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| Re: Drei wohlbegründete Lösungen für ein Problem |
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Die Lösungen 3 und 4 gehen beide davon aus, dass die Anzahl aller Sehnen einer bestimmten Länge gleich der Anzahl aller Sehnen einer bestimmten anderen Länge ist. Das wäre erstmal zu beweisen, was mich zur Frage führt: "Hat ein großer Kreis mehr Tangenten als ein kleiner oder haben beide gleichviele?"
In Lösung drei wird von der Anzahl der Punkte auf einer Strecke auf die Anzahl der dazugahörenden Sehnen geschlossen, die unendlich vielen Punkte werden zu einer Strecke aufaddiert, deren Länge nun für die Berechnung eines Mengenverhältnisses nutzbar sein soll, soweit so gut. Dann müsste man aber ebenso sagen können, dass ein großer Kreis mehr Tangenten hat als ein kleiner, da der große einen größeren Umfang hat, und für jeden Punkt des Umfangs auf eine Tangente, die den Kreis in diesem Punkt berührt, geschlossen werden kann.
Nun muß man sehen, dass alle Sehnen einer ganz bestimmten Länge ebensogut als Tangenten eines ganz bestimmten konzentrischen Kreises betrachtet werden können. Der weitergehende Ansatz in Lösung 3 geht nun aber davon aus, dass man von der Betrachtung von parallelen in nur eine Richtung gehenden Sehnen durch Drehung auch auf alle anderen schliessen kann, was aber beinhaltet, dass man auch das Mengenverhältnis der Sehnen einer ganz bestimmten Länge in dieser Betrachtung (nämlich gleich viele, abgesehen vom Durchmesser selbst) beibehält. Das würde zu der Feststellung führen, dass es eben doch gleichviele Tangenten bei zwei unterschiedlich großen Kreisen gäbe. Da ist also schon im Ansatz ein Widerspruch.
Ganz ähnlich sehe ich in Lösung 1 einen Widerspruch: Dort wird bei der Betrachtung eines bestimmten Anfangspunktes von der Anzahl der im Kreisbogenabschnitt befindlichen Punkte (repräsentiert durch die Länge desselben) auf die Anzahl der entstehenden Sehnen geschlossen, was die Aussage "Der große Kreis hat mehr Tangenten als der kleine" beinhaltet. Nun entstehen aber bei einem festen Anfangspunkt immer genau zwei Sehnen gleicher Länge, eine rechts eine links, (abgesehen vom Durchmesser, der sich wieder daneben benimmt) also würde auch hier beim Schluss durch Drehung von der Einzelbetrachtung auf die Gesamtheit das Mengenverhältnis, dass jede Sehne einer bestimmten Länge genau gleichoft existiert, wie die Sehne einer bestimmten anderen Länge, mitgefolgert, was die Aussage "Der große Kreis hat gleichviele Tangenten wie der kleine" beinhaltet. Widerspruch.
Lösung 4 geht an der Aufgabenstellung vorbei, da (wie schon oben von Anonym erwähnt) nicht nach einer zufälligen Länge, sondern nach einer zufälligen Sehne die Rede war.
Mir persönlich gefällt Lösung 2 am besten, obwohl ich selbst auf Lösung 1 zuerst kam. Dumm nur, dass es auch da einen Haken gibt:
Sie ist nicht ganz korrekt, da man von der Anzahl der Punkte auf die Anzahl der Sehnen schließt, was nur ginge, wenn jeder Punkt zu genau einer Sehne führen würde. Das ist aber nicht bei JEDEM Punkt der Fall: Der Mittelpunkt des Kreises hat ja rotierend schon selbst unendlich viele Sehnen (Durchmesser). Das verfälscht doch das Ergebnis.
Dann verstehe ich nicht ganz die Wichtigkeit des verwendeten Terminus 'zufällige Sehne'. Wenn das nicht wohldefiniert genug ist, könnte man doch einfach die Frage umformulieren in
"Wieviel Prozent aller möglichen in einen Kreis gezeichneten Sehnen sind länger als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? "
Dann hätte das Ganze nichts mehr mit Zufallsexperiment zu tun. Hätte man dann nicht trotzdem die gleichen unterschiedlichen Lösungsansätze bzw Lösungen?
So then, Llyle |
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