In Rebeccas Knobelaufgabe "Differenzengleichung" und meinem Rätsel "Spiegelzahlen" kommt man, ohne daß sie dort als solche bezeichnet werden, mit Palindromzahlen in Berührung. "Palindrome" nennt man einzelne Wörter oder ganze Sätze, die sich vor- und rückwärts gleich lesen. Bekannte Beispiele sind "reliefpfeiler" und "ein neger mit gazelle zagt im regen nie". Palindromzahlen sind Zahlen mit derselben Eigenschaft. Über sie scheint nicht allzuviel bekannt zu sein; die Eintragungen bei google sind wenig ergiebig.
"Rätsel und Spiele: Palindromzahlen" | 38 Comments
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Re: Palindromzahlen
von: AimpliesB am: Fr. 10. September 2004 09:59:49
\(\begingroup\)Huhm. Ich habe vor langer langer Zeit einmal einen Artikel in der Zeit gelesen. Es ging um einen brillianten Menschen, der zum Thema Palindromzahlen geforscht hat... mehr habe ich leider nicht mehr in Erinnerung, doch:
Was gibt es bei Palindromzahlen zu erforschen?
Wo finden sie Anwendung?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo
Einer meiner Professoren hat eine nette Palindromseite: http://wotan.algebra.math.uni-siegen.de/~skoruppa/Palindromes/palindromes.html
allerdings sind das meistens Worte und keine Zahlen aber schöne sind dabei:
A MAN A PLAN A CANAL PANAMA
MADAM, I'M ADAM (he said to Eve :-))
SAMMELT LEMMAS
O Genie, dies nette Knie ist Gast, sagt sie. In Ketten sei dein Ego!
Vitaler Nebel mit Sinn ist im Leben relativ
Grüße
Jana\(\endgroup\)
von: SirJective am: Fr. 10. September 2004 11:49:09
\(\begingroup\)Da fällt mir spontan eine sehr interessante Möglichkeit ein, Palindrome zu erzeugen: Nimm eine Zahl, drehe sie um (1234 -> 4321) und addiere die beiden (1234+4321=5555). Tue das solange, bis du ein Palindrom erhältst.
Die allermeisten Zahlen lassen sich auf diese Weise zu einem Palindrom entwickeln, aber es gibt auch Zahlen, bei denen das mindestens sehr lange dauert, möglicherweise ergibt sich niemals ein Palindrom. Diese Zahlen werden "Lychrel Zahlen" genannt, die kleinste ist die 196.
Siehe dazu auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenpalindrom
http://home.cfl.rr.com/p196/
Gruss,
SirJective\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,
danke für diesen Einstieg in ein schönes Thema. Palindrome haben mich als Zahlenfetischistin schon immer gereizt, besonders das "196er-Problem":
Man nehme eine beliebige positive ganze Zahl (z. B.: 83), schreibe die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge auf (38), addiere die beiden Zahlen (83 + 38 = 121). Wenn das Ergebnis nicht gleich ein Palindrom ist (z.B. bei 87), setze man das Spiel fort bis das Ergebnis ein Palindrom ist:
87 + 78 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
In den weitaus meisten Fällen geschieht dies sehr schnell, aber es gibt Zahlen wie die 89, die sich etwas länger brauchen: Aus 89 wird nach 24 Inversionen 8813200023188.
Und dann gibt es auch noch Zahlen, die sich standhaft weigern. Bis 10000 sind das etwa 2,5 % der Zahlen. 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, ... Bei diesen Zahlen ist es bisher nicht gelungen, ein Palindrom zu erzeugen.
Diese Zahle heißen Lychrel-Zahlen. 196 ist die kleinste Lychrel-Zahl, daher der Name "196er-Problem". Es gibt bisher auch keinen Beweis dafür, dass tatsächlich kein Palindrom entstehen wird. Mit geballter Rechnerkraft hat man bis jetzt nach Millionen von Inversionen aus 196 eine Zahl mit über 206 Millionen Ziffern erzeugt, ohne auf ein Palindrom zu stoßen. Vieles spricht dafür, dass die Suche vergeblich sein wird. Schließlich wird die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Palindroms mit den länger werdenden Zahlen immer geringer.
Es gibt also schon was zum Forschen bei den Palindromen, liebe Teresa. Es ist z.B. auch noch unbekannt , ob es unendlich viele Primzahlpalindrome gibt. Das größte bekannte Primzahlpalindrom ist 10^120016 + 1726271 * 10^60005 + 1
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wie Susi schon geschrieben hat gibt es "ganze Bücher" über das Thema.
