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Re: Zaubertrick mit Modulo
Bleibt noch zu zeigen, dass mit einer durch 9 teilbare Zahl, etwa z mit \lr(1) 9\|z=sum(n_i*10^i,i=0,n)\el\IN mit n,a_i \el \IN \forall\ i\el {0,...,n} fuer alle natürlichen k aus {0,...,n} gilt: \lr(2) sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mit \p bel. Permutation von {0,...,k-1,k+1,...,n}. Dafür brauchen wir zunächst, dass \lr(3) N*10^E==N mod 9 \forall N,E\el\IN. Das stimmt für E=0 und wegen 10==1 mod 9 gilt für alle nat. E: N*10^E==N => 10*(N*10^E)=N*10^(E+1)==N=(N)*1, =>Beh. Mit (3) können wir nun auch sagen \ref(1) <=> sum(n_i,0,n)==0 mod 9 (Teilbarkeitsregel für Neun.) <=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_i,j=k+1,n)==-n_k mod 9 <=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_j,j=k+1,n)==9-n_k mod 9 <=> sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mod 9 <=> \ref(2) \bigbox Also auch: Wir nehmen eine nat. Zahl, permutieren gemeinsam ihre und die Ziffer, die die Differenz von Neun und dem Neunerrest der Zahl ist, und wissen, dass Neun die Zahl, die durch Hintereinanderschreiben der perm. Ziffern entsteht, teilt. Es liegt also daran, dass Neun grade um Eins kleiner als die Basis des Zehnersystems ist. Man schreibe also bspw. oktal, und hat einen Test auf Teilbarkeit durch 7.
 
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