Mathematik: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
Released by matroid on So. 20. Februar 2005 11:46:34 [Statistics]
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Mathematik

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Hallo liebe Planetarier,

in diesem Artikel beschäftige ich mich mit der Singulärwertzerlegung und ihrer Bedeutung bei der Lösung von Minimierungsproblemen. Man versucht dabei Probleme auf lineare Gleichungssysteme Ax=b zurückzuführen . Diese können jedoch überstimmt sein und sind damit (oft) nicht eindeutig lösbar. Wir suchen dann nach einer Lösung x, so dass die euklidische Norm von (Ax-b) minimal wird.
(An Kenntnissen setze ich das "Lineare Algebra-Grundstudium" und ein wenig mehrdimensionale Analysis voraus.)

Viel Spaß beim Lesen !


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Wir werden nun zeigen, dass für jede Matrix eine Singulärwertzerlegung existiert.


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In diesem kurzen Abschnitt werden wir uns mit der Pseudoinversen einer Matrix beschäftigen. Um diese vernünftig definieren zu können, brauchen wir die Singulärwertzerlegung.

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In Definition 1 mussten wir einige Einschränkungen bzgl. des Ranges von A "hinnehmen". Wir sind aber nun in der Lage (mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A), die Pseudoinverse noch allgemeiner zu definieren.

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Jetzt kommt natürlich die Frage: Das ist ja alles schön und gut, doch wozu braucht man die Singulärwertzerlegung und die Pseudoinverse ?

In diesem Abschnitt werden wir diese Frage beantworten. Dazu werden auch einige Beispiele vorgerechnet.


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Singulärwertzerlegung von A erhält. Im nächsten Abschnitt werden wir uns nun mit konkreten Beispielen befassen.

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Natürlich könnte man hier noch viele weitere Beispiele anführen. Aber ich denke, dass bereits diese 3 Beispiele zeigen, wie hilfreich die Normalengleichung bzw. die Pseudoinverse bei der Lösung solcher oder ähnlicher Probleme sind.

So, dann hoffe ich mal, dass es euch Spaß gemacht und ihr alles verstanden habt.

(Wahrscheinlich werde ich den Artikel noch erweitern. Es gibt nämlich noch die Möglichkeit mit Hilfe einer QR-Zerlegung das Minimierungsproblem zu lösen.)

Bis denne
MathSG
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Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme [von MathSG1982]  
Ein interessanter Numerik-Artikel über die Singulärwertzerlegung und ihre Anwendungen in der Numerik.
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"Mathematik: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme" | 10 Comments
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Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Wally am: So. 20. Februar 2005 17:45:52
\(\begingroup\)
Hallo, MathSG,

ein Artikel mit schönen Beispielen.

Bitte hau mich nicht, wenn ich gleich was verbessere:

1. die Singulärvektoren sind natürlich nur bei einfachen Singulärwerten bis auf den Betrag eindeutig bestimmt

2. Du beginnst mit A^* A. In den Beispielen nimmst du das Produkt A A^*.  Das ergibt dieselben Singulärwerte, aber in einem einführenden Artikel solltest du entweder etwas dazu sagen (z.B. wie sich die Singulärwertzerlegung von A^* aus der von A ergibt),oder das genauso machen.

Viele Grüße

Wally\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: MathSG1982 am: Mo. 21. Februar 2005 13:53:51
\(\begingroup\)
Hallo Wally,

ich hau dich nicht. 😄   Bin kein gewalttätiger Mensch.  Habe deine Anmerkung zu AA^* geändert. Vielen Dank !

gruß
sven\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Juergen am: Mi. 23. Februar 2005 15:29:17
\(\begingroup\)
Hallo MathSG,
einen schönen Artikel hast du verfasst.
Drei Anmerkungen hätte ich dazu:
1. Im Beweis des aller ersten Satzes über die Existenz der SWZ schreibst du, das A^*A hermitesch ist und damit reelle Eigenwerte besitzt. Du benötigst aber die (natürlich ebenfalls geltende) Eigenschaft, dass A^*A positiv semidefinit ist, da die Eigenwerte ja nichtnegativ sein sollen.
2. Gleich danach kommen ein paar Bemerkungen. Ich würde noch eine hinzufügen: Ist die Matrix A selbst positiv semidefinit (was nach meinem Verständnis quadratisch und hermitesch impliziert), dann kann man in der SWZ U=V wählen, was dann der üblichen Hauptachsentransformation entspricht.
3. Die Def. der Psuedoinversen ist nicht davon abhängig, dass die Ausgangsmatrix reell ist. Das klappt auch mit komplexen Matrizen.

Gruß
Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 12. Oktober 2005 15:05:12
\(\begingroup\)
Hi,
das ist der erste nützliche Beitrag zur SVD, den ich im Netz gefunden habe, respekt. Ich hab dazu noch eine Frage, du bestimmt die Eigenwerte von AA^T. Kann man auch A^TA nehmen, was ist der Unterschied??
Kann mir jemand eine SVD von folgender Matrix berechnen??

    1  2
A= 2  4
    3  6

Vielen Dank im vorraus!!

\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 02. Dezember 2005 15:00:23
\(\begingroup\)
Hallo,
ich habe die Singulaerwertzerlegung deiner Matrix A=1 2
                                                    2 4
                                                    3 6
berechnet.Hier das Ergebnis:
U=-0,2673 0,9562 0,1195
  -0,5345 -0,0439 -0,8440
  -0,8018 -0,2895 0,5228

S=8,3666 0
  0      0
  0      0

V=-0,4472 0,8944
  -0,8944 -0,4472

mit A=V*S*(U)transponiert
Du kannst uebrigens mit dem Befehl[U,S,V]=svd(A) in Matlab dir selbst Singulaerwertzerlegungen berechnen lassen.(falls du Zugriff auf Matlab hast.Weiterhin viel Spass mit Singulaerwerten.
Gruss, Steffi
Ach ja, soweit ich verstanden habe,geht es so:
Wenn A Element K^n,m ist und n>=m, so nimmst du die Eigenwerte von A^T*A, ist aber m>=n, so nimmst du die von A*A^T.(Ist n=m, so ist es egal, welche du nimmst.\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 21. Januar 2006 18:04:13
\(\begingroup\)
Danke für den hilfreichen Text. IMHO muss es bei "Definition 1" R^mxn heißen.\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. Februar 2006 17:51:14
\(\begingroup\)
Ich habe einen Artikel gesucht aus dem klar hervorgeht, wozu pseudoinverse und singulaerwertzerlegung gut sind (da unser Skript an diesem Punkt etwas schwaechelt).

Ich bin hier fuendig geworden.
Danke schoen!

humml\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 16. Januar 2007 20:41:53
\(\begingroup\)
einfach super!!

könntest  du es zum runterladen einstellen?

lg jimmy

\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 31. Januar 2007 20:31:40
\(\begingroup\)
ich versteh einfach nicht wie das sigma zustande kommt

1 1 0
0 0 1


bei 3 kleinen sigmas wurzelaus5 1 und 0 zb

ist sigma     wurzelaus2 0 0
              0          1 0

wo is die 3 zeile hin ? okay verstanden klein sigma > als null

nun aber bei
1 1
1 0
0 1  

ist gross sigma :         fed-Code einblenden
                                0 1
                                 0 0

wieso steht hier ne 0 0 zeile ? die eigenwerte berechnen is ja keine krise

danke georg\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 09. Januar 2015 21:41:21
\(\begingroup\)
Ein wirklich toller Artikel!
Bei meiner Vorbereitung hat er mir sehr geholfen.\(\endgroup\)
 

 
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