Eines dieser Bücher ist "Ein Esel lese nie - Mathematik der Palindrome" von Karl Günter Kröber erschienen im rowohlt-verlag
Wie wissenschaftlich dieses Buch wirklich ist, kann ich nicht sagen, weil ich noch nicht dazu gekommen bin es zu lesen. Aber so vom überfliegen her find ichs doch schon interessant.
Es werden hier auch palindrome in anderen Zahlensystemen untersucht.
Gruß Alex\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Sa. 11. September 2004 11:41:21
\(\begingroup\)Hallo galexy,
danke für diesen Hinweis.
Noch ein paar Bemerkungen zu dem von SirJective und
Rebecca beschriebenen, iterativen Verfahren zur Erzeugung
von Palindromzahlen, das sicher nicht das einzige ist.
Experimentiert habe ich statt mit der Summe mit dem
ganzzahligen Anteil des geometrischen Mittels, d. h.
der Wurzel aus dem Produkt der eingegebenen Zahl und
der ihr zugeordneten Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge.
Dabei ergab sich z. B. folgendes:
Eine Palindromzahl entsteht nach 9 Schritten.
Gleich beim ersten Schritt erscheint sie hier:
Wie bei der Summe erhält man auch bei Verwendung des
geometrischen Mittels nicht immer das Gewünschte:
Die Zahlen in der rechten Spalte wiederholen sich periodisch,
ohne daß eine von ihnen palindrom ist.
Das beginnt schon viel früher. Die kleinste dreistellige Zahl,
die aus demselben Grund keine Palindromzahl liefert, ist die 102:
Bei der Zahl 4803 entsteht auch nach 1 Million Schritten
noch kein Palindrom. Ob sich die Zahlen in der rechten Spalte
wiederholen, konnte ich nicht erkennen. Entweder ist die
Periodendauer sehr lang, oder dieses Beispiel ist unperiodisch.
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hi,
noch was Palindromisches:
Dreieckszahlen D_n sind definiert als
D_n=sum(k,k=1,n)
Frage: gibt es mehrstellige D_n, bei denen sowohl n als auch D_n ein Palindrom ist ?
Natürlich, n=11 liefert D_n=66 oder n=363 liefert D_n=66066
Aber bis jetzt sind erst 18 dieser Kombinationen bekannt, die größte ist:
n=3.654.345.456.545.434.563
mit D_n=6.677.120.357.887.130.286.820.317.887.530.217.766
Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
noch zwei bemerkenswerte Aussagen zu Palindromzahlen:
Bei fast alle Palindromen, die Kubikzahlen sind, scheint die 3. Wurzel auch palindrom zu sein. Die einzige bisher bekannte Ausnahme ist die auch in Hans-Jürgens Tabelle enthaltene
22013 = 10662526601.
Es wird vermutet, dass es für Exponenten k > 4 keine Palindromzahlen Nk gibt.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Mi. 15. September 2004 10:50:34
\(\begingroup\)Hallo Rebecca und andere Palindromzahlfreunde,
daß manche Palindromzahlen Quadrate, Kuben
oder Dreieckszahlen sind und andere sich mit
Hilfe geheimnisvoller Algorithmen erzeugen lassen,
erschwert den Blick darauf, daß die unendliche
Menge der Palindromzahlen abzählbar ist.
So kann man sie in beliebiger Anzahl der Größe
nach auflisten, ohne dabei einzelne oder ganze
Bereiche von ihnen zu überspringen.
Dies ergibt eine einfache Überlegung, bei der von
den genannten Teilmengen und Rechenverfahren
abgesehen wird und man sich nur vorstellt, wie
Palindromzahlen auf sozusagen ganz natürliche
Weise gebildet werden können.
Beginnen wir mit zweistelligen Palindromzahlen,
dann ist die erste die 11, und man kann sich
die Frage stellen, welche z. B. die 115te ist.
(Dies geht sogar, im Gegensatz zu den obigen
Untersuchungen, ohne Computer!)
Viel Spaß wünscht hierbei
Hans-Jürgen.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen,
mit der 115. Palindromzahl (1661) mag das ja noch ohne Computer gehen, aber wie ist das mit der 123454321. Palindromzahl (2345432222345432) ??
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Mi. 15. September 2004 18:43:55
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,
bei mir lautet die 115. Palindromzahl etwas anders.
