Mathematik: Umsetzung der Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO)
Released by matroid on Mi. 23. Mai 2018 19:03:18
Written by matroid - (701 x read)
Matroids Matheplanet 
Liebe Mitglieder und Besucher!

Sicher haben Sie von der neuen Datenschutz-Grundverordnung ("DSGVO") gehört, die am 25. Mai 2018 in Kraft tritt. Um die Einhaltung der DSGVO-Einwilligungserfordernisse zu unterstützen, müssen wir bestätigen, dass Sie Inhalte von uns erhalten möchten.

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Ihr / Euer Matroid
Solingen am 23.5.2018


Ergänzung am 28.5.2018: Die Domains matheplanet.at matheplanet.ch matheplanet.com matheplanet.de matheplanet.eu matheplanet.org www.matheplanet.at www.matheplanet.ch www.matheplanet.com www.matheplanet.de www.matheplanet.eu www.matheplanet.org sind nun durch ein Zertifikat gesichert und die Datenverbindung zum Server ist verschlüsselt.
Ebenso gesichert ist fedgeo.de fedgeo.com fed.matheplanet.de fed.matheplanet.com usw. sowie chat.matheplanet.de.
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Mathematik: Einstieg für Laien in die Finanzmathematik
Released by matroid on Do. 26. April 2018 17:14:18
Written by Gerhardus - (800 x read)
Mathematik 
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik

Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Leitfaden-Buch Bernd Luderer, Mathe, Märkte und Millionen, 2013 (siehe Literaturliste L5) und dank des vorliegenden Lehrtextes, der das benötigte Wissen möglichst einfach erklärt. Nur der Abschnitt 7.3 und das Kapitel 9 erfordern Differenzialrechnung und Oberstufen-Stochastik.
Das Äquivalenzprinzip erlaubt, künftige Zahlungen mit gegenwärtigen zu vergleichen, abhängig vom Zinsmodell. Modelle spielen in der Finanzmathematik eine große Rolle, ihre Stärken und Schwächen werden untersucht. So ist auch das No-Arbitrage-Prinzip notwendig für jedes Modell, auch wenn Börsianer etwas anderes glauben.
Die erwähnten Modelle können den Finanzmarkt organisieren und bewerten. Modellieren heißt hier nicht, Gleichungen aufzustellen, sondern mit den Regeln der Produkte ein System auf Prinzipien aufzubauen. Der wirkliche Finanzmarkt ist aber völlig anders als die Modelle.
Der Lehrtext liegt hier als pdf-Datei vor. Aufmerksame Leser, Kritik und Fehlerhinweise sind stets willkommen.

Inhalt
1. Beispiele für das Rechnen mit prozentualen Proportionen
2. Einfache Zinsrechnung
3. Zinseszinsrechnung (8. Schuljahr)
4. Über Potenzen und Logarithmen (9.-10. Schuljahr)
4.1 Die Umkehrfunktion
4.2 Stetige Verzinsung
4.3 Durchschnittliche und logarithmierte Rendite
5. Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
5.1 Äquivalenz von Zahlungsströmen
5.2 Höhere Rendite dank Vorschusszinsen
5.3 Effektivzinssatz laut gesetzlicher Preisangabenverordnung (PAngV)
5.4 Unterschiedliche Zinsperioden
6. Vergleich von monatlicher und jährlicher Rate bei einfacher Verzinszung
7. Vergleich von jährlichen Zahlungen mit einer Einmalzahlung beim Zinseszins
7.1 Kursformel einer Anleihe
7.2 Annuitätenkredit
7.3 Risikokennzahl und Duration
8. Zinsstrukturen und Forward Rates als Derivate von Spot Rates
8.1. Vereinbarung über einen zukünftigen Zinssatz (FRA)
8.2. Das No-Arbitrage-Prinzip
8.3. Zins-Swaps
9. Optionsscheine
9.1. Basiswissen
9.2. Der Weg zum Black-Scholes-Modell: Die Option als Portfolio
9.3. Stochastische Aktienmodelle
10. Literaturliste

Hinweis: Eine LaTeX-Version verdanken wir MarkusV. Der pdf-Text enthält beide Versionen, zuerst die LaTeX-Version mit den Seiten 1-25, gefolgt vom Originaltext mit den Seiten 1-16.

