Mathematik: Oberflächenintegrale
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Analysis

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Oberflächenintegrale

Nun möchte ich, nachdem ich schon über Kurvenintegrale schrieb, auch die Oberflächenintegrale einführen. Dabei führe ich zunächst den Begriff der Fläche ein, dann das Flächenintegral, sowie das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion und das Flußintegral. Inhalt: 1.Einführung 2.Oberflächeninhalt 3.Oberflächenintegral einer skalaren Funktion 4.Flußintegral

\light\blue Einführung: Wie auch bei den Kurvenintegralen, beschränken wir uns hier auf den Raum \IR^3 mit der euklidischen Metrik. Wir nennen P(B) eine Fläche, wenn P:B->\IR^3 eine stetig differenzierbare und injektive Abbildung ist. Dabei ist B eine Jordan\-messbare Teilmenge des \IR^2, das bedeutet nichts weiter, als dass B ein Rechteck, eine Gerade, ein Punkt, eine abzählbare Vereinigung oder Schnitt von Rechtecken ist. Bei Flächen hat die Funktionalmatrix J_P(u,v)=P'(u,v)=(x_u,x_v;y_u,y_v;z_u,z_v) für alle (u,v)\el\B den Rang 2. Flächen sind invariant gegenüber Parametertransformationen. Sind B_1, B_2 \subset\ \IR^2 und P_i :B_i->\IR^3 zwei Parameterdarstellungen derselben Fläche, dann gibt es eine bijektive und mit ihrer Umkehrung stetig differenzierbare Abbildung r:B_1->B_2, so dass P_1(u,v)=P_2(r(u,v,)) für alle (u,v)\el\ B_1. Ist umgekehrt P:B_1->\IR^3 eine Parameterdarstellung und r:B_2->B_1 bijektiv und mit der Umkehrung stetig differenzierbar, so ist auch P\circ\ r eine Parameterdarstellung derselben Fläche.
Man kann Flächen auf verschiedene Arten betrachten. Die Parameterdarstellung (x;y;z)=P(u,v) von Flächen ist dabei wohl die angemessenste Form. Ist B\subset\ \IR^2 und P:B->\IR^3, dann heisst (x;y;z)=P(u,v) Parameterdarstellung. Bild Die Funktionalmatrix dieser Fläche heisst, J_P=P'=(x_u,x_v;y_u,y_v;z_u,z_v)=(P_u, P_v) Dabei benutzt man häufig folgende Abkürzungen: E=norm(P_u)^2=x_u^2+y_u^2+z_u^2=, G=norm(P_v)^2=x_v^2+y_v^2+z_v^2=, F=x_u*x_v+y_u*y_v+z_u*z_v=, g=E*G-F^2=det(P'^T*P')=norm(P_u x P_v)^2 Diese Abkürzungen nennt man auch die metrischen Fundamentalgrößen. P heisst winkeltreu, wenn E=G und F=0 ist und flächentreu, wenn g==1 ist. Man kann Flächen auch als Graph z=f(x,y) betrachten. Ist B\subset\ \IR^2 und f:B->\IR stetig differenzierbar, so ist der Graph von f, also menge((x,y,z)|z=f(x,y)) eine Fläche mit der Parameterdarstellung P:B->\IR^3, P(x,y)=(x;y;f(x,y)) Bild Die Funktionalmatrix lautet hier: P'=(1,0;0,1;f_x,f_y) und die metrischen Fundamentalgrößen E=1+f_x^2 G=1+f_y^2 F=f_x*f_y g=E*G-F^2=1+f_x^2+f_y^2
\light\blue Oberflächeninhalt: Kommen wir nun zum Flächeninhalt einer parametrisierten Fläche M. Betrachten wir nun zunächst den Bereich B. Die Geraden u_0 und v_0 gehen dann über in die Kurven P(u_0,v) und P(u,v_0). Bild Die blauschraffierte Fläche auf M kann durch das von den Vektoren a^>=P_v(u_0, v_0)*\Delta v und b^>=P_u(u_0, v_0)*\Delta u erzeugte Parallelogramm approximiert werden. Bekanntlich ist die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms die Länge des Kreuzproduktes der beiden Vektoren. Damit kann die blauschraffierte Fläche M_0 durch M_i=norm(a^> x b^>)=norm(P_u(u_0, v_0)\Delta u x P_v(u_0, v_0)\Delta v) =norm(P_u(u_0, v_0) x P_v(u_0, v_0))*\Delta u\Delta v angenähert werden. Die letzte Gleichung erhält man, indem man einfach nur die Linearität des Kreuzprodukts in beiden Faktoren verwendet. Verfeinert man nun die Zerlegung, so erhält man M\approx M_1+...