Welche es ist, sende ich Dir als persönliche Nachricht.
Bei der von Dir genannten, sehr großen Zahl würde ich
sicherlich den Computer mit verwenden. Mir kam es
hauptsächlich auf das Zählprinzip an, und mich würde
interessieren, wie Du vorgegangen bist.
Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,
dass sich unsere 115. Zahlen unterscheiden, liegt daran dass ich die ersten 9 trivialen (einstelligen) Palindromzahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mitzähle. 11 ist dann also bei meiner Zählung die 10. Palindromzahl.
Ich habe (für meine Zählweise) eine Vorschrift hergeleitet (ohne Beweis), mit der man für beliebig große N (N > 9) die N-te Palindromzahl auf einfachste Weise konstuieren kann. Dabei muss man drei Fälle unterscheiden:
1. Die 1. Ziffer von N ist ungleich 1:
Sei N z.B. N = 345124
Man subtrahiere 1 von der 1. Stelle von N und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 245125
Von N' streicht man die letzte Stelle und schreibt das dann in umgekehrter Reihenfolge hin: Ergebnis N'' = 21542
Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 24512521542
2. Die 1. Ziffer von N ist gleich 1 und die 2. Stelle ungleich 0:
Sei N z.B. N = 145124
Man subtrahiere 1 von der 1. Stelle von N (und lässt diese führende 0 wegfallen) und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 45125
Hier wird die letzte Stelle von N' nicht gestrichen
N' wird in umgekehrter Reihenfolge hingeschrieben: Ergebnis N'' = 52154
Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 4512552154
3. Die 1. Ziffer von N ist gleich 1 und die 2. Stelle gleich 0:
Sei N z.B. N = 105124
Man subtrahiere 1 von der aus den ersten beiden Stellen von N gebildeten Zahl 10 - 1 = 9 und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 95125
Von N' streicht man die letzte Stelle und schreibt das dann in umgekehrter Reihenfolge hin:
Ergebnis N'' = 2159
Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 951252159
Noch ein "großes" Beispiel:
N = 98765432109
N-te Palindromzahl: 887654321101123456788
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
da habe ich noch was: Wer die N-te Palindromzahl Pn nicht mit meiner Methode konstruieren, sondern sie líeber direkt mit einer geschlossenen Formel berechnen will, benutze die folgende "einfache" Formel (diese Formel ist bewiesen worden):
P_n=(a_n mod 10)*11^(c_n)*10^b_n+sum(floor((a_n mod 10^(k+1))/10^k)*10^(b_n-k)*(10^(c_n+2k)+1),k=1,b_n)
mit
a_n=n+1-10^(floor(log (n+1-10^(floor(log (n/10))))
b_n=floor(log a_n)
c_n=sum(floor((floor(n/(11*10^(k-1)-1)))/(floor(n/(11*10^(k-1)-1))-1/10))-floor((floor(n/(2*10^k-1)))/(floor(n/(2*10^k-1))-1/10)),k=1,floor(log n)
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Do. 16. September 2004 15:10:46
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,
wenn man wie Du die Palindromzahlen von 1 an zählt,
ergibt sich durch Anwendung eines einfachen Schemas
unter anderem:
Dein Verfahren, das offenbar auf einer sorgfältigen
Analyse derartiger Teilausschnitte beruht, eignet
sich nicht nur für große und sehr große Palindromzahlen,
sondern man braucht vor allem, wenn man wissen möchte,
welche Palindromzahl an einer bestimmten Stelle der Folge
steht, nicht alle vorhergehenden aufzulisten.
Das Verfahren läßt sich auch umkehren. Jemand schreibt
irgendeine Palindromzahl hin und möchte ihre Platz-Nr. in der
mit 1 beginnenden Folge wissen.
Bei Deinen Beispielen sieht das so aus:
Und bei ein paar eigenen so:
Bei den Palindromzahlen mit ungerader Stellenzahl
ist das Auffinden der Platz-Nr. ganz einfach; bei
denen mit gerader Stellenzahl geht man etwas anders
vor. (Es kann sein, daß auch sonst noch kleinere
Ergänzungen/Modifikationen nötig sind.)
Insgesamt habe ich durch Dich wieder Neues über
Palindromzahlen hinzugelernt und freue mich.
Es grüßt Dich dankbar
Hans-Jürgen.
