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Mathematik: Ranking von Rennpferden
Freigegeben von matroid am Di. 20. August 2019 20:24:40
Verfasst von cramilu - (125 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
25 Rennpferde (oder andere Instanzen) sollen in einer Abfolge aus Wettläufen mit jeweils 5 [fünf] Teilnehmern gegeneinander antreten.

Konventionen:

1. Die Rennbahn (Versuchsaufbau) sei stets die gleiche und werde vor jedem Lauf bestmöglich neu präpariert.
2. Die höchste Laufgeschwindigkeit eines jeden Tieres (Instanz) sei idealisiert innerhalb eines jeden Einzelrennens vom Start weg gleichbleibend und bleibe auch nach jeder Rennteilnahme unverändert.
3. Keine zwei höchsten Laufgeschwindigkeiten unter denen aller 25 Wettbewerber (Instanzen) seien gleich, d.h. es ist von vornherein klar, dass es ein Gesamtranking geben muss(!) - dessen methodische Feststellung wird der "Knackpunkt" sein ;)
4. Die Rennbahn biete völlige grundsätzliche Chancengleichheit für alle Rennteilnehmer - phantasievoll etwa durch Verlauf in Gestalt einer 8 mit mäßig steiler Brücke auf halber Strecke.
5. Die einzelnen höchsten Laufgeschwindigkeiten aller 25 Rennpferde können lediglich jeweils im Verhältnis zueinander bestimmt werden. Niemals werden etwa Laufzeiten einzelner Teilnehmer gemessen, oder gar die Teilstrecken, die sie jeweils hinter sich gebracht haben, wenn das jeweilige erste Pferd das Ziel erreicht hat. Einzig und allein die jeweiligen Zieleinläufe von Einzelrennen können nach ihren Reihenfolgen ausgewertet und untereinander verglichen werden!
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Mathematik: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
Freigegeben von matroid am Mo. 05. August 2019 11:08:44
Verfasst von trunx - (233 x gelesen)
Mathematik 
In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2\) bzw. das kubische Pendant \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3\).

Wurzeln höherer Potenzen sind ganz analog berechenbar, da jedoch der Aufwand enorm wird, empfiehlt es sich für diese Fälle andere Wege zu beschreiten.
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Mathematik: Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln
Freigegeben von matroid am Fr. 12. Juli 2019 11:54:30
Verfasst von trunx - (612 x gelesen)
Mathematik 
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw. theoretische Physiker ebenfalls eine schlüssige Berechnung ohne Zuhilfenahme von Messergebnissen zu finden.

Für die Zahl \(\pi\) gibt es mittlerweile eine Vielzahl von mehr oder weniger schweren Berechnungsmethoden. Hier soll eine besonders leichte vorgestellt werden.

Ausgangspunkt der Berechnung ist die Idee, den Flächeninhalt des Einheitskreises (bzw. eines Viertels davon) mittels Riemannscher Summe und nachfolgender Grenzwertbildung zu ermitteln. Diesen Ansatz habe ich mit einem interessierten Schüler der Klasse 9 diskutiert, ihn auch ermutigt, die Rechnung zu Ende zu führen, wozu es leider nicht gekommen ist. Dennoch ist der Artikel so geschrieben, dass er für interessierte Schüler verständlich ist.

Wer möchte, bricht an dieser Stelle mit der Lektüre ab und probiert es gern selbst. Das Ergebnis ist zunächst eine sublinear, also langsam konvergierende Reihe, die man aber umformen kann in eine linear konvergente Reihe (mittels Konvergenzbeschleunigung, die ebenfalls vorgestellt wird).
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Mathematik: Phantasialand adé
Freigegeben von matroid am Mo. 06. Mai 2019 06:10:57
Verfasst von buh - (445 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
Phantasialand adé