+M_n=sum(norm(P_u(u_i, v_i) x P_v(u_i, v_i))*\Delta u\Delta v,i=1,n) Bild Durch den Grenzübergang n->\inf erhalten wir in M\approx M_1+...+M_n=sum(norm(P_u(u_i, v_i) x P_v(u_i, v_i))*\Delta u\Delta v,i=1,n) rechts ein Doppelintegral. Damit ist M=int(int(norm(P_u x P_v),u,B),v) Benutzen wir dazu unsere metrischen Fundamentalgrößen, so erhalten wir M=int(int(sqrt(g),u,B),v)=int(int(sqrt(E*G-F^2),u,B),v) Jetzt kann man auch erkennen, was Flächentreue bedeutet, und zwar wenn g==1 ist, so ist M=int(int(sqrt(1),u,B),v)=Fläche von B Bei flächentreuen Abbildungen ändert sich die Fläche nicht bei der Transformation. Ist unsere Fläche als Graph z=f(x,y) gegeben, so erhalten wir mit den metrischen Fundamentalgrößen M=int(int(sqrt(1+f_x^2+f_y^2),x,B),y)
Kommen wir nun zu einem Beispiel. Wir möchten die Oberfläche einer Kugel berechnen. Eine Kugel mit Radius r kann durch folgendende Parameterdarstellung beschrieben werden P:B->\IR^3, P(u,v)=(r*cos(u)*cos(v);r*sin(u)*cos(v);r*sin(v)) mit B: 0<=u<=2\pi, -1/2*\pi<=v<=1/2*\pi Die Tangentenvektoren lauten: P_u=(-r*sin(u)*cos(v);r*cos(u)*cos(v);0) P_v=(-r*cos(u)*sin(v);-r*sin(u)*sin(v);r*cos(v)) Das Kreuzprodukt lautet (r^2*cos(u)*cos(v)^2; r^2*sin(u)*cos(v)^2; r^2*sin(v)*cos(v)) davon die Länge ist norm(P_u x P_v)=r^2*cos(v) Also ist die Oberfläche der Kugel M=int(int(r^2*cos(v),u,0,2\pi),v,-\pi/2,\pi/2)=4\pi*r^2
\light\blue Oberflächenintegrale einer skalaren Funktion Ist auf einer Oberfläche eine skalare Belegungsfunktion erklärt, so lässt sich die Gesamtbelegung mittels Integration bestimmen. Als Beispiel nehme ich wieder die Dichte. Haben wir also auf einer Oberfläche eine Dichtefunktion (Gewicht pro Flächeneinheit) f(x,y,z), so ist die Gesamtmasse G=int(int(f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))*norm(P_u x P_v),u,B),v) Schauen wir uns dazu mal eine solche Oberfläche an: Bild Auf der ganzen Fläche ist die Belegung (Dichte) variabel, schauen wir uns aber ein kleines Stück der Fläche an, so können wir annehmen, dass auf diesem Stück die Belegung konstant ist. Vergleicht hierzu meine vorherigen Artikel, in denen ich das Prinzip schon erklärt habe.
Als Beispiel nehmen wir eine Schnecke S. Eine Schnecke ensteht, wenn ein Stab der Länge l sich mit einer Winkelgeschwindigkeit w um die z\-Achse dreht und dabei konstant mit der Steigrate b steigt. Bild Solch eine Schnecke kann man wie folgt parametrisieren: P(u,v)=(u*cos(w*v);u*sin(w*v);b*v), 0<=u<=l,0<=v<=2\pi/w. Nun soll auf der Schnecke die Dichte f(x,y,z)=sqrt(x^2+y^2) zugeordnet sein. Für die Gesamtmasse der Schnecke ergibt sich G=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*norm(P_u x P_v),u,0,l),v,0,2\pi/w) Es ist norm(P_u x P_v)=norm((cos(wv);sin(wv);0) x (-uw*sin(wv);u*w*cos(wv);b)) =norm((b*sin(w*v);-b*cos(w*v);uw))=sqrt(b^2+u^2*w^2) Damit ist G=int(int(sqrt((u*cos(w*v))^2+(u*sin(w*v))^2)*sqrt(b^2+u^2*w^2),u,0,l),v,0,2\pi/w) =int(int(u*sqrt(b^2+u^2*w^2),u,0,l),v,0,2\pi/w) =int(stammf(1/(3*w^2)*(b+w^2*u^2)^(3/2),0,l),v,0,2\pi/w) =1/(3*w^2)*((b^2+w^2*l^2)^(3/2)-b^3)*int(,v,0,2\pi/w) =(2*\pi)/(3*w^3)*((b^2+w^2*l^2)^(3/2)-b^3)