P. S. die von Dir zitierte Formel ist grauslich;
ich frage mich, wer sich so etwas ausdenkt und beweist.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,
zu deinem PS: So grauslich die Formel aussieht, so leicht kann man sie doch in ein Java-Applet umsetzen. Dieses Applet und den ziemlich umfangreichen Beweis dieser Formel findest du hier.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
Geschichtliches zum "196er-Problem":
Die Vermutung, alle Zahlen würden dabei einmal zu einem Palindrom werden, wurde bereits um 1930 formuliert. Sie wurde eher als richtig eingeschätzt, obwohl kein Beweis vorlag. Erstmals 1967 unterzog der Mathematiker Charles Trigg die Zahlen bis 10000 einer genaueren Untersuchung. Bis heute wurde in der von 196 ausgehenden Folge kein Palindrom entdeckt.
Trigg selbst hielt die Vermutung übrigens für falsch.
Heiko Harborth bewies 1973, dass die Vermutung in allen Zahlenbasen, die reine Zweierpotenzen sind, falsch ist (On palindromes. Math. Mag. 46 (1973), 96-99. ). Für die Basis 10 gibt es bis heute kein Resultat.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Sa. 18. September 2004 11:13:13
\(\begingroup\)Hi,
die sich über mehrere Seiten erstreckende Herleitung
der von Rebecca angegebenen, komplizierten Formel ist
nicht so direkt-anschaulich wie ihre eigenen Überlegungen.
Für sie habe ich mir ein Programm geschrieben, das die
erforderlichen Fallunterscheidungen und Zahlenmanipulationen
automatisch vornimmt und in beiden Richtungen funktioniert.
Mit ihm kann ich bequem weitere Untersuchungen durchführen,
die sich auf die Teilbarkeit und andere Eigenschaften von
Palindromzahlen beziehen.
Noch eine Bemerkung zu der Bezeichnung Lychrel-Zahlen.
Durchforscht man das Internet nach den Namen von
Mathematikern, so findet sich anscheinend keiner, der
Lychrel heißt. Ich halte es deshalb für möglich, daß sich
dahinter etwas Unmathematisches, "Romantisches" verbirgt,
vielleicht eine versteckte Huldigung an eine Frau. Es gibt
nämlich im Englisch-Amerikanischen den weiblichen Vornamen
Cheryll, dessen Buchstaben sich in Lychrel umstellen lassen.
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,
mit deiner „romantischen" Vermutung hast du einen Volltreffer gelandet. Auf einer Seite zum 196-Problem fand ich diese Aussage:
Some numbers, however, never seem to reach a palindrome, and they have the name "Lychrel" numbers, named by Wade VanLandingham
Und auf den Palindromseiten von Wade VanLandingham aus Florida, der offensichtlich alles weiß und verfolgt, was zum Thema Palindrom weltweit geschieht, fand ich die Lösung:
Where does the word "Lychrel" come from?
"Lychrel" was simply a word that was not in the dictionary, not on a Google search, and not in any math sites that I could find. If there is any "hidden meaning" to the word, it would simply be that it is a rough anagram of my girlfriend's name Cheryl. It was a word that hit me while driving and thinking about this. I liked the sound of it, and it stuck. There is no secret to the word. If the name "Walker Numbers" had not been in use already, I would have named them that, in honor of John Walker who did the first million digits.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Rebecca & Hans-Jürgen,
ihr habt nach einer einfachen Formel gesucht, die die nat. Zahlen bijektiv auf
die Palindrome abbildet. Sehr einfach finde ich folgende Konstruktion ab zweistelligen Palimdromen. Dabei werden die geraden Palimdrome a a(umgedreht) als Spezialfall der Ungeraden angesehn, wo die mittlere Stelle das leere Wort ist. Außerdem wird alles als "String" aufgefasst, so das man die Zahl umdrehen kann.
Sei \Sigma = {\epsilon,0,1,...,9} (wobei \epsilon das Leere Wort ist)
und [x_1\.,x_2\.,...,x_m\.] seien die Ziffern von n % 11 (!)
f:\IN -> \IN
f(n) = [x_1\.,x_2\.,...,x_m\.] [\Sigma_(n mod 11)] [x_m\.,...,x_1\.]
n>=11
# 11: 1 1
# 12: 101
# 13: 111
# 14: 121
# ...
# 22: 2 2
# ...
# 110: 10 01
# 115: 10 4 01
# ...
#12345: 1122 1 2211
zur Umkehrfkt: wenn das Palimdrom [x y x(gesp.)] ist.
ist f^(-1)(x,y) = x*11 + y+2
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
kann mir jemand weiterhelfen? Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem 8-stelligen Palindrom?
