Mathematik: Wavelets - Wind und Wellen
Released by matroid on Do. 08. Juni 2006 09:17:42 [Statistics]
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Mathematik

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Lasst die Spiele beginnen


Einen vernünftigen Titel zu finden ist oft ebenso schwer, wie die Wahl der Motivation und damit einhergehend die Frage nach einem geeigneten Anfang. Motivationen für Wavelets gibt es genügende, vom Denoising über MP3-Verfahren (oder allgemein Kompression von Daten) bis hin zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Ich habe mich entschieden, Filterbänke ersteinmal außen vor zu lassen und beginne mit der Wiederholung der wichtigsten Grundlagen, die für die Wavelettheorie unabdingbar sind. Der ersten zwei (einleitenden), der Wiederholung dienenden Teile verzichten weitestgehend auf Beweise, um unnötige Längen, die der eigentlichen Thematik sich 'entziehen', zu vermeiden; sie können in der am Ende des Artikels vorgestellten Literatur nachgelesen werden.
Über die genaue inhaltliche Abfolge der Serie kann ich leider noch nichts sagen; im zweiten Teil werde ich aber erst einmal ein bischen auf Fouriertransformationen und -Reihen sowie deren Eigenschaften eingehen, Faltungen vorstellen und die gefensterte Fouriertransformation kurz erläutern. Probleme dieser sollen erörtert werden, und diesen wollen wir dann schließlich ab dem dritten oder vierten Teil (das hängt vom noch unprädizierbaren Umfang ab, dem ich Herrn Fourier widme) mit Wavelets mutig entgegen treten; natürlich in der unermüdlichen Hoffnung, selbige bestmöglich umgehen oder lösen zu können. Die letzten Worte dieses einleitenden Abschnittes, die am Ende hoffentlich sich erfüllen, sollen Goethe gehören (aus der Farbenlehre):

Die Totalität nebeneinander zu sehen
macht einen harmonischen Eindruck aufs Auge





Um was es eigentlich geht


Die Grundidee der Waveletzerlegung ist - wie der Begriff bereits andeutet - eine in der Analysis häufig auftretende Thematik: Im weitesten Sinne die Analyse einer gegeben Funktion. Dabei bedeutet dies insbesondere, selbige geeignet zu approximieren, bzw. über andere Funktionen darzustellen.
Wünschenswert wird in unserem Fall eine Menge von Basisfunktionen sein, die umfassend genug ist, um die dem Kontext abverlangten Funktionen in ausreichender Güte zu repräsentieren und andererseits "übersichtlich" genug ist, um nicht zu viel unnötige, redundante Information mitzuschleppen. Im Endeffekt suchen wir also für eine Funktion eine Darstellung
fed-Code einblenden
wobei I Indexmenge bzgl. der Basis(funktionen) e ist und c(i) Koeffizienten oder Gewichte. Daraufhin mit Rücksichtnahme auf die Wavelettheorie abzielend sollen die bereits erwähnten Notwendigkeiten kurz wiedeholt werden.






Präliminarien


Ein Vektorraum H versehen mit einer Norm, die von einem inneren Produkt abstammt, heißt Prä-Hilbertraum. Ist er bzgl. der durch diese Norm induzierten Metrik vollständig, konvergiert also jede Cauchyfolge, so spricht man von einem Hilbertraum. In diesem gelten unter anderem die uns bekannte Cauchy-Schwarz- und die Dreiecksungleichung. Ein Hilbertraum ist also eine spezielle Art eines Banachraumes!

I.F. bezeichne H stets einen Hilbertraum. Eine Teilmenge fed-Code einblenden nennt man Orthonormalsystem, falls
fed-Code einblenden
gilt. Man nennt S Orthonormalbasis, wenn
fed-Code einblenden
erfüllt ist. Eine äquivalente Formulierung hierzu ist: Eine Menge von Elementen fed-Code einblenden (I Indexmenge) heißt total, wenn für alle Elemente x aus H gilt:
fed-Code einblenden .
Eine Orthonormalbasis ist dann ein totales Orthonormalsystem.

Jeder Hilbertraum hat die schöne Eigenschaft, dass er eine Orthonormalbasis (ONB) besitzt (ich erinnere hier an das Gram-Schmidt-Verfahren). Ist fed-Code einblenden eine ONB, dann gelten vor allem drei wichtige Eigenschaften:

fed-Code einblenden

Die erste Eigenschaft ist im Grunde eine Zerlegung der Hilbertraumelemente in ihre orthogonalen Komponenten. Eigenschaft 2 nennt man 'Parsevalsche Gleichung'.

So, Zeit für ein kleines, wohlbekanntes Beispiel: Definieren wir fed-Code einblenden , dann bilden diese Funktionen im fed-Code einblenden (eine Definition vom fed-Code einblenden folgt weiter untern) ein Orthonormalsystem, was sich einfach durch Ausrechnen mit dem für diesen Raum definierten inneren Produkt aufgrund von dessen Linearitätseigenschaften sowie den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergibt.

