Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
Released by matroid on Do. 08. April 2021 00:00:50
Written by Ueli - (140 x read)
Analysis 

Einleitung


Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen.
Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, die oft kontrovers diskutiert werden. Neben der Immunologie habe ich das Bevölkerungswachstum und die Hubbert-Linearisierung gewählt. Letztere Anwendung ist ein wichtiges Werkzeug zur Abschätzung von Ressourcen (bzw. Reserven).
Alle Beispiele beziehen sich auf ein beschränktes Wachstum, wie es in der realen Welt üblich ist. Die Frage lautet oft, wo denn die Grenzen dieses Wachstums liegen. Durch Extrapolationen mit einfachen Modellen können solche Grenzen geschätzt werden. Zudem geht es mir darum grundlegende Begriffe und Formeln vorzustellen, in Themen die oft in der öffentlichen Diskussion auftauchen.
Eine mathematische Einführung in die Wachstumsfunktionen findet sich in diesem Artikel von Diophant.
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Mathematik: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
Released by matroid on Mo. 05. April 2021 20:51:12
Written by easymathematics - (180 x read)
Mathematik 

Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes



In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift?

Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden?

Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig sein Vorhaben gewesen sein muss, um diese faszinierende Präzision (bezogen auf seine Zeit) zu bekommen.

Vorweg:

Der exakte Wert seines 96-Ecks (einbeschrieben) lautet:

\[ 48 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }} = 3,141031...\]
Die Näherung von Archimedes:

\[ 3,140845... \]
Anders gesagt: Der relative Fehler bezogen auf sein 96-Eck liegt knapp unter 0,006 %.
Der relative Fehler zu \(\pi\) liegt knapp über 0,02.

Wir wollen in diesem Zusammenhang versuchen, folgende zwei Fragen zu klären.

a) Wie konnte Archimedes Rundungsfehler nahezu vermeiden?
b) In welcher Zeit ist diese Leistung bei einem gemütlichen Kaffee zu schaffen?
Reden wir von Stunden? Von Tagen? Von Wochen?

Ja, der Pi-Tag liegt bereits eine gewisse Zeit zurück. Ich bin frischer Vater und da klappen dann solche Planungen dann doch nicht, wie man es möchte. Um Gottes Willen, besser später als nie.

Ich freue mich, wenn Ihr mich auf dieser historischen Reise begleitet.
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Mathematik: ein Beitrag zur Lösung des Isola-Spiels für kleinere Bretter als 6x8
Released by matroid on So. 04. April 2021 13:02:05
Written by Delastelle - (50 x read)
Spiele+Rätsel 
Momentan arbeite ich an einer Betaversion eines Programms zur Erzeugung einer Endspieldatenbank für das Spiel Isola für Bretter bis 4x5 Felder (alle Felder drückbar).
Ich habe Ergebnisse für Bretter der Größe 2x3, 3x3, 3x4, 4x4 und 4x5.
Eine Überprüfung der Richtigkeit der Ergebnisse steht noch aus.
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Mathematik: Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien
Released by matroid on Sa. 20. März 2021 11:04:58
Written by Triceratops - (127 x read)
Mathematik 

Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien

Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns also, wie sich die kostetigen Funktoren von typischen Kategorien wie zum Beispiel $\mathbf{Mon}$ oder $\mathbf{Pos}$ in eine beliebige kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ klassifizieren lassen. Viele Kategorien aus der Praxis lassen sich als die Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ der Modelle einer Limes-Skizze $\mathscr{S}$ darstellen. Wir werden diese Konzepte in diesem Artikel vorstellen und damit unser Hauptresultat, die universelle Eigenschaft $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ beweisen. Sie besagt im Wesentlichen, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ ist. Dann schauen wir uns einige Beispiele wie etwa $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mon},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoMon}(\mathcal{C})$ genauer an.
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Mathematik: Über die Adjunktion von Wurzeln
Released by matroid on Sa. 20. Februar 2021 08:27:16
Written by Triceratops - (232 x read)
Mathematik 

Über die Adjunktion von Wurzeln

Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der Form $K(\sqrt{\Delta})$ eines Körpers $K$ der Charakteristik $\neq 2$ für beliebige Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times}$. Es handelt sich um einen relativ einfachen Spezialfall der Kummertheorie, nämlich für den Exponenten $2$.
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Mathematik: Die radiale Brachistochrone: Think big
Released by matroid on Mo. 01. Februar 2021 22:06:00
Written by MontyPythagoras - (506 x read)
Physik 

Die radiale Brachistochrone: Think big


Brachistochrone AnimationIn meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich diesmal mit dem beliebten Brachistochronen-Problem befassen. Mit dieser Problemstellung haben sich schon vor mehr als drei Jahrhunderten bekannte Wissenschaftler wie Bernoulli, Leibniz und Newton im homogenen Gravitationsfeld befasst. Also sowohl der betrachtete Körper als auch die Wissenschaftler befanden sich im homogenen Gravitationsfeld - letztere zumindest näherungsweise.
Die Lösung dieses Problems, also die schnellstmögliche Fallkurve zwischen zwei Punkten im homogenen Gravitationsfeld ist bekanntermaßen die Zykloide. Auch hier auf dem Matheplaneten hat es dazu schon Artikel gegeben, z.B. hier.
Getreu dem Motto "Think big" habe ich mich dagegen damit beschäftigt, wie die Brachistochrone in einem radialen Schwerefeld wie dem eines Planeten aussieht. Dazu war auch im Internet nicht all zu viel zu finden, außer dem Artikel in der Quellenangabe, dessen Autoren sich alle Mühe gegeben haben, das Problem möglichst kompliziert aussehen zu lassen. Es geht aber auch deutlich übersichtlicher.
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Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
Released by matroid on Fr. 29. Januar 2021 08:31:10
Written by easymathematics - (938 x read)
Mathematik 

Der logische Zusammenhang zwischen
dem Sinussatz und dem Kosinussatz



Hallo,
in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen.

(1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen?
(2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen?
(3) Sind beide Sätze sogar äquivalent?

Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent.

Anmerkung: Wir reden hier von Dreiecken in der Ebene.

Der Beweis ist, wie man erwarten darf, simpel.
Die Aussage als solche dennoch erwähnenswert.
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Mathematik: Über Berührungen und Ableitungen
Released by matroid on Di. 19. Januar 2021 06:36:43
Written by Triceratops - (269 x read)
Mathematik 

Über Berührungen und Ableitungen

In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relation dort nur kurz in der Definition auf und wird nicht weiter benutzt, und andere Quellen verwenden ohnehin einen eher rechnerischen Zugang. In diesem Artikel möchte ich die Berührungsrelation in den Vordergrund stellen und die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, konzeptionell aus entsprechenden Eigenschaften der Berührungsrelation ableiten. Schließlich gibt es auch noch eine kategorientheoretische Einordnung der ganzen Theorie.
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