Info bitte an gerhard.kloetzl@freenet.de 😮 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymous.
Das Forum ist für solche mathematischen Fragen zuständig. Mit einem Artikelkommentar soll man Artikel kommentieren. Melde dich doch also einfach im Forum an.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymous,
im Dezimalsystem ist das kleinste 8-stellige Palindrom 10000001 und das größte 99999999; es gibt genau 9000 verschieden 8-stellige Palindrome im Dezimalsystem.
Wenn du mehr darüber erfahren willst, befolge Gockels Rat.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Anonymous vom 19.4.07 19:52,
wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Rebecca hat doch geschrieben wie viele 8\-stellige Palindrome gibt. Es gibt übrigens immer genauso viele n\-stellige Palindrome, wie es ceil(n/2)\-stellige Zahlen gibt.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Anonymous.
Das hat Felix doch schon gesagt: Es gibt genauso viele n-stellige Palindromzahlen wie es ceil(n/2) -stelle Dezimalzahlen gibt. Und da es nunmal 9000 vierstellige Zahlen gibt, gibt es auch 9000 achtstellige Palindromzahlen...
Übrigens ist für solche Fragen das Forum besser geeignet als die Artikelkommentare. Wenn du weitere Fragen haben solltest, melde dich doch bitte an. Hier soll schließlich der Artikel kommentiert werden und nicht deine Aufgabe gelöst...
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Thanks
Ich hab die Lösung auch jetzt herausgefunden:
1.) An der ersten Stelle kann man 9 Ziffern verwenden weil am Anfang keine Null stehen darf.
2.)Für die zweite, dritte und vierte Stelle 10 Ziffern
3.) Nun kann es nur immer eine Möglichkeit geben also immer nur eine Zahl.
Ergebnis: 9x10x10x10x1x1x1x1 =9000
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
viel interessanter als die Palindromzahlen finde ich die Zahlen wo jede Ziffer bis auf die 1 als Summe anderer Ziffern dargestellt werden kann, und diese Zahlen treten obendrein vemehrt im Zusammenhang mit dem Produkt erster n Primzahlen auf.
Gruß Eudoxos\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Do. 20. September 2007 11:47:42
\(\begingroup\)Hallo Eudoxus,
willkommen auf dem Matheplaneten.
Interessant fände ich es, wenn Du mehr über
diese Zahlen mitteilen würdest und darüber,
was Du selber bei ihnen herausgefunden hast.
Gruß,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Mo. 15. Dezember 2008 13:56:41
\(\begingroup\)Hi – 'was Neues –
Der Bundeswettbewerb Mathematik für 2009 enthält folgende Aufgabe:
"Zeige, dass jede nicht durch 10 teilbare ganze Zahl ein positives Vielfaches besitzt, das ein Palindrom ist!"
Eine Beweisidee habe ich nicht, aber ein kleines Programm für Beispiele wie dieses:
274371*306488 =84091419048
274371*522071 =143241142341
274371*764962 =209883388902
274371*1044142=286482284682
274371*1276143=350136631053
274371*1519034=416778877614
274371*1798214=493377773394
274371*2849297=781764467187
274371*3838031=1053044403501
274371*4312641=1183263623811
............
............
(Das Programm verwendet, was gut dazu paßt, Stringvariable.)
Ebenso leicht läßt sich ein beliebig vorgegebenes Palindrom in zwei Faktoren zerlegen wie dieses:
7195628265917
=7*1027946895131
=13*553509866609
=41*175503128437
=91*79072838087
=101*71243844217
=287*25071875491
=533*13500240649
=707*10177692031
=1313*5480295709
=3731*1928605807
=4141*1737654737
=9191*782899387
=28987*248236391
=53833*133665749
=376831*19095107
Auch dabei gibt es oftmals mehrere Möglichkeiten.
Den Hinweis auf die Wettbewerbsaufgabe verdanke ich einem Fachkollegen, vgl. hier.