Eine stetige lineare Abbildung zwischen normierten Räumen nennt man Operator und im Falle eines Skalarkörpers als Bildraum Funktional. Ein Operator T ist beschränkt, falls ||Tx|| < c||x|| für alle x aus H gilt (c const.) und eine Isometrie, wenn gilt: fed-Code einblenden Wegen fed-Code einblenden sind isometrische Abbildungen zwischen Hilberträumen stets injektiv.

Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz
fed-Code einblenden

Aus der linearen Algebra bekannt sind adjunkte Abbildungen; analog werden hier adjunkte Operatoren eingeführt.

fed-Code einblenden

Wir erinnern uns, dass ein wie oben beschriebener Operator unitär genannt wird, falls
fed-Code einblenden
Ein beschränkter Operator zwischen Hilberträumen ist genau dann unitär, wenn er isometrisch und surjektiv ist.

Schließlich nennt man eine Abbildung fed-Code einblenden zwischen zwei Hilberträumen H und H' eine (orthogonale) Projektion, wenn fed-Code einblenden . Ist fed-Code einblenden eine Teilmenge eines Hilbertraumes, dann ist das orthogonale Komplement fed-Code einblenden ein abgeschlossener Unterraum von H und zu jedem Element fed-Code einblenden gibt es eine eindeutig bestimmtes Paar fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden . Die Abbildungen (auf die Unterräume) fed-Code einblenden sind Projektionen.

Maßlosigkeit ist eine Sünde


Da die Lebesgueschen Räume und die Lebesguesche Integrationstheorie unumgänglich für eine adäquate Darstellung Wavelets sind, möchte ich kurz darlegen, in welchem Sinne ich die Notationen o.g. Räume und Folgenräume verwende:
Je nach Zusammenhang werden selbige ohne Argument, mit dem zugrundeliegenden Maß, der zugrundeliegenden Algebra oder der ihr zugrundeliegenden (abstrakten) Menge oder letztendlich mit dem einem Tripel als Argument notiert. In dieser Reihenfolge gilt beispielweise für abstrakte Mengen fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden über fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Hier bildet fed-Code einblenden den zugrundeliegenden Skalarenkörper mit Abschluss fed-Code einblenden .
Ist p reell, so handelt es sich also um die Menge aller messbaren Funktionen fed-Code einblenden . Dabei ist
fed-Code einblenden

Der (topologische) Raum fed-Code einblenden ist jedoch lediglich ein halbnormierter Vektorraum und erfüllt insbesondere nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es nicht-leere fed-Code einblenden -Nullmengen gibt. Definiert man N als Menge aller messbaren Funktionen fed-Code einblenden , so kann man, da N ein Unterraum von fed-Code einblenden ist, den Quotientenraum fed-Code einblenden betrachten. Dabei werden zwei Funktionen (als Elemente der Nebenklassen fed-Code einblenden ) fed-Code einblenden als gleich, d.h. einer Äquivalenzklasse angehörend, angesehen, wenn sie fast überall gleich Null sind, d.h. fed-Code einblenden gilt. Nun werden Operationen (wie z.B. Addition und skalare Multiplikation) auf Vertretern der Äquivalenzklassen durchgeführt und fed-Code einblenden wird zu einem normierten Vektorraum über fed-Code einblenden . Ist nun fed-Code einblenden so ist fed-Code einblenden für alle (Vertreter) fed-Code einblenden gleich und es gilt fed-Code einblenden ; das Hausdorffsche Trennungsaxiom ist hier erfüllt.


Jede wie oben definierte Norm induziert eine invariante Metrik via fed-Code einblenden und für fed-Code einblenden ist der metrische Raum fed-Code einblenden vollständig. Im Spezialfall p=2 wird durch das innere Produkt
fed-Code einblenden
der fed-Code einblenden zu einem Hilbert-Raum. Allgemein kann man die abstrakt gegebene Menge X natürlich auch konkret wählen, wie wir es später häufig tun werden, z.B. fed-Code einblenden , oder in ähnlicher Weise fed-Code einblenden (näheres hierzu entnehme man Büchern über Maß- und Integrationstheorie).


Analog dazu gibt es Folgenräume, die durch konkrete Wahl von fed-Code einblenden als Zählmaß auf fed-Code einblenden erzeugt werden:
fed-Code einblenden
Dabei sind gleichfalls die Normen definiert:
fed-Code einblenden
und ebenso kann man für p=2 den Hilbertschen Folgenraum spezifizieren, der durch das Skalarprodukt
fed-Code einblenden
zum Hilbertraum wird.

