 \(\begingroup\)
Die Umkehrfunktion der e-Funktion
(Teil II)
In diesem Artikel möchte ich euch die Umkehrfunktion der "unbezwingbaren" e-Funktion etwas näher bringen.
Außerdem gehe ich hier auch noch auf Anwendungen der e-Funktion ein.
Das Thema ist nicht nur sehr interessant, sondern auch im Abitur immer wieder von besonderer Bedeutung.
Ich habe mich auch hier wieder bemüht, diesen Artikel so anschaulich und verständlich wie nur möglich zu schreiben. Ich hoffe, mir ist dieses gelungen.
Auch dieser Artikel ist wieder speziell für Schüler geschrieben.
Viel Spaß beim Durcharbeiten.
Dieser Artikel baut auf dem ersten Teil auf!
Inhalt
1 Definition des natürlichen Logarithmus
2 Differentialgleichungen
3 Wachstumsaufgaben / Anwendungen
4 Ableitung einer Logarithmusfunktion
5 Funktionsuntersuchung zweier Logarithmusfunktionen
6 Untersuchung von Logarithmusfunktionsscharen
7 Aufgaben zur Übung
8 Abschluss
9 Quellenangabe
1 Definition des natürlichen Logarithmus
Die Umkehrfunktion der e-Funktion bezeichnet man als natürliche Logarithmusfunktion.
y=exp(x) |x und y vertauschen
x=e^y
y=log_e(x)
y=ln(x)
\black\frame\black\big\ Definition:
Der Logarithmus log_e zur Basis e heißt \big\ natürlicher Logarithmus ("logarithmus naturalis").
Er wird mit ln bezeichnet:
ln(x)=log_e(x)
Die Funktion f(x)=ln(x) nennt man \big\ natürliche Logarithmusfunktion.
2 Differentialgleichungen
Wie leitet man die Exponentialfunktion f(x)=b^x ab?
Lösung:
Man wendet folgendes Logarithmusgesetz an: b^(log_b(x))=x
e^(ln(b))=b
Dies wird mit x potenziert und wir erhalten:
e^(ln(b))^x=b^x.
Substitution von ln(b)=k ergibt
e^kx=b^x=f(x).
Bildung der 1. Ableitung, denn von f(x)=e^kx können wir im Gegensatz zu f(x)=b^x die Ableitung bilden:
k*e^kx=f'(x).
Rücksubstitution k=ln(b) impliziert
ln(b)*e^(ln(b))^x=f'(x)
also insbesondere
f'(x)=ln(b)*b^x.
\black\frame\black\big\ Regel:
f(x)=b^x mit x\el\ \IR^(+) \\ {1}
hat für jedes x\el\IR die Ableitung f'(x)=ln(b)*b^x
Die Ableitung der Funktion f(x)=e^kx ist f'(x)=k*e^kx
Eine solche Gleichung, in der eine Funktion sowie ihre Ableitung \(allgemeiner: Ableitungen\) vorkommen, heißt eine \big\ Differentialgleichung.
Lösungen einer Differentialgleichung sind also Funktionen. Zum Beispiel ist die Funktion
f(x)=e^kx eine Lösung der Gleichung f'=k*f .
Bei einer Differentialgleichung interessieren sämtliche Lösungen, das heißt die gesamte Lösungsmenge. Gibt es weitere Lösungen f'=k*f außer den bekannten Lösungen
f(x)=a*e^kx ? Wir beweisen nun, dass die Gleichung f'=k*f außer den eben genannten keine weiteren Lösungen hat.
\black\frame\black\big\ Satz:
Die Differentialgleichung f'=k*f mit k\el\ \IR besitzt genau die Lösungen x\mapsto a*e^(kx) (a\el\ \IR).
Beweis:
Es sei u irgendeine Lösung der Differentialgleichung. Dann gilt: u'(x)=k*u(x).