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Eure Beiträge und Formeln zu den Zahlenpalindromen sind wirklich bemerkenswert! Zahlenpalindrome sind zwar in gewisser weise unnützlich aber interessant 😉 Vor kurzem habe ich auch diese Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Mathematik entdeckt. Darüber zerbreche ich mir nun schon seit einer Woche den Kopf und komme einfach nicht auf die Lösung. Ich frage mich langsam wie dann Schüler die Lösung herausfinden sollten 😄 Hat jemand von euch diese Aufgabe bereits gelöst? Könnte mir jemand einen Tipp zur vorgehensweise geben? Nicht die Lösung, wenigstens das will ich noch selbst schaffen, aber den Ansatz, denn mitlerweile raubt mir die Aufgabe den schlaf! 😄\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Elektronenvolt,
prinzipiell ist für solche Fragen das Forum gedacht. Ich weiß allerdings nicht, ob schon Tipps gegeben werden dürfen oder ob die Runde noch läuft.In letzterem Fall wäre eine Hilfe verboten, da wir nicht ausschließen können, dass Du nicht etwa doch Teil nehmen möchtest oder jemand anderes, der Teil nehmen möchte es liest und dann einen Vorteil gegenüber den anderen Teilnehmern hätte.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)die runde läuft noch glaube ich. wenn ich mich richtig erinnere dann läuft sie noch bis märz.
ich darf bei diesem wettbewerb sowieso nicht teilnehmen, da ich kein schüler mehr bin, aber das argument, dass es jemand anders lesen könnte kann ich nachvollziehen.
Ich habe mitlerweile schon so viele Wege ausprobiert um an die Lösung zu kommen, aber erfolglos 😉 Es scheint mir unmöglich das zu beweisen auch, wenn man mit einem programm sofort sieht, dass es für jede zahl ein vielfaches gibt welches ein Palindrom ist.
Aufgabe 1 und 3 sind auch interessant. Aber meiner Meinung nach kommen sie leider vom Niveau nicht mal ansatzweise an Aufgabe 4. 😄\(\endgroup\)
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Eine Palindromzahl entsteht nach 9 Schritten.
Gleich beim ersten Schritt erscheint sie hier:
Wie bei der Summe erhält man auch bei Verwendung des
geometrischen Mittels nicht immer das Gewünschte:
Die Zahlen in der rechten Spalte wiederholen sich periodisch,
ohne daß eine von ihnen palindrom ist.
Das beginnt schon viel früher. Die kleinste dreistellige Zahl,
die aus demselben Grund keine Palindromzahl liefert, ist die 102:
Bei der Zahl 4803 entsteht auch nach 1 Million Schritten
noch kein Palindrom. Ob sich die Zahlen in der rechten Spalte
wiederholen, konnte ich nicht erkennen. Entweder ist die
Periodendauer sehr lang, oder dieses Beispiel ist unperiodisch.
Hans-Jürgen
Hi,
noch was Palindromisches:
Dreieckszahlen D_n sind definiert als
D_n=sum(k,k=1,n)
Frage: gibt es mehrstellige D_n, bei denen sowohl n als auch D_n ein Palindrom ist ?
Natürlich, n=11 liefert D_n=66 oder n=363 liefert D_n=66066
Aber bis jetzt sind erst 18 dieser Kombinationen bekannt, die größte ist:
n=3.654.345.456.545.434.563
mit D_n=6.677.120.357.887.130.286.820.317.887.530.217.766
Gruß
Rebecca
Grüße,
Hans-Jürgen
)
Viel Spaß wünscht hierbei
Hans-Jürgen.
Dein Verfahren, das offenbar auf einer sorgfältigen
Analyse derartiger Teilausschnitte beruht, eignet
sich nicht nur für große und sehr große Palindromzahlen,
sondern man braucht vor allem, wenn man wissen möchte,
welche Palindromzahl an einer bestimmten Stelle der Folge
steht, nicht alle vorhergehenden aufzulisten.
Das Verfahren läßt sich auch umkehren. Jemand schreibt
irgendeine Palindromzahl hin und möchte ihre Platz-Nr. in der
mit 1 beginnenden Folge wissen.
Bei Deinen Beispielen sieht das so aus:
Und bei ein paar eigenen so:
Bei den Palindromzahlen mit ungerader Stellenzahl
ist das Auffinden der Platz-Nr. ganz einfach; bei
denen mit gerader Stellenzahl geht man etwas anders
vor. (Es kann sein, daß auch sonst noch kleinere
Ergänzungen/Modifikationen nötig sind.)
Insgesamt habe ich durch Dich wieder Neues über
Palindromzahlen hinzugelernt und freue mich.
Es grüßt Dich dankbar
Hans-Jürgen.
P. S. die von Dir zitierte Formel ist grauslich;
ich frage mich, wer sich so etwas ausdenkt und beweist.