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Re: Vollständige Indoktrination

Zur Nachhilfe hatte ich mal einen Studenten fürs Lehramt, für den war die vollständige Induktion (VI) ein rotes Tuch; er hat trotzdem das 1. Staatsexamen geschafft.
Vermutlich hatte er ein Problem mit Termumformungen; denn wer die nicht versteht, scheitert auch mit dem VI-Beweis. Wichtig dabei ist die Erfahrung, dass komplizierte Terme identisch sind mit einfachen. Da in der modernen Schule Formeln mit dem modernen Gedächtsnistraining gelernt werden, sind dafür Termumformungen nicht mehr erforderlich und dementsprechend uninteressant, um nicht zu sagen lästig. Dabei sind Termumformungen oft gut für Verblüffendes.
Spezielle endliche Reihen haben die Form:
(endliche Reihe) f(1) + f(2) + … f(n) = S(n),
wobei f und S oft Polynome sind.
Für den Beweis zeigt man den Induktionsanfang f(1) = S(1) und
den Induktionsschluss S(n-1) + f(n) = S(n).
Beim Induktionsschluss geht es oft um Termumformungen. Der Dozent vergleicht beide Terme mit ein paar geschickten Tricks und schon denkt der arme Student, diese eleganten Tricks seien der Kern des VI-Beweises. Welch ein Irrtum! Man kann die Terme z.B. auf beiden Seiten stur in formale Polynome auflösen, um dann die Monome zu vergleichen.
Vielleicht sollte man mal das Pferd von hinten aufzäumen:
Man nehme ein beliebiges Polynom P(n) ≠ 0 (n ist Argument, nicht Exponent), multipliziere es mit n, d.h. S(n) = n∙P(n). Damit ist S(0) = 0 und der Induktionsanfang feritg.
Jetzt kommt die Termumformung f(n) = S(n) - S(n-1), die möglichst einfach ausfallen sollte, und fertig ist eine spezielle endliche Reihe (s.o.), die man, wenn man Muße hat, mit der VI beweisen kann, aber es steht ja schon alles da.
Nebenbei bemerkt: Wem in der Gauß'schen Summenformel S(n) = n(n+1)/2 auffällt, dass S(n-1) + S(n) = n², der erkennt sogleich, dass [S(n)]² die Summe der Kuben Σk³ (1 ≤ k ≤ n) ist, weil f(n) = [S(n)]² - [S(n-1)]² = [S(n) - S(n-1)]∙[S(n) + S(n-1)] = n³.
 
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