Mathematik: Einführung in die Stochastik
Released by matroid on Sa. 21. Mai 2005 14:31:52 [Statistics]
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Mathematik

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Einführung in die Stochastik

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Ich hoffe, ich habe mir mit diesem Projekt nicht zu viel vorgenommen.
Aufgrund des starken Interesses an den Grundlagen der Wahrschein-
lichkeitsrechnung und einem gewissen Mangel an Material hier auf
dem Planeten sehe ich es aber als eine gute Idee an, hier etwas
Abhilfe zu schaffen.
Was ich fürs erste anvisiere, ist folgendes:

1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichkeit
2. Bayessche Formel, Totale Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
4. Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz
5. Andere diskrete Verteilungen:
a) hypergeometrische Verteilung
b) geometrische Verteilung
c) Poisson-Verteilung
6. Faltungen
7. Grundsätzliches zu stetigen Verteilungen
8. Gaußsche Verteilung und Zentraler Grenzwertsatz





Zur pdf-Version dieses Artikels:
hier


1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichkeit


Das Bertrandsche Paradoxon

Als die Wahrscheinlichkeitstheorie erst im Entstehen war, stellte
Joseph Bertrand (1822 - 1900) folgendes Problem:
"In einem Kreis werde zufällig eine Sehne AP gezogen.
Wie wahrscheinlich ist es nun, dass diese Sehne länger ist als eine
Seite des demselben Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks
ABC?"

Bild

Er selbst gab drei mögliche Antworten auf diese Frage, die
erstaunlicherweise alle zu verschiedenen Antworten führen:

1. Es gibt einen Durchmesser des Kreises, zu dem die Sehne
senkrecht ist. Befindet sich der Schnittpunkt von Sehne und
Durchmesser zwischen 1/4 und 3/4 des Durchmessers, so hat
die Sehne eine größere Länge als die Dreiecksseite, also ist
die Wahrscheinlichkeit 1/2.

2. Die Sehne ist länger als eine Dreiecksseite, wenn der andere
Endpunkt auf dem Kreisbogen liegt, den die Seite a vom übrigen
Kreis abtrennt. Also ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit 1/3.

3. Der Mittelpunkt der Sehne kann nach Belieben gewählt werden.
Die Sehne ist genau dann länger als eine Dreiecksseite, wenn sie
eine Sekante zu dessen Inkreis ist. Aus Symmetriegründen liegt
dann auch der Mittelpunkt im Inkreis. Dieser hat gegenüber dem
äußeren Kreis halben Radius, also ist sein Flächeninhalt ein
Viertel des großen, und auch die entsprechende Wahrscheinlichkeit
ist 1/4.

Wie löst man dieses Paradoxon auf? Bertrand hatte nicht angegeben,
in welchem Sinne er zufällig meint. Sind, wenn ein Endpunkt
A vorgegeben ist, alle anderen möglichen Eckpunkte P gleich
wahrscheinlich? Oder sind alle Abstände des Sehnenmittelpunktes
vom Kreismittelpunkt gleich wahrscheinlich, oder sogar alle
Mittelpunkte von Sehnen in der gesamten Kreisfläche?

Das Fazit kann nur lauten: Es muss bekannt sein, aus welchem
Bereich etwas zufällig gewählt wird und welche Ereignisse als
gleich wahrscheinlich angesehen werden.

Ein einfaches Axiomensystem

Das gängige Axiomensystem für die Wahrscheinlichkeitstheorie
lautet:

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Bild


2. Bayessche Formel, Totale Wahrscheinlichkeit,
Unabhängigkeit



Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten gewisser Ereignisse kann
vom Eintreten gewisser anderer Ereignisse abhängig sein. Niemand
würde es für gleich wahrscheinlich halten, dass es in den nächsten
zehn Minuten zu regnen beginnt, wenn die Sonne aus wolkenlosem
Himmel scheint oder es sich bereits mit dunklen Wolken zugezogen
hat.

