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Mathematik: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
Freigegeben von matroid am Mo. 03. Dezember 2018 21:32:59
Verfasst von cis - (232 x gelesen)
Mathematik 

Quadratwurzel einer komplexen Zahl
und
Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten


In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden.

<math>
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
x=1.5cm, y=1.5cm,  scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,   %Voreinstellung für Pfeilspitzen
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]

% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}

% y-Achse
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}

%Ursprung
%\node[below right] {$0$};

% Funktionen
\pgfmathsetmacro\ReD{-5/4}
\pgfmathsetmacro\ImD{3}
\pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2  +  (\ImD)^2 )}

\pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)}
\pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)}
\pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD}
\pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)}

\pgfmathsetmacro\RePh{1}
\pgfmathsetmacro\ImPh{1/2}


\coordinate (U) at (0,0);
\coordinate (D) at (\ReD,\ImD);
\coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD);
\coordinate (W0) at (0+\AbsD,0);
\coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD);
\coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD);

\coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh);
\coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh);

% Winkel
\pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0,
 pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt,  below=5pt}] {angle = W0--U--W};
\pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D};

\draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$};
\draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$};
\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$};
\draw[-, densely dashed] (U)
-- (W0) node[near end, above]{$|D|$}
-- (W) node[midway, right]{$D$};
\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W);


\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$};
\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$};
\draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD];

% Lösungen
\draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$};

\draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$};

% Annotationen
\node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-i)=0$};
\node[black]  at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$};
\node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$};

\end{tikzpicture}
</math>
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Mathematik: Der Preis der Freiheit
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
Verfasst von AnnaKath - (580 x gelesen)
Vermischtes 

Der Preis der Freiheit

- Selfish Routing -

Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und  präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen.
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Mathematik: Markov Belohnungs-Prozesse
Freigegeben von matroid am Mo. 24. September 2018 09:27:25
Verfasst von LaLe - (419 x gelesen)
Mathematik 

Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement Learning

Teil 1: Markov-Belohnungsprozesse

Diese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungsprozessen, die man sich als "Reinforcement Learning ohne Lernen" vorstellen kann. Im zweiten Teil stellen wir darauf aufbauend Markov-Entscheidungsprozesse vor. Im dritten Teil werden wir uns schließlich mit der Sicherheit künstlicher Intelligenz (im englischen: AI Safety) befassen und lernen, inwiefern Reinforcement Learning in diesem neuen Forschungsfeld relevant ist.

Das war die Kurzzusammenfassung. Wie passt das alles in einen größeren Rahmen? Künstliche Intelligenz ist in aller Munde und bestimmt immer größere Teile unserer Interaktion mit großen Konzernen. Nicht zu Unrecht machen sich daher viele Menschen Sorgen, ob ihre Daten sicher sind und ihre Persönlichkeitsrechte gewahrt werden. Um diese Probleme soll es aber hier nicht gehen, denn man kann sich überall bestens darüber informieren. Meine Motivation ist es, Einblicke zu geben in das relativ neue Forschungsfeld zur Sicherheit künstlicher Intelligenz, im Englisch auch "AI Safety" genannt. Zusammenfassen lassen sich die Bedenken wie folgt: Wenn Maschinen immer autonomer werden, wenn Reinforcement Learning immer weiter verbreitet ist, und wenn Maschinen in immer komplexeren Umgebungen handeln, dann vergrößert sich damit auch das Potential dieser Maschinen, Schäden anzurichten, selbst wenn die Entwickler beste Intentionen haben. Eine moderne Einführung in konkrete Probleme aus diesem Forschungsfeld, mit einem starken Fokus auf Reinforcement Learning, bietet der Artikel Concrete Problems in AI Safety von Amodei et al.

