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Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
Damit kann ich den Punkt 2 zu Ende rechnen. Die Definition von \( j_{\small \text{eichinvariant}} \) lässt sich mit der Rechenregel \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right) = - \Delta \vec{A} + \nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right) \) umformen zu \( j_{\small \text{eichinvariant}} = \vec \nabla \times \vec H - \dfrac {\partial {\vec {D}}}{\partial t} \) und die Definition von \( \rho_{\small \text{eichinvariant}} \) lässt sich mit der Rechenregel \( \scriptstyle \Delta \phi = \nabla \cdot \left( \nabla \phi \right) \) umformen zu \( \rho_{\small \text{eichinvariant}} = \nabla \vec D \). Das sind die inhomogenen Gleichungen. Weil du den ersten Kommentar als Frage formuliert hast: Ja, das ist eine treffende Zusammenfassung des Artikels. Ich habe etwas Zeit gebraucht für die Antwort. Beim Durchrechnen wollte ich genau darauf achten, was man als Voraussetzungen verwendet und was mathematische Schlussfolgerungen sind. Wie schnell nimmt man sich beim Herleiten vor, eine bestimmte Voraussetzung nicht zu verwenden, und dann ist sie doch irgendwo versteckt dabei. Ich möchte den ersten Kommentar gern als Zusammenfassung mit eigenen Worten aufschreiben und, als Kompromissvorschlag, ohne Festlegung auf eine bestimmte Eichung. Wir müssen uns doch nicht zwischen Lorenz-Eichung oder den eichfreien Definitionen entscheiden. Zusammenfassung: In diesem Artikel werden die folgenden bekannten Tatsachen allein mit dem Satz von Schwarz hergeleitet: 1. Wenn man die elektromagnetischen Felder auf Basis der Potentiale definiert, erhält man nach Anwendung der Rechenregeln \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \phi \right) = 0 \) und \( \scriptstyle \nabla \cdot \left( \nabla \times \vec{A} \right) = 0 \) automatisch die homogenen Gleichungen. 2. Wenn man die Ladungs- und Stromdichte passend zu einer bestimmten Eichbedingung definiert, erhält man nach Anwendung der Rechenregeln \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right) = - \Delta \vec{A} + \nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right) \) und \( \scriptstyle \Delta \phi = \nabla \cdot \left( \nabla \phi \right) \) und Einsetzen der Eichbedingung automatisch die inhomogenen Gleichungen. Im Artikel ist das speziell für die Lorenz-Eichung aufgeschrieben, kann aber ohne weiteres auf andere Eichbedingungen oder eichinvariant umgeschrieben werden. Ende der Zusammenfassung. Passend dazu ergänze ich den Satz von Schwarz im Titel, so dass dort schon ein Hinweis dabei ist, wie die Herleitung erfolgt. Ohne die Zusammenfassung konnte ich das überhaupt nicht einordnen und hatte Rechenprobe hingeschrieben. Danke für deine und eure Kommentare. Im Artikel wird die Lorenz-Eichung erst ganz am Ende verwendet. Doch die Definitionen von \( \vec{j} \) und \( \rho \) davor sind schon speziell darauf ausgerichtet. Bereits an der Stelle muss man andere Definitionen einsetzen, wenn eine andere Eichung verwendet werden soll.
 
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