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3. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung


Kehren wir zu dem Beispiel des fairen Würfels zurück und nehmen an,
dass die einzelnen Wurfergebnisse unabhängig sind. Etwas allgemeiner:
Wir denken uns ein Experiment, dessen Durchführungen beliebig wiederholbar
sind und in dem das günstige Ergebnis immer wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p eintritt. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit
bestimmen, dass unter 20 Versuchen k-mal ein Erfolg eintritt.
Daraus folgt, dass 20-k mal das Ereignis "kein Erfolg" eintritt, und
wegen der stochastischen Unabhängigkeit darf man die Wahrscheinlichkeiten
multiplizieren:

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(Hierbei wurde vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit jedes
Elementarereignisses aus dem neuen Wahrscheinlichkeitsraum
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gleich ist. Dieses ist bereits dadurch sichergestellt, dass die einzelnen
Würfelwürfe für stochastisch unabhängig erklärt wurden.)

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Was wir uns natürlich schon denken konnten.





4. Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz


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Ein einfaches Beispiel, die Binomialverteilung für ein Bernoulli-Experiment,
die einer ganzen Klasse von Elementarereignissen den gleichen Wert, nämlich
die Zahl der Erfolge, zuordnet, haben wir bereits aus den einfachen Prinzipien
Gleichverteilung und stochastischer Unabhängigkeit hergeleitet.


Weil sie so wichtig sind, möchte ich die Begriffe Erwartungswert,
Standardabweichung und Varianz bereits hier einführen.

Erwartungswert

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Bedeutsam ist der Erwartungswert immer dann, wenn es um Entscheidungen
der Art geht: Lohnt es sich, an einem Glücksspiel teilzunehmen? Hier ist
die vom konkreten Elementarereignis, etwa den 6 aus 49 gezogenen
Lottozahlen, abhängige Zufallsvariable der Gewinn, der mir für eine
bestimmte Anzahl richtig getippter Zahlen zusteht. Mich als potenziellen
Mitspieler interessiert, ob der zu erwartende Gewinn mindestens gleich
dem zu zahlenden Spieleinsatz ist. Da die Gewinne im Lotto in Gewinnklassen
eingeteilt werden, sie also unter allen Mitspielern geteilt werden, die die
gleiche Anzahl Richtiger haben, kann man den Erwartungswert für den
Gewinn, also die mit der Wahrscheinlichkeit, k Zahlen richtig getippt
zu haben, multiplizierte Gewinnsumme für k Richtige, summiert über k von
0 bis 6, nur sehr schwer vorhersehen.
So fällt u.U. nicht auf, dass der einzige Teilnehmer mit positivem
Gewinnerwartungswert der Veranstalter, also der Deutsche Lottoblock mit
dem Staat als Hauptgesellschafter ist, der mit dem Lottospiel Woche für
Woche große Gewinne einspielt. (Zum Modell für das Zahlenlotto später
mehr.)

In einfacheren Spielsituationen kann die Gewinnerwartung dagegen schon
vor dem Spiel abgeschätzt werden.


Standardabweichung und Varianz

Zur Beschreibung von Experimenten mit quantitativem Ausgang, zu denen man
auch den Ausfall einer Klausur zählen kann, reicht es meist nicht aus, nur
den Mittelwert zu kennen. So führen eine Klausur, in der genau die Hälfte
der Teilnehmer eine "1" und die andere Hälfte eine "5" geschrieben haben,
genauso zum Mittelwert "3" wie eine Klausur, in der alle Teilnehmer eine "3"
geschrieben haben. Aus nachvollziehbaren Gründen reicht der Mittelwert dem
Schulleiter nicht als Information über den Ausgang dieser Klausur.

Neben dem Mittelwert beschreibt man ein Experiment noch mit der "mittleren
Abweichung vom Mittelwert", der sogenannten Standardabweichung.
Diese ist mit Hilfe der Varianz, Abkürzung Var(X), definiert.

