generelle Problem liegt in der Wahl der Startnäherung, doch dieses Problem besteht bei jedem Näherungsverfahren.
Und nochmal zum Newton-Verfahren: Was heißt "x_n etwas zu verschieben"? Wenn man per Hand rechnet, bemerkt man, dass das Verfahren um irgendeinen Wert ewig herumdümpelt, bevor der Zähler bzw. der Zähler und der Nenner 0 wird. Automatisiert man jedoch das Verfahren, muss zuerst die Nullstelle der 1. Ableitung (=quad. Gleichung) bestimmt und diese in die Ausgangsgleichung eingesetzt sowie überprüft werden, ob diese gleich 0 wird.

😄 Gruss Bindi
\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: bindi am: Mo. 10. November 2003 06:17:11
\(\begingroup\)Wer mehr über das Verfahren wissen möchte (komplette Herleitung mit erklärenden Graphen, Word-Datei) einfach E-mail an: bindis@web.de

Gruss Bindi \(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 21. November 2003 12:34:03
\(\begingroup\)wieso überhaupt nähern??? dafür gibt es doch eine analytische lösung!!!\(\endgroup\)
 

Re: Näherungsverfahren für kubische Gleichungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 21. November 2003 20:38:22
\(\begingroup\)Wenn es mehrere Wege gibt, ans Ziel zu kommen - welchen wählt man dann?\(\endgroup\)
 

 
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