Zwei Zahlen p, q mit fed-Code einblenden nennt man konjugierte Exponenten. Für solche gilt für meßbare Funktionen fed-Code einblenden die

Höldersche Ungleichung:
fed-Code einblenden
Aus dieser lässt sich unter anderem eine Inklusion der fed-Code einblenden herleiten:
fed-Code einblenden

Sinnfragen


Inwieweit machen die fed-Code einblenden -Räume überhaupt Sinn, wenn es - wie es in den weiteren Kapiteln oftmals geschehen wird - z.B. in der Praxis um Signale geht. Sind Funktionen im fed-Code einblenden doch nur bis auf eine Nullmenge definiert, dann bringt demnach allein schon die Definition einer Abtastung einer solchen Definitionsprobleme mit sich! Der Grund ist natürlich die wunderbare Struktur, die insbesondere der fed-Code einblenden -Raum mit sich bringt: Die Norm ist durch ein inneres Produkt gegeben, die Fouriertransformation kann auf diesem definiert werden, und und und - eben alles, was sich für Hilberträume herleiten lässt. Dafür nimmt man gewisse 'Unsinnigkeiten' vorerst in Kauf, muss dann aber ggf. je nach konkreter Situation geeignete Zusatzvoraussetzungen wie z.B. Stetigkeit der Funktionen stellen, um eine Rückübersetzung zu ermöglichen. Dies als kleiner Hinweis, dass theoretische Fundamente in der Praxis oft spezieller Obacht bedürfen!

To be continued....


Damit endet der erste introduktorische Part der Wavelet-Serie. Für Vorschläge und Kritik bin ich gerne offen. Dies ist allerdings mein erster Artikel in diesem Forum - sollte die Kritik daher zu vernichtend sein, muss man mit einer daraus resultierenden Selbstverachtung und damiteinhergend mit langen Wartezeiten auf den zweiten Teil rechnen :-)
Es folgt abschließend die (für diesen Teil repräsentative) versprochene, kurze Literaturliste:

Elstrodt, Jürgen: Maß- und Integrationstheorie; Springer-Verlag
Werner, Dirk: Funktionalanalysis; Springer-Verlag


Zur Fortsetzung
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"Mathematik: Wavelets - Wind und Wellen" | 8 Comments
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: abcdef am: Do. 08. Juni 2006 11:32:02
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Gehtst du in den kommenden Artikeln auch auf diskrete Fourier-/Wavelet-Transformationen ein?\(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 12:14:39
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Ja, ist geplant. Schließlich ist die Diskretisierung ja für die wirkliche praktische Umsetzung unumgänglich. Kann aber ein paar Teile lang dauern bis dahin:-)

Gruß,
Gilgamash
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: Monkfish am: Do. 08. Juni 2006 15:05:25
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Hallo Gilgamash!

Bin schon gespannt auf die Fortsetzung. Sehr leserlich der Artikel.
Noch ein paar kleine Anmerkungen:
- Du benutzt sowohl den Begriff "beschränkt", als auch den Begriff "stetig". Ich würde noch anmerken, dass dies im Kontext von linearen Abbildungen das Gleiche ist.
- Du schreibst: Ein Operator zwischen Hilberträumen ist genau dann beschränkt, wenn er isometrisch und surjektiv ist. Da kann etwas nicht stimmen. Jede Isometrie ist zwar stetig, aber ein stetiger Operator zwischen Hilberträumen ist nicht zwingend eine Isometrie.

Gruss
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 17:31:39
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Hallo Monkfish!

Danke für den Hinweis, habe die entsprechende Stelle mit dem Operator geändert; nun sollte es hoffentlich stimmen.

Gruß,
Gilgamash

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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: cow_gone_mad am: Do. 08. Juni 2006 21:04:26
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Hallo Andreas,

mir gefällt dein Artikel sehr gut, und bin auf die Folgenden gespannt. :-)

Allerdings habe ich eine kleine Anmerkung zu deinem Einsatz des Artikeleditors des MP. Glieder deine Artikel doch bitte in Subabschnitte. Ich habe bei deinem Skalarprodukt in L^2 das fehlende Komplexkonjugieren hinzugefügt, und musste ganz schön lang im Text suchen, bis ich es hatte. Abschnitte würden dies deutlich vereinfachen.

Liebe Grüsse,
cow_
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 23:57:53
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Hallo cow_gone_mad,

ich werde das berücksichtigen. War mein erster Artikel und ich war zu vertieft, um mich mit Abschnitten zu beschäftigen. Wird aber ab dem nächsten Teil sich ändern, versprochen.

Bin sehr dankbar für die bisherige Anerkennung, war nämlich bei dem Kontingent an Kompetenz hier wirklich unsicher, ob ich den Schritt mit der Wavelet-Serie wagen sollte.

Gruß,
Gilgamash/ Andreas
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. Juli 2006 21:20:01
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[...]
Der (topologische) Raum  
erfüllt nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, da die Menge meßbarer Funktionen auf X bezüglich punktweiser Verknüfpung kein Vektorraum ist, wenn es nicht-leere  
-Nullmengen gibt.
[...]

Meinst Du nicht eher: der Vektorraum der meßbaren Funktionen ist kein normierter Raum, wenn es nicht-leere mu-Nullmengen gibt?\(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 27. Juli 2006 14:24:12
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Grüße Fremder,

habe den Abschnitt geändert, natürlich haben wir nur einen halbnormierten Vektorraum, der das Trennungsaxiom nicht erfüllt. Neue Version sollte bald online sein.

Danke,
Gilgamash
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