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Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Die bisherigen Threads zum Vieta jumping ließen in ihrer Kürze nicht erkennen, ob die Methode richtig verstanden worden ist. Für Schlaufüchse ist sie auch viel zu simpel. Ich versuche es auf dem Niveau des 9. Schuljahres zu erklären, das mit dem Satz von Vieta vertraut ist. In der Notation von trunx sind (a,b,c) = (q, q³,q²) Lösungen der Gleichung (G1) a² + b² – c∙a∙b – c = 0, weil die Gleichung stimmt, wenn darin a durch q, b durch q³ und c durch q² ersetzt werden. Nun halten wir c = q² fest und suchen nach weiteren Lösungspaaren (a,b), beginnend mit (q,q³). (Dass (q³,q) die symmetrische Gleichung auch löst, reicht uns nicht.) Dazu ersetzen wir die kleinere Lösungszahl a durch x, die Konstante c durch q² und erhalten eine klassische quadratische Gleichung (Vx) x² – q²∙b∙x + b² – q² = 0, die wir mit dem Satz von Vieta lösen, weil eine Lösung a = q bereits bekannt ist. Für die Zusatzlösung a’ gilt dann nach dem Satz von Vieta (V1) a’∙a = b² – q² und (V2) a’ = q²∙b – a Das Lösungspaar (a,b) = (q,q³) ergibt in (V1) und (V2) a’ = q⁵– q. Also ein neues Lösungspaar (a’,b) = (q⁵– q,q³). (V2) garantiert die Fortsetzung der Ganzzahligkeit. Um mit diesem Lösungspaar das Vieta-Spielchen zu wiederholen, vertauschen wir in den Gleichungen (Vx), (V1) und (V2) a und b, und ersetzen a jetzt durch die neue Zahl a’ = q⁵– q: (Vx’) x² – q²∙a’∙x + a’² – q² = 0, (V1’) b’∙b = a’² – q² und (V2’) b’ = q²∙a’ – b. Resultat b’ = q⁷ – 2q³. Neues Lösungspaar (a’,b’) = (q⁵– q, q⁷– 2q³). So wie aufsteigend, funktioniert es auch absteigend und so geht auch der Beweis der Aufgabe zu zeigen, dass c eine Quadratzahl sein muss. Man geht von einem minimalen Lösungspaar (a,b) aus mit 1 ≤ b ≤ a. Die Gleichung (Vx) führt dann zur Lösung a' = 0, die in (G1) die Variable a ersetzt und c = b² bedeutet. Die Regel (V1) steht in der Antwort von trunx auf meinen 1. Kommentar in der Form a = (n–1)-te Polynomfunktion von q, a’ = (n+1)-te Polynomfunktion von q, b = fₙ(q) = n-te Polynomfunktion von q. Indiziert lassen (V1) und (V2) die Folge der Lösungszahlen weiter wachsen.
 
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