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Re: Vollständige Indoktrination

@Martin

Natürlich ist es richtig, dass <math>S(n)</math> bei gegebenem <math>f(n)</math> durch die Gleichungen

<math>S(0)=0,\quad S(n-1)+f(n) = S(n)</math>

bereits eindeutig festgelegt ist, nämlich als

<math>S(n)=\sum\limits_{k=1}^n f(k)</math>

aber Gerhardus verwendet diese Tatsache ja gerade, wenn ich ihn richtig verstanden habe, indem er obige Funktionalgleichung für <math>S(n)</math> auf andere Weise löst - oder einfach nur eine vorgegebene Lösung auf Korrektheit überprüft - um durch Gleichsetzung der beiden Lösungen eine Formel für obige Summe zu erhalten.

Man könnte beispielsweise für <math>f(n)=n^2</math> den allgemeinen Ansatz

<math>S(n)=a_3 n^3+a_2 n^2+ a_1 n</math>

machen (wobei ich hier <math>S(0)=0</math> schon habe einfließen lassen!), um dann aus

<math>f(n)=S(n)-S(n-1)</math>

durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich

<math>a_3=\frac13,\ a_2=\frac12, \ a_1=\frac16</math>

zu gewinnen, womit man tatsächlich

<math>\sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac{n}6</math>

bewiesen hat.

Ich sehe also schon, dass der Ansatz von Gerhardus eine etwas andere - und im Rahmen dieses Artikels, wo es ja nicht zuletzt um Alternativen zu den üblichen Induktionsbeweisen geht - durchaus wertvolle Sicht der Dinge beinhaltet.
 
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