Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Released by matroid on Sa. 25. November 2017 10:30:38
Written by StefanVogel - (761 x read)
Physik 
Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz

Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)

und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).

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Physik: Verschwindendes Feld im Inneren einer Hohlkugel: Elementarer Beweis
Released by matroid on Sa. 11. Februar 2017 17:29:53
Written by Yakob - (862 x read)
Physik 
Der Satz ist möglicherweise vielen bekannt, insbesondere allen, die auch einmal Physik studiert haben:

Das elektrische Feld einer Sphäre, deren Oberfläche eine homogen verteilte Ladung trägt, ist in jedem inneren Punkt der Kugel gleich Null. Ebenso verschwindet auch die Gravitation, die von einer homogen mit Masse belegten Hohlkugel auf eine kleine, irgendwo im Inneren dieser Kugelschale befindliche Probemasse ausgeübt wird.



Bewiesen wird diese interessante Eigenschaft normalerweise mittels (nicht ganz einfacher) Doppelintegrale oder mittels der Integralsätze (insbesondere Satz von Gauß).

Man kann zu dem gleichen Ergebnis aber auch durch eine relativ einfache, fast schon elementargeometrische Überlegung kommen. Eine Grundidee aus der Analysis, nämlich Betrachtungen an Differentialen, spielt aber trotzdem herein.
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Physik: Addicted To The Stars
Released by matroid on Fr. 11. März 2016 21:39:11
Written by trunx - (1044 x read)
Physik 

Addicted To The Stars - speziell relativistisches Raumschiff

2002 wurden 15 bekannte Filmregisseure gebeten, 10-minütige Kurzfilme zum Thema "Zeit" unter dem Titel Ten Minutes Older zu erstellen. Berührt hat mich darunter insbesondere der Beitrag von Michael Radford "Addicted To The Stars", den man z.B. hier sehen kann, dennoch enthält er aus Sicht eines Physikers einige Fehler.

In diesem Artikel soll es nun darum gehen, eine Reise zu den Sternen mit einer Raumfähre speziell relativistisch durchzurechnen.
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Stern Physik: Neues aus der Papierfliegerforschung
Released by matroid on Mi. 30. September 2015 12:26:31
Written by MontyPythagoras - (1497 x read)
Physik 

Neues aus der Papierfliegerforschung


PapierfliegerVermutlich hat jeder als Kind schon einmal einen Papierflieger gebaut. Die ehrgeizigeren Papierfliegerkonstrukteure haben nach den ersten erfolgreichen Flügen bestimmt versucht, eine maximale Flugweite zu erreichen. Die naheliegende Methode besteht natürlich darin, die Abwurfgeschwindigkeit bis an die Belastungsgrenze entweder des Papierfliegers oder des Schultergelenks zu erhöhen, doch seltsamerweise führte das beim Papierflieger nicht zum Erfolg. Meistens endete der Wurf in einem mehr oder weniger sauberen Looping. Angeregt durch einen Thread in diesem Forum habe ich mich mit dieser Thematik noch einmal beschäftigt, und präsentiere in diesem kurzen Artikel die Ergebnisse und Schlussfolgerungen.
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Physik: Lorentztransformation des Feldstärketensors
Released by matroid on Do. 17. September 2015 23:46:36
Written by bokajowitsch - (1299 x read)
Physik 

Lorentztransformation des Feldstärketensors


Hallo, lieber Matheplanet!

Vor kurzem tauchte im Relativitätstheorie-Forum die Frage auf, wie man den Feldstärketensor (im dreidimensionalen Formalisus) transformiert. Prinzipiell ist die Frage recht einfach beantwortet: Der Feldstärketensor transformiert sich wie jeder Tensor

<math> F_{\mu" \nu"} = \displaystyle{\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu"}} \frac{\partial
x^{\nu}}{\partial x^{\nu"}} F_{\mu \nu}} \hspace{1em} . </math>

Praktisch beläuft sich das auf die Multiplikation dreier <math>4 \times 4</math>-Matrizen. Ähnlich geht man bei vielen Rechnungen in der Relativitätstheorie vor.

Ich habe für mich persönlich vor einiger Zeit einen anderen Weg gefunden, der mir mehr zusagt als die übliche Matrizenmultiplikation (die ich übrigens nur zweimal fehlerhaft nachgerechnet und dann geglaubt habe), und möchte diesen hier kurz vorstellen.