Wir bilden die Ableitung des Quotienten f(x)=u(x)/e^kx nach der Quotientenregel:
f'(x)=(u'(x)*e^(kx)-k*e^(kx)*u(x))/e^(kx)^2. Einsetzen von u'(x)=k*u(x) ergibt:
f'(x)=(k*u(x)*e^(kx)-k*e^(kx)*u(x))/e^(kx)^2 =0/e^(kx)^2=0 \(x\el\ \IR\)
Die Quotientenfunktion u(x)/e^(kx) hat für alle x\el\ \IR die Ableitung 0, sie ist also konstant gleich a mit a\el\ \IR :
u(x)/e^(kx)=a. Daraus folgt: u(x)=a*e^kx .
Jede Lösung der Differentialgleichung hat also die Gestalt
x\mapsto a*e^kx .
Da sich jede Exponentialfunktion in der Form f(x)=a*e^(kx) \(a!=0, k\el\ \IR\) darstellen lässt,
kann man wegen des oben angeführten Satzes auch sagen:
f'=k*f ist die Differentialgleichung der Exponentialfunktion.
3 Wachstumsaufgaben / Anwendungen
Viele Anwendungssituationen können durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Ein Beispiel dafür ist der radioaktive Zerfall.
Radioaktive Präparate zerfallen so, dass die Zerfallsgeschwindigkeit proportional zur jeweils vorhandenen Masse des Präparats ist. Bezeichnet t die Zeit und gibt N(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Masse an, so ist die Zerfallsgeschwindigkeit gleich der Ableitung N'(t).
Das Zerfallsgesetz lautet dann also N'(t)=k*N(t) mit einer gewissen für das gegebene radioaktive Präparat typischen Konstanten k. Dabei ist k negativ, da die Masse im Laufe der Zeit abnimmt.
Ein Beispiel in Form einer Aufgabe.
Das Zerfallsgesetz für das Radium A lautet N'(t)=k*N(t). Wird t in Minuten gemessen, so ist
k\approx\ -0,227 (in 1/min) . N(t) werde in mg gemessen. Die zur Zeit t=0 vorhandene Masse betrage N(0)=N_0.
a) Berechne die Zerfallsfunktion t->N(t) .
b) Berechne denjenigen Zeitpunkt t_H , an dem nur noch die Hälfte der Anfangssubstanz N_0 vorhanden ist. Überlege dann: Wann ist nur noch ein Viertel von N_0 vorhanden.
c) Ab wann sind nur noch weniger als 10% von N_0 vorhanden?
d) Berechne die Zerfallsgeschwindigkeit N'(t). Wie groß ist diese Geschwindigkeit nach 5 min?
Lösung:
a) Nach dem oben angeführten Satz gilt: N(t)=a*e^(kt) mit einem gewissen a \el\ \IR . Wegen a=N(0) gilt a=N_0 , somit
N(t)=N_0*e^(kt) mit k\approx\ -0,227 .
b) Zum Zeitpunkt t_H soll gelten N(t_H)=(N_0)/2, also N_0 *e^(kt_H)=(N_0)/2 und somit:
e^(kt_H)=1/2
Wir logarithmieren auf beiden Seiten, um t_H zu isolieren:
ln(e^(kt_H))=ln(1/2)
Wegen ln(e^(kt_H))=kt_H gilt somit t_H=ln(1/2))/k\approx\ 3,05 .
t_H ist also unabhängig von der Anfangssubstanz N_0.
Nun gilt: e^(k*(t+t_H))=e^(kt)*e^(kt_H)=e^(kt)*1/2 .
Die vorhandene Substanz geht demnach jedes Mal auf die Hälfte zurück, wenn t um t_H wächst.
(Dies ist eine Grundeigenschaft der Exponentialfunktion (siehe oben)).
Daher ist zum Zeitpunkt 2t_H, also nach ungefähr 6,1 Minuten, nur noch die Masse (N_0)/4 vorhanden.