Dieser Artikel ist im besten Fall nur der erste in einer Reihe von drei. Er gibt eine Einführung in das Thema der Markov-Belohnungsprozesse, und der zweite eine in Reinforcement Learning. Darauf aufbauend können wir im dritten Artikel konkrete Sicherheitsbedenken von Lernverfahren studieren, die auf Reinforcement Learning basieren. Ob es zu diesen weiteren Artikeln kommen wird und ob ich sie auf deutsch, oder nur an anderer Stelle auf Englisch veröffentliche, hängt auch von eurem Interesse an diesem Thema ab. Da das mein erster Artikel ist, ist Feedback aller Art sehr erwünscht!
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Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
Freigegeben von matroid am So. 19. August 2018 21:47:41
Verfasst von Dune - (386 x gelesen)
Mathematik 
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen.

In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren.

Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen.
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Mathematik: Umsetzung der Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO)
Freigegeben von matroid am Mi. 23. Mai 2018 19:03:18
Verfasst von matroid - (646 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Liebe Mitglieder und Besucher!

Sicher haben Sie von der neuen Datenschutz-Grundverordnung ("DSGVO") gehört, die am 25. Mai 2018 in Kraft tritt. Um die Einhaltung der DSGVO-Einwilligungserfordernisse zu unterstützen, müssen wir bestätigen, dass Sie Inhalte von uns erhalten möchten.

Darum werden wir Ihnen ab jetzt nur noch dann unseren Newsletter zusenden, wenn Sie dies ab heute neuerlich wünschen und erlauben. Alle Einstellung bzgl. Newsletter-Versand von vor dem heutigen Tage, haben wir zurückgesetzt. Wenn Sie jetzt nichts unternehmen, erhalten Sie keine Newsletter mehr. Als Mitglied finden Sie die Einstellmöglichkeit bzgl. Newsletterversand in Ihrem Benutzerprofil.
Ein Versand von Newsletters an Nicht-Mitglieder werden wir nicht mehr durchführen. Alle bisher von Nicht-Mitgliedern hier gespeicherten Email-Adressen wurden heute gelöscht.

Weiter stellen wir heute den Service "Einen Freund auf einen Artikel aufmerksam machen" ein, weil wir hier nicht kontrollieren können, ob der Adressat die von Ihnen an ihn abgesendet Mail wirklich haben möchte.

Mehr Auskunft über die Daten, die wir hier von unseren Mitgliedern gespeichert haben, erhalten Sie in unserer Datenschutzerklärung.

Bitte wenden Sie sich an den im Impressum genannten Kontakt, wenn Sie Fragen haben oder Auskünfte erhalten möchten.

Ihr / Euer Matroid
Solingen am 23.5.2018


Ergänzung am 28.5.2018: Die Domains matheplanet.at matheplanet.ch matheplanet.com matheplanet.de matheplanet.eu matheplanet.org www.matheplanet.at www.matheplanet.ch www.matheplanet.com www.matheplanet.de www.matheplanet.eu www.matheplanet.org sind nun durch ein Zertifikat gesichert und die Datenverbindung zum Server ist verschlüsselt.
Ebenso gesichert ist fedgeo.de fedgeo.com fed.matheplanet.de fed.matheplanet.com usw. sowie chat.matheplanet.de.
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Mathematik: Einstieg für Laien in die Finanzmathematik
Freigegeben von matroid am Do. 26. April 2018 17:14:18
Verfasst von Gerhardus - (625 x gelesen)
Mathematik 
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik

Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Leitfaden-Buch Bernd Luderer, Mathe, Märkte und Millionen, 2013 (siehe Literaturliste L5) und dank des vorliegenden Lehrtextes, der das benötigte Wissen möglichst einfach erklärt. Nur der Abschnitt 7.3 und das Kapitel 9 erfordern Differenzialrechnung und Oberstufen-Stochastik.
Das Äquivalenzprinzip erlaubt, künftige Zahlungen mit gegenwärtigen zu vergleichen, abhängig vom Zinsmodell. Modelle spielen in der Finanzmathematik eine große Rolle, ihre Stärken und Schwächen werden untersucht. So ist auch das No-Arbitrage-Prinzip notwendig für jedes Modell, auch wenn Börsianer etwas anderes glauben.
Die erwähnten Modelle können den Finanzmarkt organisieren und bewerten. Modellieren heißt hier nicht, Gleichungen aufzustellen, sondern mit den Regeln der Produkte ein System auf Prinzipien aufzubauen. Der wirkliche Finanzmarkt ist aber völlig anders als die Modelle.
Der Lehrtext liegt hier als pdf-Datei vor. Aufmerksame Leser, Kritik und Fehlerhinweise sind stets willkommen.