Tiefere Resultate über Differentialformen werden kaum benötigt. Um die Rechnung nachzuvollziehen, könnte es ausreichen, sich etwa unter <math>dt \wedge d x^2 = d t \otimes dx^2 - dx^2 \otimes d t</math> die Matrix

<math>d t \otimes dx^2 - dx^2 \otimes d t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

vorzustellen, aufgefaßt als Bilinearform (jedoch gebe ich dafür keine Garantie: ich möchte mit diesem Artikel vor allem denjenigen Lesern, die bereits mit Differentialformen vertraut sind, einen anderen, intuitiven Weg vorstellen). Es würde mich allerdings sehr freuen, wenn ich mit diesem Artikel Leser dazu motivieren könnte, sich mit diesem phantastischen Konzept eingehender zu beschäftigen! (Als Einstiegsliteratur kann ich das Buch Vektoranalysis von Klaus Jänich empfehlen)
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Physik: Länge des Sekundenpendels - eine praktische Meterdefinition?
Released by matroid on Mo. 23. März 2015 16:52:05
Written by cis - (3632 x read)
Physik 

Länge des Sekundenpendels - eine praktische Meterdefinition?



In der 1. Hälfte des 18. Jahrhunderts wurde der 10-millionste Teil eines Viertels des Erdumfanges (Bogenabstand Nordpol - Äquator, seinerzeit auf 10'000km bestimmt) als Meterdefinition verwendet.
Gegen Ende des Jahrhunderts zeigten genauere Messungen, dass der Erdmeridianquadrant etwa 2km länger ist. Um diese Problematik zu umgehen, wurde die Länge eines Vergleichsgegenstandes, ein Platiniridium-Stab ("Pariser Urmeter"), als verbindliche Meterdefinition festgesetzt - diese (mehr oder weniger willkürliche) Festlegung sollte bis in die 1960er Jahre beibehalten werden.
Seit 1983 ist das Meter definiert als die Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299'792'458 Sekunde zurücklegt.

Bereits 1668 hatte Jean Picard (1620-1682, franz. Astronom) die "Länge des Sekundenpendels" (etwa 99,4cm) als Meterdefinition vorgeschlagen. Dies hätte eine interessante (mathematische) Konsequenz zur Folge gehabt.
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Stern Physik: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
Released by matroid on Mo. 16. März 2015 23:00:25
Written by Physicus - (12202 x read)
Physik 

Herleitung: Doppler-Effekt


Wenn der Beobachter ruht und der Sender sich gleichmäßig bewegt

Bewegt sich ein Sender - also eine Schallquelle - gleichmäßig auf einen ruhenden Beobachter zu, dann tritt der Doppler-Effekt aufgrund der Verkürzung der Wellenlänge auf.
Man stelle sich einen ruhenden Sender vor, welcher Schallwellen der Frequenz <math>f=\frac{1}{T}</math> mit der Periode <math>T</math> und der Wellenlänge <math>\lambda</math> aussendet. Laut Definition breitet sich der Schall nach einer Periode <math>T</math> um die Wellenlänge <math>\lambda</math> aus, wobei seine Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> (z.B. Schallgeschwindigkeit in Luft <math>c=340m/s</math>) diese beiden Größen nach dem Prinzip 'Weg gleich Geschwindigkeit mal Zeit' (<math>s=v\cdot t</math>) in Zusammenhang setzt: <math>\lambda=c\cdot T=\frac{c}{f}</math>.

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Physik: Wirkung
Released by matroid on So. 15. März 2015 21:12:25
Written by trunx - (764 x read)
Physik 
Die Wirkung ist in der Physik ähnlich wie die Entropie ein häufig unverstandener Begriff, dennoch ist gerade er wichtig sowohl für das Verständnis in der theoretischen klassischen Mechanik, als auch für den Übergang zur Quantenmechanik. Leider heisst es oft, dass man diesen Begriff nicht weiter verstehen muss und der Kalkül für sich arbeitet. Das setzt sich dann fort in der Quantenmechanik, wo man sich auch nicht mehr die Wellenfunktion vorstellen, sondern nur mit ihr rechnen "darf". Mit ein wenig Umsicht findet man allerdings sehr wohl ganz alltägliche Anwendungen und damit greifbare Anschauungsbeispiele und Verständnishilfen für den Wirkungsbegriff.
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