Der Zeitpunkt t_H, zu dem die Anfangssubstanz N_0 auf die Hälfte zurückgegangen ist, heißt Halbwertszeit des radioaktiven Präparates. Die Halbwertszeit von Radium A beträgt demnach ungefähr 3 Minuten und 3 Sekunden.
c) Zum Zeitpunkt t, zu dem noch genau 10% der Anfangssubstanz vorhanden ist, gilt: N(t)=0,1*N_0 , das heißt e^(kt)=0,1
Logarithmieren liefert wie oben: t_H=(ln(0,1))/k\approx\ =10,14
Nach etwas mehr als 10 Minuten sind also weniger als 10% der Anfangssubstanz vorhanden.
d) Die Zerfallsgeschwindigkeit beträgt N'(t)=k*N_0 *e^(kt) (in (mg)/min). Für t=5 gilt also N'(5)=-0,227N_0 *e^(-1,135)\approx\ -0,073*N_0
Die Zerfallsgeschwindigkeit ist negativ, da die Substanz abnimmt.
4 Ableitung einer Logarithmusfunktion
Es gibt viele Varianten die ln-Funktion abzuleiten bzw. die Ableitung herzuleiten. Ich möchte eine Ausführung aus dem unten zitierten Buch verwenden:
Zuvor wird folgender Satz vorrausgesetzt:
\big\ Satz:
Wenn f'(x)>0 oder f'(x)<0 in einer Umgebung der Stelle a ist, dann ist die Umkehrfunktion f^- an der Stelle b (mit b=f(a), a=f^-(b)) differenzierbar, und es gilt:
f'^-=1/f'(a) =1/f'(f^-(b)).
Die natürliche Logarithmusfunktion ist, wie wir wissen, die Umkehrfunktion der e-Funktiion. Wir setzen daher y=f(x)=e^x, also x=f^-(y)=ln(y) (y>0). Es gilt f'(x)=e^x >0 für alle x\el\ \IR.
Wir können somit den oben angeführten Satz anwenden und erhalten für alle y\el\ \IR^+:
f'^-(y)=1/f'(x)=1/e^x=1/e^(lny)=1/y.
Ersetzen wir wie üblich die Variable y durch x, so erhalten wir:
\black\frame\black\big\ Satz:
Die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=ln(x) hat für jedes
x\el\ \IR^(+) die Ableitung f'(x)=1/x.
\black\frame\black\big\ Satz:
Die Logarithmusfunktion f(x)=log_b(x) mit b\el\ \IR^(+) \\{1} hat für jedes
x\el\ \IR^(+) die Ableitung f'(x)=1/(ln(b)*x) .
5 Untersuchung zweier Logarithmusfunktionen
\light a) Untersuche die Funktion f(x)=x * ln(x)
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Da ln(x) nur für x>0 definiert ist, ergibt sich für die Funktion \IR^+
als Definitionsmenge. Es erübrigt sich damit die Frage nach der Symmetrie des Graphen und nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
\grey\ 2. Untersuchung des Grenzwertverhaltens von f:
\stress\ Vorgriff: Für die Untersuchung der Funktion f(x) für x->0 schreiben wir x=e^(-z) .
(1) Verhalten für x->\inf :
Wegen x->\inf und ln(x) ->\inf gilt: f(x)=x*ln(x) ->\inf
(2) Verhalten für x->0:
Schreibt man x in der Form e^(-z), so ergibt sich: x*ln(x)=e^(-z)*ln(e^(-z))=-z*e^(-z).
Es gilt weiter: x strebt genau dann gegen 0, wenn z gegen \inf strebt.
Da lim(z->\inf ,z*e^(-z))=0, gilt: lim(x->0,x*ln(x))=0
Anschaulich bedeutet dieses Ergebnis: x strebt "schneller" gegen 0 als ln(x) gegen -\inf .
