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Re: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

@digerdiga:
2) Vielleicht helfen dir Farben. Das Gitter ist zunächst weiß. Jedes Rechteck, inklusive seinem Inneren, bekommt eine individuelle Farbe. Eine Pflasterung ist nur dann vollständig, wenn alles bunt ist. Bei der Pflasterung mit nur einem Rechteck ist das gesamte Gitter ebenfalls bunt.

<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw [fill=green!40] (0,0) to (2,0) to (2,1) to (0,1) -- cycle;
\draw [fill=red!40] (2,0) to (3,0) to (3,2) to (2,2) -- cycle;
\draw [fill=blue!40] (2,1) to (2,2) to (0,2) to (0,1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\hspace{3ex}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw [fill=green!40] (0,0) to (3,0) to (3,2) to (0,2) -- cycle;
\end{tikzpicture}</math>

Diese Pflasterung ist also definitiv nicht leer. Die Leerheit wird nicht daran bemessen, ob Striche gezeichnet werden, sondern ob es rechteckige Flächen gibt. Was den Fall der leeren Pflasterung im Fall <math>n=0</math> oder <math>m=0</math> angeht, habe ich bereits alles gesagt, was ich dazu sagen könnte, ohne in mengentheoretische Formalismen zu verfallen. Schau dir ggf. noch einmal die Definition der leeren Menge an. Ich werde dazu nichts mehr schreiben, und vielleicht können es andere besser als ich erklären.

7) Wenn du dir Kanten <math>v_1 \to v_1</math> anschaust, sind das wie gesagt Wege der Länge <math>1</math> (die also den <math>n {\times} 2</math>-Pflasterungen entsprechen), und nicht Wege der Länge <math>0</math>. Es gibt wie gesagt genau <math>4</math> Kanten <math>v_1 \to v_1</math> (man muss sich entscheiden, ob oben und/oder unten vertikale Striche entstehen). In der Adjazenzmatrix steht keine <math>1</math> auf der Diagonalen. Es gibt aber nur einen Weg der Länge <math>0</math> von <math>v_1</math> nach <math>v_1</math>. Wie du korrekt erkannt hast, passt das gut mit dem Potenzieren der Adjazenzmatrix zusammen. Man kann das entweder als Konvention ansehen, nämlich als den Anfang der rekursiven Definition von Wegen der Länge <math>m</math> für <math>m \geq 0</math>. Oder man definiert Wege der Länge <math>m</math> in einem Graphen <math>\Gamma</math> direkt (also ohne Rekursion) als Morphismen von Graphen <math>f : \mathrm{Path}_m \to \Gamma</math>, wobei <math>\mathrm{Path}_n</math> der Graph mit der Knotenmenge <math>\{i \in \mathds{N} : i \leq m\}</math> und den Kanten <math>i \to i+1</math> für <math>0 \leq i < m</math> ist; Anfangs- und Endknoten sind dann <math>f(0)</math> und <math>f(m)</math>.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt}]
0 \ar{r} & 1 \ar{r} & \cdots \ar{r} & m
\end{tikzcd}</math>

Für <math>m=0</math> hat <math>\mathrm{Path}_0</math> genau einen Knoten und keine Kante. Ein Weg der Länge <math>0</math> in <math>\Gamma</math> ist also dasselbe wie ein Knoten in <math>\Gamma</math>, welcher nämlich Anfangs- und Endknoten zugleich ist. Dass die Zahl der Wege der Länge <math>m</math> von <math>v_i</math> nach <math>v_j</math> gleich <math>(A^m)_{ij}</math> ist, gilt dann für alle <math>m \geq 0</math> und kann sogar – mit obiger Definition – ohne Fallunterscheidung mittels Gleichung (13) bewiesen werden.

Die ganze Diskussion ist ein Beispiel für MO/45951.
 
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