Mathematik: Hüllen in der Mathematik
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Mathematik

\(\begingroup\) Babuschka-PuppenVektorteilräume und lineare Hüllen, konvexe Mengen und konvexe Hüllen, (toplogisch) abgeschlossene Mengen und Abschluss, Sigma-Algebren und erzeugte Sigma-Algebren, Gruppen und erzeugte Gruppen... In der Mathematik stösst mensch immer wieder über derartige Strukturen. Dieser Artikel betrachtet was all diesen Strukturen gemein ist. Dass das Ganze etwas abstrakt ist liegt in der Natur der Sache.

Sei M eine Menge und H ein System von Teilmengen von M. Wir nennen H eine \stress\ Moore-Kollektion\normal\ falls H folgende zwei Eigenschaften besitzt: (i) M\el\H (ii) G\subsetequal\ H=> cut(G)\el\ H Die Elemente von H werden \stress\ abgeschlossene Mengen \normal\ genannt. Wenn H eine Moore\-Kollektion auf M ist, dann ist der Hüllenoperator h: \calP(M)->\calP(M) die Funktion die jeder Teilmenge N von M die Menge cut({F:F\supersetequal\ N mit F\el\ H}) zuordnet. Wir sagen dann auch dass h(N) von N \stress\ erzeugt \normal\ wird, oder dass h(N) der \stress\ Abschluss \normal\ von N ist. Der Hüllenoperator h hat folgende Eigenschaften. (a) S\subsetequal\ h(S) (b) h(h(S))=h(S) (c) S\subsetequal\ T => h(S)\subsetequal\ h(T) Jede Funktion h:\calP(M) ->\calP(M), die diese Bedingungen erfüllt, ist der Hüllenoperator für eine Moore-Kollektion. Diese Kollektion ist H={h(N):N\subsetequal\ M}. H erfüllt (i) wegen (a). Es ist etwas schwieriger (ii) zu zeigen. Sei X\subsetequal\ \calP(M), X'={h(N):N\el\ X}. Wir wollen zeigen dass h(cut(X'))=cut(X'). Wegen (a) gilt cut(X')\subsetequal\ h(cut(X')). Für alle N\el\ X' gilt wegen (c) dass h(cut(X'))\subsetequal\ h(N)). Also gilt h(cut(X'))\subsetequal\ cut({h(N) :N\el\ X})=cut(X'). Oft betrachten wir Mengen, die in Bezug auf irgendwelche Operationen abgeschlossen sind. Erzeugte Gruppen durch die Gruppenoperationen, erzeugte \sigma-Algebren durch Komplementbildung, abzählbare Vereinigung, und dem ganzen Raum... Wenn M eine Menge ist betrachten wir dann die kleinste Menge, die M enthält und in Bezug auf eine Menge von Operationen abgeschlossen ist. Intuitiv ist das meist relativ klar, aber wir müssen unsere Begriffe klar definieren. Wir Bezeichnen die Menge aller Funktionen von einer Menge Y nach einer Menge X mit X^Y. Sei \Lambda eine Menge. Eine Funktion f von M^\Lambda nach M nennen wir eine \stress\ \Lambda-stellige Operation auf M. \normal\ Dem üblichen Sprachgebrauch folgend sagen wir falls \Lambda endlich ist und n Elemente enthält dass f eine \stress\ n-stellige Operation \normal\ ist. Wenn wir, John von Neumann folgend, eine natürliche Zahl n mit der Menge aller kleineren natürlichen Zahlen {0,1,...,n-1} identifizieren, stimmen die beiden Definitionen überein (wir zählen die 0 zu den natürlichen Zahlen). Konstanten identifizieren wir mit 0-stelligen Operationen. Wenn f eine \Lambda-stellige Operation auf M ist und N\subsetequal\ M, dann sagen wir N ist \stress\ unter f abgeschlossen \normal\ falls für alle m={m_\lambda :\lambda\el\ \Lambda}\el\ N^\Lambda der Wert der Operation f(m) in N liegt. Wenn \Phi eine Menge von Operationen \(mit beliebigen \Lambda ´s) auf M ist dann sagen wir eine Menge N\subsetequal\ M ist \stress\ unter \Phi abgeschlossen \normal\ falls n unter allen Operationen in \Phi abgeschlossen ist. Wenn \Phi eine Menge von Operationen ist, dann ist leicht zu sehen dass {N\subsetequal\ M:N ist unter \Phi abgeschlossen} eine Moore-Kollektion ist. Etwas verblüffender ist dass jeder Hüllenoperator als Abchluss unter einer Menge von Operationen gesehen werden kann: Sei h ein Hüllenoperator auf M. Für jedes \Lambda\subsetequal\ M und x\el\ h(\Lambda) definieren wir eine \Lambda-stellige Operation f_\Lambda,x durch f_\lambda,x (m)=fdef(x falls m_\lambda =\lambda für alle \lambda\el\ \Lambda; irgendein m_\lambda sonst). Die unter \Phi={f_\Lambda,x :\Lambda\subsetequal\ M, x\el\ h(\Lambda)} abgeschlossenen Mengen sind gerade die unter h abgeschlossenen Mengen. Das Abstrakte Studium von Hüllenoperatoren wurde 1910 von E.H.Moore in einem Artikel mit dem Namen "Introduction to a form of general Analysis" begonnen. Der Bereich der sich mit diesen Fragestellungen beschäftigt ist universelle Algebra. Dieser Artikel basiert auf dem Buch Handbook of Analysis and its Foundations 1997 von Eric Schechter.
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"Mathematik: Hüllen in der Mathematik" | 2 Comments
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Re: Hüllen in der Mathematik
von: FlorianM am: Sa. 23. Juli 2005 18:00:59
\(\begingroup\)Schöner Artikel...\(\endgroup\)
 

Re: Hüllen in der Mathematik
von: Triceratops am: Fr. 11. Dezember 2020 09:21:24
\(\begingroup\)Schöner Artikel. Ich wollte gerade etwas ähnliches aufschreiben, vor allem um die Begriffe "erzeugte Untergruppe" (zum Beispiel) und "erzeugte $\sigma$-Algebra" auf ein gemeinsames Fundament zu stellen und dann im Forum bei Bedarf darauf zu verweisen. Ich glaube, den wenigstens Studierenden sind sich der Gemeinsamkeit bewusst. Auch die üblichen Rechenregeln wie etwa $\langle X \cup Y \rangle = \langle X \rangle + \langle Y \rangle$ gelten ja allgemein für Hüllenoperatoren. Leider fällt das Beispiel mit $\sigma$-Algebren hier unter den Tisch, obwohl es in der Einleitung erwähnt worden ist. Also schreibe ich vielleicht doch etwas Eigenes auf. Übrigens: (i) in der Definition einer Moore-Kollektion folgt bereits aus (ii), indem man (ii) auf $G = \emptyset$ anwendet (vgl. hier, leere Durchschnitte). Eine Moore-Kollektion ist also nichts weiter als eine Durchschnitt-stabile Mengenfamilie. Übrigens gibt es neben der alternativen Beschreibung durch Hüllenoperatoren noch eine dritte, nämlich als Monaden auf $\mathcal{P}(M)$, siehe nlab.\(\endgroup\)
 

 
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