\grey\ 3. Symmetrie:
Erübrigt sich, Begründung siehe 1. Definitionsmenge.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Nullstellen: f(x)=0
0=x*ln(x) array( )\|:x (erlaubt, da x>0)
0=ln(x) array( )\|e
e^0=x
x=1
N(1, 0)
\grey\ 5. Ableitungen:
f(x)=x*ln(x)
Anwendung der Produktregel ergibt:
f'(x)=ln(x)+1
f''(x)=1/x
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=ln(x)+1 array( )\|-1
-1=ln(x) array( )\|e
e^(-1)=x
x=1/e
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0\and\ f''(x)!=0:
f''(1/e)=e>0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
T(1/e, -1/e)
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0:
0=1/x array( )\|*x
0=1 falsche Aussage
Andere Begründung:
Es gilt: f''(x)=1/x >0 für alle x.
Also: Der Graph von f hat keinen Wendepunkt.
\light b) Untersuche die Funktion g(x)=(ln(x))/x
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Da ln(x) nur für x>0 definiert ist, ergibt sich für die Funktion \IR^+
als Definitionsmenge. Es erübrigt sich damit die Frage nach der Symmetrie des Graphen und nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
\grey\ 2. Untersuchung des Grenzwertverhaltens von g:
\stress\ Für die Untersuchung von g(x) für x->\inf schreiben wir x=e^z .
(1) Verhalten für x->\inf :
Mit x=e^z ergibt sich (ln(x))/x=z/e^z .
Es gilt weiter: x strebt genau dann gegen \inf , wenn z gegen \inf strebt.
Da (ln(x))/x=z/e^z, gilt: lim(x->\inf ,(ln(x))/x)=lim(z->\inf ,z*e^(-z))=0
Der Graph von g kommt der x-Achse für x->\inf beliebig nahe, das heißt die x-Achse ist Asymptote des Graphen von g.
(2) Verhalten für x->0:
Da 1/x ->\inf und ln(x)->-\inf , gilt: g(x)=1/x *ln(x) ->-\inf .
\grey\ 3. Symmetrie:
Erübrigt sich, Begrüngung siehe 1. Definitionsmenge.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Nullstellen: f(x)=0
0=(ln(x))/x array( )\|*x (erlaubt, da x>0)
0=ln(x) array( )\|e
e^0=x
x=1
N(1, 0)
\grey\ 5. Ableitungen:
g(x)=(ln(x))/x
Anwendung der Quotientenregel ergibt:
g'(x)=(1-ln(x))/x^2
g''(x)=(2*ln(x)-3)/x^3
g'''(x)=(-6*ln(x)-7)/x^4
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes g'(x)=0:
0=(1-ln(x))/x^2 array( )\|*x^2
0=1-ln(x) array( )\|-1
1=ln(x) array( )\|e
x=e
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes g'(x)=0\and\ g''(x)!=0:
g''(e)=-1/e^3 <0: Maximum
Berechnung des Hochpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
H(e, 1/e)
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes g''(x)=0:
0=(2*ln(x)-3)/x^3 array( )\|*x^3 (erlaubt, da x>0)
0=2*ln(x)-3 array( )\|+3 ; :2
3/2=ln(x) array( )\|e
e^(3/2)=x
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes g''(x)=0\and\ g'''(x)!=0:
Einsetzen von x=e^(3/2) in g'''(x)=(-6*ln(x)-7)/x^4
g(e^(3/2))!=0
Notwendige und hinreichende Bedingung sind erfüllt. Damit liegt an dieser Stelle ein Wendepunkt vor.
Setzt man diese Stelle in die Funktion g(x) ein, erhält man:
Der Punkt W(e^(3/2), 3/2*e^(-3/2)) ist also Wendepunkt des Graphen von g.
6 Untersuchung von Logarithmusfunktionsscharen
Untersuche die Funktion f_k(x)=ln(x^2+k) mit k>0.
\grey\ 1. Definitionsbereich:
D=\IR
\grey\ 2. Symmetrie:
Wir vermuten, dass der Graph achsensymmetrisch ist.
Für Achsensymmetrie müsste gelten: f_k(-x)=f_k(x)
f_k(-x)=f_k(x):
ln((-x)^2+k)=ln(x^2+k) Wahre Aussage.