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Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Released by matroid on Mi. 11. April 2018 09:55:02
Written by Triceratops - (427 x read)
Mathematik 
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell
$$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a).$$Es gilt auch
$$\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b')),$$weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa
$$\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c)).$$Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel
$$\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$$kann man dann genauso vorgehen.
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Mathematik: Mathematik ist Kunst
Released by matroid on Di. 27. Februar 2018 11:15:24
Written by Evariste1 - (568 x read)
Bildung 
Der mathematische Beweis als Kunstobjekt

Cédric Villani trägt an seinem Jacket im Dandy-Stil eine große Brosche, welche den Körper einer Spinne nachbildet. Dabei ist er nicht auf einem Kostüm-Ball eingeladen. Es handelt sich um seine Alltagskleidung. Wenn man nicht wüsste, dass es sich bei Villani um einen Mathematiker handelt, dann könnte man aufgrund der exaltierten Kleidung vermuten, es mit einem Künstler zu tun zu haben. Oder ist Villani vielleicht Kraft seiner Tätigkeit als Mathematiker ein Künstler? Immerhin kreieren Mathematiker sinnlich wahrnehmbare Werke (Beweise), welche vom Publikum zuweilen als innovativ und schön bezeichnet werden. Im Rahmen dieses Textes soll die Frage beantwortet werden, ob mathematische Beweise Kunst sind. Wir beginnen unsere Überlegungen mit einer Charakterisierung von Kunst. Wir werden prüfen, ob ein mathematischer Beweis die Charakteristika erfüllt, die Kunst erfüllen muss. Die mathematische Tätigkeit beschränken wir auf das Verfassen von Beweisen. Dabei werden wir zeigen, dass ein Mathematiker frei über die Bestandteile verfügt, die seinen Beweis auszeichnen. Wir werden zeigen, dass ästhetische Erfahrungen mit Beweisen möglich sind. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass mathematische Beweise existieren, welche Kunst sind.
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Mathematik: Die Simplexmethode in Basic und Turbo Pascal/Free Pascal
Released by matroid on Mi. 21. Februar 2018 09:37:37
Written by Delastelle - (427 x read)
Software 
Im folgenden Artikel ist die Simplexmethode der lineren Optimierung in Commodore Basic und Turbo Pascal/Free Pascal implementiert.
Der Ursprung des Basic-Programms stammt aus dem Buch "Planen+Entscheiden mit dem Sharp PC-1500" von X.T.Bui und Herbert Klein.
Ich habe dieses Programm in Commodore Basic und Turbo Pascal/Free Pascal umgewandelt.
4 Beispiele werden mit den Programmen gelöst.

Beispiele 1 bis 3 stammen aus meinem älteren Artikel zum Simplexverfahren und
deren Lösung mittels Scilab und Octave (article.php?sid=1266).
Dabei ist Beispiel 1 lösbar, Beispiel 2 nicht lösbar wegen widersprüchlicher Nebenbedingungen
und Beispiel 3 nicht lösbar wegen Unbeschränktheit des zulässigen Bereichs.
Das 4.Beispiel - Klee-Minty mit 3 Variablen zeigt die schlechte Performance des Simplex-Verfahrens - 8 Iterationen werden benötigt.
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Stern Mathematik: Ein schöner Grenzwert
Released by matroid on Do. 08. Februar 2018 16:04:56
Written by Wauzi - (1047 x read)
Analysis 

Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e



fed-Code einblenden

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Mathematik: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
Released by matroid on So. 04. Februar 2018 20:34:57
Written by Marbin - (907 x read)
Mathematik 

Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen



Im Folgenden beweisen wir, dass

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$

in Dezimaldarstellung für alle \(k\in\mathbb{N}_{0}\) mit der Führungsziffer 5 beginnt. Zur Entstehungsgeschichte von \((1)\) sei auf diesen langen aber teils sehr interessanten und (zumindest für mich) lehrreichen Thread verwiesen.

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Mathematik: Die künstliche Niere - Experiment und Modellierung
Released by matroid on Mi. 10. Januar 2018 21:10:54
Written by Marbin - (453 x read)
Mathematik 
Neben der Mathematik und anderen Dingen interessiere ich mich auch für die Chemie. Das Buch "Chemische Experimente die gelingen" von Römpp/Raaf besitze ich nun seit über 30 Jahren, aber erst vor kurzem habe ich das Experiment "Wie funktioniert die künstliche Niere" aus dem besagten Buch mit geringfügig moderneren Mitteln (pH-Meter statt Lackmuspapier) das erste Mal durchgeführt. Danach habe ich mich auch mit der mathematischen Modellierung eines sogenannten Hämodialyse-Gerätes beschäftigt, wodurch der folgende Artikel entstanden ist, der nun als pdf-Datei zur Verfügung steht. Hilfreich zur Seite stand mir dabei das Buch "Introductory Differential Equations" von Abell/Braselton, das das Thema in mehreren Aufgabenstellungen auch behandelt, jedoch nicht immer ganz fehlerfrei.
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