Inhalt
1. Beispiele für das Rechnen mit prozentualen Proportionen
2. Einfache Zinsrechnung
3. Zinseszinsrechnung (8. Schuljahr)
4. Über Potenzen und Logarithmen (9. Schuljahr)
4.1 Die Umkehrfunktion
4.2 Stetige Verzinsung
4.3 Durchschnittliche und logarithmierte Rendite
5. Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
5.1 Äquivalenz von Zahlungsströmen
5.2 Höhere Rendite dank Vorschusszinsen
5.3 Effektivzinssatz laut gesetzlicher Preisangabenverordnung (PAngV)
5.4 Unterschiedliche Zinsperioden
6. Vergleich von monatlicher und jährlicher Rate bei einfacher Verzinszung
7. Vergleich von jährlichen Zahlungen mit einer Einmalzahlung beim Zinseszins
7.1 Kursformel einer Anleihe
7.2 Annuitätenkredit
7.3 Risikokennzahl und Duration
8. Zinsstrukturen und Forward Rates als Derivate von Spot Rates
8.1. Vereinbarung über einen zukünftigen Zinssatz (FRA)
8.2. Das No-Arbitrage-Prinzip
8.3. Zins-Swaps
9. Optionsscheine
9.1. Basiswissen
9.2. Der Weg zum Black-Scholes-Modell: Die Option als Portfolio
9.3. Stochastische Aktienmodelle
10. Literaturliste


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Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Freigegeben von matroid am Mi. 11. April 2018 09:55:02
Verfasst von Triceratops - (380 x gelesen)
Mathematik 
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell
$$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a).$$Es gilt auch
$$\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b')),$$weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda  \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa
$$\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c)).$$Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel
$$\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$$kann man dann genauso vorgehen.
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Mathematik: Mathematik ist Kunst
Freigegeben von matroid am Di. 27. Februar 2018 11:15:24
Verfasst von Evariste1 - (518 x gelesen)
Bildung 
Der mathematische Beweis als Kunstobjekt

Cédric Villani trägt an seinem Jacket im Dandy-Stil eine große Brosche, welche den Körper einer Spinne nachbildet. Dabei ist er nicht auf einem Kostüm-Ball eingeladen. Es handelt sich um seine Alltagskleidung. Wenn man nicht wüsste, dass es sich bei Villani um einen Mathematiker handelt, dann könnte man aufgrund der exaltierten Kleidung vermuten, es mit einem Künstler zu tun zu haben. Oder ist Villani vielleicht Kraft seiner Tätigkeit als Mathematiker ein Künstler? Immerhin kreieren Mathematiker sinnlich wahrnehmbare Werke (Beweise), welche vom Publikum zuweilen als innovativ und schön bezeichnet werden. Im Rahmen dieses Textes soll die Frage beantwortet werden, ob mathematische Beweise Kunst sind. Wir beginnen unsere Überlegungen mit einer Charakterisierung von Kunst. Wir werden prüfen, ob ein mathematischer Beweis die Charakteristika erfüllt, die Kunst erfüllen muss. Die mathematische Tätigkeit beschränken wir auf das Verfassen von Beweisen. Dabei werden wir zeigen, dass ein Mathematiker frei über die Bestandteile verfügt, die seinen Beweis auszeichnen. Wir werden zeigen, dass ästhetische Erfahrungen mit Beweisen möglich sind. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass mathematische Beweise existieren, welche Kunst sind.
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