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Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

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5. Andere diskrete Zufallsvariable


Nicht immer ist das Bernoulli-Experiment ein adäquates Modell, um
Zufallsprozesse zu beschreiben. Es sei nur an die bekannten Urnenexperimente
erinnert, mit denen man nur allzu leicht durcheinander gerät:

1. Kugeln aus Urne ziehen mit Wiederholung unter Beachtung der Reihenfolge
2. Kugeln ziehen ohne Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge
3. Kugeln ziehen ohne Wiederholung unter Beachtung der Reihenfolge
4. Kugeln aus Urne ziehen mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge
...

1. ist mit den Bernoulli-Experimenten bereits bestmöglich modelliert:
bei N Kugeln, die nach dem Ziehen jeweils zurückgelegt werden, ändert sich
niemals die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit einer bestimmten Farbe zu
erwischen, und man hat jedesmal die Wahl zwischen allen N Kugeln. Das
adäquate Modell, die Binomialverteilung, haben wir schon behandelt.

2. unterscheidet sich von dieser Situation wie folgt:
Wenn eine Kugel einer bestimmten Farbe aus der Urne entfernt ist, hat sich
das Verhältnis der Farben in der Urne geändert, und würde man von nun ab
mit Zurücklegen ziehen, kämen andere Häufigkeiten vor als zu Beginn.
Daher hat man die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug anzupassen.

Außerdem wird nicht mehr zwischen Ausgängen unterschieden, die sich
nur hinsichtlich der Reihenfolge der Elementarereignisse unterscheiden:
Beim dreimaligen Würfeln wird das Einzelergebnis (1,1,2) von (1,2,1)
und von (2,1,1) unterschieden, während es beim Ziehen dreier Karten aus
einem Skatspiel keinen Sinn macht, bei den Ereignissen {Pik As, Herz
Sieben, Karo Dame} verschiedene Reihenfolgen zu unterscheiden, denn
ohne Zurücklegen bleibt es die gleiche Auswahl.

Das adäquate Modell zu dieser Situation heißt

Hypergeometrische Verteilung.

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Sind beispielsweise in einer Urne N Kugeln, von denen S schwarz und
der Rest weiß sind, so unterscheidet sich eine Auswahl von n Kugeln
von einer anderen nur hinsichtlich der Anzahl k der schwarzen Kugeln.
Es ist also egal, welche k der S schwarzen und welche n-k der N-S
weißen Kugeln man herausgezogen hat.

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Die hypergeometrische Verteilung ist auch das Modell der Wahl, wenn man
es mit mehr als zwei unterscheidbaren Elementarereignissen zu tun hat,
etwa mit Kugeln in W unterscheidbaren Farben in verschiedener Anzahl.
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Neben den sehr bekannten Fällen "Ziehen mit Zurücklegen und mit
Reihenfolge" (Binomialverteilung) und "Ziehen ohne Zurücklegen und
ohne Reihenfolge" (hypergeometrische Verteilung) gibt es auch die
anderen Kombinationen
3. "Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge" und
4. "Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge".
Sie treten aber so selten auf, dass sich für ihre Verteilungen
keine Namen eingebürgert haben.

Ziehen ohne Wiederholung unter Beachtung der Reihenfolge

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Ziehen mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge

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Diese neuen Postennummern sind aus {1, 2, ..., N+n-1}, und aus diesen
Nummern sind die Gegenstände nun ohne Wiederholung ausgewählt,
so dass man Modell 2. anwenden kann und erhält, dass der Ereignisraum
aus

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Elementen besteht.


Weitere diskrete Zufallsvariable

Geometrische Verteilung (negative Binomialverteilung)

Zwei Kontrahenten, Schwarz und Weiß, befinden sich in einem Duell mit
tödlichen Waffen. Schwarz trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit p,
Weiß mit der Wahrscheinlichkeit q. Da q > p, haben beide vereinbart,
dass Schwarz anfangen darf.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Schwarz das Duell im k. Schuss?