\light\blue Flußintegral Es ist wichtig im folgenden zwischen einseitigen Flächen und zweiseitigen Flächen zu unterscheiden. Das klassische Beispiel einer einseitigen Fläche ist das Möbiusband. Das entsteht, wenn ein Rechteckstreifen einmel gedreht wird und dann beide Enden zusammengefügt werden. Damit schließt die Oberseite des Rechteckstreifens an seine Unterseite. Würde man in einem beliebigen Punkt (x,y,z) den Normalenvektor vec(n) einmal umlaufen lassen wieder bis zum Punkt (x,y,z) so würde daraus der Normalenvektor -vec(n). Damit ist die Zuordnung (x,y,z)\mapsto vec(n)(x,y,z) unstetig. Befinden wir uns hingegen auf einer zweiseitigen Fläche so ist die Zuordnung (x,y,z)\mapsto vec(n)(x,y,z) stetig. Im folgenden betrachten wir nur zweiseitige Flächen, deren Normalenvektoren zur Oberseite weisen. Bild Betrachten wir nun ein Vektorfeld, in dem sich eine zweiseitige Fläche befindet, so lässt sich mithilfe des Skalarprodukts der Fluß des Vektorfeldes durch die Fläche defnieren. Bild Schauen wir uns ein kleines Flächenstück genauer an. Dabei ist vec(n) der Normalenvektor, vec(v) der zum Punkt zugehörige Vektor des Vektorfeldes und dO das Flächenelement. Bild Der rosa Quader würde dem Volumen entsprechen, welches dem Volumen an Flüssigkeit entsprechen würde, welches pro Zeiteinheit durch die Fläche strömt, wenn wir uns in einem Strömungsfeld einer Flüssigkeit befänden. Die Höhe dieses Quaders beträgt vec(v*n) und mit der Grundfläche dO ergibt sich ein Volumen von vec(v*n)*dO. Der Gesamtfluß ergibt sich durch Integration über alle Flächenelemente zu int(int(vec(v*n),O,S)). S ist hierbei die Fläche, die sich im Vektorfeld v befindet. Wird S durch die Parametrisierung p(u,v)=(x;y;z)=(x(u,v);y(u,v);z(u,v)) mit (u,v)\el\ D beschrieben, so lässt sich Normalenvektor vec(n) mit dem Kreuzprodukt der Tangentialvektoren bestimmen: vec(n)=p_u x p_v . Normiert man noch diesen Vektor, so erhält man vec(n)=1/norm(p_u x p_v)*(p_u x p_v) dO hatten wir schon bei der Flächenberechnung bestimmt und zwar zu dO=norm(p_u x p_v)*dudv. Damit ist int(int(vec(v*n),O,S))=int(int(vec(v)*1/norm(p_u x p_v)*(p_u x p_v)*norm(p_u x p_v),u,D),v) =int(int(vec(v)*(p_u x p_v),u,D),v) Der Integrand ist also das Spatprodukt der Vektoren vec(v)=(v_1;v_2;v_3), p_u=(dx(u,v)/du;dy(u,v)/du;dz(u,v)/du) und p_v=(dx(u,v)/dv;dy(u,v)/dv;dz(u,v)/dv)
Ist unsere Fläche als Graph z=f(x,y) gegeben, so lässt sich diese bekanntlich durch p(x,y)=(x;y;f(x,y)) mit (x,y)\el\ D bezeichnen. Mit p_x=(1;0;f_x) und p_y=(0;1;f_y) ist vec(v)*(p_x x p_y)=det((v_1,1,0;v_2,0,1;v_3,f_x,f_y))=-v_1*f_x-v_2*f_y+v_3 Damit ist das Flußintegral für diesen Fall int(int((-v_1*f_x-v_2*f_y+v_3),x,D),y) Beispiel: Wir möchten den Fluß des Feldes vec(v)=(x;y;0) aus dem Innern der Kugel x^2+y^2+z^2=r^2. Die Kugel können wir bekanntlich mit p(u,v)=(x;y;z)=(r*cos(u)*cos(v);r*sin(u)*cos(v);r*sin(v)) mit 0<=u<2\pi, -1/2*\pi<=v<=1/2*\pi beschreiben. Damit ist vec(v)=(x,y,z)=(r*cos(u)*cos(v);r*sin(u)*cos(v);0) und p_u=(-r*sin(u)*cos(v);r*cos(u)*cos(v);0) und p_v=(-r*cos(u)*sin(v);-r*sin(u)*sin(v);r*cos(v)) det(r*cos(u)*cos(v),-r*sin(u)*cos(v),-r*cos(u)*sin(v);r*sin(u)*cos(v),r*cos(u)*cos(v),-r*sin(u)*sin(v);0,0,r*cos(v))=r^3*cos^3(v) Also ist der Fluß int(int(r^3*cos^3(v),u,0,2\pi),v,-1/2*\pi,1/2*\pi)=8/3*\pi*r^3
Das soll es bis hierhin ersteinmal gewesen sein. Im Folgeartikel werd ich auf die Integralsätze eingehen, sowie noch ein paar allgemeine Sachen und Beispiele zu Kurven- und Oberflächenintegralen aufschreiben. Gruß Artur Koehler