Somit ist der Graph achsensymmetrisch.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x:
Für x->+\inf , geht f(x)->+\inf , da
x^2+k gegen +\inf geht und somit ln(x^2+k) ebenfalls gegen +\inf strebt.
Für x->-\inf , geht f(x)->+\inf , da Achsensymmetrie vorliegt.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- y-Achsenabschnitt: x=0
f_k(0)=ln(0^2+k)=ln(k)
S_y(0, ln(k))
- Nullstellen: f(x)=0
0=ln(x^2+k) \|e
1=x^2+k \|-k
x^2=1-k
x=+-sqrt(1-k)
Für k=1 eine Nullstelle bei x=0
Für 01 keine Nullstellen
\grey\ 5. Ableitungen:
f_k(x)=ln(x^2+k)
f'_k(x)=1/(x^2+k)*2x=(2x)/(x^2+k)
f''_k(x)=(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^2)
f'''(x)=(-4x*(x^2+k)-4*x(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^3)
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=(2x)/(x^2+k)
0=2x
x=0
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0\and\ f''(x)!=0:
f''(0)=(2k)/k^2 =2/k , da k>0 folgt >0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
f(0)= ln(k)
T(0, ln(k))
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0:
0=(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^2)
0=-2*x^2+2*k
x=+-sqrt(k)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0\and\ f'''(x)!=0:
f'''( sqrt(k) )=(-4*sqrt(k)*2*k)/((2k)^3) !=0
f'''( - sqrt(k) )=(4*sqrt(k)*2*k)/((2k)^3) !=0
Berechnung des y-Wertes durch Einsetzen des x-Wertes der Wendestelle in die Funktion.
W_1(sqrt(k) , ln(2k)) und W_2(- sqrt(k) , ln(2k)
\grey\ 8. Wertebereich:
W={y\|y>=ln(k)}
7 Aufgaben zur Übung
Die Aufgaben beziehen sich auf die vorangegangene Funktionsuntersuchung:
1. Auf welcher Linie liegen alle Wendepunkte der Funktion dieser Schar?
2. Haben verschiedene Funktionsscharen gemeinsame Punkte?
Lösung:
1.
Der rechte Wendepunkt hat die Koordinaten x=sqrt(k) und y=ln(2k).
Nun formen wir x=sqrt(k) nach k um:
x=sqrt(k) |^2
k=x^2
dies wird in x=ln(2k) eingesetzt und wir erhalten:
y=ln(2x^2)
Aus den Koordinaten des linken Wendepunktes erhält man ebenfalls y=ln(2x^2) .
Also liegen alle Wendepunkte auf dem Graphen y=ln(2x^2) .
2.
Haben verschiedene Graphen der Funktionsschar, etwa zu den Funktionen f_k und f_s einen gemeinsamen Punkt, so gilt an dieser Stelle x:
f_k(x)=f_s(x)
ln(x^2+k)=ln(x^2+s)
x^2+k=x^2+s
k=s
Also haben die Funktionen der Schar nur bei gleichen Parametern gemeinsame Punkte: Sie stimmen dann aber völlig überein.
Graphen mit verschiedenen Parametern haben keine gemeinsamen Punkte.
8 Abschluss
So das war nun mein zweiter Teil zur e-Funktion und ihrer Umkehrfunktion.
Ich hoffe, ihr habt diesen Artikel mit Freude und Eifer gelesen und freut euch schon auf meine nächsten Artikel.
Die Idee zu diesem Artikel entspringt der Arbeitsgruppe
„Schulmathematik“.
9 Quellenangabe
Die Aufgaben stammen aus meinem wunderschönen, ausführlichen und verständlichen Schulbuch. Hier zu kaufen:
Teil 1: Die unbezwingbare e-Funktion
Teil 2: Die Umkehrfunktion der e-Funktion
Ich danke meinem Testleser Hans-Jürgen .
Euer
Florian Modler
\(\endgroup\)
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