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Die gleiche Verteilung nimmt man in Situationen, in denen der erste Erfolg
unabhängig von den vorherigen Ausgängen ist. Zum Beispiel ist es völlig
unbestimmt, ob ein instabiler Atomkern in der 1., 2., ... oder 1000. Minute
nach Beginn einer Messung zerfällt. Da er nur einmal zerfallen kann und
seine Zerfallswahrscheinlichkeit p pro Minute positiv ist, ist die
Wahrscheinlichkeit, dass der Kern nach k Minuten zerfallen ist:

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Poisson-Verteilung

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Diese Verteilung approximiert die (eigentlich bessere) Binomialverteilung
für kleine Ereigniswahrscheinlichkeiten und große Wiederholungszahlen,
ist aber wesentlich einfacher zu handhaben.




6. Faltungen

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7. Grundsätzliches zu stetigen Verteilungen


Bisher haben wir uns nur mit diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen
befasst, d.h. mit höchstens abzählbar vielen Elementarereignissen. Für
viele Situationen der Anwendung reicht dies aber nicht aus; etwa wenn
die Körpergröße (oder auch die Intelligenz) von Menschen beschrieben
werden sollen, die Werte auf einer kontinuierlichen Skala annehmen.

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Das geht nun nicht mehr und hat mit der Erscheinung zu tun, dass
nicht mehr jeder Teilmenge eines stetigen Wahrscheinlichkeitsraumes
eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann, denn eine Wahr-
scheinlichkeit ist ein spezielles Maß, und es gibt - wie man z.B. in
meinem Artikel Das Kugelwunder nachlesen kann - nicht-messbare
Mengen.

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Über Verteilungsfunktionen und Dichten

Im Sinne der Lebesgue-Messbarkeit macht es bei stetigen Verteilungen
keinen Sinn, den einzelnen Werten k der Zufallsvariable X
Wahrscheinlichkeiten p(X = k) > w > 0 zuzuweisen - denn da bereits jedes
endlich breite Intervall I abzählbar viele rationale Werte enthält,
müsste

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gelten, also oberhalb jeder Schranke liegen.


Endlich große Wahrscheinlichkeiten machen daher nur für endlich
breite Intervalle Sinn. 1


1 Man kann eine Verteilungsfunktion auf einem kontinuierlichen Raum X folgendermaßen
konstruieren: jeder Teilmenge A von X wird 1 zugewiesen, falls sie ein festes k enthält;
anderenfalls 0. Dieses ist die Dirac- oder Einpunktverteilung. Aus endlich vielen Einpunkt-
verteilungen auf X kann man durch Übergang zum (ggf. gewichteten) arithmetischen Mittel
Verteilungen auf X konstruieren, die die gleichen Ergebnisse liefern wie ein (gewichtetes)
Zählmaß auf den ki. Diese Verteilungen sind nicht stetig, und es sind die einzigen,
die einzelnen Elementen von X endlich große Wahrscheinlichkeiten zuordnen.



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Im folgenden werden wir uns um eine außerordentlich bekannte stetige Verteilungsfunktion kümmern, die enorme praktische Bedeutung hat: die
Gaußsche Normalverteilung.




8. Gaußsche Verteilung und Zentraler Grenzwertsatz


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Die Dichte dieser Verteilungsfunktion ("Gaußsche Glockenkurve") zierte
im Übrigen auch den Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gewidmeten
10,- DM-Schein, bevor dieses schöne Geld 2002 dem Euro weichen
musste:


Bild


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Für diese Verteilung gilt ein außerordentlich bemerkenswerter Satz,
der sie sozusagen zur Brot-und-Butter-Verteilung jedes Statistikers
macht.

Zentraler Grenzwertsatz:

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"Ein Flugzeug hat 300 Sitzplätze. Die Erfahrung zeigt,
dass 5% aller Passagiere, die einen Flug gebucht haben,
diesen nicht antreten. Wieviele Flugtickets darf die
Airline maximal für einen Flug verkaufen, damit eine
Überbelegung des Fluges zu 99% ausgeschlossen bleibt?"



Die Behandlung des Problems mit der Binomialverteilung würde wegen
der großen Zahlen sehr aufwändig. Statt dessen bestimmt man die
Wahrscheinlichkeit der Überbelegung zu
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Also darf die Airline maximal 306 Karten verkaufen, damit eine
Überbelegung des Flugzeugs zu 99% ausgeschlossen bleibt.