Nie wieder Pyramiden in Raumecke*


BerlinBrandenburg. Es ist vollbracht. Mathe-Abitur. Nur 300 Minuten, davon 75 hilfsmittelfreie, und schon war die Mathe-LK-Prüfung wieder vorbei.
Und während früher so erhellende Titel wie „Handy am Steuer“, „Haus am Hang“ oder „Hosentasche“ ein (müdes) Lächeln ins Gesicht der Prüflinge zauberten, hat die revolutionäre Aufgabenerfindergarde wohl keine Kraft mehr: Im hilfsmittelfreien Teil 1 heißen die Aufgaben
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Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2)
Freigegeben von matroid am Sa. 27. April 2019 20:49:33
Verfasst von Dune - (228 x gelesen)
Mathematik 
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wir wollen die $3.A_7$ zudem als Matrixgruppe kleinstmöglicher Dimension darstellen! Im ersten Teil hatten wir bereits gezeigt, dass über Körpern der Charakteristik Null mindestens sechs Dimensionen nötig sind. Wir werden zeigen, dass selbiges auch für sämtliche Körper positiver Charakteristik $p \neq 5$ gilt (Satz 1). Der Hauptfokus dieses Artikels wird auf der Bestimmung der modularen Charaktertafel von $3.A_7$ in Charakteristik $p=5$ liegen, wofür wir verschiedene Methoden aus der modularen Darstellungstheorie (Brauer-Swan-Theorie, Blocktheorie, Green-Korrespondenz) kombinieren werden. Wir werden schließlich erkennen, dass die Gruppe genau ein Paar algebraisch konjugierter irreduzibler Brauer-Charaktere vom Grad 3 besitzt, zu welchem wiederum ein Paar algebraisch konjugierter Darstellungen $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ gehört. Die Suche nach einer dieser Darstellungen erfolgt dann mit ganz elementaren Methoden: Im Wesentlichen müssen eine Hand voll (zumeist lineare) Gleichungssysteme über dem Körper $\mathbb{F}_{25}$ gelöst werden. Aus deren eindeutiger Lösbarkeit folgt dann unmittelbar die Eindeutigkeit der Gruppe $3.A_7$ (Satz 2). Der Existenzbeweis der $3.A_7$ ist schlussendlich mit etwas Computerunterstützung kein Problem mehr (Satz 3).
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Mathematik: Lösen von Job Shop Problemen
Freigegeben von matroid am Fr. 26. April 2019 08:48:04
Verfasst von Delastelle - (158 x gelesen)
Software 
Eine Problemstellung der diskreten Optimierung sind Job Shop Probleme.
Im Artikel werden mehrere Programme vorgestellt, die gute Lösungen erzeugen.
Gelöst wird unter anderem das klassische Muth-Thompson 10x10 Problem (mt10) von 1963
dessen Lösung 930 erst 1989 mittels Branch & Bound verifiziert wurde.
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Mathematik: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
Freigegeben von matroid am Mo. 22. April 2019 18:03:53
Verfasst von trunx - (399 x gelesen)
Physik 

Einleitung


Immer wieder ist zu hören und zu lesen und wird gern auch in der Schule so vermittelt, dass sich die Menschen in der Antike und im (finsteren) Mittelalter unsere Erde als Scheibe vorstellten. Dies ist natürlich längst als neuzeitlicher Mythos entlarvt (siehe Wikipedia - Flache Erde), dennoch möchte ich mit dem vorliegenden Artikel zeigen, dass sich die Kugelgestalt der Erde ganz logisch aus den antiken Vorstellungen, insbesondere der 4-Elemente-Lehre ergab, also die angebliche Scheibenerde schon in der Antike Humbug war.

Doch dieses antike, genau genommen geozentrische Weltbild hatte auch seine Probleme. Da ich kein Historiker bin und nicht aus eigener Lektüre weiß, was antike bzw. mittelalterliche Autoren über die Probleme mit ihrem Weltbild geschrieben haben, tue ich dies hier fiktiv.

Demnach müsste das Hauptproblem des antiken Weltbildes unser Mond gewesen sein.

Dieser Artikel wurde für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 bzw. 9 geschrieben, wird aber natürlich häppchenweise präsentiert, mit Arbeitsblättern und Experimenten zum freien Fall und Wurf verknüpft, ist also eher das Resultat je einer Unterrichtseinheit. Hier ist er für den MP aufgearbeitet, wo ihn selbstverständlich jeder lesen kann.
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Mathematik: Transformation ebener Kurven
Freigegeben von matroid am Sa. 20. April 2019 13:56:27
Verfasst von Gerhardus - (233 x gelesen)
Mathematik 
Transformation von Kurven (9. Schuljahr)

Das 9. Schuljahr lehrt Parabeln als quadratische Funktionen. Dazu gehören Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen der Parabel als Vorspiel zur wichtigen p-q-Formel, um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen. Ein Satz wie: „Die Parabel y = (x+d)² + e hat (-d|e) als Scheitelpunkt.“ fällt auf durch seine Asymmetrie, den Wechsel von – und +.

Aus meinem Wunsch, das Thema auf dem Niveau des 9. Schuljahrs etwas gründlicher darzustellen, ohne Vektoren und Matrizen, ist dieser pdf-Datei (anklicken!) entstanden. Dabei verbinden sich die math. Unterfächer „Funktionen“ und „Analytische Geometrie der Ebene“. Seltsamer Weise habe ich in der Literatur keinen entsprechenden Satz gefunden, der doch kleine Spielereien ermöglicht.

Eigentlich gehört dieses Thema mehr zu analytischen Geometrie, die in der alten Form wie vor 50 Jahren nicht mehr gelehrt wird, sondern nur soweit, als sie Stoff für die geometrische Vektor- und Matrizenrechnung liefert. Mit der Beschränkung auf Funktionen tabuisiert die Schule andere Kurvengleichungen. Sie schafft nicht den Bogen vom Satz des Pythagoras zur Kreisgleichung, die ich für Anwendungen benötige. Gleichwohl versteht sich mein Artikel nicht als Schulkritik, sondern als vertiefende Spielerei.

Vielleicht habe ich auch etwas übersehen. Ich freue mich über jede Reaktion auf meinen Versuch, ob er sich für Schüler überhaupt eignet. Gerne auch die Kritik, LaTeX mache alles schöner. Mir reicht noch Word-2003 und der Formeleditor; ich schimpfe auf den "pdf-Creator", wenn er beim Hyperlink scheitert.

In der Fortsetzung des Artikels kann man auch die Inversion am Einheitskreis studieren und dann einsteigen in den
matheplanet-Artikel
Hans-Jürgen, Kurvenverwandtschaft bei der konformen Abbildung w=1/z.
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