 
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: Analysis :: Integralrechnung :: Integration :: Interessierte Studenten :: Analytische Geometrie :: Flächenberechnung :: für Physikstudenten :
Oberflächenintegrale [von pendragon302]  
Beginn eine Serie über Oberflächenintegrale
Inhalt:
1.Einführung
2.Oberflächeninhalt
3.Oberflächenintegral einer skalaren Funktion
4.Flußintegral
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"Mathematik: Oberflächenintegrale" | 6 Comments
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Re: Oberflächenintegrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 25. April 2006 23:57:19
\(\begingroup\)Hej Artur, ich war wohl ein paar Wochen zu lange außerhalb der Oberfläche dieses Planeten, aber wenn denn tatsächlich demnächst die Integralsätze (inklusive der Volumenintegrale?) hier erscheinen sollten, läufst Du Gefahr, ein Klassiker zu werden. Ich mag diesen wichtigen Beitrag von Dir zur "Kunst des Integrierens" sehr, nicht nur wegen der Schnecke, oder des von Dir verwendeten Graphik-Tools, 😄 Offenbar sind die Mathematiker und die Physiker hier sprachlos über so viel gelungener Synthese? Gruß Juergen \(\endgroup\)
 

Re: Oberflächenintegrale
von: ramonpeter am: Sa. 01. Juli 2006 18:47:38
\(\begingroup\)Hey ich muss auch sagen, ein seh gelungener Aritikel.\(\endgroup\)
 

Re: Oberflächenintegrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 21. März 2011 22:23:53
\(\begingroup\)Grandioser Artikel! Aber 5 Jahre sollten doch mehr als genug Zeit sein, um deinen Artikel über die Integralsätze fertigzustellen. 😉 \(\endgroup\)
 

Re: Oberflächenintegrale
von: SchuBi am: Di. 22. März 2011 14:44:11
\(\begingroup\)Hallo, anonymous! Vielleicht ändert sich die Situation (Familie, Beruf, ...).\(\endgroup\)
 

Re: Oberflächenintegrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 12. Juli 2011 18:29:25
\(\begingroup\)Ich glaub du hast grad meine HöMa 2 Klausur gerettet. Großartige Artikel! Unbedingt weiter machen! 😁 \(\endgroup\)
 

Re: Oberflächenintegrale
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 31. Oktober 2011 21:24:01
\(\begingroup\)super, vielen dank. 😁 \(\endgroup\)
 

 
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