Bild


So, das war's erstmal.
Ich hoffe, ich habe mit diesem Artikel einen kurzen Überblick über
die Stochastik, ihre Ideen, Schwierigkeiten und Anwendungen geben
können. Natürlich kann man hiervon keine Wunder erwarten, der Artikel
erhebt auch keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sofortige
Verständlichkeit oder gar Übungsscheingarantie.

Vielleicht hat ja jemand das Bedürfnis, das eine oder andere Kapitel
hier zu ergänzen, denn Interessantes gibt es in der Stochastik noch
vieles.





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201207-07 (92x)http://google.lu/imgres?q=stochastisch unabhängig
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"Mathematik: Einführung in die Stochastik" | 7 Comments
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Re: Einführung in die Stochastik
von: bodzcount am: Sa. 21. Mai 2005 17:03:45
\(\begingroup\)
Hi Norbert,

dieser Artikel ist genau das Richtige für mich. Ich freue mich schon darauf ihn mal in einer ruhigen Minute zu lesen.

Gruß
Benjamin\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: matroid am: So. 22. Mai 2005 00:23:53
\(\begingroup\)
Hallo shadowking,

als ich zuerst nur den Titel gelesen hatte, dachte ich: 'Das ist eine sehr gute Idee, dieses Thema hat hier immer gefehlt.'
Und genau das schreibst Du selbst: "... und einem gewissen Mangel an Material hier ..."
Ich danke Dir, daß Du diese Lücke schließt. Ich finde Deine Artikel immer brillant.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: Gockel am: So. 22. Mai 2005 16:51:43
\(\begingroup\)
@chef:

Glaub mir: Norbert und du seid nicht die einzigen, denen das aufgefallen ist.
Petra und ich haben genau dieselbe Idee gehabt...

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: Juergen am: Mo. 23. Mai 2005 11:10:22
\(\begingroup\)
Hallo Norbert,

ein schöner Artikel. Aber an einem Punkt muss ich "rummeckern":
Im Abschnitt über die Faltung schreibst du, dass
fed-Code einblenden
Das ist verkehrt. Eh ich jetzt die Faltungsformel (seitenlang) umrechne, versuch ich es mit einem anderen Weg.
fed-Code einblenden
Somit ist die geometrische Verteilung nicht "faltungsstabil".

Gruß
Jürgen

EDIT: Die erwähnte Passage ist jetzt gestrichen. Danke.\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: Hans-im-Pech am: Do. 02. Juni 2005 18:12:51
\(\begingroup\)
Hallo shadowking,

mit Deinem sehr interessanten Artikel konntest Du scheinbar ein Loch auf dem Planeten und etliche Wissenslücken bei mir beheben!

Vielen Dank dafür und viele Grüße,
HiP

PS:

Als Ergänzung zu Punkt (5) ist vielleicht auch der eine Woche später verfasste Artikel der Kleinen Meerjungfrau interessant.
article.php?sid=817&mode=nested&order=0\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 22. Januar 2007 05:39:10
\(\begingroup\)
Ich find das schön das sich jemand die ganze Mühe gemacht hat. Trotz dessen das es sehr nerven aufreibend sein kann so etwas zusammen zu stellen oder gar erstmal austellen. Also allen ich zieh den Hut.
Natürlich hab ich mich sehr gefreut dazu so eine schöne Seite im I-net zu finden, weil wir den ganzen Kram im Unerricht durch nehemn und ich dort kein Wort verstehe...^^
naja genug des Geschwafels...ich find diese Einführung richtig gut gelungen und möchte mich bei dem/den verfassern der Seite sehr bedanken...\(\endgroup\)
 

Re: Einführung in die Stochastik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 01. Februar 2013 14:13:26
\(\begingroup\)
Hi,

guter Artikel, aber ich glaube, da ist noch ein Fehler drin: Bei der Berechnung von Erwartungswert und Varianz müssen die Summen, m.E. bei 0 beginnen.

Danke und Gruß

\(\endgroup\)
 

 
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